Theorem entr 6844

Description: Transitivity of equinumerosity. Theorem 3 of [Suppes] p. 92. (Contributed by NM, 9-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
entr	|- ( ( A ~~ B /\ B ~~ C ) -> A ~~ C )

Proof of Theorem entr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ener 6839	. . . 4 |- ~~ Er _V
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> ~~ Er _V )
3	2	ertr 6608	. 2 |- ( T. -> ( ( A ~~ B /\ B ~~ C ) -> A ~~ C ) )
4	3	mptru 1373	1 |- ( ( A ~~ B /\ B ~~ C ) -> A ~~ C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   T. wtru 1365   _Vcvv 2763   class class class wbr 4034   Er wer 6590   ~~ cen 6798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-er 6593  df-en 6801

This theorem is referenced by:  entri  6846  en2sn  6873  xpsnen2g  6889  enen1  6902  enen2  6903  ssenen  6913  phplem4  6917  snnen2og  6921  php5dom  6925  phplem4on  6929  dif1en  6941  dif1enen  6942  fisbth  6945  diffisn  6955  exmidpw2en  6974  unsnfidcex  6982  unsnfidcel  6983  f1finf1o  7014  en1eqsn  7015  endjusym  7163  carden2bex  7258  pm54.43  7259  pr2ne  7261  djuen  7280  djuenun  7281  djuassen  7286  frecfzen2  10521  uzennn  10530  hashunlem  10898  hashxp  10920  1nprm  12292  hashdvds  12399  4sqlem11  12580  unennn  12624  ennnfonelemen  12648  ennnfonelemim  12651  exmidunben  12653  ctinfom  12655  ctinf  12657  pwf1oexmid  15654  nnnninfen  15675