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Theorem hashgcdlem 10983
Description: A correspondence between elements of specific GCD and relative primes in a smaller ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hashgcdlem.a  |-  A  =  { y  e.  ( 0..^ ( M  /  N ) )  |  ( y  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 }
hashgcdlem.b  |-  B  =  { z  e.  ( 0..^ M )  |  ( z  gcd  M
)  =  N }
hashgcdlem.f  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  ( x  x.  N
) )
Assertion
Ref Expression
hashgcdlem  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  ->  F : A -1-1-onto-> B )
Distinct variable groups:    x, y, M   
x, z, M    x, A    x, B    x, N, y    z, N
Allowed substitution hints:    A( y, z)    B( y, z)    F( x, y, z)

Proof of Theorem hashgcdlem
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hashgcdlem.f . 2  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  ( x  x.  N
) )
2 oveq1 5598 . . . . 5  |-  ( y  =  x  ->  (
y  gcd  ( M  /  N ) )  =  ( x  gcd  ( M  /  N ) ) )
32eqeq1d 2091 . . . 4  |-  ( y  =  x  ->  (
( y  gcd  ( M  /  N ) )  =  1  <->  ( x  gcd  ( M  /  N
) )  =  1 ) )
4 hashgcdlem.a . . . 4  |-  A  =  { y  e.  ( 0..^ ( M  /  N ) )  |  ( y  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 }
53, 4elrab2 2762 . . 3  |-  ( x  e.  A  <->  ( x  e.  ( 0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N
) )  =  1 ) )
6 elfzonn0 9486 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0..^ ( M  /  N ) )  ->  x  e.  NN0 )
76ad2antrl 474 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  x  e.  NN0 )
8 nnnn0 8572 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
983ad2ant2 961 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  ->  N  e.  NN0 )
109adantr 270 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  N  e.  NN0 )
117, 10nn0mulcld 8623 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  ( x  x.  N )  e.  NN0 )
12 simpl1 942 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  M  e.  NN )
13 elfzolt2 9456 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0..^ ( M  /  N ) )  ->  x  <  ( M  /  N ) )
1413ad2antrl 474 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  x  <  ( M  /  N ) )
15 elfzoelz 9448 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0..^ ( M  /  N ) )  ->  x  e.  ZZ )
1615ad2antrl 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  x  e.  ZZ )
1716zred 8764 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  x  e.  RR )
18 nnre 8323 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  RR )
19183ad2ant1 960 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  ->  M  e.  RR )
2019adantr 270 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  M  e.  RR )
21 nnre 8323 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
22 nngt0 8341 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
2321, 22jca 300 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )
24233ad2ant2 961 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  ->  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )
2524adantr 270 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  ( N  e.  RR  /\  0  < 
N ) )
26 ltmuldiv 8229 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  -> 
( ( x  x.  N )  <  M  <->  x  <  ( M  /  N ) ) )
2717, 20, 25, 26syl3anc 1170 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  ( ( x  x.  N )  < 
M  <->  x  <  ( M  /  N ) ) )
2814, 27mpbird 165 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  ( x  x.  N )  <  M
)
29 elfzo0 9482 . . . . 5  |-  ( ( x  x.  N )  e.  ( 0..^ M )  <->  ( ( x  x.  N )  e. 
NN0  /\  M  e.  NN  /\  ( x  x.  N )  <  M
) )
3011, 12, 28, 29syl3anbrc 1123 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  ( x  x.  N )  e.  ( 0..^ M ) )
31 nncn 8324 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  CC )
32313ad2ant1 960 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  ->  M  e.  CC )
33 nncn 8324 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
34333ad2ant2 961 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  ->  N  e.  CC )
35 nnap0 8345 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N #  0 )
36353ad2ant2 961 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  ->  N #  0 )
3732, 34, 36divcanap1d 8155 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  ->  (
( M  /  N
)  x.  N )  =  M )
3837adantr 270 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  ( ( M  /  N )  x.  N )  =  M )
3938eqcomd 2088 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  M  =  ( ( M  /  N
)  x.  N ) )
4039oveq2d 5607 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  ( ( x  x.  N )  gcd 
M )  =  ( ( x  x.  N
)  gcd  ( ( M  /  N )  x.  N ) ) )
41 nndivdvds 10582 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  ||  M  <->  ( M  /  N )  e.  NN ) )
4241biimp3a 1277 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  ->  ( M  /  N )  e.  NN )
4342nnzd 8763 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  ->  ( M  /  N )  e.  ZZ )
4443adantr 270 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  ( M  /  N )  e.  ZZ )
45 mulgcdr 10787 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( M  /  N
)  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( x  x.  N )  gcd  (
( M  /  N
)  x.  N ) )  =  ( ( x  gcd  ( M  /  N ) )  x.  N ) )
4616, 44, 10, 45syl3anc 1170 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  ( ( x  x.  N )  gcd  ( ( M  /  N )  x.  N
) )  =  ( ( x  gcd  ( M  /  N ) )  x.  N ) )
47 simprr 499 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  ( x  gcd  ( M  /  N
) )  =  1 )
4847oveq1d 5606 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  ( ( x  gcd  ( M  /  N ) )  x.  N )  =  ( 1  x.  N ) )
4934mulid2d 7409 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  ->  (
1  x.  N )  =  N )
5049adantr 270 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  ( 1  x.  N )  =  N )
5148, 50eqtrd 2115 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  ( ( x  gcd  ( M  /  N ) )  x.  N )  =  N )
5240, 46, 513eqtrd 2119 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  ( ( x  x.  N )  gcd 
M )  =  N )
53 oveq1 5598 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( x  x.  N )  ->  (
z  gcd  M )  =  ( ( x  x.  N )  gcd 
M ) )
5453eqeq1d 2091 . . . . 5  |-  ( z  =  ( x  x.  N )  ->  (
( z  gcd  M
)  =  N  <->  ( (
x  x.  N )  gcd  M )  =  N ) )
55 hashgcdlem.b . . . . 5  |-  B  =  { z  e.  ( 0..^ M )  |  ( z  gcd  M
)  =  N }
5654, 55elrab2 2762 . . . 4  |-  ( ( x  x.  N )  e.  B  <->  ( (
x  x.  N )  e.  ( 0..^ M )  /\  ( ( x  x.  N )  gcd  M )  =  N ) )
5730, 52, 56sylanbrc 408 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  ( x  x.  N )  e.  B
)
585, 57sylan2b 281 . 2  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  x  e.  A )  ->  ( x  x.  N
)  e.  B )
59 oveq1 5598 . . . . 5  |-  ( z  =  w  ->  (
z  gcd  M )  =  ( w  gcd  M ) )
6059eqeq1d 2091 . . . 4  |-  ( z  =  w  ->  (
( z  gcd  M
)  =  N  <->  ( w  gcd  M )  =  N ) )
6160, 55elrab2 2762 . . 3  |-  ( w  e.  B  <->  ( w  e.  ( 0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )
62 simprr 499 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( w  gcd  M )  =  N )
63 elfzoelz 9448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  ( 0..^ M )  ->  w  e.  ZZ )
6463ad2antrl 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  w  e.  ZZ )
65 simpl1 942 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  M  e.  NN )
6665nnzd 8763 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  M  e.  ZZ )
67 gcddvds 10735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( w  gcd  M )  ||  w  /\  ( w  gcd  M ) 
||  M ) )
6864, 66, 67syl2anc 403 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( ( w  gcd  M )  ||  w  /\  ( w  gcd  M )  ||  M ) )
6968simpld 110 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( w  gcd  M )  ||  w )
7062, 69eqbrtrrd 3833 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  N  ||  w
)
71 nnz 8665 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
72713ad2ant2 961 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  ->  N  e.  ZZ )
7372adantr 270 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  N  e.  ZZ )
74 nnne0 8344 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
75743ad2ant2 961 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  ->  N  =/=  0 )
7675adantr 270 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  N  =/=  0
)
77 dvdsval2 10579 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0  /\  w  e.  ZZ )  ->  ( N  ||  w  <->  ( w  /  N )  e.  ZZ ) )
7873, 76, 64, 77syl3anc 1170 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( N  ||  w 
<->  ( w  /  N
)  e.  ZZ ) )
7970, 78mpbid 145 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( w  /  N )  e.  ZZ )
80 elfzofz 9462 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  ( 0..^ M )  ->  w  e.  ( 0 ... M
) )
8180ad2antrl 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  w  e.  ( 0 ... M ) )
82 elfznn0 9421 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  ( 0 ... M )  ->  w  e.  NN0 )
83 nn0re 8574 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  NN0  ->  w  e.  RR )
84 nn0ge0 8590 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  NN0  ->  0  <_  w )
8583, 84jca 300 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  NN0  ->  ( w  e.  RR  /\  0  <_  w ) )
8681, 82, 853syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( w  e.  RR  /\  0  <_  w ) )
8724adantr 270 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( N  e.  RR  /\  0  < 
N ) )
88 divge0 8228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( w  e.  RR  /\  0  <_  w )  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  ->  0  <_  ( w  /  N ) )
8986, 87, 88syl2anc 403 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  0  <_  (
w  /  N ) )
90 elnn0z 8659 . . . . . 6  |-  ( ( w  /  N )  e.  NN0  <->  ( ( w  /  N )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( w  /  N
) ) )
9179, 89, 90sylanbrc 408 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( w  /  N )  e.  NN0 )
9242adantr 270 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( M  /  N )  e.  NN )
93 elfzolt2 9456 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  ( 0..^ M )  ->  w  <  M )
9493ad2antrl 474 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  w  <  M
)
9564zred 8764 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  w  e.  RR )
9619adantr 270 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  M  e.  RR )
97 ltdiv1 8223 . . . . . . 7  |-  ( ( w  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  -> 
( w  <  M  <->  ( w  /  N )  <  ( M  /  N ) ) )
9895, 96, 87, 97syl3anc 1170 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( w  < 
M  <->  ( w  /  N )  <  ( M  /  N ) ) )
9994, 98mpbid 145 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( w  /  N )  <  ( M  /  N ) )
100 elfzo0 9482 . . . . 5  |-  ( ( w  /  N )  e.  ( 0..^ ( M  /  N ) )  <->  ( ( w  /  N )  e. 
NN0  /\  ( M  /  N )  e.  NN  /\  ( w  /  N
)  <  ( M  /  N ) ) )
10191, 92, 99, 100syl3anbrc 1123 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( w  /  N )  e.  ( 0..^ ( M  /  N ) ) )
10262oveq1d 5606 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( ( w  gcd  M )  /  N )  =  ( N  /  N ) )
103 simpl2 943 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  N  e.  NN )
104 simpl3 944 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  N  ||  M
)
105 gcddiv 10788 . . . . . 6  |-  ( ( ( w  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  ( N  ||  w  /\  N  ||  M ) )  ->  ( (
w  gcd  M )  /  N )  =  ( ( w  /  N
)  gcd  ( M  /  N ) ) )
10664, 66, 103, 70, 104, 105syl32anc 1178 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( ( w  gcd  M )  /  N )  =  ( ( w  /  N
)  gcd  ( M  /  N ) ) )
10734, 36dividapd 8151 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  ->  ( N  /  N )  =  1 )
108107adantr 270 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( N  /  N )  =  1 )
109102, 106, 1083eqtr3d 2123 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( ( w  /  N )  gcd  ( M  /  N
) )  =  1 )
110 oveq1 5598 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( w  /  N )  ->  (
y  gcd  ( M  /  N ) )  =  ( ( w  /  N )  gcd  ( M  /  N ) ) )
111110eqeq1d 2091 . . . . 5  |-  ( y  =  ( w  /  N )  ->  (
( y  gcd  ( M  /  N ) )  =  1  <->  ( (
w  /  N )  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )
112111, 4elrab2 2762 . . . 4  |-  ( ( w  /  N )  e.  A  <->  ( (
w  /  N )  e.  ( 0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( ( w  /  N )  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )
113101, 109, 112sylanbrc 408 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( w  /  N )  e.  A
)
11461, 113sylan2b 281 . 2  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  w  e.  B )  ->  ( w  /  N
)  e.  A )
1155simplbi 268 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  x  e.  ( 0..^ ( M  /  N ) ) )
11661simplbi 268 . . . 4  |-  ( w  e.  B  ->  w  e.  ( 0..^ M ) )
117115, 116anim12i 331 . . 3  |-  ( ( x  e.  A  /\  w  e.  B )  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( M  /  N ) )  /\  w  e.  ( 0..^ M ) ) )
11863ad2antll 475 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  w  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  w  e.  ZZ )
119118zcnd 8765 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  w  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  w  e.  CC )
12034adantr 270 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  w  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  N  e.  CC )
12136adantr 270 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  w  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  N #  0 )
122119, 120, 121divcanap1d 8155 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  w  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  ( ( w  /  N )  x.  N )  =  w )
123122eqcomd 2088 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  w  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  w  =  ( ( w  /  N
)  x.  N ) )
124 oveq1 5598 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( w  /  N )  ->  (
x  x.  N )  =  ( ( w  /  N )  x.  N ) )
125124eqeq2d 2094 . . . . 5  |-  ( x  =  ( w  /  N )  ->  (
w  =  ( x  x.  N )  <->  w  =  ( ( w  /  N )  x.  N
) ) )
126123, 125syl5ibrcom 155 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  w  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  ( x  =  ( w  /  N
)  ->  w  =  ( x  x.  N
) ) )
12715ad2antrl 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  w  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  x  e.  ZZ )
128127zcnd 8765 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  w  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  x  e.  CC )
129128, 120, 121divcanap4d 8160 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  w  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  ( ( x  x.  N )  /  N )  =  x )
130129eqcomd 2088 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  w  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  x  =  ( ( x  x.  N
)  /  N ) )
131 oveq1 5598 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( x  x.  N )  ->  (
w  /  N )  =  ( ( x  x.  N )  /  N ) )
132131eqeq2d 2094 . . . . 5  |-  ( w  =  ( x  x.  N )  ->  (
x  =  ( w  /  N )  <->  x  =  ( ( x  x.  N )  /  N
) ) )
133130, 132syl5ibrcom 155 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  w  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  ( w  =  ( x  x.  N
)  ->  x  =  ( w  /  N
) ) )
134126, 133impbid 127 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  w  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  ( x  =  ( w  /  N
)  <->  w  =  (
x  x.  N ) ) )
135117, 134sylan2 280 . 2  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  A  /\  w  e.  B
) )  ->  (
x  =  ( w  /  N )  <->  w  =  ( x  x.  N
) ) )
1361, 58, 114, 135f1o2d 5784 1  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  ->  F : A -1-1-onto-> B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    /\ w3a 920    = wceq 1285    e. wcel 1434    =/= wne 2249   {crab 2357   class class class wbr 3811    |-> cmpt 3865   -1-1-onto->wf1o 4968  (class class class)co 5591   CCcc 7251   RRcr 7252   0cc0 7253   1c1 7254    x. cmul 7258    < clt 7425    <_ cle 7426   # cap 7958    / cdiv 8037   NNcn 8316   NN0cn0 8565   ZZcz 8646   ...cfz 9319  ..^cfzo 9443    || cdvds 10576    gcd cgcd 10718
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-iinf 4366  ax-cnex 7339  ax-resscn 7340  ax-1cn 7341  ax-1re 7342  ax-icn 7343  ax-addcl 7344  ax-addrcl 7345  ax-mulcl 7346  ax-mulrcl 7347  ax-addcom 7348  ax-mulcom 7349  ax-addass 7350  ax-mulass 7351  ax-distr 7352  ax-i2m1 7353  ax-0lt1 7354  ax-1rid 7355  ax-0id 7356  ax-rnegex 7357  ax-precex 7358  ax-cnre 7359  ax-pre-ltirr 7360  ax-pre-ltwlin 7361  ax-pre-lttrn 7362  ax-pre-apti 7363  ax-pre-ltadd 7364  ax-pre-mulgt0 7365  ax-pre-mulext 7366  ax-arch 7367  ax-caucvg 7368
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-if 3374  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-id 4084  df-po 4087  df-iso 4088  df-iord 4157  df-on 4159  df-ilim 4160  df-suc 4162  df-iom 4369  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-f1 4974  df-fo 4975  df-f1o 4976  df-fv 4977  df-riota 5547  df-ov 5594  df-oprab 5595  df-mpt2 5596  df-1st 5846  df-2nd 5847  df-recs 6002  df-frec 6088  df-sup 6586  df-pnf 7427  df-mnf 7428  df-xr 7429  df-ltxr 7430  df-le 7431  df-sub 7558  df-neg 7559  df-reap 7952  df-ap 7959  df-div 8038  df-inn 8317  df-2 8375  df-3 8376  df-4 8377  df-n0 8566  df-z 8647  df-uz 8915  df-q 9000  df-rp 9030  df-fz 9320  df-fzo 9444  df-fl 9566  df-mod 9619  df-iseq 9741  df-iexp 9792  df-cj 10103  df-re 10104  df-im 10105  df-rsqrt 10258  df-abs 10259  df-dvds 10577  df-gcd 10719
This theorem is referenced by:  hashgcdeq  10984
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