Theorem suprzcl2dc 11910

Description: The supremum of a bounded-above decidable set of integers is a member of the set. (This theorem avoids ax-pre-suploc 7895.) (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 6-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
suprzcl2dc.ss	|- ( ph -> A C_ ZZ )
suprzcl2dc.dc	|- ( ph -> A. x e. ZZ DECID x e. A )
suprzcl2dc.ub	|- ( ph -> E. x e. ZZ A. y e. A y <_ x )
suprzcl2dc.m	|- ( ph -> E. x x e. A )

Assertion

Ref	Expression
suprzcl2dc	|- ( ph -> sup ( A , RR , < ) e. A )

Distinct variable groups:   x, A, y   ph, x, y

Proof of Theorem suprzcl2dc

Dummy variables u v z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suprzcl2dc.ss	. . 3 |- ( ph -> A C_ ZZ )
2		suprzcl2dc.m	. . 3 |- ( ph -> E. x x e. A )
3		suprzcl2dc.dc	. . 3 |- ( ph -> A. x e. ZZ DECID x e. A )
4		suprzcl2dc.ub	. . 3 |- ( ph -> E. x e. ZZ A. y e. A y <_ x )
5	1, 2, 3, 4	zsupssdc 11909	. 2 |- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
6	1	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> A C_ ZZ )
7		simprl 526	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> x e. A )
8	6, 7	sseldd 3148	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> x e. ZZ )
9	8	zred 9334	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> x e. RR )
10		simprrl 534	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> A. y e. A -. x < y )
11		simprrr 535	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) )
12		lttri3 7999	. . . . . 6 |- ( ( u e. RR /\ v e. RR ) -> ( u = v <-> ( -. u < v /\ -. v < u ) ) )
13	12	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) /\ ( u e. RR /\ v e. RR ) ) -> ( u = v <-> ( -. u < v /\ -. v < u ) ) )
14	13	eqsupti 6973	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> ( ( x e. RR /\ A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) -> sup ( A , RR , < ) = x ) )
15	9, 10, 11, 14	mp3and 1335	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> sup ( A , RR , < ) = x )
16	15, 7	eqeltrd 2247	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> sup ( A , RR , < ) e. A )
17	5, 16	rexlimddv 2592	1 |- ( ph -> sup ( A , RR , < ) e. A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104  DECID wdc 829   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   C_ wss 3121   class class class wbr 3989   supcsup 6959   RRcr 7773   < clt 7954   <_ cle 7955   ZZcz 9212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-sup 6961  df-inf 6962  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-fz 9966  df-fzo 10099

This theorem is referenced by:  pcprecl  12243