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Theorem suplociccex 13770
Description: An inhabited, bounded-above, located set of reals in a closed interval has a supremum. A similar theorem is axsuploc 8020 but that one is for the entire real line rather than a closed interval. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
suplocicc.1  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
suplocicc.2  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
suplocicc.bc  |-  ( ph  ->  B  <  C )
suplocicc.3  |-  ( ph  ->  A  C_  ( B [,] C ) )
suplocicc.m  |-  ( ph  ->  E. x  x  e.  A )
suplocicc.l  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( B [,] C ) A. y  e.  ( B [,] C ) ( x  <  y  ->  ( E. z  e.  A  x  <  z  \/  A. z  e.  A  z  <  y ) ) )
Assertion
Ref Expression
suplociccex  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ( B [,] C ) ( A. y  e.  A  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  ( B [,] C
) ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
Distinct variable groups:    x, A, y, z    x, B, y, z    x, C, y, z    ph, x, y, z

Proof of Theorem suplociccex
Dummy variables  f  g  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 suplocicc.1 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
2 suplocicc.2 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
3 suplocicc.bc . . 3  |-  ( ph  ->  B  <  C )
4 suplocicc.3 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  ( B [,] C ) )
5 suplocicc.m . . 3  |-  ( ph  ->  E. x  x  e.  A )
6 suplocicc.l . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( B [,] C ) A. y  e.  ( B [,] C ) ( x  <  y  ->  ( E. z  e.  A  x  <  z  \/  A. z  e.  A  z  <  y ) ) )
71, 2, 3, 4, 5, 6suplociccreex 13769 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
8 simprl 529 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )  ->  x  e.  RR )
9 eleq1w 2238 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  u  ->  (
x  e.  A  <->  u  e.  A ) )
109cbvexv 1918 . . . . . . 7  |-  ( E. x  x  e.  A  <->  E. u  u  e.  A
)
115, 10sylib 122 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E. u  u  e.  A )
1211adantr 276 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )  ->  E. u  u  e.  A )
131ad2antrr 488 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )  /\  u  e.  A )  ->  B  e.  RR )
14 iccssre 9942 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B [,] C
)  C_  RR )
151, 2, 14syl2anc 411 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B [,] C
)  C_  RR )
164, 15sstrd 3165 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
1716ad2antrr 488 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )  /\  u  e.  A )  ->  A  C_  RR )
18 simpr 110 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )  /\  u  e.  A )  ->  u  e.  A )
1917, 18sseldd 3156 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )  /\  u  e.  A )  ->  u  e.  RR )
208adantr 276 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )  /\  u  e.  A )  ->  x  e.  RR )
2113rexrd 7997 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )  /\  u  e.  A )  ->  B  e.  RR* )
222rexrd 7997 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  RR* )
2322ad2antrr 488 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )  /\  u  e.  A )  ->  C  e.  RR* )
244ad2antrr 488 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )  /\  u  e.  A )  ->  A  C_  ( B [,] C
) )
2524, 18sseldd 3156 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )  /\  u  e.  A )  ->  u  e.  ( B [,] C
) )
26 iccgelb 9919 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  u  e.  ( B [,] C
) )  ->  B  <_  u )
2721, 23, 25, 26syl3anc 1238 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )  /\  u  e.  A )  ->  B  <_  u )
28 breq2 4004 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  u  ->  (
x  <  y  <->  x  <  u ) )
2928notbid 667 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  u  ->  ( -.  x  <  y  <->  -.  x  <  u ) )
30 simprrl 539 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )  ->  A. y  e.  A  -.  x  <  y )
3130adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )  /\  u  e.  A )  ->  A. y  e.  A  -.  x  <  y )
3229, 31, 18rspcdva 2846 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )  /\  u  e.  A )  ->  -.  x  <  u )
3319, 20, 32nltled 8068 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )  /\  u  e.  A )  ->  u  <_  x )
3413, 19, 20, 27, 33letrd 8071 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )  /\  u  e.  A )  ->  B  <_  x )
3512, 34exlimddv 1898 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )  ->  B  <_  x )
36 simpl 109 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )  ->  ph )
37 simprrr 540 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )  ->  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
388, 30, 373jca 1177 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )  ->  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
39 lttri3 8027 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR )  ->  ( f  =  g  <-> 
( -.  f  < 
g  /\  -.  g  <  f ) ) )
4039adantl 277 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR ) )  -> 
( f  =  g  <-> 
( -.  f  < 
g  /\  -.  g  <  f ) ) )
4140eqsupti 6989 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  =  x ) )
4236, 38, 41sylc 62 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  =  x )
431rexrd 7997 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
4443adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  B  e.  RR* )
4522adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  C  e.  RR* )
464sselda 3155 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  ( B [,] C
) )
47 iccleub 9918 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  z  e.  ( B [,] C
) )  ->  z  <_  C )
4844, 45, 46, 47syl3anc 1238 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  z  <_  C )
4948ralrimiva 2550 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. z  e.  A  z  <_  C )
507, 16, 2suprleubex 8900 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  C  <->  A. z  e.  A  z  <_  C ) )
5149, 50mpbird 167 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  C )
5251adantr 276 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  C )
5342, 52eqbrtrrd 4024 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )  ->  x  <_  C )
548, 35, 533jca 1177 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )  ->  (
x  e.  RR  /\  B  <_  x  /\  x  <_  C ) )
55 elicc2 9925 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( B [,] C )  <-> 
( x  e.  RR  /\  B  <_  x  /\  x  <_  C ) ) )
561, 2, 55syl2anc 411 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B [,] C )  <-> 
( x  e.  RR  /\  B  <_  x  /\  x  <_  C ) ) )
5756adantr 276 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )  ->  (
x  e.  ( B [,] C )  <->  ( x  e.  RR  /\  B  <_  x  /\  x  <_  C
) ) )
5854, 57mpbird 167 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )  ->  x  e.  ( B [,] C
) )
59 ssralv 3219 . . . . . 6  |-  ( ( B [,] C ) 
C_  RR  ->  ( A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z )  ->  A. y  e.  ( B [,] C ) ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
6015, 59syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z )  ->  A. y  e.  ( B [,] C
) ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
6160adantr 276 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )  ->  ( A. y  e.  RR  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z )  ->  A. y  e.  ( B [,] C ) ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
6237, 61mpd 13 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )  ->  A. y  e.  ( B [,] C
) ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
6330, 62jca 306 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )  ->  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( B [,] C ) ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
647, 58, 63reximssdv 2581 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ( B [,] C ) ( A. y  e.  A  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  ( B [,] C
) ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 708    /\ w3a 978    = wceq 1353   E.wex 1492    e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456    C_ wss 3129   class class class wbr 4000  (class class class)co 5869   supcsup 6975   RRcr 7801   RR*cxr 7981    < clt 7982    <_ cle 7983   [,]cicc 9878
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922  ax-pre-suploc 7923
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-sup 6977  df-inf 6978  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-rp 9641  df-icc 9882  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992
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