Theorem f1o2d 6078

Description: Describe an implicit one-to-one onto function. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
f1od.1	|- F = ( x e. A |-> C )
f1o2d.2	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. B )
f1o2d.3	|- ( ( ph /\ y e. B ) -> D e. A )
f1o2d.4	|- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) -> ( x = D <-> y = C ) )

Assertion

Ref	Expression
f1o2d	|- ( ph -> F : A -1-1-onto-> B )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   y, C   x, D   ph, x, y

Allowed substitution hints:   C( x)   D( y)   F( x, y)

Proof of Theorem f1o2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1od.1	. . 3 |- F = ( x e. A |-> C )
2		f1o2d.2	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. B )
3		f1o2d.3	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> D e. A )
4		f1o2d.4	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) -> ( x = D <-> y = C ) )
5	1, 2, 3, 4	f1ocnv2d 6077	. 2 |- ( ph -> ( F : A -1-1-onto-> B /\ `' F = ( y e. B |-> D ) ) )
6	5	simpld 112	1 |- ( ph -> F : A -1-1-onto-> B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   |-> cmpt 4066   `'ccnv 4627   -1-1-onto->wf1o 5217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225

This theorem is referenced by:  f1opw2  6079  en3d  6771  fidifsnen  6872  djuf1olem  7054  omp1eomlem  7095  dvdsflip  11859  hashgcdlem  12240  grplmulf1o  12949  hmeoimaf1o  13899  iooref1o  14867