Theorem f1o2d 6132

Description: Describe an implicit one-to-one onto function. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
f1od.1	|- F = ( x e. A |-> C )
f1o2d.2	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. B )
f1o2d.3	|- ( ( ph /\ y e. B ) -> D e. A )
f1o2d.4	|- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) -> ( x = D <-> y = C ) )

Assertion

Ref	Expression
f1o2d	|- ( ph -> F : A -1-1-onto-> B )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   y, C   x, D   ph, x, y

Allowed substitution hints:   C( x)   D( y)   F( x, y)

Proof of Theorem f1o2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1od.1	. . 3 |- F = ( x e. A |-> C )
2		f1o2d.2	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. B )
3		f1o2d.3	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> D e. A )
4		f1o2d.4	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) -> ( x = D <-> y = C ) )
5	1, 2, 3, 4	f1ocnv2d 6131	. 2 |- ( ph -> ( F : A -1-1-onto-> B /\ `' F = ( y e. B |-> D ) ) )
6	5	simpld 112	1 |- ( ph -> F : A -1-1-onto-> B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   |-> cmpt 4095   `'ccnv 4663   -1-1-onto->wf1o 5258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266

This theorem is referenced by:  f1opw2  6133  en3d  6837  fidifsnen  6940  djuf1olem  7128  omp1eomlem  7169  dvdsflip  12033  hashgcdlem  12431  grplmulf1o  13276  conjghm  13482  hmeoimaf1o  14634  dvdsppwf1o  15309  2omap  15726  iooref1o  15765