Theorem suprzcl2dc 10603

Description: The supremum of a bounded-above decidable set of integers is a member of the set. (This theorem avoids ax-pre-suploc 8250.) (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 6-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
suprzcl2dc.ss	|- ( ph -> A C_ ZZ )
suprzcl2dc.dc	|- ( ph -> A. x e. ZZ DECID x e. A )
suprzcl2dc.ub	|- ( ph -> E. x e. ZZ A. y e. A y <_ x )
suprzcl2dc.m	|- ( ph -> E. x x e. A )

Assertion

Ref	Expression
suprzcl2dc	|- ( ph -> sup ( A , RR , < ) e. A )

Distinct variable groups:   x, A, y   ph, x, y

Proof of Theorem suprzcl2dc

Dummy variables u v z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suprzcl2dc.ss	. . 3 |- ( ph -> A C_ ZZ )
2		suprzcl2dc.m	. . 3 |- ( ph -> E. x x e. A )
3		suprzcl2dc.dc	. . 3 |- ( ph -> A. x e. ZZ DECID x e. A )
4		suprzcl2dc.ub	. . 3 |- ( ph -> E. x e. ZZ A. y e. A y <_ x )
5	1, 2, 3, 4	zsupssdc 10602	. 2 |- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
6	1	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> A C_ ZZ )
7		simprl 531	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> x e. A )
8	6, 7	sseldd 3241	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> x e. ZZ )
9	8	zred 9703	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> x e. RR )
10		simprrl 541	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> A. y e. A -. x < y )
11		simprrr 542	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) )
12		lttri3 8355	. . . . . 6 |- ( ( u e. RR /\ v e. RR ) -> ( u = v <-> ( -. u < v /\ -. v < u ) ) )
13	12	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) /\ ( u e. RR /\ v e. RR ) ) -> ( u = v <-> ( -. u < v /\ -. v < u ) ) )
14	13	eqsupti 7289	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> ( ( x e. RR /\ A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) -> sup ( A , RR , < ) = x ) )
15	9, 10, 11, 14	mp3and 1377	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> sup ( A , RR , < ) = x )
16	15, 7	eqeltrd 2311	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> sup ( A , RR , < ) e. A )
17	5, 16	rexlimddv 2667	1 |- ( ph -> sup ( A , RR , < ) e. A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 842   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2205   A.wral 2522   E.wrex 2523   C_ wss 3213   class class class wbr 4111   supcsup 7275   RRcr 8128   < clt 8310   <_ cle 8311   ZZcz 9579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-addcom 8229  ax-addass 8231  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-apti 8244  ax-pre-ltadd 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-isom 5363  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-sup 7277  df-inf 7278  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-inn 9240  df-n0 9499  df-z 9580  df-uz 9857  df-fz 10346  df-fzo 10481

This theorem is referenced by:  pcprecl  12991