Theorem php5fin 7032

Description: A finite set is not equinumerous to a set which adds one element. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
php5fin	|- ( ( A e. Fin /\ B e. ( _V \ A ) ) -> -. A ~~ ( A u. { B } ) )

Proof of Theorem php5fin

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 6902	. . . 4 |- ( A e. Fin <-> E. n e. om A ~~ n )
2	1	biimpi 120	. . 3 |- ( A e. Fin -> E. n e. om A ~~ n )
3	2	adantr 276	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. ( _V \ A ) ) -> E. n e. om A ~~ n )
4		php5 7007	. . . 4 |- ( n e. om -> -. n ~~ suc n )
5	4	ad2antrl 490	. . 3 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. ( _V \ A ) ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> -. n ~~ suc n )
6		enen1 6989	. . . . 5 |- ( A ~~ n -> ( A ~~ ( A u. { B } ) <-> n ~~ ( A u. { B } ) ) )
7	6	ad2antll 491	. . . 4 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. ( _V \ A ) ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> ( A ~~ ( A u. { B } ) <-> n ~~ ( A u. { B } ) ) )
8		fiunsnnn 7031	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. ( _V \ A ) ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> ( A u. { B } ) ~~ suc n )
9		enen2 6990	. . . . 5 |- ( ( A u. { B } ) ~~ suc n -> ( n ~~ ( A u. { B } ) <-> n ~~ suc n ) )
10	8, 9	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. ( _V \ A ) ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> ( n ~~ ( A u. { B } ) <-> n ~~ suc n ) )
11	7, 10	bitrd 188	. . 3 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. ( _V \ A ) ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> ( A ~~ ( A u. { B } ) <-> n ~~ suc n ) )
12	5, 11	mtbird 677	. 2 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. ( _V \ A ) ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> -. A ~~ ( A u. { B } ) )
13	3, 12	rexlimddv 2653	1 |- ( ( A e. Fin /\ B e. ( _V \ A ) ) -> -. A ~~ ( A u. { B } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2200   E.wrex 2509   _Vcvv 2799   \ cdif 3194   u. cun 3195   {csn 3666   class class class wbr 4082   suc csuc 4453   omcom 4679   ~~ cen 6875   Fincfn 6877

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-iinf 4677

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-tr 4182  df-id 4381  df-iord 4454  df-on 4456  df-suc 4459  df-iom 4680  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-1o 6552  df-er 6670  df-en 6878  df-fin 6880

This theorem is referenced by:  unsnfidcex  7070  unsnfidcel  7071