ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  php5fin Unicode version

Theorem php5fin 6938
Description: A finite set is not equinumerous to a set which adds one element. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
php5fin  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  ( _V  \  A ) )  ->  -.  A  ~~  ( A  u.  { B }
) )

Proof of Theorem php5fin
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfi 6815 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  <->  E. n  e.  om  A  ~~  n
)
21biimpi 120 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  E. n  e.  om  A  ~~  n
)
32adantr 276 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  ( _V  \  A ) )  ->  E. n  e.  om  A  ~~  n )
4 php5 6914 . . . 4  |-  ( n  e.  om  ->  -.  n  ~~  suc  n )
54ad2antrl 490 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  ( _V 
\  A ) )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  ->  -.  n  ~~  suc  n
)
6 enen1 6896 . . . . 5  |-  ( A 
~~  n  ->  ( A  ~~  ( A  u.  { B } )  <->  n  ~~  ( A  u.  { B } ) ) )
76ad2antll 491 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  ( _V 
\  A ) )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  -> 
( A  ~~  ( A  u.  { B } )  <->  n  ~~  ( A  u.  { B } ) ) )
8 fiunsnnn 6937 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  ( _V 
\  A ) )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  -> 
( A  u.  { B } )  ~~  suc  n )
9 enen2 6897 . . . . 5  |-  ( ( A  u.  { B } )  ~~  suc  n  ->  ( n  ~~  ( A  u.  { B } )  <->  n  ~~  suc  n ) )
108, 9syl 14 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  ( _V 
\  A ) )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  -> 
( n  ~~  ( A  u.  { B } )  <->  n  ~~  suc  n ) )
117, 10bitrd 188 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  ( _V 
\  A ) )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  -> 
( A  ~~  ( A  u.  { B } )  <->  n  ~~  suc  n ) )
125, 11mtbird 674 . 2  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  ( _V 
\  A ) )  /\  ( n  e. 
om  /\  A  ~~  n ) )  ->  -.  A  ~~  ( A  u.  { B }
) )
133, 12rexlimddv 2616 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  ( _V  \  A ) )  ->  -.  A  ~~  ( A  u.  { B }
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    e. wcel 2164   E.wrex 2473   _Vcvv 2760    \ cdif 3150    u. cun 3151   {csn 3618   class class class wbr 4029   suc csuc 4396   omcom 4622    ~~ cen 6792   Fincfn 6794
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-1o 6469  df-er 6587  df-en 6795  df-fin 6797
This theorem is referenced by:  unsnfidcex  6976  unsnfidcel  6977
  Copyright terms: Public domain W3C validator