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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > bezoutlemsup | Unicode version |
Description: Lemma for Bézout's
identity. The number satisfying the
greatest common divisor condition is the supremum of divisors of
both ![]() ![]() |
Ref | Expression |
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bezoutlemgcd.1 |
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bezoutlemgcd.2 |
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bezoutlemgcd.3 |
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bezoutlemgcd.4 |
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bezoutlemgcd.5 |
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Ref | Expression |
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bezoutlemsup |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | bezoutlemgcd.3 |
. . . 4
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2 | 1 | nn0red 9226 |
. . 3
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3 | elrabi 2890 |
. . . . . . 7
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4 | 3 | adantl 277 |
. . . . . 6
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5 | 4 | zred 9371 |
. . . . 5
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6 | 2 | adantr 276 |
. . . . 5
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7 | breq1 4005 |
. . . . . . . . . 10
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8 | breq1 4005 |
. . . . . . . . . 10
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9 | 7, 8 | anbi12d 473 |
. . . . . . . . 9
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10 | 9 | elrab 2893 |
. . . . . . . 8
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11 | 10 | simprbi 275 |
. . . . . . 7
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12 | 11 | adantl 277 |
. . . . . 6
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13 | breq1 4005 |
. . . . . . . . 9
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14 | 9, 13 | imbi12d 234 |
. . . . . . . 8
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15 | bezoutlemgcd.1 |
. . . . . . . . . 10
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16 | bezoutlemgcd.2 |
. . . . . . . . . 10
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17 | bezoutlemgcd.4 |
. . . . . . . . . 10
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18 | bezoutlemgcd.5 |
. . . . . . . . . 10
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19 | 15, 16, 1, 17, 18 | bezoutlemle 12001 |
. . . . . . . . 9
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20 | 19 | adantr 276 |
. . . . . . . 8
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21 | simpr 110 |
. . . . . . . 8
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22 | 14, 20, 21 | rspcdva 2846 |
. . . . . . 7
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23 | 3, 22 | sylan2 286 |
. . . . . 6
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24 | 12, 23 | mpd 13 |
. . . . 5
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25 | 5, 6, 24 | lensymd 8075 |
. . . 4
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26 | 25 | ralrimiva 2550 |
. . 3
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27 | 1 | nn0zd 9369 |
. . . . . . . . . 10
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28 | iddvds 11804 |
. . . . . . . . . 10
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29 | 27, 28 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
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30 | breq1 4005 |
. . . . . . . . . . 11
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31 | breq1 4005 |
. . . . . . . . . . . 12
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32 | breq1 4005 |
. . . . . . . . . . . 12
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33 | 31, 32 | anbi12d 473 |
. . . . . . . . . . 11
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34 | 30, 33 | bibi12d 235 |
. . . . . . . . . 10
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35 | 34, 17, 27 | rspcdva 2846 |
. . . . . . . . 9
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36 | 29, 35 | mpbid 147 |
. . . . . . . 8
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37 | 36 | ad2antrr 488 |
. . . . . . 7
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38 | 1 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . 9
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39 | 38 | nn0zd 9369 |
. . . . . . . 8
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40 | 33 | elrab3 2894 |
. . . . . . . 8
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41 | 39, 40 | syl 14 |
. . . . . . 7
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42 | 37, 41 | mpbird 167 |
. . . . . 6
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43 | breq2 4006 |
. . . . . . 7
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44 | 43 | rspcev 2841 |
. . . . . 6
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45 | 42, 44 | sylancom 420 |
. . . . 5
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46 | 45 | ex 115 |
. . . 4
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47 | 46 | ralrimiva 2550 |
. . 3
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48 | lttri3 8033 |
. . . . 5
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49 | 48 | adantl 277 |
. . . 4
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50 | 49 | eqsupti 6992 |
. . 3
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51 | 2, 26, 47, 50 | mp3and 1340 |
. 2
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52 | 51 | eqcomd 2183 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-sep 4120 ax-pow 4173 ax-pr 4208 ax-un 4432 ax-setind 4535 ax-cnex 7899 ax-resscn 7900 ax-1cn 7901 ax-1re 7902 ax-icn 7903 ax-addcl 7904 ax-addrcl 7905 ax-mulcl 7906 ax-mulrcl 7907 ax-addcom 7908 ax-mulcom 7909 ax-addass 7910 ax-mulass 7911 ax-distr 7912 ax-i2m1 7913 ax-0lt1 7914 ax-1rid 7915 ax-0id 7916 ax-rnegex 7917 ax-precex 7918 ax-cnre 7919 ax-pre-ltirr 7920 ax-pre-ltwlin 7921 ax-pre-lttrn 7922 ax-pre-apti 7923 ax-pre-ltadd 7924 ax-pre-mulgt0 7925 ax-pre-mulext 7926 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-csb 3058 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-nul 3423 df-pw 3577 df-sn 3598 df-pr 3599 df-op 3601 df-uni 3810 df-int 3845 df-iun 3888 df-br 4003 df-opab 4064 df-mpt 4065 df-id 4292 df-po 4295 df-iso 4296 df-xp 4631 df-rel 4632 df-cnv 4633 df-co 4634 df-dm 4635 df-rn 4636 df-res 4637 df-ima 4638 df-iota 5177 df-fun 5217 df-fn 5218 df-f 5219 df-fv 5223 df-riota 5828 df-ov 5875 df-oprab 5876 df-mpo 5877 df-1st 6138 df-2nd 6139 df-sup 6980 df-pnf 7990 df-mnf 7991 df-xr 7992 df-ltxr 7993 df-le 7994 df-sub 8126 df-neg 8127 df-reap 8528 df-ap 8535 df-div 8626 df-inn 8916 df-n0 9173 df-z 9250 df-q 9616 df-dvds 11788 |
This theorem is referenced by: dfgcd3 12003 |
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