Theorem entr 6936

Description: Transitivity of equinumerosity. Theorem 3 of [Suppes] p. 92. (Contributed by NM, 9-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
entr	|- ( ( A ~~ B /\ B ~~ C ) -> A ~~ C )

Proof of Theorem entr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ener 6931	. . . 4 |- ~~ Er _V
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> ~~ Er _V )
3	2	ertr 6695	. 2 |- ( T. -> ( ( A ~~ B /\ B ~~ C ) -> A ~~ C ) )
4	3	mptru 1404	1 |- ( ( A ~~ B /\ B ~~ C ) -> A ~~ C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   T. wtru 1396   _Vcvv 2799   class class class wbr 4083   Er wer 6677   ~~ cen 6885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-er 6680  df-en 6888

This theorem is referenced by:  entri  6938  en2sn  6966  xpsnen2g  6988  enen1  7001  enen2  7002  ssenen  7012  phplem4  7016  snnen2og  7020  php5dom  7024  phplem4on  7029  dif1en  7041  dif1enen  7042  fisbth  7045  diffisn  7055  exmidpw2en  7074  unsnfidcex  7082  unsnfidcel  7083  f1finf1o  7114  en1eqsn  7115  endjusym  7263  carden2bex  7362  pm54.43  7363  pr2ne  7365  djuen  7393  djuenun  7394  djuassen  7399  frecfzen2  10649  uzennn  10658  hashunlem  11026  hashxp  11048  1nprm  12636  hashdvds  12743  4sqlem11  12924  unennn  12968  ennnfonelemen  12992  ennnfonelemim  12995  exmidunben  12997  ctinfom  12999  ctinf  13001  umgredgnlp  15950  usgrsizedgen  16011  pwf1oexmid  16365  nnnninfen  16387