Theorem entr 7024

Description: Transitivity of equinumerosity. Theorem 3 of [Suppes] p. 92. (Contributed by NM, 9-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
entr	|- ( ( A ~~ B /\ B ~~ C ) -> A ~~ C )

Proof of Theorem entr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ener 7019	. . . 4 |- ~~ Er _V
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> ~~ Er _V )
3	2	ertr 6782	. 2 |- ( T. -> ( ( A ~~ B /\ B ~~ C ) -> A ~~ C ) )
4	3	mptru 1407	1 |- ( ( A ~~ B /\ B ~~ C ) -> A ~~ C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   T. wtru 1399   _Vcvv 2813   class class class wbr 4109   Er wer 6764   ~~ cen 6973

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-er 6767  df-en 6976

This theorem is referenced by:  entri  7026  en2sn  7055  xpsnen2g  7080  enen1  7093  enen2  7094  ssenen  7105  phplem4  7109  snnen2og  7113  php5dom  7117  phplem4on  7122  dif1en  7136  dif1enen  7137  fisbth  7140  diffisn  7150  fidcen  7156  eqsndc  7163  exmidpw2en  7172  unsnfidcex  7180  unsnfidcel  7181  f1finf1o  7217  en1eqsn  7218  2omapfi  7271  endjusym  7387  carden2bex  7486  pm54.43  7487  pr2ne  7489  djuen  7518  djuenun  7519  djuassen  7524  frecfzen2  10789  uzennn  10798  hashunlem  11168  hashxp  11191  1nprm  12811  hashdvds  12918  4sqlem11  13099  unennn  13148  ennnfonelemen  13172  ennnfonelemim  13175  exmidunben  13177  ctinfom  13179  ctinf  13181  umgredgnlp  16147  usgrsizedgen  16208  upgr2wlkdc  16372  pwf1oexmid  16773  nnnninfen  16799