Theorem hmeoimaf1o 14550

Description: The function mapping open sets to their images under a homeomorphism is a bijection of topologies. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
hmeoimaf1o.1	|- G = ( x e. J |-> ( F " x ) )

Assertion

Ref	Expression
hmeoimaf1o	|- ( F e. ( J Homeo K ) -> G : J -1-1-onto-> K )

Distinct variable groups:   x, F   x, J   x, K

Allowed substitution hint:   G( x)

Proof of Theorem hmeoimaf1o

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmeoimaf1o.1	. 2 |- G = ( x e. J |-> ( F " x ) )
2		hmeoima 14546	. 2 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ x e. J ) -> ( F " x ) e. K )
3		hmeocn 14541	. . 3 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> F e. ( J Cn K ) )
4		cnima 14456	. . 3 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ y e. K ) -> ( `' F " y ) e. J )
5	3, 4	sylan 283	. 2 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ y e. K ) -> ( `' F " y ) e. J )
6		eqid 2196	. . . . . . 7 |- U. J = U. J
7		eqid 2196	. . . . . . 7 |- U. K = U. K
8	6, 7	hmeof1o 14545	. . . . . 6 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> F : U. J -1-1-onto-> U. K )
9	8	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> F : U. J -1-1-onto-> U. K )
10		f1of1 5503	. . . . 5 |- ( F : U. J -1-1-onto-> U. K -> F : U. J -1-1-> U. K )
11	9, 10	syl 14	. . . 4 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> F : U. J -1-1-> U. K )
12		elssuni 3867	. . . . 5 |- ( x e. J -> x C_ U. J )
13	12	ad2antrl 490	. . . 4 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> x C_ U. J )
14		cnvimass 5032	. . . . 5 |- ( `' F " y ) C_ dom F
15		f1dm 5468	. . . . . 6 |- ( F : U. J -1-1-> U. K -> dom F = U. J )
16	11, 15	syl 14	. . . . 5 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> dom F = U. J )
17	14, 16	sseqtrid 3233	. . . 4 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> ( `' F " y ) C_ U. J )
18		f1imaeq 5822	. . . 4 |- ( ( F : U. J -1-1-> U. K /\ ( x C_ U. J /\ ( `' F " y ) C_ U. J ) ) -> ( ( F " x ) = ( F " ( `' F " y ) ) <-> x = ( `' F " y ) ) )
19	11, 13, 17, 18	syl12anc 1247	. . 3 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> ( ( F " x ) = ( F " ( `' F " y ) ) <-> x = ( `' F " y ) ) )
20		f1ofo 5511	. . . . . . 7 |- ( F : U. J -1-1-onto-> U. K -> F : U. J -onto-> U. K )
21	9, 20	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> F : U. J -onto-> U. K )
22		elssuni 3867	. . . . . . 7 |- ( y e. K -> y C_ U. K )
23	22	ad2antll 491	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> y C_ U. K )
24		foimacnv 5522	. . . . . 6 |- ( ( F : U. J -onto-> U. K /\ y C_ U. K ) -> ( F " ( `' F " y ) ) = y )
25	21, 23, 24	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> ( F " ( `' F " y ) ) = y )
26	25	eqeq2d 2208	. . . 4 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> ( ( F " x ) = ( F " ( `' F " y ) ) <-> ( F " x ) = y ) )
27		eqcom 2198	. . . 4 |- ( ( F " x ) = y <-> y = ( F " x ) )
28	26, 27	bitrdi 196	. . 3 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> ( ( F " x ) = ( F " ( `' F " y ) ) <-> y = ( F " x ) ) )
29	19, 28	bitr3d 190	. 2 |- ( ( F e. ( J Homeo K ) /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> ( x = ( `' F " y ) <-> y = ( F " x ) ) )
30	1, 2, 5, 29	f1o2d 6128	1 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> G : J -1-1-onto-> K )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   C_ wss 3157   U.cuni 3839   |-> cmpt 4094   `'ccnv 4662   dom cdm 4663   "cima 4666   -1-1->wf1 5255   -onto->wfo 5256   -1-1-onto->wf1o 5257  (class class class)co 5922   Cn ccn 14421   Homeochmeo 14536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-map 6709  df-top 14234  df-topon 14247  df-cn 14424  df-hmeo 14537

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