Theorem entr 6899

Description: Transitivity of equinumerosity. Theorem 3 of [Suppes] p. 92. (Contributed by NM, 9-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
entr	|- ( ( A ~~ B /\ B ~~ C ) -> A ~~ C )

Proof of Theorem entr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ener 6894	. . . 4 |- ~~ Er _V
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> ~~ Er _V )
3	2	ertr 6658	. 2 |- ( T. -> ( ( A ~~ B /\ B ~~ C ) -> A ~~ C ) )
4	3	mptru 1382	1 |- ( ( A ~~ B /\ B ~~ C ) -> A ~~ C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   T. wtru 1374   _Vcvv 2776   class class class wbr 4059   Er wer 6640   ~~ cen 6848

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-er 6643  df-en 6851

This theorem is referenced by:  entri  6901  en2sn  6929  xpsnen2g  6949  enen1  6962  enen2  6963  ssenen  6973  phplem4  6977  snnen2og  6981  php5dom  6985  phplem4on  6990  dif1en  7002  dif1enen  7003  fisbth  7006  diffisn  7016  exmidpw2en  7035  unsnfidcex  7043  unsnfidcel  7044  f1finf1o  7075  en1eqsn  7076  endjusym  7224  carden2bex  7323  pm54.43  7324  pr2ne  7326  djuen  7354  djuenun  7355  djuassen  7360  frecfzen2  10609  uzennn  10618  hashunlem  10986  hashxp  11008  1nprm  12551  hashdvds  12658  4sqlem11  12839  unennn  12883  ennnfonelemen  12907  ennnfonelemim  12910  exmidunben  12912  ctinfom  12914  ctinf  12916  umgredgnlp  15856  pwf1oexmid  16138  nnnninfen  16160