Theorem hashgcdlem 11283

Description: A correspondence between elements of specific GCD and relative primes in a smaller ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashgcdlem.a	|- A = { y e. ( 0..^ ( M / N ) ) | ( y gcd ( M / N ) ) = 1 }
hashgcdlem.b	|- B = { z e. ( 0..^ M ) | ( z gcd M ) = N }
hashgcdlem.f	|- F = ( x e. A |-> ( x x. N ) )

Assertion

Ref	Expression
hashgcdlem	|- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) -> F : A -1-1-onto-> B )

Distinct variable groups:   x, y, M   x, z, M   x, A   x, B   x, N, y   z, N

Allowed substitution hints:   A( y, z)   B( y, z)   F( x, y, z)

Proof of Theorem hashgcdlem

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashgcdlem.f	. 2 |- F = ( x e. A |-> ( x x. N ) )
2		oveq1 5641	. . . . 5 |- ( y = x -> ( y gcd ( M / N ) ) = ( x gcd ( M / N ) ) )
3	2	eqeq1d 2096	. . . 4 |- ( y = x -> ( ( y gcd ( M / N ) ) = 1 <-> ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) )
4		hashgcdlem.a	. . . 4 |- A = { y e. ( 0..^ ( M / N ) ) | ( y gcd ( M / N ) ) = 1 }
5	3, 4	elrab2 2772	. . 3 |- ( x e. A <-> ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) )
6		elfzonn0 9562	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) -> x e. NN0 )
7	6	ad2antrl 474	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> x e. NN0 )
8		nnnn0 8650	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
9	8	3ad2ant2 965	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) -> N e. NN0 )
10	9	adantr 270	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> N e. NN0 )
11	7, 10	nn0mulcld 8701	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> ( x x. N ) e. NN0 )
12		simpl1 946	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> M e. NN )
13		elfzolt2 9532	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) -> x < ( M / N ) )
14	13	ad2antrl 474	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> x < ( M / N ) )
15		elfzoelz 9523	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) -> x e. ZZ )
16	15	ad2antrl 474	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> x e. ZZ )
17	16	zred 8838	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> x e. RR )
18		nnre 8401	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> M e. RR )
19	18	3ad2ant1 964	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) -> M e. RR )
20	19	adantr 270	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> M e. RR )
21		nnre 8401	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> N e. RR )
22		nngt0 8419	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> 0 < N )
23	21, 22	jca 300	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( N e. RR /\ 0 < N ) )
24	23	3ad2ant2 965	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) -> ( N e. RR /\ 0 < N ) )
25	24	adantr 270	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> ( N e. RR /\ 0 < N ) )
26		ltmuldiv 8307	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ M e. RR /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> ( ( x x. N ) < M <-> x < ( M / N ) ) )
27	17, 20, 25, 26	syl3anc 1174	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> ( ( x x. N ) < M <-> x < ( M / N ) ) )
28	14, 27	mpbird 165	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> ( x x. N ) < M )
29		elfzo0 9558	. . . . 5 |- ( ( x x. N ) e. ( 0..^ M ) <-> ( ( x x. N ) e. NN0 /\ M e. NN /\ ( x x. N ) < M ) )
30	11, 12, 28, 29	syl3anbrc 1127	. . . 4 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> ( x x. N ) e. ( 0..^ M ) )
31		nncn 8402	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN -> M e. CC )
32	31	3ad2ant1 964	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) -> M e. CC )
33		nncn 8402	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> N e. CC )
34	33	3ad2ant2 965	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) -> N e. CC )
35		nnap0 8423	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> N # 0 )
36	35	3ad2ant2 965	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) -> N # 0 )
37	32, 34, 36	divcanap1d 8231	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) -> ( ( M / N ) x. N ) = M )
38	37	adantr 270	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> ( ( M / N ) x. N ) = M )
39	38	eqcomd 2093	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> M = ( ( M / N ) x. N ) )
40	39	oveq2d 5650	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> ( ( x x. N ) gcd M ) = ( ( x x. N ) gcd ( ( M / N ) x. N ) ) )
41		nndivdvds 10882	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( N || M <-> ( M / N ) e. NN ) )
42	41	biimp3a 1281	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) -> ( M / N ) e. NN )
43	42	nnzd 8837	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) -> ( M / N ) e. ZZ )
44	43	adantr 270	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> ( M / N ) e. ZZ )
45		mulgcdr 11087	. . . . . 6 |- ( ( x e. ZZ /\ ( M / N ) e. ZZ /\ N e. NN0 ) -> ( ( x x. N ) gcd ( ( M / N ) x. N ) ) = ( ( x gcd ( M / N ) ) x. N ) )
46	16, 44, 10, 45	syl3anc 1174	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> ( ( x x. N ) gcd ( ( M / N ) x. N ) ) = ( ( x gcd ( M / N ) ) x. N ) )
47		simprr 499	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> ( x gcd ( M / N ) ) = 1 )
48	47	oveq1d 5649	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> ( ( x gcd ( M / N ) ) x. N ) = ( 1 x. N ) )
49	34	mulid2d 7485	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) -> ( 1 x. N ) = N )
50	49	adantr 270	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> ( 1 x. N ) = N )
51	48, 50	eqtrd 2120	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> ( ( x gcd ( M / N ) ) x. N ) = N )
52	40, 46, 51	3eqtrd 2124	. . . 4 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> ( ( x x. N ) gcd M ) = N )
53		oveq1 5641	. . . . . 6 |- ( z = ( x x. N ) -> ( z gcd M ) = ( ( x x. N ) gcd M ) )
54	53	eqeq1d 2096	. . . . 5 |- ( z = ( x x. N ) -> ( ( z gcd M ) = N <-> ( ( x x. N ) gcd M ) = N ) )
55		hashgcdlem.b	. . . . 5 |- B = { z e. ( 0..^ M ) | ( z gcd M ) = N }
56	54, 55	elrab2 2772	. . . 4 |- ( ( x x. N ) e. B <-> ( ( x x. N ) e. ( 0..^ M ) /\ ( ( x x. N ) gcd M ) = N ) )
57	30, 52, 56	sylanbrc 408	. . 3 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> ( x x. N ) e. B )
58	5, 57	sylan2b 281	. 2 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ x e. A ) -> ( x x. N ) e. B )
59		oveq1 5641	. . . . 5 |- ( z = w -> ( z gcd M ) = ( w gcd M ) )
60	59	eqeq1d 2096	. . . 4 |- ( z = w -> ( ( z gcd M ) = N <-> ( w gcd M ) = N ) )
61	60, 55	elrab2 2772	. . 3 |- ( w e. B <-> ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) )
62		simprr 499	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( w gcd M ) = N )
63		elfzoelz 9523	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. ( 0..^ M ) -> w e. ZZ )
64	63	ad2antrl 474	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> w e. ZZ )
65		simpl1 946	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> M e. NN )
66	65	nnzd 8837	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> M e. ZZ )
67		gcddvds 11035	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( w gcd M ) || w /\ ( w gcd M ) || M ) )
68	64, 66, 67	syl2anc 403	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( ( w gcd M ) || w /\ ( w gcd M ) || M ) )
69	68	simpld 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( w gcd M ) || w )
70	62, 69	eqbrtrrd 3859	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> N || w )
71		nnz 8739	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
72	71	3ad2ant2 965	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) -> N e. ZZ )
73	72	adantr 270	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> N e. ZZ )
74		nnne0 8422	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> N =/= 0 )
75	74	3ad2ant2 965	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) -> N =/= 0 )
76	75	adantr 270	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> N =/= 0 )
77		dvdsval2 10879	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ N =/= 0 /\ w e. ZZ ) -> ( N || w <-> ( w / N ) e. ZZ ) )
78	73, 76, 64, 77	syl3anc 1174	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( N || w <-> ( w / N ) e. ZZ ) )
79	70, 78	mpbid 145	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( w / N ) e. ZZ )
80		elfzofz 9538	. . . . . . . . 9 |- ( w e. ( 0..^ M ) -> w e. ( 0 ... M ) )
81	80	ad2antrl 474	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> w e. ( 0 ... M ) )
82		elfznn0 9495	. . . . . . . 8 |- ( w e. ( 0 ... M ) -> w e. NN0 )
83		nn0re 8652	. . . . . . . . 9 |- ( w e. NN0 -> w e. RR )
84		nn0ge0 8668	. . . . . . . . 9 |- ( w e. NN0 -> 0 <_ w )
85	83, 84	jca 300	. . . . . . . 8 |- ( w e. NN0 -> ( w e. RR /\ 0 <_ w ) )
86	81, 82, 85	3syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( w e. RR /\ 0 <_ w ) )
87	24	adantr 270	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( N e. RR /\ 0 < N ) )
88		divge0 8306	. . . . . . 7 |- ( ( ( w e. RR /\ 0 <_ w ) /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> 0 <_ ( w / N ) )
89	86, 87, 88	syl2anc 403	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> 0 <_ ( w / N ) )
90		elnn0z 8733	. . . . . 6 |- ( ( w / N ) e. NN0 <-> ( ( w / N ) e. ZZ /\ 0 <_ ( w / N ) ) )
91	79, 89, 90	sylanbrc 408	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( w / N ) e. NN0 )
92	42	adantr 270	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( M / N ) e. NN )
93		elfzolt2 9532	. . . . . . 7 |- ( w e. ( 0..^ M ) -> w < M )
94	93	ad2antrl 474	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> w < M )
95	64	zred 8838	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> w e. RR )
96	19	adantr 270	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> M e. RR )
97		ltdiv1 8301	. . . . . . 7 |- ( ( w e. RR /\ M e. RR /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> ( w < M <-> ( w / N ) < ( M / N ) ) )
98	95, 96, 87, 97	syl3anc 1174	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( w < M <-> ( w / N ) < ( M / N ) ) )
99	94, 98	mpbid 145	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( w / N ) < ( M / N ) )
100		elfzo0 9558	. . . . 5 |- ( ( w / N ) e. ( 0..^ ( M / N ) ) <-> ( ( w / N ) e. NN0 /\ ( M / N ) e. NN /\ ( w / N ) < ( M / N ) ) )
101	91, 92, 99, 100	syl3anbrc 1127	. . . 4 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( w / N ) e. ( 0..^ ( M / N ) ) )
102	62	oveq1d 5649	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( ( w gcd M ) / N ) = ( N / N ) )
103		simpl2 947	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> N e. NN )
104		simpl3 948	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> N || M )
105		gcddiv 11088	. . . . . 6 |- ( ( ( w e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. NN ) /\ ( N || w /\ N || M ) ) -> ( ( w gcd M ) / N ) = ( ( w / N ) gcd ( M / N ) ) )
106	64, 66, 103, 70, 104, 105	syl32anc 1182	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( ( w gcd M ) / N ) = ( ( w / N ) gcd ( M / N ) ) )
107	34, 36	dividapd 8227	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) -> ( N / N ) = 1 )
108	107	adantr 270	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( N / N ) = 1 )
109	102, 106, 108	3eqtr3d 2128	. . . 4 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( ( w / N ) gcd ( M / N ) ) = 1 )
110		oveq1 5641	. . . . . 6 |- ( y = ( w / N ) -> ( y gcd ( M / N ) ) = ( ( w / N ) gcd ( M / N ) ) )
111	110	eqeq1d 2096	. . . . 5 |- ( y = ( w / N ) -> ( ( y gcd ( M / N ) ) = 1 <-> ( ( w / N ) gcd ( M / N ) ) = 1 ) )
112	111, 4	elrab2 2772	. . . 4 |- ( ( w / N ) e. A <-> ( ( w / N ) e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( ( w / N ) gcd ( M / N ) ) = 1 ) )
113	101, 109, 112	sylanbrc 408	. . 3 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( w / N ) e. A )
114	61, 113	sylan2b 281	. 2 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ w e. B ) -> ( w / N ) e. A )
115	5	simplbi 268	. . . 4 |- ( x e. A -> x e. ( 0..^ ( M / N ) ) )
116	61	simplbi 268	. . . 4 |- ( w e. B -> w e. ( 0..^ M ) )
117	115, 116	anim12i 331	. . 3 |- ( ( x e. A /\ w e. B ) -> ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ w e. ( 0..^ M ) ) )
118	63	ad2antll 475	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ w e. ( 0..^ M ) ) ) -> w e. ZZ )
119	118	zcnd 8839	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ w e. ( 0..^ M ) ) ) -> w e. CC )
120	34	adantr 270	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ w e. ( 0..^ M ) ) ) -> N e. CC )
121	36	adantr 270	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ w e. ( 0..^ M ) ) ) -> N # 0 )
122	119, 120, 121	divcanap1d 8231	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ w e. ( 0..^ M ) ) ) -> ( ( w / N ) x. N ) = w )
123	122	eqcomd 2093	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ w e. ( 0..^ M ) ) ) -> w = ( ( w / N ) x. N ) )
124		oveq1 5641	. . . . . 6 |- ( x = ( w / N ) -> ( x x. N ) = ( ( w / N ) x. N ) )
125	124	eqeq2d 2099	. . . . 5 |- ( x = ( w / N ) -> ( w = ( x x. N ) <-> w = ( ( w / N ) x. N ) ) )
126	123, 125	syl5ibrcom 155	. . . 4 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ w e. ( 0..^ M ) ) ) -> ( x = ( w / N ) -> w = ( x x. N ) ) )
127	15	ad2antrl 474	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ w e. ( 0..^ M ) ) ) -> x e. ZZ )
128	127	zcnd 8839	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ w e. ( 0..^ M ) ) ) -> x e. CC )
129	128, 120, 121	divcanap4d 8236	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ w e. ( 0..^ M ) ) ) -> ( ( x x. N ) / N ) = x )
130	129	eqcomd 2093	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ w e. ( 0..^ M ) ) ) -> x = ( ( x x. N ) / N ) )
131		oveq1 5641	. . . . . 6 |- ( w = ( x x. N ) -> ( w / N ) = ( ( x x. N ) / N ) )
132	131	eqeq2d 2099	. . . . 5 |- ( w = ( x x. N ) -> ( x = ( w / N ) <-> x = ( ( x x. N ) / N ) ) )
133	130, 132	syl5ibrcom 155	. . . 4 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ w e. ( 0..^ M ) ) ) -> ( w = ( x x. N ) -> x = ( w / N ) ) )
134	126, 133	impbid 127	. . 3 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ w e. ( 0..^ M ) ) ) -> ( x = ( w / N ) <-> w = ( x x. N ) ) )
135	117, 134	sylan2 280	. 2 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. A /\ w e. B ) ) -> ( x = ( w / N ) <-> w = ( x x. N ) ) )
136	1, 58, 114, 135	f1o2d 5831	1 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) -> F : A -1-1-onto-> B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   /\ w3a 924   = wceq 1289   e. wcel 1438   =/= wne 2255   {crab 2363   class class class wbr 3837   |-> cmpt 3891   -1-1-onto->wf1o 5001  (class class class)co 5634   CCcc 7327   RRcr 7328   0cc0 7329   1c1 7330   x. cmul 7334   < clt 7501   <_ cle 7502   # cap 8034   / cdiv 8113   NNcn 8394   NN0cn0 8643   ZZcz 8720   ...cfz 9393  ..^cfzo 9518   || cdvds 10876   gcd cgcd 11018

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442  ax-arch 7443  ax-caucvg 7444

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-iord 4184  df-on 4186  df-ilim 4187  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-frec 6138  df-sup 6658  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-inn 8395  df-2 8452  df-3 8453  df-4 8454  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-q 9074  df-rp 9104  df-fz 9394  df-fzo 9519  df-fl 9642  df-mod 9695  df-iseq 9818  df-seq3 9819  df-exp 9919  df-cj 10240  df-re 10241  df-im 10242  df-rsqrt 10395  df-abs 10396  df-dvds 10877  df-gcd 11019

This theorem is referenced by:  hashgcdeq  11284