Theorem php5fin 6925

Description: A finite set is not equinumerous to a set which adds one element. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
php5fin	|- ( ( A e. Fin /\ B e. ( _V \ A ) ) -> -. A ~~ ( A u. { B } ) )

Proof of Theorem php5fin

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 6802	. . . 4 |- ( A e. Fin <-> E. n e. om A ~~ n )
2	1	biimpi 120	. . 3 |- ( A e. Fin -> E. n e. om A ~~ n )
3	2	adantr 276	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. ( _V \ A ) ) -> E. n e. om A ~~ n )
4		php5 6901	. . . 4 |- ( n e. om -> -. n ~~ suc n )
5	4	ad2antrl 490	. . 3 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. ( _V \ A ) ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> -. n ~~ suc n )
6		enen1 6883	. . . . 5 |- ( A ~~ n -> ( A ~~ ( A u. { B } ) <-> n ~~ ( A u. { B } ) ) )
7	6	ad2antll 491	. . . 4 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. ( _V \ A ) ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> ( A ~~ ( A u. { B } ) <-> n ~~ ( A u. { B } ) ) )
8		fiunsnnn 6924	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. ( _V \ A ) ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> ( A u. { B } ) ~~ suc n )
9		enen2 6884	. . . . 5 |- ( ( A u. { B } ) ~~ suc n -> ( n ~~ ( A u. { B } ) <-> n ~~ suc n ) )
10	8, 9	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. ( _V \ A ) ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> ( n ~~ ( A u. { B } ) <-> n ~~ suc n ) )
11	7, 10	bitrd 188	. . 3 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. ( _V \ A ) ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> ( A ~~ ( A u. { B } ) <-> n ~~ suc n ) )
12	5, 11	mtbird 674	. 2 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. ( _V \ A ) ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> -. A ~~ ( A u. { B } ) )
13	3, 12	rexlimddv 2612	1 |- ( ( A e. Fin /\ B e. ( _V \ A ) ) -> -. A ~~ ( A u. { B } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2160   E.wrex 2469   _Vcvv 2756   \ cdif 3146   u. cun 3147   {csn 3614   class class class wbr 4025   suc csuc 4390   omcom 4614   ~~ cen 6779   Fincfn 6781

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4199  ax-pr 4234  ax-un 4458  ax-setind 4561  ax-iinf 4612

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2758  df-sbc 2982  df-dif 3151  df-un 3153  df-in 3155  df-ss 3162  df-nul 3443  df-pw 3599  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3832  df-int 3867  df-br 4026  df-opab 4087  df-tr 4124  df-id 4318  df-iord 4391  df-on 4393  df-suc 4396  df-iom 4615  df-xp 4657  df-rel 4658  df-cnv 4659  df-co 4660  df-dm 4661  df-rn 4662  df-res 4663  df-ima 4664  df-iota 5203  df-fun 5244  df-fn 5245  df-f 5246  df-f1 5247  df-fo 5248  df-f1o 5249  df-fv 5250  df-1o 6456  df-er 6574  df-en 6782  df-fin 6784

This theorem is referenced by:  unsnfidcex  6963  unsnfidcel  6964