Theorem hmeoimaf1o 14493

Description: The function mapping open sets to their images under a homeomorphism is a bijection of topologies. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
hmeoimaf1o.1	|- G = ( x e. J |-> ( F " x ) )

Assertion

Ref	Expression
hmeoimaf1o	|- ( F e. ( J Homeo K ) -> G : J -1-1-onto-> K )

Distinct variable groups:   x, F   x, J   x, K

Allowed substitution hint:   G( x)

Proof of Theorem hmeoimaf1o

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmeoimaf1o.1	. 2 |- G = ( x e. J |-> ( F " x ) )
2		hmeoima 14489	. 2 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ x e. J ) -> ( F " x ) e. K )
3		hmeocn 14484	. . 3 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> F e. ( J Cn K ) )
4		cnima 14399	. . 3 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ y e. K ) -> ( `' F " y ) e. J )
5	3, 4	sylan 283	. 2 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ y e. K ) -> ( `' F " y ) e. J )
6		eqid 2193	. . . . . . 7 |- U. J = U. J
7		eqid 2193	. . . . . . 7 |- U. K = U. K
8	6, 7	hmeof1o 14488	. . . . . 6 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> F : U. J -1-1-onto-> U. K )
9	8	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> F : U. J -1-1-onto-> U. K )
10		f1of1 5500	. . . . 5 |- ( F : U. J -1-1-onto-> U. K -> F : U. J -1-1-> U. K )
11	9, 10	syl 14	. . . 4 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> F : U. J -1-1-> U. K )
12		elssuni 3864	. . . . 5 |- ( x e. J -> x C_ U. J )
13	12	ad2antrl 490	. . . 4 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> x C_ U. J )
14		cnvimass 5029	. . . . 5 |- ( `' F " y ) C_ dom F
15		f1dm 5465	. . . . . 6 |- ( F : U. J -1-1-> U. K -> dom F = U. J )
16	11, 15	syl 14	. . . . 5 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> dom F = U. J )
17	14, 16	sseqtrid 3230	. . . 4 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> ( `' F " y ) C_ U. J )
18		f1imaeq 5819	. . . 4 |- ( ( F : U. J -1-1-> U. K /\ ( x C_ U. J /\ ( `' F " y ) C_ U. J ) ) -> ( ( F " x ) = ( F " ( `' F " y ) ) <-> x = ( `' F " y ) ) )
19	11, 13, 17, 18	syl12anc 1247	. . 3 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> ( ( F " x ) = ( F " ( `' F " y ) ) <-> x = ( `' F " y ) ) )
20		f1ofo 5508	. . . . . . 7 |- ( F : U. J -1-1-onto-> U. K -> F : U. J -onto-> U. K )
21	9, 20	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> F : U. J -onto-> U. K )
22		elssuni 3864	. . . . . . 7 |- ( y e. K -> y C_ U. K )
23	22	ad2antll 491	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> y C_ U. K )
24		foimacnv 5519	. . . . . 6 |- ( ( F : U. J -onto-> U. K /\ y C_ U. K ) -> ( F " ( `' F " y ) ) = y )
25	21, 23, 24	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> ( F " ( `' F " y ) ) = y )
26	25	eqeq2d 2205	. . . 4 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> ( ( F " x ) = ( F " ( `' F " y ) ) <-> ( F " x ) = y ) )
27		eqcom 2195	. . . 4 |- ( ( F " x ) = y <-> y = ( F " x ) )
28	26, 27	bitrdi 196	. . 3 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> ( ( F " x ) = ( F " ( `' F " y ) ) <-> y = ( F " x ) ) )
29	19, 28	bitr3d 190	. 2 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> ( x = ( `' F " y ) <-> y = ( F " x ) ) )
30	1, 2, 5, 29	f1o2d 6125	1 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> G : J -1-1-onto-> K )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   C_ wss 3154   U.cuni 3836   |-> cmpt 4091   `'ccnv 4659   dom cdm 4660   "cima 4663   -1-1->wf1 5252   -onto->wfo 5253   -1-1-onto->wf1o 5254  (class class class)co 5919   Cn ccn 14364   Homeochmeo 14479

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-map 6706  df-top 14177  df-topon 14190  df-cn 14367  df-hmeo 14480

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