Theorem entr 6878

Description: Transitivity of equinumerosity. Theorem 3 of [Suppes] p. 92. (Contributed by NM, 9-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
entr	|- ( ( A ~~ B /\ B ~~ C ) -> A ~~ C )

Proof of Theorem entr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ener 6873	. . . 4 |- ~~ Er _V
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> ~~ Er _V )
3	2	ertr 6637	. 2 |- ( T. -> ( ( A ~~ B /\ B ~~ C ) -> A ~~ C ) )
4	3	mptru 1382	1 |- ( ( A ~~ B /\ B ~~ C ) -> A ~~ C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   T. wtru 1374   _Vcvv 2772   class class class wbr 4045   Er wer 6619   ~~ cen 6827

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4046  df-opab 4107  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-er 6622  df-en 6830

This theorem is referenced by:  entri  6880  en2sn  6907  xpsnen2g  6926  enen1  6939  enen2  6940  ssenen  6950  phplem4  6954  snnen2og  6958  php5dom  6962  phplem4on  6966  dif1en  6978  dif1enen  6979  fisbth  6982  diffisn  6992  exmidpw2en  7011  unsnfidcex  7019  unsnfidcel  7020  f1finf1o  7051  en1eqsn  7052  endjusym  7200  carden2bex  7299  pm54.43  7300  pr2ne  7302  djuen  7325  djuenun  7326  djuassen  7331  frecfzen2  10574  uzennn  10583  hashunlem  10951  hashxp  10973  1nprm  12469  hashdvds  12576  4sqlem11  12757  unennn  12801  ennnfonelemen  12825  ennnfonelemim  12828  exmidunben  12830  ctinfom  12832  ctinf  12834  pwf1oexmid  15973  nnnninfen  15995