Theorem php5fin 7190

Description: A finite set is not equinumerous to a set which adds one element. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
php5fin	|- ( ( A e. Fin /\ B e. ( _V \ A ) ) -> -. A ~~ ( A u. { B } ) )

Proof of Theorem php5fin

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 7051	. . . 4 |- ( A e. Fin <-> E. n e. om A ~~ n )
2	1	biimpi 120	. . 3 |- ( A e. Fin -> E. n e. om A ~~ n )
3	2	adantr 276	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. ( _V \ A ) ) -> E. n e. om A ~~ n )
4		php5 7163	. . . 4 |- ( n e. om -> -. n ~~ suc n )
5	4	ad2antrl 494	. . 3 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. ( _V \ A ) ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> -. n ~~ suc n )
6		enen1 7144	. . . . 5 |- ( A ~~ n -> ( A ~~ ( A u. { B } ) <-> n ~~ ( A u. { B } ) ) )
7	6	ad2antll 495	. . . 4 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. ( _V \ A ) ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> ( A ~~ ( A u. { B } ) <-> n ~~ ( A u. { B } ) ) )
8		fiunsnnn 7189	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. ( _V \ A ) ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> ( A u. { B } ) ~~ suc n )
9		enen2 7145	. . . . 5 |- ( ( A u. { B } ) ~~ suc n -> ( n ~~ ( A u. { B } ) <-> n ~~ suc n ) )
10	8, 9	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. ( _V \ A ) ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> ( n ~~ ( A u. { B } ) <-> n ~~ suc n ) )
11	7, 10	bitrd 188	. . 3 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. ( _V \ A ) ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> ( A ~~ ( A u. { B } ) <-> n ~~ suc n ) )
12	5, 11	mtbird 684	. 2 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. ( _V \ A ) ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> -. A ~~ ( A u. { B } ) )
13	3, 12	rexlimddv 2673	1 |- ( ( A e. Fin /\ B e. ( _V \ A ) ) -> -. A ~~ ( A u. { B } ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2209   E.wrex 2529   _Vcvv 2821   \ cdif 3217   u. cun 3218   {csn 3709   class class class wbr 4131   suc csuc 4512   omcom 4739   ~~ cen 7024   Fincfn 7026

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-1o 6691  df-er 6811  df-en 7027  df-fin 7029

This theorem is used by:  unsnfidcex  7231  unsnfidcel  7232