Theorem hmeoimaf1o 13784

Description: The function mapping open sets to their images under a homeomorphism is a bijection of topologies. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
hmeoimaf1o.1	|- G = ( x e. J |-> ( F " x ) )

Assertion

Ref	Expression
hmeoimaf1o	|- ( F e. ( J Homeo K ) -> G : J -1-1-onto-> K )

Distinct variable groups:   x, F   x, J   x, K

Allowed substitution hint:   G( x)

Proof of Theorem hmeoimaf1o

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmeoimaf1o.1	. 2 |- G = ( x e. J |-> ( F " x ) )
2		hmeoima 13780	. 2 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ x e. J ) -> ( F " x ) e. K )
3		hmeocn 13775	. . 3 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> F e. ( J Cn K ) )
4		cnima 13690	. . 3 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ y e. K ) -> ( `' F " y ) e. J )
5	3, 4	sylan 283	. 2 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ y e. K ) -> ( `' F " y ) e. J )
6		eqid 2177	. . . . . . 7 |- U. J = U. J
7		eqid 2177	. . . . . . 7 |- U. K = U. K
8	6, 7	hmeof1o 13779	. . . . . 6 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> F : U. J -1-1-onto-> U. K )
9	8	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> F : U. J -1-1-onto-> U. K )
10		f1of1 5460	. . . . 5 |- ( F : U. J -1-1-onto-> U. K -> F : U. J -1-1-> U. K )
11	9, 10	syl 14	. . . 4 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> F : U. J -1-1-> U. K )
12		elssuni 3837	. . . . 5 |- ( x e. J -> x C_ U. J )
13	12	ad2antrl 490	. . . 4 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> x C_ U. J )
14		cnvimass 4991	. . . . 5 |- ( `' F " y ) C_ dom F
15		f1dm 5426	. . . . . 6 |- ( F : U. J -1-1-> U. K -> dom F = U. J )
16	11, 15	syl 14	. . . . 5 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> dom F = U. J )
17	14, 16	sseqtrid 3205	. . . 4 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> ( `' F " y ) C_ U. J )
18		f1imaeq 5775	. . . 4 |- ( ( F : U. J -1-1-> U. K /\ ( x C_ U. J /\ ( `' F " y ) C_ U. J ) ) -> ( ( F " x ) = ( F " ( `' F " y ) ) <-> x = ( `' F " y ) ) )
19	11, 13, 17, 18	syl12anc 1236	. . 3 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> ( ( F " x ) = ( F " ( `' F " y ) ) <-> x = ( `' F " y ) ) )
20		f1ofo 5468	. . . . . . 7 |- ( F : U. J -1-1-onto-> U. K -> F : U. J -onto-> U. K )
21	9, 20	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> F : U. J -onto-> U. K )
22		elssuni 3837	. . . . . . 7 |- ( y e. K -> y C_ U. K )
23	22	ad2antll 491	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> y C_ U. K )
24		foimacnv 5479	. . . . . 6 |- ( ( F : U. J -onto-> U. K /\ y C_ U. K ) -> ( F " ( `' F " y ) ) = y )
25	21, 23, 24	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> ( F " ( `' F " y ) ) = y )
26	25	eqeq2d 2189	. . . 4 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> ( ( F " x ) = ( F " ( `' F " y ) ) <-> ( F " x ) = y ) )
27		eqcom 2179	. . . 4 |- ( ( F " x ) = y <-> y = ( F " x ) )
28	26, 27	bitrdi 196	. . 3 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> ( ( F " x ) = ( F " ( `' F " y ) ) <-> y = ( F " x ) ) )
29	19, 28	bitr3d 190	. 2 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> ( x = ( `' F " y ) <-> y = ( F " x ) ) )
30	1, 2, 5, 29	f1o2d 6075	1 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> G : J -1-1-onto-> K )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   C_ wss 3129   U.cuni 3809   |-> cmpt 4064   `'ccnv 4625   dom cdm 4626   "cima 4629   -1-1->wf1 5213   -onto->wfo 5214   -1-1-onto->wf1o 5215  (class class class)co 5874   Cn ccn 13655   Homeochmeo 13770

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-map 6649  df-top 13468  df-topon 13481  df-cn 13658  df-hmeo 13771

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