Theorem grplmulf1o 12800

Description: Left multiplication by a group element is a bijection on any group. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grplmulf1o.b	|- B = ( Base ` G )
grplmulf1o.p	|- .+ = ( +g ` G )
grplmulf1o.n	|- F = ( x e. B |-> ( X .+ x ) )

Assertion

Ref	Expression
grplmulf1o	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> F : B -1-1-onto-> B )

Distinct variable groups:   x, B   x, G   x, .+   x, X

Allowed substitution hint:   F( x)

Proof of Theorem grplmulf1o

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grplmulf1o.n	. 2 |- F = ( x e. B |-> ( X .+ x ) )
2		grplmulf1o.b	. . . 4 |- B = ( Base ` G )
3		grplmulf1o.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` G )
4	2, 3	grpcl 12743	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ x e. B ) -> ( X .+ x ) e. B )
5	4	3expa 1201	. 2 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ x e. B ) -> ( X .+ x ) e. B )
6		eqid 2173	. . . 4 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
7	2, 6	grpinvcl 12778	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` X ) e. B )
8	2, 3	grpcl 12743	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( invg ` G ) ` X ) e. B /\ y e. B ) -> ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) e. B )
9	8	3expa 1201	. . 3 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( ( invg ` G ) ` X ) e. B ) /\ y e. B ) -> ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) e. B )
10	7, 9	syldanl 449	. 2 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ y e. B ) -> ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) e. B )
11		eqcom 2175	. . 3 |- ( x = ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) <-> ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) = x )
12		simpll 527	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> G e. Grp )
13	10	adantrl 478	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) e. B )
14		simprl 529	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> x e. B )
15		simplr 528	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> X e. B )
16	2, 3	grplcan 12788	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) e. B /\ x e. B /\ X e. B ) ) -> ( ( X .+ ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) ) = ( X .+ x ) <-> ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) = x ) )
17	12, 13, 14, 15, 16	syl13anc 1238	. . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( X .+ ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) ) = ( X .+ x ) <-> ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) = x ) )
18		eqid 2173	. . . . . . . . 9 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
19	2, 3, 18, 6	grprinv 12780	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( X .+ ( ( invg ` G ) ` X ) ) = ( 0g ` G ) )
20	19	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( X .+ ( ( invg ` G ) ` X ) ) = ( 0g ` G ) )
21	20	oveq1d 5877	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( X .+ ( ( invg ` G ) ` X ) ) .+ y ) = ( ( 0g ` G ) .+ y ) )
22	7	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( invg ` G ) ` X ) e. B )
23		simprr 530	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> y e. B )
24	2, 3	grpass 12744	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ ( ( invg ` G ) ` X ) e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( X .+ ( ( invg ` G ) ` X ) ) .+ y ) = ( X .+ ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) ) )
25	12, 15, 22, 23, 24	syl13anc 1238	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( X .+ ( ( invg ` G ) ` X ) ) .+ y ) = ( X .+ ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) ) )
26	2, 3, 18	grplid 12763	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ y e. B ) -> ( ( 0g ` G ) .+ y ) = y )
27	26	ad2ant2rl 511	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( 0g ` G ) .+ y ) = y )
28	21, 25, 27	3eqtr3d 2214	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( X .+ ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) ) = y )
29	28	eqeq1d 2182	. . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( X .+ ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) ) = ( X .+ x ) <-> y = ( X .+ x ) ) )
30	17, 29	bitr3d 191	. . 3 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) = x <-> y = ( X .+ x ) ) )
31	11, 30	bitrid 193	. 2 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x = ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) <-> y = ( X .+ x ) ) )
32	1, 5, 10, 31	f1o2d 6063	1 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> F : B -1-1-onto-> B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1351   e. wcel 2144   |-> cmpt 4056   -1-1-onto->wf1o 5204   ` cfv 5205  (class class class)co 5862   Basecbs 12425   +g cplusg 12489   0gc0g 12623   Grpcgrp 12735   invgcminusg 12736

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 707  ax-5 1443  ax-7 1444  ax-gen 1445  ax-ie1 1489  ax-ie2 1490  ax-8 1500  ax-10 1501  ax-11 1502  ax-i12 1503  ax-bndl 1505  ax-4 1506  ax-17 1522  ax-i9 1526  ax-ial 1530  ax-i5r 1531  ax-13 2146  ax-14 2147  ax-ext 2155  ax-coll 4110  ax-sep 4113  ax-pow 4166  ax-pr 4200  ax-un 4424  ax-cnex 7874  ax-resscn 7875  ax-1re 7877  ax-addrcl 7880

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 978  df-tru 1354  df-nf 1457  df-sb 1759  df-eu 2025  df-mo 2026  df-clab 2160  df-cleq 2166  df-clel 2169  df-nfc 2304  df-ral 2456  df-rex 2457  df-reu 2458  df-rmo 2459  df-rab 2460  df-v 2735  df-sbc 2959  df-csb 3053  df-un 3128  df-in 3130  df-ss 3137  df-pw 3571  df-sn 3592  df-pr 3593  df-op 3595  df-uni 3803  df-int 3838  df-iun 3881  df-br 3996  df-opab 4057  df-mpt 4058  df-id 4284  df-xp 4623  df-rel 4624  df-cnv 4625  df-co 4626  df-dm 4627  df-rn 4628  df-res 4629  df-ima 4630  df-iota 5167  df-fun 5207  df-fn 5208  df-f 5209  df-f1 5210  df-fo 5211  df-f1o 5212  df-fv 5213  df-riota 5818  df-ov 5865  df-inn 8888  df-2 8946  df-ndx 12428  df-slot 12429  df-base 12431  df-plusg 12502  df-0g 12625  df-mgm 12637  df-sgrp 12670  df-mnd 12680  df-grp 12738  df-minusg 12739

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