Theorem entr 6786

Description: Transitivity of equinumerosity. Theorem 3 of [Suppes] p. 92. (Contributed by NM, 9-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
entr	|- ( ( A ~~ B /\ B ~~ C ) -> A ~~ C )

Proof of Theorem entr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ener 6781	. . . 4 |- ~~ Er _V
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> ~~ Er _V )
3	2	ertr 6552	. 2 |- ( T. -> ( ( A ~~ B /\ B ~~ C ) -> A ~~ C ) )
4	3	mptru 1362	1 |- ( ( A ~~ B /\ B ~~ C ) -> A ~~ C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   T. wtru 1354   _Vcvv 2739   class class class wbr 4005   Er wer 6534   ~~ cen 6740

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-er 6537  df-en 6743

This theorem is referenced by:  entri  6788  en2sn  6815  xpsnen2g  6831  enen1  6842  enen2  6843  ssenen  6853  phplem4  6857  snnen2og  6861  php5dom  6865  phplem4on  6869  dif1en  6881  dif1enen  6882  fisbth  6885  diffisn  6895  unsnfidcex  6921  unsnfidcel  6922  f1finf1o  6948  en1eqsn  6949  endjusym  7097  carden2bex  7190  pm54.43  7191  pr2ne  7193  djuen  7212  djuenun  7213  djuassen  7218  frecfzen2  10429  uzennn  10438  hashunlem  10786  hashxp  10808  1nprm  12116  hashdvds  12223  unennn  12400  ennnfonelemen  12424  ennnfonelemim  12427  exmidunben  12429  ctinfom  12431  ctinf  12433  pwf1oexmid  14788