Theorem suplociccex 15315

Description: An inhabited, bounded-above, located set of reals in a closed interval has a supremum. A similar theorem is axsuploc 8230 but that one is for the entire real line rather than a closed interval. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
suplocicc.1	|- ( ph -> B e. RR )
suplocicc.2	|- ( ph -> C e. RR )
suplocicc.bc	|- ( ph -> B < C )
suplocicc.3	|- ( ph -> A C_ ( B [,] C ) )
suplocicc.m	|- ( ph -> E. x x e. A )
suplocicc.l	|- ( ph -> A. x e. ( B [,] C ) A. y e. ( B [,] C ) ( x < y -> ( E. z e. A x < z \/ A. z e. A z < y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
suplociccex	|- ( ph -> E. x e. ( B [,] C ) ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. ( B [,] C ) ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )

Distinct variable groups:   x, A, y, z   x, B, y, z   x, C, y, z   ph, x, y, z

Proof of Theorem suplociccex

Dummy variables f g u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suplocicc.1	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
2		suplocicc.2	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
3		suplocicc.bc	. . 3 |- ( ph -> B < C )
4		suplocicc.3	. . 3 |- ( ph -> A C_ ( B [,] C ) )
5		suplocicc.m	. . 3 |- ( ph -> E. x x e. A )
6		suplocicc.l	. . 3 |- ( ph -> A. x e. ( B [,] C ) A. y e. ( B [,] C ) ( x < y -> ( E. z e. A x < z \/ A. z e. A z < y ) ) )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	suplociccreex 15314	. 2 |- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
8		simprl 529	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> x e. RR )
9		eleq1w 2290	. . . . . . . 8 |- ( x = u -> ( x e. A <-> u e. A ) )
10	9	cbvexv 1965	. . . . . . 7 |- ( E. x x e. A <-> E. u u e. A )
11	5, 10	sylib 122	. . . . . 6 |- ( ph -> E. u u e. A )
12	11	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> E. u u e. A )
13	1	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) /\ u e. A ) -> B e. RR )
14		iccssre 10163	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> ( B [,] C ) C_ RR )
15	1, 2, 14	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B [,] C ) C_ RR )
16	4, 15	sstrd 3234	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A C_ RR )
17	16	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) /\ u e. A ) -> A C_ RR )
18		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) /\ u e. A ) -> u e. A )
19	17, 18	sseldd 3225	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) /\ u e. A ) -> u e. RR )
20	8	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) /\ u e. A ) -> x e. RR )
21	13	rexrd 8207	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) /\ u e. A ) -> B e. RR* )
22	2	rexrd 8207	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C e. RR* )
23	22	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) /\ u e. A ) -> C e. RR* )
24	4	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) /\ u e. A ) -> A C_ ( B [,] C ) )
25	24, 18	sseldd 3225	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) /\ u e. A ) -> u e. ( B [,] C ) )
26		iccgelb 10140	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* /\ u e. ( B [,] C ) ) -> B <_ u )
27	21, 23, 25, 26	syl3anc 1271	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) /\ u e. A ) -> B <_ u )
28		breq2 4087	. . . . . . . . 9 |- ( y = u -> ( x < y <-> x < u ) )
29	28	notbid 671	. . . . . . . 8 |- ( y = u -> ( -. x < y <-> -. x < u ) )
30		simprrl 539	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> A. y e. A -. x < y )
31	30	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) /\ u e. A ) -> A. y e. A -. x < y )
32	29, 31, 18	rspcdva 2912	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) /\ u e. A ) -> -. x < u )
33	19, 20, 32	nltled 8278	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) /\ u e. A ) -> u <_ x )
34	13, 19, 20, 27, 33	letrd 8281	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) /\ u e. A ) -> B <_ x )
35	12, 34	exlimddv 1945	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> B <_ x )
36		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> ph )
37		simprrr 540	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) )
38	8, 30, 37	3jca 1201	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> ( x e. RR /\ A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
39		lttri3 8237	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. RR /\ g e. RR ) -> ( f = g <-> ( -. f < g /\ -. g < f ) ) )
40	39	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. RR /\ g e. RR ) ) -> ( f = g <-> ( -. f < g /\ -. g < f ) ) )
41	40	eqsupti 7174	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. RR /\ A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) -> sup ( A , RR , < ) = x ) )
42	36, 38, 41	sylc 62	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> sup ( A , RR , < ) = x )
43	1	rexrd 8207	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. RR* )
44	43	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> B e. RR* )
45	22	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> C e. RR* )
46	4	sselda 3224	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> z e. ( B [,] C ) )
47		iccleub 10139	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* /\ z e. ( B [,] C ) ) -> z <_ C )
48	44, 45, 46, 47	syl3anc 1271	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> z <_ C )
49	48	ralrimiva 2603	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. z e. A z <_ C )
50	7, 16, 2	suprleubex 9112	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( sup ( A , RR , < ) <_ C <-> A. z e. A z <_ C ) )
51	49, 50	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ph -> sup ( A , RR , < ) <_ C )
52	51	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> sup ( A , RR , < ) <_ C )
53	42, 52	eqbrtrrd 4107	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> x <_ C )
54	8, 35, 53	3jca 1201	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> ( x e. RR /\ B <_ x /\ x <_ C ) )
55		elicc2 10146	. . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> ( x e. ( B [,] C ) <-> ( x e. RR /\ B <_ x /\ x <_ C ) ) )
56	1, 2, 55	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( B [,] C ) <-> ( x e. RR /\ B <_ x /\ x <_ C ) ) )
57	56	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> ( x e. ( B [,] C ) <-> ( x e. RR /\ B <_ x /\ x <_ C ) ) )
58	54, 57	mpbird 167	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> x e. ( B [,] C ) )
59		ssralv 3288	. . . . . 6 |- ( ( B [,] C ) C_ RR -> ( A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) -> A. y e. ( B [,] C ) ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
60	15, 59	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) -> A. y e. ( B [,] C ) ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
61	60	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> ( A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) -> A. y e. ( B [,] C ) ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
62	37, 61	mpd 13	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> A. y e. ( B [,] C ) ( y < x -> E. z e. A y < z ) )
63	30, 62	jca 306	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. ( B [,] C ) ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
64	7, 58, 63	reximssdv 2634	1 |- ( ph -> E. x e. ( B [,] C ) ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. ( B [,] C ) ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 713   /\ w3a 1002   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   C_ wss 3197   class class class wbr 4083  (class class class)co 6007   supcsup 7160   RRcr 8009   RR*cxr 8191   < clt 8192   <_ cle 8193   [,]cicc 10099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127  ax-pre-mulext 8128  ax-arch 8129  ax-caucvg 8130  ax-pre-suploc 8131

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-sup 7162  df-inf 7163  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-ap 8740  df-div 8831  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734  df-rp 9862  df-icc 10103  df-seqfrec 10682  df-exp 10773  df-cj 11369  df-re 11370  df-im 11371  df-rsqrt 11525  df-abs 11526

This theorem is referenced by:  dedekindicclemlub  15319