Theorem hashgcdlem 12935

Description: A correspondence between elements of specific GCD and relative primes in a smaller ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashgcdlem.a	|- A = { y e. ( 0..^ ( M / N ) ) | ( y gcd ( M / N ) ) = 1 }
hashgcdlem.b	|- B = { z e. ( 0..^ M ) | ( z gcd M ) = N }
hashgcdlem.f	|- F = ( x e. A |-> ( x x. N ) )

Assertion

Ref	Expression
hashgcdlem	|- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) -> F : A -1-1-onto-> B )

Distinct variable groups:   x, y, M   x, z, M   x, A   x, B   x, N, y   z, N

Allowed substitution hints:   A( y, z)   B( y, z)   F( x, y, z)

Proof of Theorem hashgcdlem

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashgcdlem.f	. 2 |- F = ( x e. A |-> ( x x. N ) )
2		oveq1 6057	. . . . 5 |- ( y = x -> ( y gcd ( M / N ) ) = ( x gcd ( M / N ) ) )
3	2	eqeq1d 2241	. . . 4 |- ( y = x -> ( ( y gcd ( M / N ) ) = 1 <-> ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) )
4		hashgcdlem.a	. . . 4 |- A = { y e. ( 0..^ ( M / N ) ) | ( y gcd ( M / N ) ) = 1 }
5	3, 4	elrab2 2976	. . 3 |- ( x e. A <-> ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) )
6		elfzonn0 10525	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) -> x e. NN0 )
7	6	ad2antrl 490	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> x e. NN0 )
8		nnnn0 9503	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
9	8	3ad2ant2 1046	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) -> N e. NN0 )
10	9	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> N e. NN0 )
11	7, 10	nn0mulcld 9558	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> ( x x. N ) e. NN0 )
12		simpl1 1027	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> M e. NN )
13		elfzolt2 10491	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) -> x < ( M / N ) )
14	13	ad2antrl 490	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> x < ( M / N ) )
15		elfzoelz 10481	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) -> x e. ZZ )
16	15	ad2antrl 490	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> x e. ZZ )
17	16	zred 9700	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> x e. RR )
18		nnre 9244	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> M e. RR )
19	18	3ad2ant1 1045	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) -> M e. RR )
20	19	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> M e. RR )
21		nnre 9244	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> N e. RR )
22		nngt0 9262	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> 0 < N )
23	21, 22	jca 306	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( N e. RR /\ 0 < N ) )
24	23	3ad2ant2 1046	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) -> ( N e. RR /\ 0 < N ) )
25	24	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> ( N e. RR /\ 0 < N ) )
26		ltmuldiv 9148	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ M e. RR /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> ( ( x x. N ) < M <-> x < ( M / N ) ) )
27	17, 20, 25, 26	syl3anc 1274	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> ( ( x x. N ) < M <-> x < ( M / N ) ) )
28	14, 27	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> ( x x. N ) < M )
29		elfzo0 10520	. . . . 5 |- ( ( x x. N ) e. ( 0..^ M ) <-> ( ( x x. N ) e. NN0 /\ M e. NN /\ ( x x. N ) < M ) )
30	11, 12, 28, 29	syl3anbrc 1208	. . . 4 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> ( x x. N ) e. ( 0..^ M ) )
31		nncn 9245	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN -> M e. CC )
32	31	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) -> M e. CC )
33		nncn 9245	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> N e. CC )
34	33	3ad2ant2 1046	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) -> N e. CC )
35		nnap0 9266	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> N # 0 )
36	35	3ad2ant2 1046	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) -> N # 0 )
37	32, 34, 36	divcanap1d 9065	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) -> ( ( M / N ) x. N ) = M )
38	37	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> ( ( M / N ) x. N ) = M )
39	38	eqcomd 2238	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> M = ( ( M / N ) x. N ) )
40	39	oveq2d 6066	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> ( ( x x. N ) gcd M ) = ( ( x x. N ) gcd ( ( M / N ) x. N ) ) )
41		nndivdvds 12482	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( N || M <-> ( M / N ) e. NN ) )
42	41	biimp3a 1382	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) -> ( M / N ) e. NN )
43	42	nnzd 9699	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) -> ( M / N ) e. ZZ )
44	43	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> ( M / N ) e. ZZ )
45		mulgcdr 12714	. . . . . 6 |- ( ( x e. ZZ /\ ( M / N ) e. ZZ /\ N e. NN0 ) -> ( ( x x. N ) gcd ( ( M / N ) x. N ) ) = ( ( x gcd ( M / N ) ) x. N ) )
46	16, 44, 10, 45	syl3anc 1274	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> ( ( x x. N ) gcd ( ( M / N ) x. N ) ) = ( ( x gcd ( M / N ) ) x. N ) )
47		simprr 533	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> ( x gcd ( M / N ) ) = 1 )
48	47	oveq1d 6065	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> ( ( x gcd ( M / N ) ) x. N ) = ( 1 x. N ) )
49	34	mullidd 8292	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) -> ( 1 x. N ) = N )
50	49	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> ( 1 x. N ) = N )
51	48, 50	eqtrd 2265	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> ( ( x gcd ( M / N ) ) x. N ) = N )
52	40, 46, 51	3eqtrd 2269	. . . 4 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> ( ( x x. N ) gcd M ) = N )
53		oveq1 6057	. . . . . 6 |- ( z = ( x x. N ) -> ( z gcd M ) = ( ( x x. N ) gcd M ) )
54	53	eqeq1d 2241	. . . . 5 |- ( z = ( x x. N ) -> ( ( z gcd M ) = N <-> ( ( x x. N ) gcd M ) = N ) )
55		hashgcdlem.b	. . . . 5 |- B = { z e. ( 0..^ M ) | ( z gcd M ) = N }
56	54, 55	elrab2 2976	. . . 4 |- ( ( x x. N ) e. B <-> ( ( x x. N ) e. ( 0..^ M ) /\ ( ( x x. N ) gcd M ) = N ) )
57	30, 52, 56	sylanbrc 417	. . 3 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( x gcd ( M / N ) ) = 1 ) ) -> ( x x. N ) e. B )
58	5, 57	sylan2b 287	. 2 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ x e. A ) -> ( x x. N ) e. B )
59		oveq1 6057	. . . . 5 |- ( z = w -> ( z gcd M ) = ( w gcd M ) )
60	59	eqeq1d 2241	. . . 4 |- ( z = w -> ( ( z gcd M ) = N <-> ( w gcd M ) = N ) )
61	60, 55	elrab2 2976	. . 3 |- ( w e. B <-> ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) )
62		simprr 533	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( w gcd M ) = N )
63		elfzoelz 10481	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. ( 0..^ M ) -> w e. ZZ )
64	63	ad2antrl 490	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> w e. ZZ )
65		simpl1 1027	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> M e. NN )
66	65	nnzd 9699	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> M e. ZZ )
67		gcddvds 12659	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( w gcd M ) || w /\ ( w gcd M ) || M ) )
68	64, 66, 67	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( ( w gcd M ) || w /\ ( w gcd M ) || M ) )
69	68	simpld 112	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( w gcd M ) || w )
70	62, 69	eqbrtrrd 4133	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> N || w )
71		nnz 9596	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
72	71	3ad2ant2 1046	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) -> N e. ZZ )
73	72	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> N e. ZZ )
74		nnne0 9265	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> N =/= 0 )
75	74	3ad2ant2 1046	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) -> N =/= 0 )
76	75	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> N =/= 0 )
77		dvdsval2 12476	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ N =/= 0 /\ w e. ZZ ) -> ( N || w <-> ( w / N ) e. ZZ ) )
78	73, 76, 64, 77	syl3anc 1274	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( N || w <-> ( w / N ) e. ZZ ) )
79	70, 78	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( w / N ) e. ZZ )
80		elfzofz 10497	. . . . . . . . 9 |- ( w e. ( 0..^ M ) -> w e. ( 0 ... M ) )
81	80	ad2antrl 490	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> w e. ( 0 ... M ) )
82		elfznn0 10448	. . . . . . . 8 |- ( w e. ( 0 ... M ) -> w e. NN0 )
83		nn0re 9505	. . . . . . . . 9 |- ( w e. NN0 -> w e. RR )
84		nn0ge0 9521	. . . . . . . . 9 |- ( w e. NN0 -> 0 <_ w )
85	83, 84	jca 306	. . . . . . . 8 |- ( w e. NN0 -> ( w e. RR /\ 0 <_ w ) )
86	81, 82, 85	3syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( w e. RR /\ 0 <_ w ) )
87	24	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( N e. RR /\ 0 < N ) )
88		divge0 9147	. . . . . . 7 |- ( ( ( w e. RR /\ 0 <_ w ) /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> 0 <_ ( w / N ) )
89	86, 87, 88	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> 0 <_ ( w / N ) )
90		elnn0z 9590	. . . . . 6 |- ( ( w / N ) e. NN0 <-> ( ( w / N ) e. ZZ /\ 0 <_ ( w / N ) ) )
91	79, 89, 90	sylanbrc 417	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( w / N ) e. NN0 )
92	42	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( M / N ) e. NN )
93		elfzolt2 10491	. . . . . . 7 |- ( w e. ( 0..^ M ) -> w < M )
94	93	ad2antrl 490	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> w < M )
95	64	zred 9700	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> w e. RR )
96	19	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> M e. RR )
97		ltdiv1 9142	. . . . . . 7 |- ( ( w e. RR /\ M e. RR /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> ( w < M <-> ( w / N ) < ( M / N ) ) )
98	95, 96, 87, 97	syl3anc 1274	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( w < M <-> ( w / N ) < ( M / N ) ) )
99	94, 98	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( w / N ) < ( M / N ) )
100		elfzo0 10520	. . . . 5 |- ( ( w / N ) e. ( 0..^ ( M / N ) ) <-> ( ( w / N ) e. NN0 /\ ( M / N ) e. NN /\ ( w / N ) < ( M / N ) ) )
101	91, 92, 99, 100	syl3anbrc 1208	. . . 4 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( w / N ) e. ( 0..^ ( M / N ) ) )
102	62	oveq1d 6065	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( ( w gcd M ) / N ) = ( N / N ) )
103		simpl2 1028	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> N e. NN )
104		simpl3 1029	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> N || M )
105		gcddiv 12715	. . . . . 6 |- ( ( ( w e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. NN ) /\ ( N || w /\ N || M ) ) -> ( ( w gcd M ) / N ) = ( ( w / N ) gcd ( M / N ) ) )
106	64, 66, 103, 70, 104, 105	syl32anc 1282	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( ( w gcd M ) / N ) = ( ( w / N ) gcd ( M / N ) ) )
107	34, 36	dividapd 9060	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) -> ( N / N ) = 1 )
108	107	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( N / N ) = 1 )
109	102, 106, 108	3eqtr3d 2273	. . . 4 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( ( w / N ) gcd ( M / N ) ) = 1 )
110		oveq1 6057	. . . . . 6 |- ( y = ( w / N ) -> ( y gcd ( M / N ) ) = ( ( w / N ) gcd ( M / N ) ) )
111	110	eqeq1d 2241	. . . . 5 |- ( y = ( w / N ) -> ( ( y gcd ( M / N ) ) = 1 <-> ( ( w / N ) gcd ( M / N ) ) = 1 ) )
112	111, 4	elrab2 2976	. . . 4 |- ( ( w / N ) e. A <-> ( ( w / N ) e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ ( ( w / N ) gcd ( M / N ) ) = 1 ) )
113	101, 109, 112	sylanbrc 417	. . 3 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( w e. ( 0..^ M ) /\ ( w gcd M ) = N ) ) -> ( w / N ) e. A )
114	61, 113	sylan2b 287	. 2 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ w e. B ) -> ( w / N ) e. A )
115	5	simplbi 274	. . . 4 |- ( x e. A -> x e. ( 0..^ ( M / N ) ) )
116	61	simplbi 274	. . . 4 |- ( w e. B -> w e. ( 0..^ M ) )
117	115, 116	anim12i 338	. . 3 |- ( ( x e. A /\ w e. B ) -> ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ w e. ( 0..^ M ) ) )
118	63	ad2antll 491	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ w e. ( 0..^ M ) ) ) -> w e. ZZ )
119	118	zcnd 9701	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ w e. ( 0..^ M ) ) ) -> w e. CC )
120	34	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ w e. ( 0..^ M ) ) ) -> N e. CC )
121	36	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ w e. ( 0..^ M ) ) ) -> N # 0 )
122	119, 120, 121	divcanap1d 9065	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ w e. ( 0..^ M ) ) ) -> ( ( w / N ) x. N ) = w )
123	122	eqcomd 2238	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ w e. ( 0..^ M ) ) ) -> w = ( ( w / N ) x. N ) )
124		oveq1 6057	. . . . . 6 |- ( x = ( w / N ) -> ( x x. N ) = ( ( w / N ) x. N ) )
125	124	eqeq2d 2244	. . . . 5 |- ( x = ( w / N ) -> ( w = ( x x. N ) <-> w = ( ( w / N ) x. N ) ) )
126	123, 125	syl5ibrcom 157	. . . 4 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ w e. ( 0..^ M ) ) ) -> ( x = ( w / N ) -> w = ( x x. N ) ) )
127	15	ad2antrl 490	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ w e. ( 0..^ M ) ) ) -> x e. ZZ )
128	127	zcnd 9701	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ w e. ( 0..^ M ) ) ) -> x e. CC )
129	128, 120, 121	divcanap4d 9070	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ w e. ( 0..^ M ) ) ) -> ( ( x x. N ) / N ) = x )
130	129	eqcomd 2238	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ w e. ( 0..^ M ) ) ) -> x = ( ( x x. N ) / N ) )
131		oveq1 6057	. . . . . 6 |- ( w = ( x x. N ) -> ( w / N ) = ( ( x x. N ) / N ) )
132	131	eqeq2d 2244	. . . . 5 |- ( w = ( x x. N ) -> ( x = ( w / N ) <-> x = ( ( x x. N ) / N ) ) )
133	130, 132	syl5ibrcom 157	. . . 4 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ w e. ( 0..^ M ) ) ) -> ( w = ( x x. N ) -> x = ( w / N ) ) )
134	126, 133	impbid 129	. . 3 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. ( 0..^ ( M / N ) ) /\ w e. ( 0..^ M ) ) ) -> ( x = ( w / N ) <-> w = ( x x. N ) ) )
135	117, 134	sylan2 286	. 2 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) /\ ( x e. A /\ w e. B ) ) -> ( x = ( w / N ) <-> w = ( x x. N ) ) )
136	1, 58, 114, 135	f1o2d 6260	1 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ N || M ) -> F : A -1-1-onto-> B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2203   =/= wne 2412   {crab 2524   class class class wbr 4109   |-> cmpt 4171   -1-1-onto->wf1o 5351  (class class class)co 6050   CCcc 8125   RRcr 8126   0cc0 8127   1c1 8128   x. cmul 8132   < clt 8308   <_ cle 8309   # cap 8855   / cdiv 8946   NNcn 9237   NN0cn0 9496   ZZcz 9577   ...cfz 10342  ..^cfzo 10476   || cdvds 12473   gcd cgcd 12649

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245  ax-arch 8246  ax-caucvg 8247

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-sup 7275  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-q 9952  df-rp 9987  df-fz 10343  df-fzo 10477  df-fl 10630  df-mod 10685  df-seqfrec 10810  df-exp 10901  df-cj 11527  df-re 11528  df-im 11529  df-rsqrt 11683  df-abs 11684  df-dvds 12474  df-gcd 12650

This theorem is referenced by:  hashgcdeq  12937