Theorem suprzcl2dc 10471

Description: The supremum of a bounded-above decidable set of integers is a member of the set. (This theorem avoids ax-pre-suploc 8131.) (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 6-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
suprzcl2dc.ss	|- ( ph -> A C_ ZZ )
suprzcl2dc.dc	|- ( ph -> A. x e. ZZ DECID x e. A )
suprzcl2dc.ub	|- ( ph -> E. x e. ZZ A. y e. A y <_ x )
suprzcl2dc.m	|- ( ph -> E. x x e. A )

Assertion

Ref	Expression
suprzcl2dc	|- ( ph -> sup ( A , RR , < ) e. A )

Distinct variable groups:   x, A, y   ph, x, y

Proof of Theorem suprzcl2dc

Dummy variables u v z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suprzcl2dc.ss	. . 3 |- ( ph -> A C_ ZZ )
2		suprzcl2dc.m	. . 3 |- ( ph -> E. x x e. A )
3		suprzcl2dc.dc	. . 3 |- ( ph -> A. x e. ZZ DECID x e. A )
4		suprzcl2dc.ub	. . 3 |- ( ph -> E. x e. ZZ A. y e. A y <_ x )
5	1, 2, 3, 4	zsupssdc 10470	. 2 |- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
6	1	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> A C_ ZZ )
7		simprl 529	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> x e. A )
8	6, 7	sseldd 3225	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> x e. ZZ )
9	8	zred 9580	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> x e. RR )
10		simprrl 539	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> A. y e. A -. x < y )
11		simprrr 540	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) )
12		lttri3 8237	. . . . . 6 |- ( ( u e. RR /\ v e. RR ) -> ( u = v <-> ( -. u < v /\ -. v < u ) ) )
13	12	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) /\ ( u e. RR /\ v e. RR ) ) -> ( u = v <-> ( -. u < v /\ -. v < u ) ) )
14	13	eqsupti 7174	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> ( ( x e. RR /\ A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) -> sup ( A , RR , < ) = x ) )
15	9, 10, 11, 14	mp3and 1374	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> sup ( A , RR , < ) = x )
16	15, 7	eqeltrd 2306	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> sup ( A , RR , < ) e. A )
17	5, 16	rexlimddv 2653	1 |- ( ph -> sup ( A , RR , < ) e. A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 839   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   C_ wss 3197   class class class wbr 4083   supcsup 7160   RRcr 8009   < clt 8192   <_ cle 8193   ZZcz 9457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-sup 7162  df-inf 7163  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-inn 9122  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734  df-fz 10217  df-fzo 10351

This theorem is referenced by:  pcprecl  12828