Theorem entr 6843

Description: Transitivity of equinumerosity. Theorem 3 of [Suppes] p. 92. (Contributed by NM, 9-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
entr	|- ( ( A ~~ B /\ B ~~ C ) -> A ~~ C )

Proof of Theorem entr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ener 6838	. . . 4 |- ~~ Er _V
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> ~~ Er _V )
3	2	ertr 6607	. 2 |- ( T. -> ( ( A ~~ B /\ B ~~ C ) -> A ~~ C ) )
4	3	mptru 1373	1 |- ( ( A ~~ B /\ B ~~ C ) -> A ~~ C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   T. wtru 1365   _Vcvv 2763   class class class wbr 4033   Er wer 6589   ~~ cen 6797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-er 6592  df-en 6800

This theorem is referenced by:  entri  6845  en2sn  6872  xpsnen2g  6888  enen1  6901  enen2  6902  ssenen  6912  phplem4  6916  snnen2og  6920  php5dom  6924  phplem4on  6928  dif1en  6940  dif1enen  6941  fisbth  6944  diffisn  6954  exmidpw2en  6973  unsnfidcex  6981  unsnfidcel  6982  f1finf1o  7013  en1eqsn  7014  endjusym  7162  carden2bex  7256  pm54.43  7257  pr2ne  7259  djuen  7278  djuenun  7279  djuassen  7284  frecfzen2  10519  uzennn  10528  hashunlem  10896  hashxp  10918  1nprm  12282  hashdvds  12389  4sqlem11  12570  unennn  12614  ennnfonelemen  12638  ennnfonelemim  12641  exmidunben  12643  ctinfom  12645  ctinf  12647  pwf1oexmid  15644  nnnninfen  15665