Theorem iooref1o 13913

Description: A one-to-one mapping from the real numbers onto the open unit interval. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Jun-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
iooref1o.f	|- F = ( x e. RR |-> ( 1 / ( 1 + ( exp ` x ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
iooref1o	|- F : RR -1-1-onto-> ( 0 (,) 1 )

Proof of Theorem iooref1o

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooref1o.f	. . 3 |- F = ( x e. RR |-> ( 1 / ( 1 + ( exp ` x ) ) ) )
2		1rp 9593	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR+
3	2	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR -> 1 e. RR+ )
4		rpefcl 11626	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR -> ( exp ` x ) e. RR+ )
5	3, 4	rpaddcld 9648	. . . . . . 7 |- ( x e. RR -> ( 1 + ( exp ` x ) ) e. RR+ )
6	5	rpreccld 9643	. . . . . 6 |- ( x e. RR -> ( 1 / ( 1 + ( exp ` x ) ) ) e. RR+ )
7	6	rpred 9632	. . . . 5 |- ( x e. RR -> ( 1 / ( 1 + ( exp ` x ) ) ) e. RR )
8	6	rpgt0d 9635	. . . . 5 |- ( x e. RR -> 0 < ( 1 / ( 1 + ( exp ` x ) ) ) )
9		1red 7914	. . . . . . 7 |- ( x e. RR -> 1 e. RR )
10	9, 4	ltaddrpd 9666	. . . . . 6 |- ( x e. RR -> 1 < ( 1 + ( exp ` x ) ) )
11	5	recgt1d 9647	. . . . . 6 |- ( x e. RR -> ( 1 < ( 1 + ( exp ` x ) ) <-> ( 1 / ( 1 + ( exp ` x ) ) ) < 1 ) )
12	10, 11	mpbid 146	. . . . 5 |- ( x e. RR -> ( 1 / ( 1 + ( exp ` x ) ) ) < 1 )
13		0xr 7945	. . . . . 6 |- 0 e. RR*
14		1re 7898	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
15	14	rexri 7956	. . . . . 6 |- 1 e. RR*
16		elioo2 9857	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. RR* /\ 1 e. RR* ) -> ( ( 1 / ( 1 + ( exp ` x ) ) ) e. ( 0 (,) 1 ) <-> ( ( 1 / ( 1 + ( exp ` x ) ) ) e. RR /\ 0 < ( 1 / ( 1 + ( exp ` x ) ) ) /\ ( 1 / ( 1 + ( exp ` x ) ) ) < 1 ) ) )
17	13, 15, 16	mp2an 423	. . . . 5 |- ( ( 1 / ( 1 + ( exp ` x ) ) ) e. ( 0 (,) 1 ) <-> ( ( 1 / ( 1 + ( exp ` x ) ) ) e. RR /\ 0 < ( 1 / ( 1 + ( exp ` x ) ) ) /\ ( 1 / ( 1 + ( exp ` x ) ) ) < 1 ) )
18	7, 8, 12, 17	syl3anbrc 1171	. . . 4 |- ( x e. RR -> ( 1 / ( 1 + ( exp ` x ) ) ) e. ( 0 (,) 1 ) )
19	18	adantl 275	. . 3 |- ( ( T. /\ x e. RR ) -> ( 1 / ( 1 + ( exp ` x ) ) ) e. ( 0 (,) 1 ) )
20		elioore 9848	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( 0 (,) 1 ) -> y e. RR )
21		eliooord 9864	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( 0 (,) 1 ) -> ( 0 < y /\ y < 1 ) )
22	21	simpld 111	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( 0 (,) 1 ) -> 0 < y )
23	20, 22	elrpd 9629	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( 0 (,) 1 ) -> y e. RR+ )
24	23	rpreccld 9643	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( 0 (,) 1 ) -> ( 1 / y ) e. RR+ )
25	24	rpred 9632	. . . . . . 7 |- ( y e. ( 0 (,) 1 ) -> ( 1 / y ) e. RR )
26		1red 7914	. . . . . . 7 |- ( y e. ( 0 (,) 1 ) -> 1 e. RR )
27	25, 26	resubcld 8279	. . . . . 6 |- ( y e. ( 0 (,) 1 ) -> ( ( 1 / y ) - 1 ) e. RR )
28	21	simprd 113	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( 0 (,) 1 ) -> y < 1 )
29	23	reclt1d 9646	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( 0 (,) 1 ) -> ( y < 1 <-> 1 < ( 1 / y ) ) )
30	28, 29	mpbid 146	. . . . . . 7 |- ( y e. ( 0 (,) 1 ) -> 1 < ( 1 / y ) )
31	26, 25	posdifd 8430	. . . . . . 7 |- ( y e. ( 0 (,) 1 ) -> ( 1 < ( 1 / y ) <-> 0 < ( ( 1 / y ) - 1 ) ) )
32	30, 31	mpbid 146	. . . . . 6 |- ( y e. ( 0 (,) 1 ) -> 0 < ( ( 1 / y ) - 1 ) )
33	27, 32	elrpd 9629	. . . . 5 |- ( y e. ( 0 (,) 1 ) -> ( ( 1 / y ) - 1 ) e. RR+ )
34	33	relogcld 13443	. . . 4 |- ( y e. ( 0 (,) 1 ) -> ( log ` ( ( 1 / y ) - 1 ) ) e. RR )
35	34	adantl 275	. . 3 |- ( ( T. /\ y e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( log ` ( ( 1 / y ) - 1 ) ) e. RR )
36		1cnd 7915	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ y e. ( 0 (,) 1 ) ) -> 1 e. CC )
37	4	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR /\ y e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( exp ` x ) e. RR+ )
38	37	rpcnd 9634	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. RR /\ y e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( exp ` x ) e. CC )
39	36, 38	addcld 7918	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ y e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( 1 + ( exp ` x ) ) e. CC )
40	23	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. RR /\ y e. ( 0 (,) 1 ) ) -> y e. RR+ )
41	40	rpcnd 9634	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ y e. ( 0 (,) 1 ) ) -> y e. CC )
42	40	rpap0d 9638	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ y e. ( 0 (,) 1 ) ) -> y # 0 )
43	36, 39, 41, 42	divmulap2d 8720	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR /\ y e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( 1 / y ) = ( 1 + ( exp ` x ) ) <-> 1 = ( y x. ( 1 + ( exp ` x ) ) ) ) )
44	24	adantl 275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR /\ y e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( 1 / y ) e. RR+ )
45	44	rpcnd 9634	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR /\ y e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( 1 / y ) e. CC )
46	36, 38, 45	addrsub 8269	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. RR /\ y e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( 1 + ( exp ` x ) ) = ( 1 / y ) <-> ( exp ` x ) = ( ( 1 / y ) - 1 ) ) )
47	33	adantl 275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR /\ y e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( 1 / y ) - 1 ) e. RR+ )
48	47	reeflogd 13444	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR /\ y e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( exp ` ( log ` ( ( 1 / y ) - 1 ) ) ) = ( ( 1 / y ) - 1 ) )
49	48	eqeq2d 2177	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. RR /\ y e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( exp ` x ) = ( exp ` ( log ` ( ( 1 / y ) - 1 ) ) ) <-> ( exp ` x ) = ( ( 1 / y ) - 1 ) ) )
50		reef11 11640	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR /\ ( log ` ( ( 1 / y ) - 1 ) ) e. RR ) -> ( ( exp ` x ) = ( exp ` ( log ` ( ( 1 / y ) - 1 ) ) ) <-> x = ( log ` ( ( 1 / y ) - 1 ) ) ) )
51	34, 50	sylan2 284	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. RR /\ y e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( exp ` x ) = ( exp ` ( log ` ( ( 1 / y ) - 1 ) ) ) <-> x = ( log ` ( ( 1 / y ) - 1 ) ) ) )
52	46, 49, 51	3bitr2rd 216	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ y e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( x = ( log ` ( ( 1 / y ) - 1 ) ) <-> ( 1 + ( exp ` x ) ) = ( 1 / y ) ) )
53		eqcom 2167	. . . . . . 7 |- ( ( 1 + ( exp ` x ) ) = ( 1 / y ) <-> ( 1 / y ) = ( 1 + ( exp ` x ) ) )
54	52, 53	bitrdi 195	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR /\ y e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( x = ( log ` ( ( 1 / y ) - 1 ) ) <-> ( 1 / y ) = ( 1 + ( exp ` x ) ) ) )
55	5	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. RR /\ y e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( 1 + ( exp ` x ) ) e. RR+ )
56	55	rpap0d 9638	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ y e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( 1 + ( exp ` x ) ) # 0 )
57	36, 41, 39, 56	divmulap3d 8721	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR /\ y e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( 1 / ( 1 + ( exp ` x ) ) ) = y <-> 1 = ( y x. ( 1 + ( exp ` x ) ) ) ) )
58	43, 54, 57	3bitr4d 219	. . . . 5 |- ( ( x e. RR /\ y e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( x = ( log ` ( ( 1 / y ) - 1 ) ) <-> ( 1 / ( 1 + ( exp ` x ) ) ) = y ) )
59		eqcom 2167	. . . . 5 |- ( ( 1 / ( 1 + ( exp ` x ) ) ) = y <-> y = ( 1 / ( 1 + ( exp ` x ) ) ) )
60	58, 59	bitrdi 195	. . . 4 |- ( ( x e. RR /\ y e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( x = ( log ` ( ( 1 / y ) - 1 ) ) <-> y = ( 1 / ( 1 + ( exp ` x ) ) ) ) )
61	60	adantl 275	. . 3 |- ( ( T. /\ ( x e. RR /\ y e. ( 0 (,) 1 ) ) ) -> ( x = ( log ` ( ( 1 / y ) - 1 ) ) <-> y = ( 1 / ( 1 + ( exp ` x ) ) ) ) )
62	1, 19, 35, 61	f1o2d 6043	. 2 |- ( T. -> F : RR -1-1-onto-> ( 0 (,) 1 ) )
63	62	mptru 1352	1 |- F : RR -1-1-onto-> ( 0 (,) 1 )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 968   = wceq 1343   T. wtru 1344   e. wcel 2136   class class class wbr 3982   |-> cmpt 4043   -1-1-onto->wf1o 5187   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   RRcr 7752   0cc0 7753   1c1 7754   + caddc 7756   x. cmul 7758   RR*cxr 7932   < clt 7933   - cmin 8069   / cdiv 8568   RR+crp 9589   (,)cioo 9824   expce 11583   logclog 13417

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873  ax-pre-suploc 7874  ax-addf 7875  ax-mulf 7876

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 821  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-disj 3960  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-of 6050  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-frec 6359  df-1o 6384  df-oadd 6388  df-er 6501  df-map 6616  df-pm 6617  df-en 6707  df-dom 6708  df-fin 6709  df-sup 6949  df-inf 6950  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-xneg 9708  df-xadd 9709  df-ioo 9828  df-ico 9830  df-icc 9831  df-fz 9945  df-fzo 10078  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-fac 10639  df-bc 10661  df-ihash 10689  df-shft 10757  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-clim 11220  df-sumdc 11295  df-ef 11589  df-e 11590  df-rest 12558  df-topgen 12577  df-psmet 12627  df-xmet 12628  df-met 12629  df-bl 12630  df-mopn 12631  df-top 12636  df-topon 12649  df-bases 12681  df-ntr 12736  df-cn 12828  df-cnp 12829  df-tx 12893  df-cncf 13198  df-limced 13265  df-dvap 13266  df-relog 13419

This theorem is referenced by:  iooreen  13914