Theorem suplociccex 14861

Description: An inhabited, bounded-above, located set of reals in a closed interval has a supremum. A similar theorem is axsuploc 8099 but that one is for the entire real line rather than a closed interval. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
suplocicc.1	|- ( ph -> B e. RR )
suplocicc.2	|- ( ph -> C e. RR )
suplocicc.bc	|- ( ph -> B < C )
suplocicc.3	|- ( ph -> A C_ ( B [,] C ) )
suplocicc.m	|- ( ph -> E. x x e. A )
suplocicc.l	|- ( ph -> A. x e. ( B [,] C ) A. y e. ( B [,] C ) ( x < y -> ( E. z e. A x < z \/ A. z e. A z < y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
suplociccex	|- ( ph -> E. x e. ( B [,] C ) ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. ( B [,] C ) ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )

Distinct variable groups:   x, A, y, z   x, B, y, z   x, C, y, z   ph, x, y, z

Proof of Theorem suplociccex

Dummy variables f g u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suplocicc.1	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
2		suplocicc.2	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
3		suplocicc.bc	. . 3 |- ( ph -> B < C )
4		suplocicc.3	. . 3 |- ( ph -> A C_ ( B [,] C ) )
5		suplocicc.m	. . 3 |- ( ph -> E. x x e. A )
6		suplocicc.l	. . 3 |- ( ph -> A. x e. ( B [,] C ) A. y e. ( B [,] C ) ( x < y -> ( E. z e. A x < z \/ A. z e. A z < y ) ) )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	suplociccreex 14860	. 2 |- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
8		simprl 529	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> x e. RR )
9		eleq1w 2257	. . . . . . . 8 |- ( x = u -> ( x e. A <-> u e. A ) )
10	9	cbvexv 1933	. . . . . . 7 |- ( E. x x e. A <-> E. u u e. A )
11	5, 10	sylib 122	. . . . . 6 |- ( ph -> E. u u e. A )
12	11	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> E. u u e. A )
13	1	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) /\ u e. A ) -> B e. RR )
14		iccssre 10030	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> ( B [,] C ) C_ RR )
15	1, 2, 14	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B [,] C ) C_ RR )
16	4, 15	sstrd 3193	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A C_ RR )
17	16	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) /\ u e. A ) -> A C_ RR )
18		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) /\ u e. A ) -> u e. A )
19	17, 18	sseldd 3184	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) /\ u e. A ) -> u e. RR )
20	8	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) /\ u e. A ) -> x e. RR )
21	13	rexrd 8076	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) /\ u e. A ) -> B e. RR* )
22	2	rexrd 8076	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C e. RR* )
23	22	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) /\ u e. A ) -> C e. RR* )
24	4	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) /\ u e. A ) -> A C_ ( B [,] C ) )
25	24, 18	sseldd 3184	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) /\ u e. A ) -> u e. ( B [,] C ) )
26		iccgelb 10007	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* /\ u e. ( B [,] C ) ) -> B <_ u )
27	21, 23, 25, 26	syl3anc 1249	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) /\ u e. A ) -> B <_ u )
28		breq2 4037	. . . . . . . . 9 |- ( y = u -> ( x < y <-> x < u ) )
29	28	notbid 668	. . . . . . . 8 |- ( y = u -> ( -. x < y <-> -. x < u ) )
30		simprrl 539	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> A. y e. A -. x < y )
31	30	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) /\ u e. A ) -> A. y e. A -. x < y )
32	29, 31, 18	rspcdva 2873	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) /\ u e. A ) -> -. x < u )
33	19, 20, 32	nltled 8147	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) /\ u e. A ) -> u <_ x )
34	13, 19, 20, 27, 33	letrd 8150	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) /\ u e. A ) -> B <_ x )
35	12, 34	exlimddv 1913	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> B <_ x )
36		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> ph )
37		simprrr 540	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) )
38	8, 30, 37	3jca 1179	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> ( x e. RR /\ A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
39		lttri3 8106	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. RR /\ g e. RR ) -> ( f = g <-> ( -. f < g /\ -. g < f ) ) )
40	39	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. RR /\ g e. RR ) ) -> ( f = g <-> ( -. f < g /\ -. g < f ) ) )
41	40	eqsupti 7062	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. RR /\ A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) -> sup ( A , RR , < ) = x ) )
42	36, 38, 41	sylc 62	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> sup ( A , RR , < ) = x )
43	1	rexrd 8076	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. RR* )
44	43	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> B e. RR* )
45	22	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> C e. RR* )
46	4	sselda 3183	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> z e. ( B [,] C ) )
47		iccleub 10006	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* /\ z e. ( B [,] C ) ) -> z <_ C )
48	44, 45, 46, 47	syl3anc 1249	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> z <_ C )
49	48	ralrimiva 2570	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. z e. A z <_ C )
50	7, 16, 2	suprleubex 8981	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( sup ( A , RR , < ) <_ C <-> A. z e. A z <_ C ) )
51	49, 50	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ph -> sup ( A , RR , < ) <_ C )
52	51	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> sup ( A , RR , < ) <_ C )
53	42, 52	eqbrtrrd 4057	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> x <_ C )
54	8, 35, 53	3jca 1179	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> ( x e. RR /\ B <_ x /\ x <_ C ) )
55		elicc2 10013	. . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> ( x e. ( B [,] C ) <-> ( x e. RR /\ B <_ x /\ x <_ C ) ) )
56	1, 2, 55	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( B [,] C ) <-> ( x e. RR /\ B <_ x /\ x <_ C ) ) )
57	56	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> ( x e. ( B [,] C ) <-> ( x e. RR /\ B <_ x /\ x <_ C ) ) )
58	54, 57	mpbird 167	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> x e. ( B [,] C ) )
59		ssralv 3247	. . . . . 6 |- ( ( B [,] C ) C_ RR -> ( A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) -> A. y e. ( B [,] C ) ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
60	15, 59	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) -> A. y e. ( B [,] C ) ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
61	60	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> ( A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) -> A. y e. ( B [,] C ) ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
62	37, 61	mpd 13	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> A. y e. ( B [,] C ) ( y < x -> E. z e. A y < z ) )
63	30, 62	jca 306	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. ( B [,] C ) ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
64	7, 58, 63	reximssdv 2601	1 |- ( ph -> E. x e. ( B [,] C ) ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. ( B [,] C ) ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   /\ w3a 980   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   C_ wss 3157   class class class wbr 4033  (class class class)co 5922   supcsup 7048   RRcr 7878   RR*cxr 8060   < clt 8061   <_ cle 8062   [,]cicc 9966

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999  ax-pre-suploc 8000

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-sup 7050  df-inf 7051  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-rp 9729  df-icc 9970  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164

This theorem is referenced by:  dedekindicclemlub  14865