Theorem suplociccex 13654

Description: An inhabited, bounded-above, located set of reals in a closed interval has a supremum. A similar theorem is axsuploc 8004 but that one is for the entire real line rather than a closed interval. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
suplocicc.1	|- ( ph -> B e. RR )
suplocicc.2	|- ( ph -> C e. RR )
suplocicc.bc	|- ( ph -> B < C )
suplocicc.3	|- ( ph -> A C_ ( B [,] C ) )
suplocicc.m	|- ( ph -> E. x x e. A )
suplocicc.l	|- ( ph -> A. x e. ( B [,] C ) A. y e. ( B [,] C ) ( x < y -> ( E. z e. A x < z \/ A. z e. A z < y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
suplociccex	|- ( ph -> E. x e. ( B [,] C ) ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. ( B [,] C ) ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )

Distinct variable groups:   x, A, y, z   x, B, y, z   x, C, y, z   ph, x, y, z

Proof of Theorem suplociccex

Dummy variables f g u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suplocicc.1	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
2		suplocicc.2	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
3		suplocicc.bc	. . 3 |- ( ph -> B < C )
4		suplocicc.3	. . 3 |- ( ph -> A C_ ( B [,] C ) )
5		suplocicc.m	. . 3 |- ( ph -> E. x x e. A )
6		suplocicc.l	. . 3 |- ( ph -> A. x e. ( B [,] C ) A. y e. ( B [,] C ) ( x < y -> ( E. z e. A x < z \/ A. z e. A z < y ) ) )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	suplociccreex 13653	. 2 |- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
8		simprl 529	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> x e. RR )
9		eleq1w 2236	. . . . . . . 8 |- ( x = u -> ( x e. A <-> u e. A ) )
10	9	cbvexv 1916	. . . . . . 7 |- ( E. x x e. A <-> E. u u e. A )
11	5, 10	sylib 122	. . . . . 6 |- ( ph -> E. u u e. A )
12	11	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> E. u u e. A )
13	1	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) /\ u e. A ) -> B e. RR )
14		iccssre 9924	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> ( B [,] C ) C_ RR )
15	1, 2, 14	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B [,] C ) C_ RR )
16	4, 15	sstrd 3163	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A C_ RR )
17	16	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) /\ u e. A ) -> A C_ RR )
18		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) /\ u e. A ) -> u e. A )
19	17, 18	sseldd 3154	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) /\ u e. A ) -> u e. RR )
20	8	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) /\ u e. A ) -> x e. RR )
21	13	rexrd 7981	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) /\ u e. A ) -> B e. RR* )
22	2	rexrd 7981	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C e. RR* )
23	22	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) /\ u e. A ) -> C e. RR* )
24	4	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) /\ u e. A ) -> A C_ ( B [,] C ) )
25	24, 18	sseldd 3154	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) /\ u e. A ) -> u e. ( B [,] C ) )
26		iccgelb 9901	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* /\ u e. ( B [,] C ) ) -> B <_ u )
27	21, 23, 25, 26	syl3anc 1238	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) /\ u e. A ) -> B <_ u )
28		breq2 4002	. . . . . . . . 9 |- ( y = u -> ( x < y <-> x < u ) )
29	28	notbid 667	. . . . . . . 8 |- ( y = u -> ( -. x < y <-> -. x < u ) )
30		simprrl 539	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> A. y e. A -. x < y )
31	30	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) /\ u e. A ) -> A. y e. A -. x < y )
32	29, 31, 18	rspcdva 2844	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) /\ u e. A ) -> -. x < u )
33	19, 20, 32	nltled 8052	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) /\ u e. A ) -> u <_ x )
34	13, 19, 20, 27, 33	letrd 8055	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) /\ u e. A ) -> B <_ x )
35	12, 34	exlimddv 1896	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> B <_ x )
36		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> ph )
37		simprrr 540	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) )
38	8, 30, 37	3jca 1177	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> ( x e. RR /\ A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
39		lttri3 8011	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. RR /\ g e. RR ) -> ( f = g <-> ( -. f < g /\ -. g < f ) ) )
40	39	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. RR /\ g e. RR ) ) -> ( f = g <-> ( -. f < g /\ -. g < f ) ) )
41	40	eqsupti 6985	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. RR /\ A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) -> sup ( A , RR , < ) = x ) )
42	36, 38, 41	sylc 62	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> sup ( A , RR , < ) = x )
43	1	rexrd 7981	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. RR* )
44	43	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> B e. RR* )
45	22	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> C e. RR* )
46	4	sselda 3153	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> z e. ( B [,] C ) )
47		iccleub 9900	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* /\ z e. ( B [,] C ) ) -> z <_ C )
48	44, 45, 46, 47	syl3anc 1238	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> z <_ C )
49	48	ralrimiva 2548	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. z e. A z <_ C )
50	7, 16, 2	suprleubex 8882	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( sup ( A , RR , < ) <_ C <-> A. z e. A z <_ C ) )
51	49, 50	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ph -> sup ( A , RR , < ) <_ C )
52	51	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> sup ( A , RR , < ) <_ C )
53	42, 52	eqbrtrrd 4022	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> x <_ C )
54	8, 35, 53	3jca 1177	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> ( x e. RR /\ B <_ x /\ x <_ C ) )
55		elicc2 9907	. . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> ( x e. ( B [,] C ) <-> ( x e. RR /\ B <_ x /\ x <_ C ) ) )
56	1, 2, 55	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( B [,] C ) <-> ( x e. RR /\ B <_ x /\ x <_ C ) ) )
57	56	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> ( x e. ( B [,] C ) <-> ( x e. RR /\ B <_ x /\ x <_ C ) ) )
58	54, 57	mpbird 167	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> x e. ( B [,] C ) )
59		ssralv 3217	. . . . . 6 |- ( ( B [,] C ) C_ RR -> ( A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) -> A. y e. ( B [,] C ) ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
60	15, 59	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) -> A. y e. ( B [,] C ) ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
61	60	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> ( A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) -> A. y e. ( B [,] C ) ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
62	37, 61	mpd 13	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> A. y e. ( B [,] C ) ( y < x -> E. z e. A y < z ) )
63	30, 62	jca 306	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. ( B [,] C ) ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
64	7, 58, 63	reximssdv 2579	1 |- ( ph -> E. x e. ( B [,] C ) ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. ( B [,] C ) ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 708   /\ w3a 978   = wceq 1353   E.wex 1490   e. wcel 2146   A.wral 2453   E.wrex 2454   C_ wss 3127   class class class wbr 3998  (class class class)co 5865   supcsup 6971   RRcr 7785   RR*cxr 7965   < clt 7966   <_ cle 7967   [,]cicc 9860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905  ax-caucvg 7906  ax-pre-suploc 7907

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-isom 5217  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-frec 6382  df-sup 6973  df-inf 6974  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8602  df-inn 8891  df-2 8949  df-3 8950  df-4 8951  df-n0 9148  df-z 9225  df-uz 9500  df-rp 9623  df-icc 9864  df-seqfrec 10414  df-exp 10488  df-cj 10817  df-re 10818  df-im 10819  df-rsqrt 10973  df-abs 10974

This theorem is referenced by:  dedekindicclemlub  13658