Theorem suprzcl2dc 10652

Description: The supremum of a bounded-above decidable set of integers is a member of the set. (This theorem avoids ax-pre-suploc 8290.) (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 6-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
suprzcl2dc.ss	|- ( ph -> A C_ ZZ )
suprzcl2dc.dc	|- ( ph -> A. x e. ZZ DECID x e. A )
suprzcl2dc.ub	|- ( ph -> E. x e. ZZ A. y e. A y <_ x )
suprzcl2dc.m	|- ( ph -> E. x x e. A )

Assertion

Ref	Expression
suprzcl2dc	|- ( ph -> sup ( A , RR , < ) e. A )

Distinct variable groups:   x, A, y   ph, x, y

Proof of Theorem suprzcl2dc

Dummy variables u v z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suprzcl2dc.ss	. . 3 |- ( ph -> A C_ ZZ )
2		suprzcl2dc.m	. . 3 |- ( ph -> E. x x e. A )
3		suprzcl2dc.dc	. . 3 |- ( ph -> A. x e. ZZ DECID x e. A )
4		suprzcl2dc.ub	. . 3 |- ( ph -> E. x e. ZZ A. y e. A y <_ x )
5	1, 2, 3, 4	zsupssdc 10651	. 2 |- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
6	1	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> A C_ ZZ )
7		simprl 535	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> x e. A )
8	6, 7	sseldd 3249	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> x e. ZZ )
9	8	zred 9747	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> x e. RR )
10		simprrl 545	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> A. y e. A -. x < y )
11		simprrr 546	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) )
12		lttri3 8395	. . . . . 6 |- ( ( u e. RR /\ v e. RR ) -> ( u = v <-> ( -. u < v /\ -. v < u ) ) )
13	12	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) /\ ( u e. RR /\ v e. RR ) ) -> ( u = v <-> ( -. u < v /\ -. v < u ) ) )
14	13	eqsupti 7326	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> ( ( x e. RR /\ A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) -> sup ( A , RR , < ) = x ) )
15	9, 10, 11, 14	mp3and 1381	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> sup ( A , RR , < ) = x )
16	15, 7	eqeltrd 2315	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> sup ( A , RR , < ) e. A )
17	5, 16	rexlimddv 2673	1 |- ( ph -> sup ( A , RR , < ) e. A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 846   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   C_ wss 3220   class class class wbr 4125   supcsup 7312   RRcr 8168   < clt 8350   <_ cle 8351   ZZcz 9623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-isom 5381  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-sup 7314  df-inf 7315  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-fz 10391  df-fzo 10528

This theorem is referenced by:  pcprecl  13046