Theorem grplmulf1o 13879

Description: Left multiplication by a group element is a bijection on any group. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grplmulf1o.b	|- B = ( Base ` G )
grplmulf1o.p	|- .+ = ( +g ` G )
grplmulf1o.n	|- F = ( x e. B |-> ( X .+ x ) )

Assertion

Ref	Expression
grplmulf1o	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> F : B -1-1-onto-> B )

Distinct variable groups:   x, B   x, G   x, .+   x, X

Allowed substitution hint:   F( x)

Proof of Theorem grplmulf1o

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grplmulf1o.n	. 2 |- F = ( x e. B |-> ( X .+ x ) )
2		grplmulf1o.b	. . . 4 |- B = ( Base ` G )
3		grplmulf1o.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` G )
4	2, 3	grpcl 13813	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ x e. B ) -> ( X .+ x ) e. B )
5	4	3expa 1234	. 2 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ x e. B ) -> ( X .+ x ) e. B )
6		eqid 2238	. . . 4 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
7	2, 6	grpinvcl 13853	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` X ) e. B )
8	2, 3	grpcl 13813	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( invg ` G ) ` X ) e. B /\ y e. B ) -> ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) e. B )
9	8	3expa 1234	. . 3 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( ( invg ` G ) ` X ) e. B ) /\ y e. B ) -> ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) e. B )
10	7, 9	syldanl 453	. 2 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ y e. B ) -> ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) e. B )
11		eqcom 2240	. . 3 |- ( x = ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) <-> ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) = x )
12		simpll 531	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> G e. Grp )
13	10	adantrl 482	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) e. B )
14		simprl 535	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> x e. B )
15		simplr 533	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> X e. B )
16	2, 3	grplcan 13867	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) e. B /\ x e. B /\ X e. B ) ) -> ( ( X .+ ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) ) = ( X .+ x ) <-> ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) = x ) )
17	12, 13, 14, 15, 16	syl13anc 1280	. . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( X .+ ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) ) = ( X .+ x ) <-> ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) = x ) )
18		eqid 2238	. . . . . . . . 9 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
19	2, 3, 18, 6	grprinv 13856	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( X .+ ( ( invg ` G ) ` X ) ) = ( 0g ` G ) )
20	19	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( X .+ ( ( invg ` G ) ` X ) ) = ( 0g ` G ) )
21	20	oveq1d 6100	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( X .+ ( ( invg ` G ) ` X ) ) .+ y ) = ( ( 0g ` G ) .+ y ) )
22	7	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( invg ` G ) ` X ) e. B )
23		simprr 537	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> y e. B )
24	2, 3	grpass 13814	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ ( ( invg ` G ) ` X ) e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( X .+ ( ( invg ` G ) ` X ) ) .+ y ) = ( X .+ ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) ) )
25	12, 15, 22, 23, 24	syl13anc 1280	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( X .+ ( ( invg ` G ) ` X ) ) .+ y ) = ( X .+ ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) ) )
26	2, 3, 18	grplid 13836	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ y e. B ) -> ( ( 0g ` G ) .+ y ) = y )
27	26	ad2ant2rl 515	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( 0g ` G ) .+ y ) = y )
28	21, 25, 27	3eqtr3d 2279	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( X .+ ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) ) = y )
29	28	eqeq1d 2247	. . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( X .+ ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) ) = ( X .+ x ) <-> y = ( X .+ x ) ) )
30	17, 29	bitr3d 190	. . 3 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) = x <-> y = ( X .+ x ) ) )
31	11, 30	bitrid 192	. 2 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x = ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) <-> y = ( X .+ x ) ) )
32	1, 5, 10, 31	f1o2d 6295	1 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> F : B -1-1-onto-> B )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   |-> cmpt 4192   -1-1-onto->wf1o 5376   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   Basecbs 13352   +g cplusg 13431   0gc0g 13610   Grpcgrp 13805   invgcminusg 13806

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-inn 9305  df-2 9363  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-plusg 13444  df-0g 13612  df-mgm 13676  df-sgrp 13717  df-mnd 13730  df-grp 13808  df-minusg 13809

This theorem is used by: (None)