Theorem f1o2d 6158

Description: Describe an implicit one-to-one onto function. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
f1od.1	|- F = ( x e. A |-> C )
f1o2d.2	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. B )
f1o2d.3	|- ( ( ph /\ y e. B ) -> D e. A )
f1o2d.4	|- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) -> ( x = D <-> y = C ) )

Assertion

Ref	Expression
f1o2d	|- ( ph -> F : A -1-1-onto-> B )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   y, C   x, D   ph, x, y

Allowed substitution hints:   C( x)   D( y)   F( x, y)

Proof of Theorem f1o2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1od.1	. . 3 |- F = ( x e. A |-> C )
2		f1o2d.2	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. B )
3		f1o2d.3	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> D e. A )
4		f1o2d.4	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) -> ( x = D <-> y = C ) )
5	1, 2, 3, 4	f1ocnv2d 6157	. 2 |- ( ph -> ( F : A -1-1-onto-> B /\ `' F = ( y e. B |-> D ) ) )
6	5	simpld 112	1 |- ( ph -> F : A -1-1-onto-> B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2177   |-> cmpt 4109   `'ccnv 4678   -1-1-onto->wf1o 5275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-id 4344  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283

This theorem is referenced by:  f1opw2  6159  en3d  6867  fidifsnen  6974  djuf1olem  7162  omp1eomlem  7203  dvdsflip  12206  hashgcdlem  12604  grplmulf1o  13450  conjghm  13656  hmeoimaf1o  14830  dvdsppwf1o  15505  2omap  16006  iooref1o  16047