Theorem grplmulf1o 13720

Description: Left multiplication by a group element is a bijection on any group. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grplmulf1o.b	|- B = ( Base ` G )
grplmulf1o.p	|- .+ = ( +g ` G )
grplmulf1o.n	|- F = ( x e. B |-> ( X .+ x ) )

Assertion

Ref	Expression
grplmulf1o	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> F : B -1-1-onto-> B )

Distinct variable groups:   x, B   x, G   x, .+   x, X

Allowed substitution hint:   F( x)

Proof of Theorem grplmulf1o

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grplmulf1o.n	. 2 |- F = ( x e. B |-> ( X .+ x ) )
2		grplmulf1o.b	. . . 4 |- B = ( Base ` G )
3		grplmulf1o.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` G )
4	2, 3	grpcl 13654	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ x e. B ) -> ( X .+ x ) e. B )
5	4	3expa 1230	. 2 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ x e. B ) -> ( X .+ x ) e. B )
6		eqid 2231	. . . 4 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
7	2, 6	grpinvcl 13694	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` X ) e. B )
8	2, 3	grpcl 13654	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( invg ` G ) ` X ) e. B /\ y e. B ) -> ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) e. B )
9	8	3expa 1230	. . 3 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( ( invg ` G ) ` X ) e. B ) /\ y e. B ) -> ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) e. B )
10	7, 9	syldanl 449	. 2 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ y e. B ) -> ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) e. B )
11		eqcom 2233	. . 3 |- ( x = ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) <-> ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) = x )
12		simpll 527	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> G e. Grp )
13	10	adantrl 478	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) e. B )
14		simprl 531	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> x e. B )
15		simplr 529	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> X e. B )
16	2, 3	grplcan 13708	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) e. B /\ x e. B /\ X e. B ) ) -> ( ( X .+ ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) ) = ( X .+ x ) <-> ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) = x ) )
17	12, 13, 14, 15, 16	syl13anc 1276	. . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( X .+ ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) ) = ( X .+ x ) <-> ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) = x ) )
18		eqid 2231	. . . . . . . . 9 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
19	2, 3, 18, 6	grprinv 13697	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( X .+ ( ( invg ` G ) ` X ) ) = ( 0g ` G ) )
20	19	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( X .+ ( ( invg ` G ) ` X ) ) = ( 0g ` G ) )
21	20	oveq1d 6043	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( X .+ ( ( invg ` G ) ` X ) ) .+ y ) = ( ( 0g ` G ) .+ y ) )
22	7	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( invg ` G ) ` X ) e. B )
23		simprr 533	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> y e. B )
24	2, 3	grpass 13655	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ ( ( invg ` G ) ` X ) e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( X .+ ( ( invg ` G ) ` X ) ) .+ y ) = ( X .+ ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) ) )
25	12, 15, 22, 23, 24	syl13anc 1276	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( X .+ ( ( invg ` G ) ` X ) ) .+ y ) = ( X .+ ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) ) )
26	2, 3, 18	grplid 13677	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ y e. B ) -> ( ( 0g ` G ) .+ y ) = y )
27	26	ad2ant2rl 511	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( 0g ` G ) .+ y ) = y )
28	21, 25, 27	3eqtr3d 2272	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( X .+ ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) ) = y )
29	28	eqeq1d 2240	. . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( X .+ ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) ) = ( X .+ x ) <-> y = ( X .+ x ) ) )
30	17, 29	bitr3d 190	. . 3 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) = x <-> y = ( X .+ x ) ) )
31	11, 30	bitrid 192	. 2 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x = ( ( ( invg ` G ) ` X ) .+ y ) <-> y = ( X .+ x ) ) )
32	1, 5, 10, 31	f1o2d 6238	1 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> F : B -1-1-onto-> B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2202   |-> cmpt 4155   -1-1-onto->wf1o 5332   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   Basecbs 13145   +g cplusg 13223   0gc0g 13402   Grpcgrp 13646   invgcminusg 13647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1re 8169  ax-addrcl 8172

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-inn 9186  df-2 9244  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-base 13151  df-plusg 13236  df-0g 13404  df-mgm 13502  df-sgrp 13548  df-mnd 13563  df-grp 13649  df-minusg 13650

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