ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  enen2 GIF version

Theorem enen2 6841
Description: Equality-like theorem for equinumerosity. (Contributed by NM, 18-Dec-2003.)
Assertion
Ref Expression
enen2 (𝐴𝐵 → (𝐶𝐴𝐶𝐵))

Proof of Theorem enen2
StepHypRef Expression
1 entr 6784 . . 3 ((𝐶𝐴𝐴𝐵) → 𝐶𝐵)
21ancoms 268 . 2 ((𝐴𝐵𝐶𝐴) → 𝐶𝐵)
3 ensym 6781 . . 3 (𝐴𝐵𝐵𝐴)
4 entr 6784 . . . 4 ((𝐶𝐵𝐵𝐴) → 𝐶𝐴)
54ancoms 268 . . 3 ((𝐵𝐴𝐶𝐵) → 𝐶𝐴)
63, 5sylan 283 . 2 ((𝐴𝐵𝐶𝐵) → 𝐶𝐴)
72, 6impbida 596 1 (𝐴𝐵 → (𝐶𝐴𝐶𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 105   class class class wbr 4004  cen 6738
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2740  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-er 6535  df-en 6741
This theorem is referenced by:  php5fin  6882  carden2bex  7188  hashen  10764
  Copyright terms: Public domain W3C validator