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Theorem hashgcdlem 12376
Description: A correspondence between elements of specific GCD and relative primes in a smaller ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hashgcdlem.a |- A = { y e. ( 0..^ ( M / N ) ) | ( y gcd ( M / N ) ) = 1 }
hashgcdlem.b |- B = { z e. ( 0..^ M ) | ( z gcd M ) = N }
hashgcdlem.f |- F = ( x e. A |-> ( x x. N ) )
Assertion
Ref Expression
hashgcdlem |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) -> F : A -1-1-onto-> B )
Distinct variable groups:   x, y, M   x, z, M   x, A   x, B   x, N, y   z, N
Allowed substitution hints:   A( y, z)   B( y, z)   F( x, y, z)
Proof of Theorem hashgcdlem
Dummy variable w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hashgcdlem.f . 2 |- F = ( x e. A |-> ( x x. N ) )
2 oveq1 5925 . . . . 5 |- ( y = x -> ( y gcd ( M / N ) ) = ( x gcd ( M / N ) ) )
32eqeq1d 2202 . . . 4 |- ( y = x -> ( ( y gcd ( M / N ) ) = 1 <-> ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) )
4 hashgcdlem.a . . . 4 |- A = { y e. ( 0..^ ( M / N ) ) | ( y gcd ( M / N ) ) = 1 }
53, 4elrab2 2919 . . 3 |- ( x e. A <-> ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) )
6 elfzonn0 10253 . . . . . . 7 |- ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) -> x e. NN0 )
76ad2antrl 490 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> x e. NN0 )
8 nnnn0 9247 . . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
983ad2ant2 1021 . . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) -> N e. NN0 )
109adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> N e. NN0 )
117, 10nn0mulcld 9298 . . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> ( x x. N ) e. NN0 )
12 simpl1 1002 . . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> M e. NN )
13 elfzolt2 10223 . . . . . . 7 |- ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) -> x < ( M / N ) )
1413ad2antrl 490 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> x < ( M / N ) )
15 elfzoelz 10213 . . . . . . . . 9 |- ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) -> x e. ZZ )
1615ad2antrl 490 . . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> x e. ZZ )
1716zred 9439 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> x e. RR )
18 nnre 8989 . . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> M e. RR )
19183ad2ant1 1020 . . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) -> M e. RR )
2019adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> M e. RR )
21 nnre 8989 . . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> N e. RR )
22 nngt0 9007 . . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> 0 < N )
2321, 22jca 306 . . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( N e. RR /\ 0 < N ) )
24233ad2ant2 1021 . . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) -> ( N e. RR /\ 0 < N ) )
2524adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> ( N e. RR /\ 0 < N ) )
26 ltmuldiv 8893 . . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ M e. RR /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> ( ( x x. N ) < M <-> x < ( M / N ) ) )
2717, 20, 25, 26syl3anc 1249 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> ( ( x x. N ) < M <-> x < ( M / N ) ) )
2814, 27mpbird 167 . . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> ( x x. N ) < M )
29 elfzo0 10249 . . . . 5 |- ( ( x x. N ) e. ( 0..^ M ) <-> ( ( x x. N ) e. NN0 /\ M e. NN /\ ( x x. N ) < M ) )
3011, 12, 28, 29syl3anbrc 1183 . . . 4 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> ( x x. N ) e. ( 0..^ M ) )
31 nncn 8990 . . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN -> M e. CC )
32313ad2ant1 1020 . . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) -> M e. CC )
33 nncn 8990 . . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> N e. CC )
34333ad2ant2 1021 . . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) -> N e. CC )
35 nnap0 9011 . . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> N # 0 )
36353ad2ant2 1021 . . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) -> N # 0 )
3732, 34, 36divcanap1d 8810 . . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) -> ( ( M / N ) x. N ) = M )
3837adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> ( ( M / N ) x. N ) = M )
3938eqcomd 2199 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> M = ( ( M / N ) x. N ) )
4039oveq2d 5934 . . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> ( ( x x. N ) gcd M ) = ( ( x x. N ) gcd ( ( M / N ) x. N ) ) )
41 nndivdvds 11939 . . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( N || M <-> ( M / N ) e. NN ) )
4241biimp3a 1356 . . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) -> ( M / N ) e. NN )
4342nnzd 9438 . . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) -> ( M / N ) e. ZZ )
4443adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> ( M / N ) e. ZZ )
45 mulgcdr 12155 . . . . . 6 |- ( ( x e. ZZ /\ ( M / N ) e. ZZ /\ N e. NN0 ) -> ( ( x x. N ) gcd ( ( M / N ) x. N ) ) = ( ( x gcd ( M / N ) ) x. N ) )
4616, 44, 10, 45syl3anc 1249 . . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> ( ( x x. N ) gcd ( ( M / N ) x. N ) ) = ( ( x gcd ( M / N ) ) x. N ) )
47 simprr 531 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> ( x gcd ( M / N ) ) = 1 )
4847oveq1d 5933 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> ( ( x gcd ( M / N ) ) x. N ) = ( 1 x. N ) )
4934mulid2d 8038 . . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) -> ( 1 x. N ) = N )
5049adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> ( 1 x. N ) = N )
5148, 50eqtrd 2226 . . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> ( ( x gcd ( M / N ) ) x. N ) = N )
5240, 46, 513eqtrd 2230 . . . 4 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> ( ( x x. N ) gcd M ) = N )
53 oveq1 5925 . . . . . 6 |- ( z = ( x x. N ) -> ( z gcd M ) = ( ( x x. N ) gcd M ) )
5453eqeq1d 2202 . . . . 5 |- ( z = ( x x. N ) -> ( ( z gcd M ) = N <-> ( ( x x. N ) gcd M ) = N ) )
55 hashgcdlem.b . . . . 5 |- B = { z e. ( 0..^ M ) | ( z gcd M ) = N }
5654, 55elrab2 2919 . . . 4 |- ( ( x x. N ) e. B <-> ( ( x x. N ) e. ( 0..^ M ) /\ ( ( x x. N ) gcd M ) = N ) )
5730, 52, 56sylanbrc 417 . . 3 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> ( x x. N ) e. B )
585, 57sylan2b 287 . 2 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ x e. A ) -> ( x x. N ) e. B )
59 oveq1 5925 . . . . 5 |- ( z = w -> ( z gcd M ) = ( w gcd M ) )
6059eqeq1d 2202 . . . 4 |- ( z = w -> ( ( z gcd M ) = N <-> ( w gcd M ) = N ) )
6160, 55elrab2 2919 . . 3 |- ( w e. B <-> ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) )
62 simprr 531 . . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( w gcd M ) = N )
63 elfzoelz 10213 . . . . . . . . . . 11 |- ( w e. ( 0..^ M ) -> w e. ZZ )
6463ad2antrl 490 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> w e. ZZ )
65 simpl1 1002 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> M e. NN )
6665nnzd 9438 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> M e. ZZ )
67 gcddvds 12100 . . . . . . . . . 10 |- ( ( w e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( w gcd M ) || w /\ ( w gcd M ) || M ) )
6864, 66, 67syl2anc 411 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( ( w gcd M ) || w /\ ( w gcd M ) || M ) )
6968simpld 112 . . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( w gcd M ) || w )
7062, 69eqbrtrrd 4053 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> N || w )
71 nnz 9336 . . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
72713ad2ant2 1021 . . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) -> N e. ZZ )
7372adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> N e. ZZ )
74 nnne0 9010 . . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> N =/= 0 )
75743ad2ant2 1021 . . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) -> N =/= 0 )
7675adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> N =/= 0 )
77 dvdsval2 11933 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ N =/= 0 /\ w e. ZZ ) -> ( N || w <-> ( w / N ) e. ZZ ) )
7873, 76, 64, 77syl3anc 1249 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( N || w <-> ( w / N ) e. ZZ ) )
7970, 78mpbid 147 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( w / N ) e. ZZ )
80 elfzofz 10229 . . . . . . . . 9 |- ( w e. ( 0..^ M ) -> w e. ( 0 ... M ) )
8180ad2antrl 490 . . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> w e. ( 0 ... M ) )
82 elfznn0 10180 . . . . . . . 8 |- ( w e. ( 0 ... M ) -> w e. NN0 )
83 nn0re 9249 . . . . . . . . 9 |- ( w e. NN0 -> w e. RR )
84 nn0ge0 9265 . . . . . . . . 9 |- ( w e. NN0 -> 0 <_ w )
8583, 84jca 306 . . . . . . . 8 |- ( w e. NN0 -> ( w e. RR /\ 0 <_ w ) )
8681, 82, 853syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( w e. RR /\ 0 <_ w ) )
8724adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( N e. RR /\ 0 < N ) )
88 divge0 8892 . . . . . . 7 |- ( ( ( w e. RR /\ 0 <_ w ) /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> 0 <_ ( w / N ) )
8986, 87, 88syl2anc 411 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> 0 <_ ( w / N ) )
90 elnn0z 9330 . . . . . 6 |- ( ( w / N ) e. NN0 <-> ( ( w / N ) e. ZZ /\ 0 <_ ( w / N ) ) )
9179, 89, 90sylanbrc 417 . . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( w / N ) e. NN0 )
9242adantr 276 . . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( M / N ) e. NN )
93 elfzolt2 10223 . . . . . . 7 |- ( w e. ( 0..^ M ) -> w < M )
9493ad2antrl 490 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> w < M )
9564zred 9439 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> w e. RR )
9619adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> M e. RR )
97 ltdiv1 8887 . . . . . . 7 |- ( ( w e. RR /\ M e. RR /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> ( w < M <-> ( w / N ) < ( M / N ) ) )
9895, 96, 87, 97syl3anc 1249 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( w < M <-> ( w / N ) < ( M / N ) ) )
9994, 98mpbid 147 . . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( w / N ) < ( M / N ) )
100 elfzo0 10249 . . . . 5 |- ( ( w / N ) e. ( 0..^ ( M / N ) ) <-> ( ( w / N ) e. NN0 /\ ( M / N ) e. NN /\ ( w / N ) < ( M / N ) ) )
10191, 92, 99, 100syl3anbrc 1183 . . . 4 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( w / N ) e. ( 0..^ ( M / N ) ) )
10262oveq1d 5933 . . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( ( w gcd M ) / N ) = ( N / N ) )
103 simpl2 1003 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> N e. NN )
104 simpl3 1004 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> N || M )
105 gcddiv 12156 . . . . . 6 |- ( ( ( w e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. NN ) /\ ( N || w /\ N || M ) ) -> ( ( w gcd M ) / N ) = ( ( w / N ) gcd ( M / N ) ) )
10664, 66, 103, 70, 104, 105syl32anc 1257 . . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( ( w gcd M ) / N ) = ( ( w / N ) gcd ( M / N ) ) )
10734, 36dividapd 8805 . . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) -> ( N / N ) = 1 )
108107adantr 276 . . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( N / N ) = 1 )
109102, 106, 1083eqtr3d 2234 . . . 4 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( ( w / N ) gcd ( M / N ) ) = 1 )
110 oveq1 5925 . . . . . 6 |- ( y = ( w / N ) -> ( y gcd ( M / N ) ) = ( ( w / N ) gcd ( M / N ) ) )
111110eqeq1d 2202 . . . . 5 |- ( y = ( w / N ) -> ( ( y gcd ( M / N ) ) = 1 <-> ( ( w / N ) gcd ( M / N ) ) = 1 ) )
112111, 4elrab2 2919 . . . 4 |- ( ( w / N ) e. A <-> ( ( w / N ) e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( ( w / N ) gcd ( M / N ) ) = 1 ) )
113101, 109, 112sylanbrc 417 . . 3 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( w / N ) e. A )
11461, 113sylan2b 287 . 2 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ w e. B ) -> ( w / N ) e. A )
1155simplbi 274 . . . 4 |- ( x e. A -> x e. ( 0..^ ( M / N ) ) )
11661simplbi 274 . . . 4 |- ( w e. B -> w e. ( 0..^ M ) )
117115, 116anim12i 338 . . 3 |- ( ( x e. A /\ w e. B ) -> ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ w e. ( 0..^ M ) ) )
11863ad2antll 491 . . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ w e. ( 0..^ M ) ) ) -> w e. ZZ )
119118zcnd 9440 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ w e. ( 0..^ M ) ) ) -> w e. CC )
12034adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ w e. ( 0..^ M ) ) ) -> N e. CC )
12136adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ w e. ( 0..^ M ) ) ) -> N # 0 )
122119, 120, 121divcanap1d 8810 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ w e. ( 0..^ M ) ) ) -> ( ( w / N ) x. N ) = w )
123122eqcomd 2199 . . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ w e. ( 0..^ M ) ) ) -> w = ( ( w / N ) x. N ) )
124 oveq1 5925 . . . . . 6 |- ( x = ( w / N ) -> ( x x. N ) = ( ( w / N ) x. N ) )
125124eqeq2d 2205 . . . . 5 |- ( x = ( w / N ) -> ( w = ( x x. N ) <-> w = ( ( w / N ) x. N ) ) )
126123, 125syl5ibrcom 157 . . . 4 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ w e. ( 0..^ M ) ) ) -> ( x = ( w / N ) -> w = ( x x. N ) ) )
12715ad2antrl 490 . . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ w e. ( 0..^ M ) ) ) -> x e. ZZ )
128127zcnd 9440 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ w e. ( 0..^ M ) ) ) -> x e. CC )
129128, 120, 121divcanap4d 8815 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ w e. ( 0..^ M ) ) ) -> ( ( x x. N ) / N ) = x )
130129eqcomd 2199 . . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ w e. ( 0..^ M ) ) ) -> x = ( ( x x. N ) / N ) )
131 oveq1 5925 . . . . . 6 |- ( w = ( x x. N ) -> ( w / N ) = ( ( x x. N ) / N ) )
132131eqeq2d 2205 . . . . 5 |- ( w = ( x x. N ) -> ( x = ( w / N ) <-> x = ( ( x x. N ) / N ) ) )
133130, 132syl5ibrcom 157 . . . 4 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ w e. ( 0..^ M ) ) ) -> ( w = ( x x. N ) -> x = ( w / N ) ) )
134126, 133impbid 129 . . 3 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ w e. ( 0..^ M ) ) ) -> ( x = ( w / N ) <-> w = ( x x. N ) ) )
135117, 134sylan2 286 . 2 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. A /\ w e. B ) ) -> ( x = ( w / N ) <-> w = ( x x. N ) ) )
1361, 58, 114, 135f1o2d 6123 1 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) -> F : A -1-1-onto-> B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   =/= wne 2364   {crab 2476   class class class wbr 4029   |-> cmpt 4090   -1-1-onto->wf1o 5253  (class class class)co 5918   CCcc 7870   RRcr 7871   0cc0 7872   1c1 7873   x. cmul 7877   < clt 8054   <_ cle 8055   # cap 8600   / cdiv 8691   NNcn 8982   NN0cn0 9240   ZZcz 9317   ...cfz 10074  ..^cfzo 10208   || cdvds 11930   gcd cgcd 12079
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-sup 7043  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-fl 10339  df-mod 10394  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-dvds 11931  df-gcd 12080
This theorem is referenced by:  hashgcdeq  12377
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