Theorem hashgcdlem 12192

Description: A correspondence between elements of specific GCD and relative primes in a smaller ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashgcdlem.a	|- A = { y e. ( 0..^ ( M / N ) ) | ( y gcd ( M / N ) ) = 1 }
hashgcdlem.b	|- B = { z e. ( 0..^ M ) | ( z gcd M ) = N }
hashgcdlem.f	|- F = ( x e. A |-> ( x x. N ) )

Assertion

Ref	Expression
hashgcdlem	|- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) -> F : A -1-1-onto-> B )

Distinct variable groups:   x, y, M   x, z, M   x, A   x, B   x, N, y   z, N

Allowed substitution hints:   A( y, z)   B( y, z)   F( x, y, z)

Proof of Theorem hashgcdlem

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashgcdlem.f	. 2 |- F = ( x e. A |-> ( x x. N ) )
2		oveq1 5860	. . . . 5 |- ( y = x -> ( y gcd ( M / N ) ) = ( x gcd ( M / N ) ) )
3	2	eqeq1d 2179	. . . 4 |- ( y = x -> ( ( y gcd ( M / N ) ) = 1 <-> ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) )
4		hashgcdlem.a	. . . 4 |- A = { y e. ( 0..^ ( M / N ) ) | ( y gcd ( M / N ) ) = 1 }
5	3, 4	elrab2 2889	. . 3 |- ( x e. A <-> ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) )
6		elfzonn0 10142	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) -> x e. NN0 )
7	6	ad2antrl 487	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> x e. NN0 )
8		nnnn0 9142	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
9	8	3ad2ant2 1014	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) -> N e. NN0 )
10	9	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> N e. NN0 )
11	7, 10	nn0mulcld 9193	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> ( x x. N ) e. NN0 )
12		simpl1 995	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> M e. NN )
13		elfzolt2 10112	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) -> x < ( M / N ) )
14	13	ad2antrl 487	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> x < ( M / N ) )
15		elfzoelz 10103	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) -> x e. ZZ )
16	15	ad2antrl 487	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> x e. ZZ )
17	16	zred 9334	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> x e. RR )
18		nnre 8885	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> M e. RR )
19	18	3ad2ant1 1013	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) -> M e. RR )
20	19	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> M e. RR )
21		nnre 8885	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> N e. RR )
22		nngt0 8903	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> 0 < N )
23	21, 22	jca 304	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( N e. RR /\ 0 < N ) )
24	23	3ad2ant2 1014	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) -> ( N e. RR /\ 0 < N ) )
25	24	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> ( N e. RR /\ 0 < N ) )
26		ltmuldiv 8790	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ M e. RR /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> ( ( x x. N ) < M <-> x < ( M / N ) ) )
27	17, 20, 25, 26	syl3anc 1233	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> ( ( x x. N ) < M <-> x < ( M / N ) ) )
28	14, 27	mpbird 166	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> ( x x. N ) < M )
29		elfzo0 10138	. . . . 5 |- ( ( x x. N ) e. ( 0..^ M ) <-> ( ( x x. N ) e. NN0 /\ M e. NN /\ ( x x. N ) < M ) )
30	11, 12, 28, 29	syl3anbrc 1176	. . . 4 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> ( x x. N ) e. ( 0..^ M ) )
31		nncn 8886	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN -> M e. CC )
32	31	3ad2ant1 1013	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) -> M e. CC )
33		nncn 8886	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> N e. CC )
34	33	3ad2ant2 1014	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) -> N e. CC )
35		nnap0 8907	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> N # 0 )
36	35	3ad2ant2 1014	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) -> N # 0 )
37	32, 34, 36	divcanap1d 8708	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) -> ( ( M / N ) x. N ) = M )
38	37	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> ( ( M / N ) x. N ) = M )
39	38	eqcomd 2176	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> M = ( ( M / N ) x. N ) )
40	39	oveq2d 5869	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> ( ( x x. N ) gcd M ) = ( ( x x. N ) gcd ( ( M / N ) x. N ) ) )
41		nndivdvds 11758	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( N || M <-> ( M / N ) e. NN ) )
42	41	biimp3a 1340	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) -> ( M / N ) e. NN )
43	42	nnzd 9333	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) -> ( M / N ) e. ZZ )
44	43	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> ( M / N ) e. ZZ )
45		mulgcdr 11973	. . . . . 6 |- ( ( x e. ZZ /\ ( M / N ) e. ZZ /\ N e. NN0 ) -> ( ( x x. N ) gcd ( ( M / N ) x. N ) ) = ( ( x gcd ( M / N ) ) x. N ) )
46	16, 44, 10, 45	syl3anc 1233	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> ( ( x x. N ) gcd ( ( M / N ) x. N ) ) = ( ( x gcd ( M / N ) ) x. N ) )
47		simprr 527	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> ( x gcd ( M / N ) ) = 1 )
48	47	oveq1d 5868	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> ( ( x gcd ( M / N ) ) x. N ) = ( 1 x. N ) )
49	34	mulid2d 7938	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) -> ( 1 x. N ) = N )
50	49	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> ( 1 x. N ) = N )
51	48, 50	eqtrd 2203	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> ( ( x gcd ( M / N ) ) x. N ) = N )
52	40, 46, 51	3eqtrd 2207	. . . 4 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> ( ( x x. N ) gcd M ) = N )
53		oveq1 5860	. . . . . 6 |- ( z = ( x x. N ) -> ( z gcd M ) = ( ( x x. N ) gcd M ) )
54	53	eqeq1d 2179	. . . . 5 |- ( z = ( x x. N ) -> ( ( z gcd M ) = N <-> ( ( x x. N ) gcd M ) = N ) )
55		hashgcdlem.b	. . . . 5 |- B = { z e. ( 0..^ M ) | ( z gcd M ) = N }
56	54, 55	elrab2 2889	. . . 4 |- ( ( x x. N ) e. B <-> ( ( x x. N ) e. ( 0..^ M ) /\ ( ( x x. N ) gcd M ) = N ) )
57	30, 52, 56	sylanbrc 415	. . 3 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> ( x x. N ) e. B )
58	5, 57	sylan2b 285	. 2 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ x e. A ) -> ( x x. N ) e. B )
59		oveq1 5860	. . . . 5 |- ( z = w -> ( z gcd M ) = ( w gcd M ) )
60	59	eqeq1d 2179	. . . 4 |- ( z = w -> ( ( z gcd M ) = N <-> ( w gcd M ) = N ) )
61	60, 55	elrab2 2889	. . 3 |- ( w e. B <-> ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) )
62		simprr 527	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( w gcd M ) = N )
63		elfzoelz 10103	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. ( 0..^ M ) -> w e. ZZ )
64	63	ad2antrl 487	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> w e. ZZ )
65		simpl1 995	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> M e. NN )
66	65	nnzd 9333	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> M e. ZZ )
67		gcddvds 11918	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( w gcd M ) || w /\ ( w gcd M ) || M ) )
68	64, 66, 67	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( ( w gcd M ) || w /\ ( w gcd M ) || M ) )
69	68	simpld 111	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( w gcd M ) || w )
70	62, 69	eqbrtrrd 4013	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> N || w )
71		nnz 9231	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
72	71	3ad2ant2 1014	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) -> N e. ZZ )
73	72	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> N e. ZZ )
74		nnne0 8906	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> N =/= 0 )
75	74	3ad2ant2 1014	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) -> N =/= 0 )
76	75	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> N =/= 0 )
77		dvdsval2 11752	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ N =/= 0 /\ w e. ZZ ) -> ( N || w <-> ( w / N ) e. ZZ ) )
78	73, 76, 64, 77	syl3anc 1233	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( N || w <-> ( w / N ) e. ZZ ) )
79	70, 78	mpbid 146	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( w / N ) e. ZZ )
80		elfzofz 10118	. . . . . . . . 9 |- ( w e. ( 0..^ M ) -> w e. ( 0 ... M ) )
81	80	ad2antrl 487	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> w e. ( 0 ... M ) )
82		elfznn0 10070	. . . . . . . 8 |- ( w e. ( 0 ... M ) -> w e. NN0 )
83		nn0re 9144	. . . . . . . . 9 |- ( w e. NN0 -> w e. RR )
84		nn0ge0 9160	. . . . . . . . 9 |- ( w e. NN0 -> 0 <_ w )
85	83, 84	jca 304	. . . . . . . 8 |- ( w e. NN0 -> ( w e. RR /\ 0 <_ w ) )
86	81, 82, 85	3syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( w e. RR /\ 0 <_ w ) )
87	24	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( N e. RR /\ 0 < N ) )
88		divge0 8789	. . . . . . 7 |- ( ( ( w e. RR /\ 0 <_ w ) /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> 0 <_ ( w / N ) )
89	86, 87, 88	syl2anc 409	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> 0 <_ ( w / N ) )
90		elnn0z 9225	. . . . . 6 |- ( ( w / N ) e. NN0 <-> ( ( w / N ) e. ZZ /\ 0 <_ ( w / N ) ) )
91	79, 89, 90	sylanbrc 415	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( w / N ) e. NN0 )
92	42	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( M / N ) e. NN )
93		elfzolt2 10112	. . . . . . 7 |- ( w e. ( 0..^ M ) -> w < M )
94	93	ad2antrl 487	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> w < M )
95	64	zred 9334	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> w e. RR )
96	19	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> M e. RR )
97		ltdiv1 8784	. . . . . . 7 |- ( ( w e. RR /\ M e. RR /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> ( w < M <-> ( w / N ) < ( M / N ) ) )
98	95, 96, 87, 97	syl3anc 1233	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( w < M <-> ( w / N ) < ( M / N ) ) )
99	94, 98	mpbid 146	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( w / N ) < ( M / N ) )
100		elfzo0 10138	. . . . 5 |- ( ( w / N ) e. ( 0..^ ( M / N ) ) <-> ( ( w / N ) e. NN0 /\ ( M / N ) e. NN /\ ( w / N ) < ( M / N ) ) )
101	91, 92, 99, 100	syl3anbrc 1176	. . . 4 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( w / N ) e. ( 0..^ ( M / N ) ) )
102	62	oveq1d 5868	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( ( w gcd M ) / N ) = ( N / N ) )
103		simpl2 996	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> N e. NN )
104		simpl3 997	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> N || M )
105		gcddiv 11974	. . . . . 6 |- ( ( ( w e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. NN ) /\ ( N || w /\ N || M ) ) -> ( ( w gcd M ) / N ) = ( ( w / N ) gcd ( M / N ) ) )
106	64, 66, 103, 70, 104, 105	syl32anc 1241	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( ( w gcd M ) / N ) = ( ( w / N ) gcd ( M / N ) ) )
107	34, 36	dividapd 8703	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) -> ( N / N ) = 1 )
108	107	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( N / N ) = 1 )
109	102, 106, 108	3eqtr3d 2211	. . . 4 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( ( w / N ) gcd ( M / N ) ) = 1 )
110		oveq1 5860	. . . . . 6 |- ( y = ( w / N ) -> ( y gcd ( M / N ) ) = ( ( w / N ) gcd ( M / N ) ) )
111	110	eqeq1d 2179	. . . . 5 |- ( y = ( w / N ) -> ( ( y gcd ( M / N ) ) = 1 <-> ( ( w / N ) gcd ( M / N ) ) = 1 ) )
112	111, 4	elrab2 2889	. . . 4 |- ( ( w / N ) e. A <-> ( ( w / N ) e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( ( w / N ) gcd ( M / N ) ) = 1 ) )
113	101, 109, 112	sylanbrc 415	. . 3 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( w / N ) e. A )
114	61, 113	sylan2b 285	. 2 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ w e. B ) -> ( w / N ) e. A )
115	5	simplbi 272	. . . 4 |- ( x e. A -> x e. ( 0..^ ( M / N ) ) )
116	61	simplbi 272	. . . 4 |- ( w e. B -> w e. ( 0..^ M ) )
117	115, 116	anim12i 336	. . 3 |- ( ( x e. A /\ w e. B ) -> ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ w e. ( 0..^ M ) ) )
118	63	ad2antll 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ w e. ( 0..^ M ) ) ) -> w e. ZZ )
119	118	zcnd 9335	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ w e. ( 0..^ M ) ) ) -> w e. CC )
120	34	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ w e. ( 0..^ M ) ) ) -> N e. CC )
121	36	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ w e. ( 0..^ M ) ) ) -> N # 0 )
122	119, 120, 121	divcanap1d 8708	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ w e. ( 0..^ M ) ) ) -> ( ( w / N ) x. N ) = w )
123	122	eqcomd 2176	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ w e. ( 0..^ M ) ) ) -> w = ( ( w / N ) x. N ) )
124		oveq1 5860	. . . . . 6 |- ( x = ( w / N ) -> ( x x. N ) = ( ( w / N ) x. N ) )
125	124	eqeq2d 2182	. . . . 5 |- ( x = ( w / N ) -> ( w = ( x x. N ) <-> w = ( ( w / N ) x. N ) ) )
126	123, 125	syl5ibrcom 156	. . . 4 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ w e. ( 0..^ M ) ) ) -> ( x = ( w / N ) -> w = ( x x. N ) ) )
127	15	ad2antrl 487	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ w e. ( 0..^ M ) ) ) -> x e. ZZ )
128	127	zcnd 9335	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ w e. ( 0..^ M ) ) ) -> x e. CC )
129	128, 120, 121	divcanap4d 8713	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ w e. ( 0..^ M ) ) ) -> ( ( x x. N ) / N ) = x )
130	129	eqcomd 2176	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ w e. ( 0..^ M ) ) ) -> x = ( ( x x. N ) / N ) )
131		oveq1 5860	. . . . . 6 |- ( w = ( x x. N ) -> ( w / N ) = ( ( x x. N ) / N ) )
132	131	eqeq2d 2182	. . . . 5 |- ( w = ( x x. N ) -> ( x = ( w / N ) <-> x = ( ( x x. N ) / N ) ) )
133	130, 132	syl5ibrcom 156	. . . 4 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ w e. ( 0..^ M ) ) ) -> ( w = ( x x. N ) -> x = ( w / N ) ) )
134	126, 133	impbid 128	. . 3 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ w e. ( 0..^ M ) ) ) -> ( x = ( w / N ) <-> w = ( x x. N ) ) )
135	117, 134	sylan2 284	. 2 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. A /\ w e. B ) ) -> ( x = ( w / N ) <-> w = ( x x. N ) ) )
136	1, 58, 114, 135	f1o2d 6054	1 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) -> F : A -1-1-onto-> B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   =/= wne 2340   {crab 2452   class class class wbr 3989   |-> cmpt 4050   -1-1-onto->wf1o 5197  (class class class)co 5853   CCcc 7772   RRcr 7773   0cc0 7774   1c1 7775   x. cmul 7779   < clt 7954   <_ cle 7955   # cap 8500   / cdiv 8589   NNcn 8878   NN0cn0 9135   ZZcz 9212   ...cfz 9965  ..^cfzo 10098   || cdvds 11749   gcd cgcd 11897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-sup 6961  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-fl 10226  df-mod 10279  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-dvds 11750  df-gcd 11898

This theorem is referenced by:  hashgcdeq  12193