Theorem suprzcl2dc 11855

Description: The supremum of a bounded-above decidable set of integers is a member of the set. (This theorem avoids ax-pre-suploc 7856.) (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 6-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
suprzcl2dc.ss	|- ( ph -> A C_ ZZ )
suprzcl2dc.dc	|- ( ph -> A. x e. ZZ DECID x e. A )
suprzcl2dc.ub	|- ( ph -> E. x e. ZZ A. y e. A y <_ x )
suprzcl2dc.m	|- ( ph -> E. x x e. A )

Assertion

Ref	Expression
suprzcl2dc	|- ( ph -> sup ( A , RR , < ) e. A )

Distinct variable groups:   x, A, y   ph, x, y

Proof of Theorem suprzcl2dc

Dummy variables u v z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suprzcl2dc.ss	. . 3 |- ( ph -> A C_ ZZ )
2		suprzcl2dc.m	. . 3 |- ( ph -> E. x x e. A )
3		suprzcl2dc.dc	. . 3 |- ( ph -> A. x e. ZZ DECID x e. A )
4		suprzcl2dc.ub	. . 3 |- ( ph -> E. x e. ZZ A. y e. A y <_ x )
5	1, 2, 3, 4	zsupssdc 11854	. 2 |- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
6	1	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> A C_ ZZ )
7		simprl 521	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> x e. A )
8	6, 7	sseldd 3129	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> x e. ZZ )
9	8	zred 9292	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> x e. RR )
10		simprrl 529	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> A. y e. A -. x < y )
11		simprrr 530	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) )
12		lttri3 7960	. . . . . 6 |- ( ( u e. RR /\ v e. RR ) -> ( u = v <-> ( -. u < v /\ -. v < u ) ) )
13	12	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) /\ ( u e. RR /\ v e. RR ) ) -> ( u = v <-> ( -. u < v /\ -. v < u ) ) )
14	13	eqsupti 6943	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> ( ( x e. RR /\ A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) -> sup ( A , RR , < ) = x ) )
15	9, 10, 11, 14	mp3and 1322	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> sup ( A , RR , < ) = x )
16	15, 7	eqeltrd 2234	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) ) -> sup ( A , RR , < ) e. A )
17	5, 16	rexlimddv 2579	1 |- ( ph -> sup ( A , RR , < ) e. A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104  DECID wdc 820   = wceq 1335   E.wex 1472   e. wcel 2128   A.wral 2435   E.wrex 2436   C_ wss 3102   class class class wbr 3967   supcsup 6929   RRcr 7734   < clt 7915   <_ cle 7916   ZZcz 9173

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4085  ax-pow 4138  ax-pr 4172  ax-un 4396  ax-setind 4499  ax-cnex 7826  ax-resscn 7827  ax-1cn 7828  ax-1re 7829  ax-icn 7830  ax-addcl 7831  ax-addrcl 7832  ax-mulcl 7833  ax-addcom 7835  ax-addass 7837  ax-distr 7839  ax-i2m1 7840  ax-0lt1 7841  ax-0id 7843  ax-rnegex 7844  ax-cnre 7846  ax-pre-ltirr 7847  ax-pre-ltwlin 7848  ax-pre-lttrn 7849  ax-pre-apti 7850  ax-pre-ltadd 7851

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-int 3810  df-iun 3853  df-br 3968  df-opab 4029  df-mpt 4030  df-id 4256  df-po 4259  df-iso 4260  df-xp 4595  df-rel 4596  df-cnv 4597  df-co 4598  df-dm 4599  df-rn 4600  df-res 4601  df-ima 4602  df-iota 5138  df-fun 5175  df-fn 5176  df-f 5177  df-f1 5178  df-fo 5179  df-f1o 5180  df-fv 5181  df-isom 5182  df-riota 5783  df-ov 5830  df-oprab 5831  df-mpo 5832  df-1st 6091  df-2nd 6092  df-sup 6931  df-inf 6932  df-pnf 7917  df-mnf 7918  df-xr 7919  df-ltxr 7920  df-le 7921  df-sub 8053  df-neg 8054  df-inn 8840  df-n0 9097  df-z 9174  df-uz 9446  df-fz 9920  df-fzo 10052

This theorem is referenced by:  pcprecl  12180