Theorem suplociccex 15172

Description: An inhabited, bounded-above, located set of reals in a closed interval has a supremum. A similar theorem is axsuploc 8165 but that one is for the entire real line rather than a closed interval. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
suplocicc.1	|- ( ph -> B e. RR )
suplocicc.2	|- ( ph -> C e. RR )
suplocicc.bc	|- ( ph -> B < C )
suplocicc.3	|- ( ph -> A C_ ( B [,] C ) )
suplocicc.m	|- ( ph -> E. x x e. A )
suplocicc.l	|- ( ph -> A. x e. ( B [,] C ) A. y e. ( B [,] C ) ( x < y -> ( E. z e. A x < z \/ A. z e. A z < y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
suplociccex	|- ( ph -> E. x e. ( B [,] C ) ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. ( B [,] C ) ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )

Distinct variable groups:   x, A, y, z   x, B, y, z   x, C, y, z   ph, x, y, z

Proof of Theorem suplociccex

Dummy variables f g u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suplocicc.1	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
2		suplocicc.2	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
3		suplocicc.bc	. . 3 |- ( ph -> B < C )
4		suplocicc.3	. . 3 |- ( ph -> A C_ ( B [,] C ) )
5		suplocicc.m	. . 3 |- ( ph -> E. x x e. A )
6		suplocicc.l	. . 3 |- ( ph -> A. x e. ( B [,] C ) A. y e. ( B [,] C ) ( x < y -> ( E. z e. A x < z \/ A. z e. A z < y ) ) )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	suplociccreex 15171	. 2 |- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
8		simprl 529	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> x e. RR )
9		eleq1w 2267	. . . . . . . 8 |- ( x = u -> ( x e. A <-> u e. A ) )
10	9	cbvexv 1943	. . . . . . 7 |- ( E. x x e. A <-> E. u u e. A )
11	5, 10	sylib 122	. . . . . 6 |- ( ph -> E. u u e. A )
12	11	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> E. u u e. A )
13	1	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) /\ u e. A ) -> B e. RR )
14		iccssre 10097	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> ( B [,] C ) C_ RR )
15	1, 2, 14	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B [,] C ) C_ RR )
16	4, 15	sstrd 3207	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A C_ RR )
17	16	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) /\ u e. A ) -> A C_ RR )
18		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) /\ u e. A ) -> u e. A )
19	17, 18	sseldd 3198	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) /\ u e. A ) -> u e. RR )
20	8	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) /\ u e. A ) -> x e. RR )
21	13	rexrd 8142	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) /\ u e. A ) -> B e. RR* )
22	2	rexrd 8142	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C e. RR* )
23	22	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) /\ u e. A ) -> C e. RR* )
24	4	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) /\ u e. A ) -> A C_ ( B [,] C ) )
25	24, 18	sseldd 3198	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) /\ u e. A ) -> u e. ( B [,] C ) )
26		iccgelb 10074	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* /\ u e. ( B [,] C ) ) -> B <_ u )
27	21, 23, 25, 26	syl3anc 1250	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) /\ u e. A ) -> B <_ u )
28		breq2 4055	. . . . . . . . 9 |- ( y = u -> ( x < y <-> x < u ) )
29	28	notbid 669	. . . . . . . 8 |- ( y = u -> ( -. x < y <-> -. x < u ) )
30		simprrl 539	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> A. y e. A -. x < y )
31	30	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) /\ u e. A ) -> A. y e. A -. x < y )
32	29, 31, 18	rspcdva 2886	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) /\ u e. A ) -> -. x < u )
33	19, 20, 32	nltled 8213	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) /\ u e. A ) -> u <_ x )
34	13, 19, 20, 27, 33	letrd 8216	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) /\ u e. A ) -> B <_ x )
35	12, 34	exlimddv 1923	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> B <_ x )
36		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> ph )
37		simprrr 540	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) )
38	8, 30, 37	3jca 1180	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> ( x e. RR /\ A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
39		lttri3 8172	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. RR /\ g e. RR ) -> ( f = g <-> ( -. f < g /\ -. g < f ) ) )
40	39	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. RR /\ g e. RR ) ) -> ( f = g <-> ( -. f < g /\ -. g < f ) ) )
41	40	eqsupti 7113	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. RR /\ A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) -> sup ( A , RR , < ) = x ) )
42	36, 38, 41	sylc 62	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> sup ( A , RR , < ) = x )
43	1	rexrd 8142	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. RR* )
44	43	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> B e. RR* )
45	22	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> C e. RR* )
46	4	sselda 3197	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> z e. ( B [,] C ) )
47		iccleub 10073	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* /\ z e. ( B [,] C ) ) -> z <_ C )
48	44, 45, 46, 47	syl3anc 1250	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> z <_ C )
49	48	ralrimiva 2580	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. z e. A z <_ C )
50	7, 16, 2	suprleubex 9047	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( sup ( A , RR , < ) <_ C <-> A. z e. A z <_ C ) )
51	49, 50	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ph -> sup ( A , RR , < ) <_ C )
52	51	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> sup ( A , RR , < ) <_ C )
53	42, 52	eqbrtrrd 4075	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> x <_ C )
54	8, 35, 53	3jca 1180	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> ( x e. RR /\ B <_ x /\ x <_ C ) )
55		elicc2 10080	. . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> ( x e. ( B [,] C ) <-> ( x e. RR /\ B <_ x /\ x <_ C ) ) )
56	1, 2, 55	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( B [,] C ) <-> ( x e. RR /\ B <_ x /\ x <_ C ) ) )
57	56	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> ( x e. ( B [,] C ) <-> ( x e. RR /\ B <_ x /\ x <_ C ) ) )
58	54, 57	mpbird 167	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> x e. ( B [,] C ) )
59		ssralv 3261	. . . . . 6 |- ( ( B [,] C ) C_ RR -> ( A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) -> A. y e. ( B [,] C ) ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
60	15, 59	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) -> A. y e. ( B [,] C ) ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
61	60	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> ( A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) -> A. y e. ( B [,] C ) ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
62	37, 61	mpd 13	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> A. y e. ( B [,] C ) ( y < x -> E. z e. A y < z ) )
63	30, 62	jca 306	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. ( B [,] C ) ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
64	7, 58, 63	reximssdv 2611	1 |- ( ph -> E. x e. ( B [,] C ) ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. ( B [,] C ) ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710   /\ w3a 981   = wceq 1373   E.wex 1516   e. wcel 2177   A.wral 2485   E.wrex 2486   C_ wss 3170   class class class wbr 4051  (class class class)co 5957   supcsup 7099   RRcr 7944   RR*cxr 8126   < clt 8127   <_ cle 8128   [,]cicc 10033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-iinf 4644  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-mulrcl 8044  ax-addcom 8045  ax-mulcom 8046  ax-addass 8047  ax-mulass 8048  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-1rid 8052  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-precex 8055  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-apti 8060  ax-pre-ltadd 8061  ax-pre-mulgt0 8062  ax-pre-mulext 8063  ax-arch 8064  ax-caucvg 8065  ax-pre-suploc 8066

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-tr 4151  df-id 4348  df-po 4351  df-iso 4352  df-iord 4421  df-on 4423  df-ilim 4424  df-suc 4426  df-iom 4647  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-isom 5289  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-recs 6404  df-frec 6490  df-sup 7101  df-inf 7102  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-reap 8668  df-ap 8675  df-div 8766  df-inn 9057  df-2 9115  df-3 9116  df-4 9117  df-n0 9316  df-z 9393  df-uz 9669  df-rp 9796  df-icc 10037  df-seqfrec 10615  df-exp 10706  df-cj 11228  df-re 11229  df-im 11230  df-rsqrt 11384  df-abs 11385

This theorem is referenced by:  dedekindicclemlub  15176