Theorem php5fin 7176

Description: A finite set is not equinumerous to a set which adds one element. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
php5fin	|- ( ( A e. Fin /\ B e. ( _V \ A ) ) -> -. A ~~ ( A u. { B } ) )

Proof of Theorem php5fin

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 7037	. . . 4 |- ( A e. Fin <-> E. n e. om A ~~ n )
2	1	biimpi 120	. . 3 |- ( A e. Fin -> E. n e. om A ~~ n )
3	2	adantr 276	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. ( _V \ A ) ) -> E. n e. om A ~~ n )
4		php5 7149	. . . 4 |- ( n e. om -> -. n ~~ suc n )
5	4	ad2antrl 494	. . 3 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. ( _V \ A ) ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> -. n ~~ suc n )
6		enen1 7130	. . . . 5 |- ( A ~~ n -> ( A ~~ ( A u. { B } ) <-> n ~~ ( A u. { B } ) ) )
7	6	ad2antll 495	. . . 4 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. ( _V \ A ) ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> ( A ~~ ( A u. { B } ) <-> n ~~ ( A u. { B } ) ) )
8		fiunsnnn 7175	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. ( _V \ A ) ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> ( A u. { B } ) ~~ suc n )
9		enen2 7131	. . . . 5 |- ( ( A u. { B } ) ~~ suc n -> ( n ~~ ( A u. { B } ) <-> n ~~ suc n ) )
10	8, 9	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. ( _V \ A ) ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> ( n ~~ ( A u. { B } ) <-> n ~~ suc n ) )
11	7, 10	bitrd 188	. . 3 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. ( _V \ A ) ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> ( A ~~ ( A u. { B } ) <-> n ~~ suc n ) )
12	5, 11	mtbird 684	. 2 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. ( _V \ A ) ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> -. A ~~ ( A u. { B } ) )
13	3, 12	rexlimddv 2673	1 |- ( ( A e. Fin /\ B e. ( _V \ A ) ) -> -. A ~~ ( A u. { B } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2209   E.wrex 2529   _Vcvv 2821   \ cdif 3217   u. cun 3218   {csn 3705   class class class wbr 4125   suc csuc 4505   omcom 4732   ~~ cen 7010   Fincfn 7012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-1o 6677  df-er 6797  df-en 7013  df-fin 7015

This theorem is referenced by:  unsnfidcex  7217  unsnfidcel  7218