ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  php5fin Unicode version

Theorem php5fin 6857
Description: A finite set is not equinumerous to a set which adds one element. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
php5fin  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  ( _V  \  A ) )  ->  -.  A  ~~  ( A  u.  { B }
) )

Proof of Theorem php5fin
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfi 6736 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  <->  E. n  e.  om  A  ~~  n
)
21biimpi 119 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  E. n  e.  om  A  ~~  n
)
32adantr 274 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  ( _V  \  A ) )  ->  E. n  e.  om  A  ~~  n )
4 php5 6833 . . . 4  |-  ( n  e.  om  ->  -.  n  ~~  suc  n )
54ad2antrl 487 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  ( _V 
\  A ) )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  ->  -.  n  ~~  suc  n
)
6 enen1 6815 . . . . 5  |-  ( A 
~~  n  ->  ( A  ~~  ( A  u.  { B } )  <->  n  ~~  ( A  u.  { B } ) ) )
76ad2antll 488 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  ( _V 
\  A ) )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  -> 
( A  ~~  ( A  u.  { B } )  <->  n  ~~  ( A  u.  { B } ) ) )
8 fiunsnnn 6856 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  ( _V 
\  A ) )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  -> 
( A  u.  { B } )  ~~  suc  n )
9 enen2 6816 . . . . 5  |-  ( ( A  u.  { B } )  ~~  suc  n  ->  ( n  ~~  ( A  u.  { B } )  <->  n  ~~  suc  n ) )
108, 9syl 14 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  ( _V 
\  A ) )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  -> 
( n  ~~  ( A  u.  { B } )  <->  n  ~~  suc  n ) )
117, 10bitrd 187 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  ( _V 
\  A ) )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  -> 
( A  ~~  ( A  u.  { B } )  <->  n  ~~  suc  n ) )
125, 11mtbird 668 . 2  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  ( _V 
\  A ) )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  ->  -.  A  ~~  ( A  u.  { B }
) )
133, 12rexlimddv 2592 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  ( _V  \  A ) )  ->  -.  A  ~~  ( A  u.  { B }
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    e. wcel 2141   E.wrex 2449   _Vcvv 2730    \ cdif 3118    u. cun 3119   {csn 3581   class class class wbr 3987   suc csuc 4348   omcom 4572    ~~ cen 6713   Fincfn 6715
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-br 3988  df-opab 4049  df-tr 4086  df-id 4276  df-iord 4349  df-on 4351  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-1o 6393  df-er 6510  df-en 6716  df-fin 6718
This theorem is referenced by:  unsnfidcex  6894  unsnfidcel  6895
  Copyright terms: Public domain W3C validator