Theorem suplociccex 15339

Description: An inhabited, bounded-above, located set of reals in a closed interval has a supremum. A similar theorem is axsuploc 8242 but that one is for the entire real line rather than a closed interval. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
suplocicc.1	|- ( ph -> B e. RR )
suplocicc.2	|- ( ph -> C e. RR )
suplocicc.bc	|- ( ph -> B < C )
suplocicc.3	|- ( ph -> A C_ ( B [,] C ) )
suplocicc.m	|- ( ph -> E. x x e. A )
suplocicc.l	|- ( ph -> A. x e. ( B [,] C ) A. y e. ( B [,] C ) ( x < y -> ( E. z e. A x < z \/ A. z e. A z < y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
suplociccex	|- ( ph -> E. x e. ( B [,] C ) ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. ( B [,] C ) ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )

Distinct variable groups:   x, A, y, z   x, B, y, z   x, C, y, z   ph, x, y, z

Proof of Theorem suplociccex

Dummy variables f g u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suplocicc.1	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
2		suplocicc.2	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
3		suplocicc.bc	. . 3 |- ( ph -> B < C )
4		suplocicc.3	. . 3 |- ( ph -> A C_ ( B [,] C ) )
5		suplocicc.m	. . 3 |- ( ph -> E. x x e. A )
6		suplocicc.l	. . 3 |- ( ph -> A. x e. ( B [,] C ) A. y e. ( B [,] C ) ( x < y -> ( E. z e. A x < z \/ A. z e. A z < y ) ) )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	suplociccreex 15338	. 2 |- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
8		simprl 529	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> x e. RR )
9		eleq1w 2290	. . . . . . . 8 |- ( x = u -> ( x e. A <-> u e. A ) )
10	9	cbvexv 1965	. . . . . . 7 |- ( E. x x e. A <-> E. u u e. A )
11	5, 10	sylib 122	. . . . . 6 |- ( ph -> E. u u e. A )
12	11	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> E. u u e. A )
13	1	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) /\ u e. A ) -> B e. RR )
14		iccssre 10180	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> ( B [,] C ) C_ RR )
15	1, 2, 14	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B [,] C ) C_ RR )
16	4, 15	sstrd 3235	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A C_ RR )
17	16	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) /\ u e. A ) -> A C_ RR )
18		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) /\ u e. A ) -> u e. A )
19	17, 18	sseldd 3226	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) /\ u e. A ) -> u e. RR )
20	8	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) /\ u e. A ) -> x e. RR )
21	13	rexrd 8219	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) /\ u e. A ) -> B e. RR* )
22	2	rexrd 8219	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C e. RR* )
23	22	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) /\ u e. A ) -> C e. RR* )
24	4	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) /\ u e. A ) -> A C_ ( B [,] C ) )
25	24, 18	sseldd 3226	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) /\ u e. A ) -> u e. ( B [,] C ) )
26		iccgelb 10157	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* /\ u e. ( B [,] C ) ) -> B <_ u )
27	21, 23, 25, 26	syl3anc 1271	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) /\ u e. A ) -> B <_ u )
28		breq2 4090	. . . . . . . . 9 |- ( y = u -> ( x < y <-> x < u ) )
29	28	notbid 671	. . . . . . . 8 |- ( y = u -> ( -. x < y <-> -. x < u ) )
30		simprrl 539	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> A. y e. A -. x < y )
31	30	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) /\ u e. A ) -> A. y e. A -. x < y )
32	29, 31, 18	rspcdva 2913	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) /\ u e. A ) -> -. x < u )
33	19, 20, 32	nltled 8290	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) /\ u e. A ) -> u <_ x )
34	13, 19, 20, 27, 33	letrd 8293	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) /\ u e. A ) -> B <_ x )
35	12, 34	exlimddv 1945	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> B <_ x )
36		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> ph )
37		simprrr 540	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) )
38	8, 30, 37	3jca 1201	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> ( x e. RR /\ A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
39		lttri3 8249	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. RR /\ g e. RR ) -> ( f = g <-> ( -. f < g /\ -. g < f ) ) )
40	39	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. RR /\ g e. RR ) ) -> ( f = g <-> ( -. f < g /\ -. g < f ) ) )
41	40	eqsupti 7186	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. RR /\ A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) -> sup ( A , RR , < ) = x ) )
42	36, 38, 41	sylc 62	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> sup ( A , RR , < ) = x )
43	1	rexrd 8219	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. RR* )
44	43	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> B e. RR* )
45	22	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> C e. RR* )
46	4	sselda 3225	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> z e. ( B [,] C ) )
47		iccleub 10156	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* /\ z e. ( B [,] C ) ) -> z <_ C )
48	44, 45, 46, 47	syl3anc 1271	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> z <_ C )
49	48	ralrimiva 2603	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. z e. A z <_ C )
50	7, 16, 2	suprleubex 9124	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( sup ( A , RR , < ) <_ C <-> A. z e. A z <_ C ) )
51	49, 50	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ph -> sup ( A , RR , < ) <_ C )
52	51	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> sup ( A , RR , < ) <_ C )
53	42, 52	eqbrtrrd 4110	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> x <_ C )
54	8, 35, 53	3jca 1201	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> ( x e. RR /\ B <_ x /\ x <_ C ) )
55		elicc2 10163	. . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> ( x e. ( B [,] C ) <-> ( x e. RR /\ B <_ x /\ x <_ C ) ) )
56	1, 2, 55	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( B [,] C ) <-> ( x e. RR /\ B <_ x /\ x <_ C ) ) )
57	56	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> ( x e. ( B [,] C ) <-> ( x e. RR /\ B <_ x /\ x <_ C ) ) )
58	54, 57	mpbird 167	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> x e. ( B [,] C ) )
59		ssralv 3289	. . . . . 6 |- ( ( B [,] C ) C_ RR -> ( A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) -> A. y e. ( B [,] C ) ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
60	15, 59	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) -> A. y e. ( B [,] C ) ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
61	60	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> ( A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) -> A. y e. ( B [,] C ) ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
62	37, 61	mpd 13	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> A. y e. ( B [,] C ) ( y < x -> E. z e. A y < z ) )
63	30, 62	jca 306	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. ( B [,] C ) ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
64	7, 58, 63	reximssdv 2634	1 |- ( ph -> E. x e. ( B [,] C ) ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. ( B [,] C ) ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 713   /\ w3a 1002   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   C_ wss 3198   class class class wbr 4086  (class class class)co 6013   supcsup 7172   RRcr 8021   RR*cxr 8203   < clt 8204   <_ cle 8205   [,]cicc 10116

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140  ax-arch 8141  ax-caucvg 8142  ax-pre-suploc 8143

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-isom 5333  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-sup 7174  df-inf 7175  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-rp 9879  df-icc 10120  df-seqfrec 10700  df-exp 10791  df-cj 11393  df-re 11394  df-im 11395  df-rsqrt 11549  df-abs 11550

This theorem is referenced by:  dedekindicclemlub  15343