Theorem grplmulf1o 13149

Description: Left multiplication by a group element is a bijection on any group. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grplmulf1o.b	|- B = ( Base ` G )
grplmulf1o.p	|- .+ = ( +g ` G )
grplmulf1o.n	|- F = ( x e. B |-> ( X .+ x ) )

Assertion

Ref	Expression
grplmulf1o	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> F : B -1-1-onto-> B )

Distinct variable groups:   x, B   x, G   x, .+   x, X

Allowed substitution hint:   F( x)

Proof of Theorem grplmulf1o

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grplmulf1o.n	. 2 |- F = ( x e. B |-> ( X .+ x ) )
2		grplmulf1o.b	. . . 4 |- B = ( Base ` G )
3		grplmulf1o.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` G )
4	2, 3	grpcl 13083	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ x e. B ) -> ( X .+ x ) e. B )
5	4	3expa 1205	. 2 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ x e. B ) -> ( X .+ x ) e. B )
6		eqid 2193	. . . 4 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
7	2, 6	grpinvcl 13123	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` X ) e. B )
8	2, 3	grpcl 13083	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( invg ` G ) ` X ) e. B /\ y e. B ) -> ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) e. B )
9	8	3expa 1205	. . 3 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( ( invg ` G ) ` X ) e. B ) /\ y e. B ) -> ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) e. B )
10	7, 9	syldanl 449	. 2 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ y e. B ) -> ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) e. B )
11		eqcom 2195	. . 3 |- ( x = ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) <-> ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) = x )
12		simpll 527	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> G e. Grp )
13	10	adantrl 478	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) e. B )
14		simprl 529	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> x e. B )
15		simplr 528	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> X e. B )
16	2, 3	grplcan 13137	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) e. B /\ x e. B /\ X e. B ) ) -> ( ( X .+ ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) ) = ( X .+ x ) <-> ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) = x ) )
17	12, 13, 14, 15, 16	syl13anc 1251	. . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( X .+ ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) ) = ( X .+ x ) <-> ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) = x ) )
18		eqid 2193	. . . . . . . . 9 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
19	2, 3, 18, 6	grprinv 13126	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( X .+ ( ( invg ` G ) ` X ) ) = ( 0g ` G ) )
20	19	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( X .+ ( ( invg ` G ) ` X ) ) = ( 0g ` G ) )
21	20	oveq1d 5934	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( X .+ ( ( invg ` G ) ` X ) ) .+ y ) = ( ( 0g ` G ) .+ y ) )
22	7	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( invg ` G ) ` X ) e. B )
23		simprr 531	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> y e. B )
24	2, 3	grpass 13084	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ ( ( invg ` G ) ` X ) e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( X .+ ( ( invg ` G ) ` X ) ) .+ y ) = ( X .+ ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) ) )
25	12, 15, 22, 23, 24	syl13anc 1251	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( X .+ ( ( invg ` G ) ` X ) ) .+ y ) = ( X .+ ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) ) )
26	2, 3, 18	grplid 13106	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ y e. B ) -> ( ( 0g ` G ) .+ y ) = y )
27	26	ad2ant2rl 511	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( 0g ` G ) .+ y ) = y )
28	21, 25, 27	3eqtr3d 2234	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( X .+ ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) ) = y )
29	28	eqeq1d 2202	. . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( X .+ ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) ) = ( X .+ x ) <-> y = ( X .+ x ) ) )
30	17, 29	bitr3d 190	. . 3 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) = x <-> y = ( X .+ x ) ) )
31	11, 30	bitrid 192	. 2 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x = ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) <-> y = ( X .+ x ) ) )
32	1, 5, 10, 31	f1o2d 6125	1 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> F : B -1-1-onto-> B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   |-> cmpt 4091   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   Basecbs 12621   +g cplusg 12698   0gc0g 12870   Grpcgrp 13075   invgcminusg 13076

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1re 7968  ax-addrcl 7971

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-inn 8985  df-2 9043  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-plusg 12711  df-0g 12872  df-mgm 12942  df-sgrp 12988  df-mnd 13001  df-grp 13078  df-minusg 13079

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