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Theorem hashgcdlem 11283
Description: A correspondence between elements of specific GCD and relative primes in a smaller ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hashgcdlem.a  |-  A  =  { y  e.  ( 0..^ ( M  /  N ) )  |  ( y  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 }
hashgcdlem.b  |-  B  =  { z  e.  ( 0..^ M )  |  ( z  gcd  M
)  =  N }
hashgcdlem.f  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  ( x  x.  N
) )
Assertion
Ref Expression
hashgcdlem  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  ->  F : A -1-1-onto-> B )
Distinct variable groups:    x, y, M   
x, z, M    x, A    x, B    x, N, y    z, N
Allowed substitution hints:    A( y, z)    B( y, z)    F( x, y, z)

Proof of Theorem hashgcdlem
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hashgcdlem.f . 2  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  ( x  x.  N
) )
2 oveq1 5641 . . . . 5  |-  ( y  =  x  ->  (
y  gcd  ( M  /  N ) )  =  ( x  gcd  ( M  /  N ) ) )
32eqeq1d 2096 . . . 4  |-  ( y  =  x  ->  (
( y  gcd  ( M  /  N ) )  =  1  <->  ( x  gcd  ( M  /  N
) )  =  1 ) )
4 hashgcdlem.a . . . 4  |-  A  =  { y  e.  ( 0..^ ( M  /  N ) )  |  ( y  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 }
53, 4elrab2 2772 . . 3  |-  ( x  e.  A  <->  ( x  e.  ( 0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N
) )  =  1 ) )
6 elfzonn0 9562 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0..^ ( M  /  N ) )  ->  x  e.  NN0 )
76ad2antrl 474 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  x  e.  NN0 )
8 nnnn0 8650 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
983ad2ant2 965 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  ->  N  e.  NN0 )
109adantr 270 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  N  e.  NN0 )
117, 10nn0mulcld 8701 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  ( x  x.  N )  e.  NN0 )
12 simpl1 946 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  M  e.  NN )
13 elfzolt2 9532 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0..^ ( M  /  N ) )  ->  x  <  ( M  /  N ) )
1413ad2antrl 474 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  x  <  ( M  /  N ) )
15 elfzoelz 9523 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0..^ ( M  /  N ) )  ->  x  e.  ZZ )
1615ad2antrl 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  x  e.  ZZ )
1716zred 8838 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  x  e.  RR )
18 nnre 8401 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  RR )
19183ad2ant1 964 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  ->  M  e.  RR )
2019adantr 270 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  M  e.  RR )
21 nnre 8401 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
22 nngt0 8419 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
2321, 22jca 300 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )
24233ad2ant2 965 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  ->  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )
2524adantr 270 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  ( N  e.  RR  /\  0  < 
N ) )
26 ltmuldiv 8307 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  -> 
( ( x  x.  N )  <  M  <->  x  <  ( M  /  N ) ) )
2717, 20, 25, 26syl3anc 1174 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  ( ( x  x.  N )  < 
M  <->  x  <  ( M  /  N ) ) )
2814, 27mpbird 165 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  ( x  x.  N )  <  M
)
29 elfzo0 9558 . . . . 5  |-  ( ( x  x.  N )  e.  ( 0..^ M )  <->  ( ( x  x.  N )  e. 
NN0  /\  M  e.  NN  /\  ( x  x.  N )  <  M
) )
3011, 12, 28, 29syl3anbrc 1127 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  ( x  x.  N )  e.  ( 0..^ M ) )
31 nncn 8402 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  CC )
32313ad2ant1 964 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  ->  M  e.  CC )
33 nncn 8402 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
34333ad2ant2 965 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  ->  N  e.  CC )
35 nnap0 8423 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N #  0 )
36353ad2ant2 965 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  ->  N #  0 )
3732, 34, 36divcanap1d 8231 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  ->  (
( M  /  N
)  x.  N )  =  M )
3837adantr 270 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  ( ( M  /  N )  x.  N )  =  M )
3938eqcomd 2093 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  M  =  ( ( M  /  N
)  x.  N ) )
4039oveq2d 5650 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  ( ( x  x.  N )  gcd 
M )  =  ( ( x  x.  N
)  gcd  ( ( M  /  N )  x.  N ) ) )
41 nndivdvds 10882 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  ||  M  <->  ( M  /  N )  e.  NN ) )
4241biimp3a 1281 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  ->  ( M  /  N )  e.  NN )
4342nnzd 8837 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  ->  ( M  /  N )  e.  ZZ )
4443adantr 270 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  ( M  /  N )  e.  ZZ )
45 mulgcdr 11087 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( M  /  N
)  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( x  x.  N )  gcd  (
( M  /  N
)  x.  N ) )  =  ( ( x  gcd  ( M  /  N ) )  x.  N ) )
4616, 44, 10, 45syl3anc 1174 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  ( ( x  x.  N )  gcd  ( ( M  /  N )  x.  N
) )  =  ( ( x  gcd  ( M  /  N ) )  x.  N ) )
47 simprr 499 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  ( x  gcd  ( M  /  N
) )  =  1 )
4847oveq1d 5649 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  ( ( x  gcd  ( M  /  N ) )  x.  N )  =  ( 1  x.  N ) )
4934mulid2d 7485 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  ->  (
1  x.  N )  =  N )
5049adantr 270 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  ( 1  x.  N )  =  N )
5148, 50eqtrd 2120 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  ( ( x  gcd  ( M  /  N ) )  x.  N )  =  N )
5240, 46, 513eqtrd 2124 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  ( ( x  x.  N )  gcd 
M )  =  N )
53 oveq1 5641 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( x  x.  N )  ->  (
z  gcd  M )  =  ( ( x  x.  N )  gcd 
M ) )
5453eqeq1d 2096 . . . . 5  |-  ( z  =  ( x  x.  N )  ->  (
( z  gcd  M
)  =  N  <->  ( (
x  x.  N )  gcd  M )  =  N ) )
55 hashgcdlem.b . . . . 5  |-  B  =  { z  e.  ( 0..^ M )  |  ( z  gcd  M
)  =  N }
5654, 55elrab2 2772 . . . 4  |-  ( ( x  x.  N )  e.  B  <->  ( (
x  x.  N )  e.  ( 0..^ M )  /\  ( ( x  x.  N )  gcd  M )  =  N ) )
5730, 52, 56sylanbrc 408 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  ( x  x.  N )  e.  B
)
585, 57sylan2b 281 . 2  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  x  e.  A )  ->  ( x  x.  N
)  e.  B )
59 oveq1 5641 . . . . 5  |-  ( z  =  w  ->  (
z  gcd  M )  =  ( w  gcd  M ) )
6059eqeq1d 2096 . . . 4  |-  ( z  =  w  ->  (
( z  gcd  M
)  =  N  <->  ( w  gcd  M )  =  N ) )
6160, 55elrab2 2772 . . 3  |-  ( w  e.  B  <->  ( w  e.  ( 0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )
62 simprr 499 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( w  gcd  M )  =  N )
63 elfzoelz 9523 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  ( 0..^ M )  ->  w  e.  ZZ )
6463ad2antrl 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  w  e.  ZZ )
65 simpl1 946 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  M  e.  NN )
6665nnzd 8837 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  M  e.  ZZ )
67 gcddvds 11035 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( w  gcd  M )  ||  w  /\  ( w  gcd  M ) 
||  M ) )
6864, 66, 67syl2anc 403 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( ( w  gcd  M )  ||  w  /\  ( w  gcd  M )  ||  M ) )
6968simpld 110 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( w  gcd  M )  ||  w )
7062, 69eqbrtrrd 3859 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  N  ||  w
)
71 nnz 8739 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
72713ad2ant2 965 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  ->  N  e.  ZZ )
7372adantr 270 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  N  e.  ZZ )
74 nnne0 8422 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
75743ad2ant2 965 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  ->  N  =/=  0 )
7675adantr 270 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  N  =/=  0
)
77 dvdsval2 10879 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0  /\  w  e.  ZZ )  ->  ( N  ||  w  <->  ( w  /  N )  e.  ZZ ) )
7873, 76, 64, 77syl3anc 1174 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( N  ||  w 
<->  ( w  /  N
)  e.  ZZ ) )
7970, 78mpbid 145 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( w  /  N )  e.  ZZ )
80 elfzofz 9538 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  ( 0..^ M )  ->  w  e.  ( 0 ... M
) )
8180ad2antrl 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  w  e.  ( 0 ... M ) )
82 elfznn0 9495 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  ( 0 ... M )  ->  w  e.  NN0 )
83 nn0re 8652 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  NN0  ->  w  e.  RR )
84 nn0ge0 8668 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  NN0  ->  0  <_  w )
8583, 84jca 300 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  NN0  ->  ( w  e.  RR  /\  0  <_  w ) )
8681, 82, 853syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( w  e.  RR  /\  0  <_  w ) )
8724adantr 270 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( N  e.  RR  /\  0  < 
N ) )
88 divge0 8306 . . . . . . 7  |-  ( ( ( w  e.  RR  /\  0  <_  w )  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  ->  0  <_  ( w  /  N ) )
8986, 87, 88syl2anc 403 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  0  <_  (
w  /  N ) )
90 elnn0z 8733 . . . . . 6  |-  ( ( w  /  N )  e.  NN0  <->  ( ( w  /  N )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( w  /  N
) ) )
9179, 89, 90sylanbrc 408 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( w  /  N )  e.  NN0 )
9242adantr 270 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( M  /  N )  e.  NN )
93 elfzolt2 9532 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  ( 0..^ M )  ->  w  <  M )
9493ad2antrl 474 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  w  <  M
)
9564zred 8838 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  w  e.  RR )
9619adantr 270 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  M  e.  RR )
97 ltdiv1 8301 . . . . . . 7  |-  ( ( w  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  -> 
( w  <  M  <->  ( w  /  N )  <  ( M  /  N ) ) )
9895, 96, 87, 97syl3anc 1174 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( w  < 
M  <->  ( w  /  N )  <  ( M  /  N ) ) )
9994, 98mpbid 145 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( w  /  N )  <  ( M  /  N ) )
100 elfzo0 9558 . . . . 5  |-  ( ( w  /  N )  e.  ( 0..^ ( M  /  N ) )  <->  ( ( w  /  N )  e. 
NN0  /\  ( M  /  N )  e.  NN  /\  ( w  /  N
)  <  ( M  /  N ) ) )
10191, 92, 99, 100syl3anbrc 1127 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( w  /  N )  e.  ( 0..^ ( M  /  N ) ) )
10262oveq1d 5649 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( ( w  gcd  M )  /  N )  =  ( N  /  N ) )
103 simpl2 947 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  N  e.  NN )
104 simpl3 948 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  N  ||  M
)
105 gcddiv 11088 . . . . . 6  |-  ( ( ( w  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  ( N  ||  w  /\  N  ||  M ) )  ->  ( (
w  gcd  M )  /  N )  =  ( ( w  /  N
)  gcd  ( M  /  N ) ) )
10664, 66, 103, 70, 104, 105syl32anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( ( w  gcd  M )  /  N )  =  ( ( w  /  N
)  gcd  ( M  /  N ) ) )
10734, 36dividapd 8227 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  ->  ( N  /  N )  =  1 )
108107adantr 270 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( N  /  N )  =  1 )
109102, 106, 1083eqtr3d 2128 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( ( w  /  N )  gcd  ( M  /  N
) )  =  1 )
110 oveq1 5641 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( w  /  N )  ->  (
y  gcd  ( M  /  N ) )  =  ( ( w  /  N )  gcd  ( M  /  N ) ) )
111110eqeq1d 2096 . . . . 5  |-  ( y  =  ( w  /  N )  ->  (
( y  gcd  ( M  /  N ) )  =  1  <->  ( (
w  /  N )  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )
112111, 4elrab2 2772 . . . 4  |-  ( ( w  /  N )  e.  A  <->  ( (
w  /  N )  e.  ( 0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( ( w  /  N )  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )
113101, 109, 112sylanbrc 408 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( w  /  N )  e.  A
)
11461, 113sylan2b 281 . 2  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  w  e.  B )  ->  ( w  /  N
)  e.  A )
1155simplbi 268 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  x  e.  ( 0..^ ( M  /  N ) ) )
11661simplbi 268 . . . 4  |-  ( w  e.  B  ->  w  e.  ( 0..^ M ) )
117115, 116anim12i 331 . . 3  |-  ( ( x  e.  A  /\  w  e.  B )  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( M  /  N ) )  /\  w  e.  ( 0..^ M ) ) )
11863ad2antll 475 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  w  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  w  e.  ZZ )
119118zcnd 8839 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  w  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  w  e.  CC )
12034adantr 270 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  w  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  N  e.  CC )
12136adantr 270 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  w  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  N #  0 )
122119, 120, 121divcanap1d 8231 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  w  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  ( ( w  /  N )  x.  N )  =  w )
123122eqcomd 2093 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  w  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  w  =  ( ( w  /  N
)  x.  N ) )
124 oveq1 5641 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( w  /  N )  ->  (
x  x.  N )  =  ( ( w  /  N )  x.  N ) )
125124eqeq2d 2099 . . . . 5  |-  ( x  =  ( w  /  N )  ->  (
w  =  ( x  x.  N )  <->  w  =  ( ( w  /  N )  x.  N
) ) )
126123, 125syl5ibrcom 155 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  w  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  ( x  =  ( w  /  N
)  ->  w  =  ( x  x.  N
) ) )
12715ad2antrl 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  w  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  x  e.  ZZ )
128127zcnd 8839 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  w  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  x  e.  CC )
129128, 120, 121divcanap4d 8236 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  w  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  ( ( x  x.  N )  /  N )  =  x )
130129eqcomd 2093 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  w  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  x  =  ( ( x  x.  N
)  /  N ) )
131 oveq1 5641 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( x  x.  N )  ->  (
w  /  N )  =  ( ( x  x.  N )  /  N ) )
132131eqeq2d 2099 . . . . 5  |-  ( w  =  ( x  x.  N )  ->  (
x  =  ( w  /  N )  <->  x  =  ( ( x  x.  N )  /  N
) ) )
133130, 132syl5ibrcom 155 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  w  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  ( w  =  ( x  x.  N
)  ->  x  =  ( w  /  N
) ) )
134126, 133impbid 127 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  w  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  ( x  =  ( w  /  N
)  <->  w  =  (
x  x.  N ) ) )
135117, 134sylan2 280 . 2  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  A  /\  w  e.  B
) )  ->  (
x  =  ( w  /  N )  <->  w  =  ( x  x.  N
) ) )
1361, 58, 114, 135f1o2d 5831 1  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  ->  F : A -1-1-onto-> B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    /\ w3a 924    = wceq 1289    e. wcel 1438    =/= wne 2255   {crab 2363   class class class wbr 3837    |-> cmpt 3891   -1-1-onto->wf1o 5001  (class class class)co 5634   CCcc 7327   RRcr 7328   0cc0 7329   1c1 7330    x. cmul 7334    < clt 7501    <_ cle 7502   # cap 8034    / cdiv 8113   NNcn 8394   NN0cn0 8643   ZZcz 8720   ...cfz 9393  ..^cfzo 9518    || cdvds 10876    gcd cgcd 11018
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442  ax-arch 7443  ax-caucvg 7444
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-iord 4184  df-on 4186  df-ilim 4187  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-frec 6138  df-sup 6658  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-inn 8395  df-2 8452  df-3 8453  df-4 8454  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-q 9074  df-rp 9104  df-fz 9394  df-fzo 9519  df-fl 9642  df-mod 9695  df-iseq 9818  df-seq3 9819  df-exp 9919  df-cj 10240  df-re 10241  df-im 10242  df-rsqrt 10395  df-abs 10396  df-dvds 10877  df-gcd 11019
This theorem is referenced by:  hashgcdeq  11284
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