Theorem hashgcdlem 12994

Description: A correspondence between elements of specific GCD and relative primes in a smaller ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashgcdlem.a	|- A = { y e. ( 0..^ ( M / N ) ) | ( y gcd ( M / N ) ) = 1 }
hashgcdlem.b	|- B = { z e. ( 0..^ M ) | ( z gcd M ) = N }
hashgcdlem.f	|- F = ( x e. A |-> ( x x. N ) )

Assertion

Ref	Expression
hashgcdlem	|- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) -> F : A -1-1-onto-> B )

Distinct variable groups:   x, y, M   x, z, M   x, A   x, B   x, N, y   z, N

Allowed substitution hints:   A( y, z)   B( y, z)   F( x, y, z)

Proof of Theorem hashgcdlem

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashgcdlem.f	. 2 |- F = ( x e. A |-> ( x x. N ) )
2		oveq1 6082	. . . . 5 |- ( y = x -> ( y gcd ( M / N ) ) = ( x gcd ( M / N ) ) )
3	2	eqeq1d 2247	. . . 4 |- ( y = x -> ( ( y gcd ( M / N ) ) = 1 <-> ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) )
4		hashgcdlem.a	. . . 4 |- A = { y e. ( 0..^ ( M / N ) ) | ( y gcd ( M / N ) ) = 1 }
5	3, 4	elrab2 2985	. . 3 |- ( x e. A <-> ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) )
6		elfzonn0 10576	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) -> x e. NN0 )
7	6	ad2antrl 494	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> x e. NN0 )
8		nnnn0 9549	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
9	8	3ad2ant2 1050	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) -> N e. NN0 )
10	9	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> N e. NN0 )
11	7, 10	nn0mulcld 9604	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> ( x x. N ) e. NN0 )
12		simpl1 1031	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> M e. NN )
13		elfzolt2 10542	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) -> x < ( M / N ) )
14	13	ad2antrl 494	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> x < ( M / N ) )
15		elfzoelz 10532	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) -> x e. ZZ )
16	15	ad2antrl 494	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> x e. ZZ )
17	16	zred 9747	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> x e. RR )
18		nnre 9290	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> M e. RR )
19	18	3ad2ant1 1049	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) -> M e. RR )
20	19	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> M e. RR )
21		nnre 9290	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> N e. RR )
22		nngt0 9308	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> 0 < N )
23	21, 22	jca 306	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( N e. RR /\ 0 < N ) )
24	23	3ad2ant2 1050	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) -> ( N e. RR /\ 0 < N ) )
25	24	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> ( N e. RR /\ 0 < N ) )
26		ltmuldiv 9194	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ M e. RR /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> ( ( x x. N ) < M <-> x < ( M / N ) ) )
27	17, 20, 25, 26	syl3anc 1278	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> ( ( x x. N ) < M <-> x < ( M / N ) ) )
28	14, 27	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> ( x x. N ) < M )
29		elfzo0 10571	. . . . 5 |- ( ( x x. N ) e. ( 0..^ M ) <-> ( ( x x. N ) e. NN0 /\ M e. NN /\ ( x x. N ) < M ) )
30	11, 12, 28, 29	syl3anbrc 1212	. . . 4 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> ( x x. N ) e. ( 0..^ M ) )
31		nncn 9291	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN -> M e. CC )
32	31	3ad2ant1 1049	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) -> M e. CC )
33		nncn 9291	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> N e. CC )
34	33	3ad2ant2 1050	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) -> N e. CC )
35		nnap0 9312	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> N # 0 )
36	35	3ad2ant2 1050	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) -> N # 0 )
37	32, 34, 36	divcanap1d 9111	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) -> ( ( M / N ) x. N ) = M )
38	37	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> ( ( M / N ) x. N ) = M )
39	38	eqcomd 2244	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> M = ( ( M / N ) x. N ) )
40	39	oveq2d 6091	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> ( ( x x. N ) gcd M ) = ( ( x x. N ) gcd ( ( M / N ) x. N ) ) )
41		nndivdvds 12541	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( N || M <-> ( M / N ) e. NN ) )
42	41	biimp3a 1386	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) -> ( M / N ) e. NN )
43	42	nnzd 9746	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) -> ( M / N ) e. ZZ )
44	43	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> ( M / N ) e. ZZ )
45		mulgcdr 12773	. . . . . 6 |- ( ( x e. ZZ /\ ( M / N ) e. ZZ /\ N e. NN0 ) -> ( ( x x. N ) gcd ( ( M / N ) x. N ) ) = ( ( x gcd ( M / N ) ) x. N ) )
46	16, 44, 10, 45	syl3anc 1278	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> ( ( x x. N ) gcd ( ( M / N ) x. N ) ) = ( ( x gcd ( M / N ) ) x. N ) )
47		simprr 537	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> ( x gcd ( M / N ) ) = 1 )
48	47	oveq1d 6090	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> ( ( x gcd ( M / N ) ) x. N ) = ( 1 x. N ) )
49	34	mullidd 8334	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) -> ( 1 x. N ) = N )
50	49	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> ( 1 x. N ) = N )
51	48, 50	eqtrd 2271	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> ( ( x gcd ( M / N ) ) x. N ) = N )
52	40, 46, 51	3eqtrd 2275	. . . 4 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> ( ( x x. N ) gcd M ) = N )
53		oveq1 6082	. . . . . 6 |- ( z = ( x x. N ) -> ( z gcd M ) = ( ( x x. N ) gcd M ) )
54	53	eqeq1d 2247	. . . . 5 |- ( z = ( x x. N ) -> ( ( z gcd M ) = N <-> ( ( x x. N ) gcd M ) = N ) )
55		hashgcdlem.b	. . . . 5 |- B = { z e. ( 0..^ M ) | ( z gcd M ) = N }
56	54, 55	elrab2 2985	. . . 4 |- ( ( x x. N ) e. B <-> ( ( x x. N ) e. ( 0..^ M ) /\ ( ( x x. N ) gcd M ) = N ) )
57	30, 52, 56	sylanbrc 421	. . 3 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> ( x x. N ) e. B )
58	5, 57	sylan2b 287	. 2 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ x e. A ) -> ( x x. N ) e. B )
59		oveq1 6082	. . . . 5 |- ( z = w -> ( z gcd M ) = ( w gcd M ) )
60	59	eqeq1d 2247	. . . 4 |- ( z = w -> ( ( z gcd M ) = N <-> ( w gcd M ) = N ) )
61	60, 55	elrab2 2985	. . 3 |- ( w e. B <-> ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) )
62		simprr 537	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( w gcd M ) = N )
63		elfzoelz 10532	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. ( 0..^ M ) -> w e. ZZ )
64	63	ad2antrl 494	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> w e. ZZ )
65		simpl1 1031	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> M e. NN )
66	65	nnzd 9746	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> M e. ZZ )
67		gcddvds 12718	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( w gcd M ) || w /\ ( w gcd M ) || M ) )
68	64, 66, 67	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( ( w gcd M ) || w /\ ( w gcd M ) || M ) )
69	68	simpld 112	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( w gcd M ) || w )
70	62, 69	eqbrtrrd 4149	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> N || w )
71		nnz 9642	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
72	71	3ad2ant2 1050	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) -> N e. ZZ )
73	72	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> N e. ZZ )
74		nnne0 9311	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> N =/= 0 )
75	74	3ad2ant2 1050	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) -> N =/= 0 )
76	75	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> N =/= 0 )
77		dvdsval2 12535	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ N =/= 0 /\ w e. ZZ ) -> ( N || w <-> ( w / N ) e. ZZ ) )
78	73, 76, 64, 77	syl3anc 1278	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( N || w <-> ( w / N ) e. ZZ ) )
79	70, 78	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( w / N ) e. ZZ )
80		elfzofz 10548	. . . . . . . . 9 |- ( w e. ( 0..^ M ) -> w e. ( 0 ... M ) )
81	80	ad2antrl 494	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> w e. ( 0 ... M ) )
82		elfznn0 10499	. . . . . . . 8 |- ( w e. ( 0 ... M ) -> w e. NN0 )
83		nn0re 9551	. . . . . . . . 9 |- ( w e. NN0 -> w e. RR )
84		nn0ge0 9567	. . . . . . . . 9 |- ( w e. NN0 -> 0 <_ w )
85	83, 84	jca 306	. . . . . . . 8 |- ( w e. NN0 -> ( w e. RR /\ 0 <_ w ) )
86	81, 82, 85	3syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( w e. RR /\ 0 <_ w ) )
87	24	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( N e. RR /\ 0 < N ) )
88		divge0 9193	. . . . . . 7 |- ( ( ( w e. RR /\ 0 <_ w ) /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> 0 <_ ( w / N ) )
89	86, 87, 88	syl2anc 415	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> 0 <_ ( w / N ) )
90		elnn0z 9636	. . . . . 6 |- ( ( w / N ) e. NN0 <-> ( ( w / N ) e. ZZ /\ 0 <_ ( w / N ) ) )
91	79, 89, 90	sylanbrc 421	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( w / N ) e. NN0 )
92	42	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( M / N ) e. NN )
93		elfzolt2 10542	. . . . . . 7 |- ( w e. ( 0..^ M ) -> w < M )
94	93	ad2antrl 494	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> w < M )
95	64	zred 9747	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> w e. RR )
96	19	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> M e. RR )
97		ltdiv1 9188	. . . . . . 7 |- ( ( w e. RR /\ M e. RR /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> ( w < M <-> ( w / N ) < ( M / N ) ) )
98	95, 96, 87, 97	syl3anc 1278	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( w < M <-> ( w / N ) < ( M / N ) ) )
99	94, 98	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( w / N ) < ( M / N ) )
100		elfzo0 10571	. . . . 5 |- ( ( w / N ) e. ( 0..^ ( M / N ) ) <-> ( ( w / N ) e. NN0 /\ ( M / N ) e. NN /\ ( w / N ) < ( M / N ) ) )
101	91, 92, 99, 100	syl3anbrc 1212	. . . 4 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( w / N ) e. ( 0..^ ( M / N ) ) )
102	62	oveq1d 6090	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( ( w gcd M ) / N ) = ( N / N ) )
103		simpl2 1032	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> N e. NN )
104		simpl3 1033	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> N || M )
105		gcddiv 12774	. . . . . 6 |- ( ( ( w e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. NN ) /\ ( N || w /\ N || M ) ) -> ( ( w gcd M ) / N ) = ( ( w / N ) gcd ( M / N ) ) )
106	64, 66, 103, 70, 104, 105	syl32anc 1286	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( ( w gcd M ) / N ) = ( ( w / N ) gcd ( M / N ) ) )
107	34, 36	dividapd 9106	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) -> ( N / N ) = 1 )
108	107	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( N / N ) = 1 )
109	102, 106, 108	3eqtr3d 2279	. . . 4 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( ( w / N ) gcd ( M / N ) ) = 1 )
110		oveq1 6082	. . . . . 6 |- ( y = ( w / N ) -> ( y gcd ( M / N ) ) = ( ( w / N ) gcd ( M / N ) ) )
111	110	eqeq1d 2247	. . . . 5 |- ( y = ( w / N ) -> ( ( y gcd ( M / N ) ) = 1 <-> ( ( w / N ) gcd ( M / N ) ) = 1 ) )
112	111, 4	elrab2 2985	. . . 4 |- ( ( w / N ) e. A <-> ( ( w / N ) e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( ( w / N ) gcd ( M / N ) ) = 1 ) )
113	101, 109, 112	sylanbrc 421	. . 3 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( w / N ) e. A )
114	61, 113	sylan2b 287	. 2 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ w e. B ) -> ( w / N ) e. A )
115	5	simplbi 274	. . . 4 |- ( x e. A -> x e. ( 0..^ ( M / N ) ) )
116	61	simplbi 274	. . . 4 |- ( w e. B -> w e. ( 0..^ M ) )
117	115, 116	anim12i 338	. . 3 |- ( ( x e. A /\ w e. B ) -> ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ w e. ( 0..^ M ) ) )
118	63	ad2antll 495	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ w e. ( 0..^ M ) ) ) -> w e. ZZ )
119	118	zcnd 9748	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ w e. ( 0..^ M ) ) ) -> w e. CC )
120	34	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ w e. ( 0..^ M ) ) ) -> N e. CC )
121	36	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ w e. ( 0..^ M ) ) ) -> N # 0 )
122	119, 120, 121	divcanap1d 9111	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ w e. ( 0..^ M ) ) ) -> ( ( w / N ) x. N ) = w )
123	122	eqcomd 2244	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ w e. ( 0..^ M ) ) ) -> w = ( ( w / N ) x. N ) )
124		oveq1 6082	. . . . . 6 |- ( x = ( w / N ) -> ( x x. N ) = ( ( w / N ) x. N ) )
125	124	eqeq2d 2250	. . . . 5 |- ( x = ( w / N ) -> ( w = ( x x. N ) <-> w = ( ( w / N ) x. N ) ) )
126	123, 125	syl5ibrcom 157	. . . 4 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ w e. ( 0..^ M ) ) ) -> ( x = ( w / N ) -> w = ( x x. N ) ) )
127	15	ad2antrl 494	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ w e. ( 0..^ M ) ) ) -> x e. ZZ )
128	127	zcnd 9748	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ w e. ( 0..^ M ) ) ) -> x e. CC )
129	128, 120, 121	divcanap4d 9116	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ w e. ( 0..^ M ) ) ) -> ( ( x x. N ) / N ) = x )
130	129	eqcomd 2244	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ w e. ( 0..^ M ) ) ) -> x = ( ( x x. N ) / N ) )
131		oveq1 6082	. . . . . 6 |- ( w = ( x x. N ) -> ( w / N ) = ( ( x x. N ) / N ) )
132	131	eqeq2d 2250	. . . . 5 |- ( w = ( x x. N ) -> ( x = ( w / N ) <-> x = ( ( x x. N ) / N ) ) )
133	130, 132	syl5ibrcom 157	. . . 4 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ w e. ( 0..^ M ) ) ) -> ( w = ( x x. N ) -> x = ( w / N ) ) )
134	126, 133	impbid 129	. . 3 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ w e. ( 0..^ M ) ) ) -> ( x = ( w / N ) <-> w = ( x x. N ) ) )
135	117, 134	sylan2 286	. 2 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. A /\ w e. B ) ) -> ( x = ( w / N ) <-> w = ( x x. N ) ) )
136	1, 58, 114, 135	f1o2d 6285	1 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) -> F : A -1-1-onto-> B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   {crab 2532   class class class wbr 4125   |-> cmpt 4187   -1-1-onto->wf1o 5371  (class class class)co 6075   CCcc 8167   RRcr 8168   0cc0 8169   1c1 8170   x. cmul 8174   < clt 8350   <_ cle 8351   # cap 8899   / cdiv 8992   NNcn 9283   NN0cn0 9542   ZZcz 9623   ...cfz 10390  ..^cfzo 10527   || cdvds 12532   gcd cgcd 12708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288  ax-caucvg 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-sup 7314  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-q 9999  df-rp 10034  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-fl 10683  df-mod 10738  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587  df-rsqrt 11742  df-abs 11743  df-dvds 12533  df-gcd 12709

This theorem is referenced by:  hashgcdeq  12996