Theorem grplmulf1o 13656

Description: Left multiplication by a group element is a bijection on any group. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grplmulf1o.b	|- B = ( Base ` G )
grplmulf1o.p	|- .+ = ( +g ` G )
grplmulf1o.n	|- F = ( x e. B |-> ( X .+ x ) )

Assertion

Ref	Expression
grplmulf1o	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> F : B -1-1-onto-> B )

Distinct variable groups:   x, B   x, G   x, .+   x, X

Allowed substitution hint:   F( x)

Proof of Theorem grplmulf1o

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grplmulf1o.n	. 2 |- F = ( x e. B |-> ( X .+ x ) )
2		grplmulf1o.b	. . . 4 |- B = ( Base ` G )
3		grplmulf1o.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` G )
4	2, 3	grpcl 13590	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ x e. B ) -> ( X .+ x ) e. B )
5	4	3expa 1229	. 2 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ x e. B ) -> ( X .+ x ) e. B )
6		eqid 2231	. . . 4 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
7	2, 6	grpinvcl 13630	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` X ) e. B )
8	2, 3	grpcl 13590	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( invg ` G ) ` X ) e. B /\ y e. B ) -> ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) e. B )
9	8	3expa 1229	. . 3 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( ( invg ` G ) ` X ) e. B ) /\ y e. B ) -> ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) e. B )
10	7, 9	syldanl 449	. 2 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ y e. B ) -> ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) e. B )
11		eqcom 2233	. . 3 |- ( x = ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) <-> ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) = x )
12		simpll 527	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> G e. Grp )
13	10	adantrl 478	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) e. B )
14		simprl 531	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> x e. B )
15		simplr 529	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> X e. B )
16	2, 3	grplcan 13644	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) e. B /\ x e. B /\ X e. B ) ) -> ( ( X .+ ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) ) = ( X .+ x ) <-> ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) = x ) )
17	12, 13, 14, 15, 16	syl13anc 1275	. . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( X .+ ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) ) = ( X .+ x ) <-> ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) = x ) )
18		eqid 2231	. . . . . . . . 9 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
19	2, 3, 18, 6	grprinv 13633	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( X .+ ( ( invg ` G ) ` X ) ) = ( 0g ` G ) )
20	19	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( X .+ ( ( invg ` G ) ` X ) ) = ( 0g ` G ) )
21	20	oveq1d 6032	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( X .+ ( ( invg ` G ) ` X ) ) .+ y ) = ( ( 0g ` G ) .+ y ) )
22	7	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( invg ` G ) ` X ) e. B )
23		simprr 533	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> y e. B )
24	2, 3	grpass 13591	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ ( ( invg ` G ) ` X ) e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( X .+ ( ( invg ` G ) ` X ) ) .+ y ) = ( X .+ ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) ) )
25	12, 15, 22, 23, 24	syl13anc 1275	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( X .+ ( ( invg ` G ) ` X ) ) .+ y ) = ( X .+ ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) ) )
26	2, 3, 18	grplid 13613	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ y e. B ) -> ( ( 0g ` G ) .+ y ) = y )
27	26	ad2ant2rl 511	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( 0g ` G ) .+ y ) = y )
28	21, 25, 27	3eqtr3d 2272	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( X .+ ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) ) = y )
29	28	eqeq1d 2240	. . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( X .+ ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) ) = ( X .+ x ) <-> y = ( X .+ x ) ) )
30	17, 29	bitr3d 190	. . 3 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) = x <-> y = ( X .+ x ) ) )
31	11, 30	bitrid 192	. 2 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x = ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) <-> y = ( X .+ x ) ) )
32	1, 5, 10, 31	f1o2d 6227	1 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> F : B -1-1-onto-> B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   e. wcel 2202   |-> cmpt 4150   -1-1-onto->wf1o 5325   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   Basecbs 13081   +g cplusg 13159   0gc0g 13338   Grpcgrp 13582   invgcminusg 13583

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1re 8125  ax-addrcl 8128

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-inn 9143  df-2 9201  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-plusg 13172  df-0g 13340  df-mgm 13438  df-sgrp 13484  df-mnd 13499  df-grp 13585  df-minusg 13586

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