ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  php5fin Unicode version

Theorem php5fin 6896
Description: A finite set is not equinumerous to a set which adds one element. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
php5fin  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  ( _V  \  A ) )  ->  -.  A  ~~  ( A  u.  { B }
) )

Proof of Theorem php5fin
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfi 6775 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  <->  E. n  e.  om  A  ~~  n
)
21biimpi 120 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  E. n  e.  om  A  ~~  n
)
32adantr 276 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  ( _V  \  A ) )  ->  E. n  e.  om  A  ~~  n )
4 php5 6872 . . . 4  |-  ( n  e.  om  ->  -.  n  ~~  suc  n )
54ad2antrl 490 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  ( _V 
\  A ) )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  ->  -.  n  ~~  suc  n
)
6 enen1 6854 . . . . 5  |-  ( A 
~~  n  ->  ( A  ~~  ( A  u.  { B } )  <->  n  ~~  ( A  u.  { B } ) ) )
76ad2antll 491 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  ( _V 
\  A ) )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  -> 
( A  ~~  ( A  u.  { B } )  <->  n  ~~  ( A  u.  { B } ) ) )
8 fiunsnnn 6895 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  ( _V 
\  A ) )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  -> 
( A  u.  { B } )  ~~  suc  n )
9 enen2 6855 . . . . 5  |-  ( ( A  u.  { B } )  ~~  suc  n  ->  ( n  ~~  ( A  u.  { B } )  <->  n  ~~  suc  n ) )
108, 9syl 14 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  ( _V 
\  A ) )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  -> 
( n  ~~  ( A  u.  { B } )  <->  n  ~~  suc  n ) )
117, 10bitrd 188 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  ( _V 
\  A ) )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  -> 
( A  ~~  ( A  u.  { B } )  <->  n  ~~  suc  n ) )
125, 11mtbird 674 . 2  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  ( _V 
\  A ) )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  ->  -.  A  ~~  ( A  u.  { B }
) )
133, 12rexlimddv 2609 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  ( _V  \  A ) )  ->  -.  A  ~~  ( A  u.  { B }
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    e. wcel 2158   E.wrex 2466   _Vcvv 2749    \ cdif 3138    u. cun 3139   {csn 3604   class class class wbr 4015   suc csuc 4377   omcom 4601    ~~ cen 6752   Fincfn 6754
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-tr 4114  df-id 4305  df-iord 4378  df-on 4380  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-1o 6431  df-er 6549  df-en 6755  df-fin 6757
This theorem is referenced by:  unsnfidcex  6933  unsnfidcel  6934
  Copyright terms: Public domain W3C validator