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Theorem suplociccex 13654
Description: An inhabited, bounded-above, located set of reals in a closed interval has a supremum. A similar theorem is axsuploc 8004 but that one is for the entire real line rather than a closed interval. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
suplocicc.1  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
suplocicc.2  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
suplocicc.bc  |-  ( ph  ->  B  <  C )
suplocicc.3  |-  ( ph  ->  A  C_  ( B [,] C ) )
suplocicc.m  |-  ( ph  ->  E. x  x  e.  A )
suplocicc.l  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( B [,] C ) A. y  e.  ( B [,] C ) ( x  <  y  ->  ( E. z  e.  A  x  <  z  \/  A. z  e.  A  z  <  y ) ) )
Assertion
Ref Expression
suplociccex  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ( B [,] C ) ( A. y  e.  A  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  ( B [,] C
) ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
Distinct variable groups:    x, A, y, z    x, B, y, z    x, C, y, z    ph, x, y, z

Proof of Theorem suplociccex
Dummy variables  f  g  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 suplocicc.1 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
2 suplocicc.2 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
3 suplocicc.bc . . 3  |-  ( ph  ->  B  <  C )
4 suplocicc.3 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  ( B [,] C ) )
5 suplocicc.m . . 3  |-  ( ph  ->  E. x  x  e.  A )
6 suplocicc.l . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( B [,] C ) A. y  e.  ( B [,] C ) ( x  <  y  ->  ( E. z  e.  A  x  <  z  \/  A. z  e.  A  z  <  y ) ) )
71, 2, 3, 4, 5, 6suplociccreex 13653 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
8 simprl 529 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )  ->  x  e.  RR )
9 eleq1w 2236 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  u  ->  (
x  e.  A  <->  u  e.  A ) )
109cbvexv 1916 . . . . . . 7  |-  ( E. x  x  e.  A  <->  E. u  u  e.  A
)
115, 10sylib 122 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E. u  u  e.  A )
1211adantr 276 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )  ->  E. u  u  e.  A )
131ad2antrr 488 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )  /\  u  e.  A )  ->  B  e.  RR )
14 iccssre 9924 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B [,] C
)  C_  RR )
151, 2, 14syl2anc 411 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B [,] C
)  C_  RR )
164, 15sstrd 3163 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
1716ad2antrr 488 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )  /\  u  e.  A )  ->  A  C_  RR )
18 simpr 110 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )  /\  u  e.  A )  ->  u  e.  A )
1917, 18sseldd 3154 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )  /\  u  e.  A )  ->  u  e.  RR )
208adantr 276 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )  /\  u  e.  A )  ->  x  e.  RR )
2113rexrd 7981 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )  /\  u  e.  A )  ->  B  e.  RR* )
222rexrd 7981 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  RR* )
2322ad2antrr 488 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )  /\  u  e.  A )  ->  C  e.  RR* )
244ad2antrr 488 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )  /\  u  e.  A )  ->  A  C_  ( B [,] C
) )
2524, 18sseldd 3154 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )  /\  u  e.  A )  ->  u  e.  ( B [,] C
) )
26 iccgelb 9901 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  u  e.  ( B [,] C
) )  ->  B  <_  u )
2721, 23, 25, 26syl3anc 1238 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )  /\  u  e.  A )  ->  B  <_  u )
28 breq2 4002 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  u  ->  (
x  <  y  <->  x  <  u ) )
2928notbid 667 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  u  ->  ( -.  x  <  y  <->  -.  x  <  u ) )
30 simprrl 539 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )  ->  A. y  e.  A  -.  x  <  y )
3130adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )  /\  u  e.  A )  ->  A. y  e.  A  -.  x  <  y )
3229, 31, 18rspcdva 2844 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )  /\  u  e.  A )  ->  -.  x  <  u )
3319, 20, 32nltled 8052 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )  /\  u  e.  A )  ->  u  <_  x )
3413, 19, 20, 27, 33letrd 8055 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )  /\  u  e.  A )  ->  B  <_  x )
3512, 34exlimddv 1896 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )  ->  B  <_  x )
36 simpl 109 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )  ->  ph )
37 simprrr 540 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )  ->  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
388, 30, 373jca 1177 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )  ->  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
39 lttri3 8011 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR )  ->  ( f  =  g  <-> 
( -.  f  < 
g  /\  -.  g  <  f ) ) )
4039adantl 277 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR ) )  -> 
( f  =  g  <-> 
( -.  f  < 
g  /\  -.  g  <  f ) ) )
4140eqsupti 6985 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  =  x ) )
4236, 38, 41sylc 62 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  =  x )
431rexrd 7981 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
4443adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  B  e.  RR* )
4522adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  C  e.  RR* )
464sselda 3153 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  ( B [,] C
) )
47 iccleub 9900 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  z  e.  ( B [,] C
) )  ->  z  <_  C )
4844, 45, 46, 47syl3anc 1238 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  z  <_  C )
4948ralrimiva 2548 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. z  e.  A  z  <_  C )
507, 16, 2suprleubex 8882 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  C  <->  A. z  e.  A  z  <_  C ) )
5149, 50mpbird 167 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  C )
5251adantr 276 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  C )
5342, 52eqbrtrrd 4022 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )  ->  x  <_  C )
548, 35, 533jca 1177 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )  ->  (
x  e.  RR  /\  B  <_  x  /\  x  <_  C ) )
55 elicc2 9907 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( B [,] C )  <-> 
( x  e.  RR  /\  B  <_  x  /\  x  <_  C ) ) )
561, 2, 55syl2anc 411 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B [,] C )  <-> 
( x  e.  RR  /\  B  <_  x  /\  x  <_  C ) ) )
5756adantr 276 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )  ->  (
x  e.  ( B [,] C )  <->  ( x  e.  RR  /\  B  <_  x  /\  x  <_  C
) ) )
5854, 57mpbird 167 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )  ->  x  e.  ( B [,] C
) )
59 ssralv 3217 . . . . . 6  |-  ( ( B [,] C ) 
C_  RR  ->  ( A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z )  ->  A. y  e.  ( B [,] C ) ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
6015, 59syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z )  ->  A. y  e.  ( B [,] C
) ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
6160adantr 276 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )  ->  ( A. y  e.  RR  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z )  ->  A. y  e.  ( B [,] C ) ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
6237, 61mpd 13 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )  ->  A. y  e.  ( B [,] C
) ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
6330, 62jca 306 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )  ->  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  ( B [,] C ) ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
647, 58, 63reximssdv 2579 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ( B [,] C ) ( A. y  e.  A  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  ( B [,] C
) ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 708    /\ w3a 978    = wceq 1353   E.wex 1490    e. wcel 2146   A.wral 2453   E.wrex 2454    C_ wss 3127   class class class wbr 3998  (class class class)co 5865   supcsup 6971   RRcr 7785   RR*cxr 7965    < clt 7966    <_ cle 7967   [,]cicc 9860
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905  ax-caucvg 7906  ax-pre-suploc 7907
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-isom 5217  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-frec 6382  df-sup 6973  df-inf 6974  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8602  df-inn 8891  df-2 8949  df-3 8950  df-4 8951  df-n0 9148  df-z 9225  df-uz 9500  df-rp 9623  df-icc 9864  df-seqfrec 10414  df-exp 10488  df-cj 10817  df-re 10818  df-im 10819  df-rsqrt 10973  df-abs 10974
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