Theorem omp1eomlem 7075

Description: Lemma for omp1eom 7076. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
omp1eom.f	|- F = ( x e. om |-> if ( x = (/) , (inr ` x ) , (inl ` U. x ) ) )
omp1eom.s	|- S = ( x e. om |-> suc x )
omp1eom.g	|- G = case ( S , ( _I |` 1o ) )

Assertion

Ref	Expression
omp1eomlem	|- F : om -1-1-onto-> ( om ⊔ 1o )

Distinct variable group:   x, G

Allowed substitution hints:   S( x)   F( x)

Proof of Theorem omp1eomlem

Dummy variables z y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omp1eom.f	. . 3 |- F = ( x e. om |-> if ( x = (/) , (inr ` x ) , (inl ` U. x ) ) )
2		el1o 6420	. . . . . . 7 |- ( x e. 1o <-> x = (/) )
3	2	biimpri 132	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> x e. 1o )
4	3	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( ( T. /\ x e. om ) /\ x = (/) ) -> x e. 1o )
5		djurcl 7033	. . . . 5 |- ( x e. 1o -> (inr ` x ) e. ( om ⊔ 1o ) )
6	4, 5	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( T. /\ x e. om ) /\ x = (/) ) -> (inr ` x ) e. ( om ⊔ 1o ) )
7		nnpredcl 4608	. . . . . 6 |- ( x e. om -> U. x e. om )
8	7	ad2antlr 487	. . . . 5 |- ( ( ( T. /\ x e. om ) /\ -. x = (/) ) -> U. x e. om )
9		djulcl 7032	. . . . 5 |- ( U. x e. om -> (inl ` U. x ) e. ( om ⊔ 1o ) )
10	8, 9	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( T. /\ x e. om ) /\ -. x = (/) ) -> (inl ` U. x ) e. ( om ⊔ 1o ) )
11		nndceq0 4603	. . . . 5 |- ( x e. om -> DECID x = (/) )
12	11	adantl 275	. . . 4 |- ( ( T. /\ x e. om ) -> DECID x = (/) )
13	6, 10, 12	ifcldadc 3556	. . 3 |- ( ( T. /\ x e. om ) -> if ( x = (/) , (inr ` x ) , (inl ` U. x ) ) e. ( om ⊔ 1o ) )
14		omp1eom.s	. . . . . . . 8 |- S = ( x e. om |-> suc x )
15		peano2 4580	. . . . . . . 8 |- ( x e. om -> suc x e. om )
16	14, 15	fmpti 5652	. . . . . . 7 |- S : om --> om
17	16	a1i 9	. . . . . 6 |- ( T. -> S : om --> om )
18		f1oi 5483	. . . . . . . . 9 |- ( _I |` 1o ) : 1o -1-1-onto-> 1o
19		f1of 5445	. . . . . . . . 9 |- ( ( _I |` 1o ) : 1o -1-1-onto-> 1o -> ( _I |` 1o ) : 1o --> 1o )
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( _I |` 1o ) : 1o --> 1o
21		1onn 6503	. . . . . . . . 9 |- 1o e. om
22		omelon 4594	. . . . . . . . . 10 |- om e. On
23	22	onelssi 4415	. . . . . . . . 9 |- ( 1o e. om -> 1o C_ om )
24	21, 23	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- 1o C_ om
25		fss 5361	. . . . . . . 8 |- ( ( ( _I |` 1o ) : 1o --> 1o /\ 1o C_ om ) -> ( _I |` 1o ) : 1o --> om )
26	20, 24, 25	mp2an 424	. . . . . . 7 |- ( _I |` 1o ) : 1o --> om
27	26	a1i 9	. . . . . 6 |- ( T. -> ( _I |` 1o ) : 1o --> om )
28	17, 27	casef 7069	. . . . 5 |- ( T. -> case ( S , ( _I |` 1o ) ) : ( om ⊔ 1o ) --> om )
29		omp1eom.g	. . . . . 6 |- G = case ( S , ( _I |` 1o ) )
30	29	feq1i 5342	. . . . 5 |- ( G : ( om ⊔ 1o ) --> om <-> case ( S , ( _I |` 1o ) ) : ( om ⊔ 1o ) --> om )
31	28, 30	sylibr 133	. . . 4 |- ( T. -> G : ( om ⊔ 1o ) --> om )
32	31	ffvelcdmda 5635	. . 3 |- ( ( T. /\ y e. ( om ⊔ 1o ) ) -> ( G ` y ) e. om )
33		ffn 5349	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( S : om --> om -> S Fn om )
34	16, 33	mp1i 10	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. om /\ y = (inl ` z ) ) -> S Fn om )
35		ffun 5352	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( _I |` 1o ) : 1o --> 1o -> Fun ( _I |` 1o ) )
36	20, 35	mp1i 10	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. om /\ y = (inl ` z ) ) -> Fun ( _I |` 1o ) )
37		simpl 108	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. om /\ y = (inl ` z ) ) -> z e. om )
38	34, 36, 37	caseinl 7072	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. om /\ y = (inl ` z ) ) -> (case ( S , ( _I |` 1o ) ) ` (inl ` z ) ) = ( S ` z ) )
39	29	eqcomi 2175	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- case ( S , ( _I |` 1o ) ) = G
40	39	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. om /\ y = (inl ` z ) ) -> case ( S , ( _I |` 1o ) ) = G )
41		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. om /\ y = (inl ` z ) ) -> y = (inl ` z ) )
42	41	eqcomd 2177	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. om /\ y = (inl ` z ) ) -> (inl ` z ) = y )
43	40, 42	fveq12d 5506	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. om /\ y = (inl ` z ) ) -> (case ( S , ( _I |` 1o ) ) ` (inl ` z ) ) = ( G ` y ) )
44		peano2 4580	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. om -> suc z e. om )
45		suceq 4388	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = z -> suc x = suc z )
46	45, 14	fvmptg 5576	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. om /\ suc z e. om ) -> ( S ` z ) = suc z )
47	44, 46	mpdan 419	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. om -> ( S ` z ) = suc z )
48	47	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. om /\ y = (inl ` z ) ) -> ( S ` z ) = suc z )
49	38, 43, 48	3eqtr3d 2212	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. om /\ y = (inl ` z ) ) -> ( G ` y ) = suc z )
50		peano3 4581	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. om -> suc z =/= (/) )
51	50	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. om /\ y = (inl ` z ) ) -> suc z =/= (/) )
52	49, 51	eqnetrd 2365	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. om /\ y = (inl ` z ) ) -> ( G ` y ) =/= (/) )
53	52	adantl 275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. ( om ⊔ 1o ) ) /\ x = (/) ) /\ ( z e. om /\ y = (inl ` z ) ) ) -> ( G ` y ) =/= (/) )
54	53	necomd 2427	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. ( om ⊔ 1o ) ) /\ x = (/) ) /\ ( z e. om /\ y = (inl ` z ) ) ) -> (/) =/= ( G ` y ) )
55	54	neneqd 2362	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. ( om ⊔ 1o ) ) /\ x = (/) ) /\ ( z e. om /\ y = (inl ` z ) ) ) -> -. (/) = ( G ` y ) )
56		simplr 526	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. ( om ⊔ 1o ) ) /\ x = (/) ) /\ ( z e. om /\ y = (inl ` z ) ) ) -> x = (/) )
57	56	eqeq1d 2180	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. ( om ⊔ 1o ) ) /\ x = (/) ) /\ ( z e. om /\ y = (inl ` z ) ) ) -> ( x = ( G ` y ) <-> (/) = ( G ` y ) ) )
58	55, 57	mtbird 669	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. ( om ⊔ 1o ) ) /\ x = (/) ) /\ ( z e. om /\ y = (inl ` z ) ) ) -> -. x = ( G ` y ) )
59		djune 7059	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. _V /\ x e. _V ) -> (inl ` z ) =/= (inr ` x ) )
60	59	elvd 2736	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. _V -> (inl ` z ) =/= (inr ` x ) )
61	60	elv 2735	. . . . . . . . . 10 |- (inl ` z ) =/= (inr ` x )
62	61	neii 2343	. . . . . . . . 9 |- -. (inl ` z ) = (inr ` x )
63		simprr 528	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. ( om ⊔ 1o ) ) /\ x = (/) ) /\ ( z e. om /\ y = (inl ` z ) ) ) -> y = (inl ` z ) )
64		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. om /\ y e. ( om ⊔ 1o ) ) /\ x = (/) ) -> x = (/) )
65	64	iftrued 3534	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. om /\ y e. ( om ⊔ 1o ) ) /\ x = (/) ) -> if ( x = (/) , (inr ` x ) , (inl ` U. x ) ) = (inr ` x ) )
66	65	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. ( om ⊔ 1o ) ) /\ x = (/) ) /\ ( z e. om /\ y = (inl ` z ) ) ) -> if ( x = (/) , (inr ` x ) , (inl ` U. x ) ) = (inr ` x ) )
67	63, 66	eqeq12d 2186	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. ( om ⊔ 1o ) ) /\ x = (/) ) /\ ( z e. om /\ y = (inl ` z ) ) ) -> ( y = if ( x = (/) , (inr ` x ) , (inl ` U. x ) ) <-> (inl ` z ) = (inr ` x ) ) )
68	62, 67	mtbiri 671	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. ( om ⊔ 1o ) ) /\ x = (/) ) /\ ( z e. om /\ y = (inl ` z ) ) ) -> -. y = if ( x = (/) , (inr ` x ) , (inl ` U. x ) ) )
69	58, 68	2falsed 698	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. ( om ⊔ 1o ) ) /\ x = (/) ) /\ ( z e. om /\ y = (inl ` z ) ) ) -> ( x = ( G ` y ) <-> y = if ( x = (/) , (inr ` x ) , (inl ` U. x ) ) ) )
70	69	rexlimdvaa 2589	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. om /\ y e. ( om ⊔ 1o ) ) /\ x = (/) ) -> ( E. z e. om y = (inl ` z ) -> ( x = ( G ` y ) <-> y = if ( x = (/) , (inr ` x ) , (inl ` U. x ) ) ) ) )
71		simplr 526	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. ( om ⊔ 1o ) ) /\ x = (/) ) /\ ( z e. 1o /\ y = (inr ` z ) ) ) -> x = (/) )
72	29	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. 1o /\ y = (inr ` z ) ) -> G = case ( S , ( _I |` 1o ) ) )
73		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. 1o /\ y = (inr ` z ) ) -> y = (inr ` z ) )
74	72, 73	fveq12d 5506	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. 1o /\ y = (inr ` z ) ) -> ( G ` y ) = (case ( S , ( _I |` 1o ) ) ` (inr ` z ) ) )
75	14	funmpt2 5239	. . . . . . . . . . . . . 14 |- Fun S
76	75	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. 1o /\ y = (inr ` z ) ) -> Fun S )
77		fnresi 5317	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( _I |` 1o ) Fn 1o
78	77	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. 1o /\ y = (inr ` z ) ) -> ( _I |` 1o ) Fn 1o )
79		simpl 108	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. 1o /\ y = (inr ` z ) ) -> z e. 1o )
80	76, 78, 79	caseinr 7073	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. 1o /\ y = (inr ` z ) ) -> (case ( S , ( _I |` 1o ) ) ` (inr ` z ) ) = ( ( _I |` 1o ) ` z ) )
81		fvresi 5693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. 1o -> ( ( _I |` 1o ) ` z ) = z )
82	81	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. 1o /\ y = (inr ` z ) ) -> ( ( _I |` 1o ) ` z ) = z )
83	80, 82	eqtrd 2204	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. 1o /\ y = (inr ` z ) ) -> (case ( S , ( _I |` 1o ) ) ` (inr ` z ) ) = z )
84		el1o 6420	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. 1o <-> z = (/) )
85	79, 84	sylib 121	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. 1o /\ y = (inr ` z ) ) -> z = (/) )
86	74, 83, 85	3eqtrd 2208	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. 1o /\ y = (inr ` z ) ) -> ( G ` y ) = (/) )
87	86	adantl 275	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. ( om ⊔ 1o ) ) /\ x = (/) ) /\ ( z e. 1o /\ y = (inr ` z ) ) ) -> ( G ` y ) = (/) )
88	71, 87	eqtr4d 2207	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. ( om ⊔ 1o ) ) /\ x = (/) ) /\ ( z e. 1o /\ y = (inr ` z ) ) ) -> x = ( G ` y ) )
89	85	adantl 275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. ( om ⊔ 1o ) ) /\ x = (/) ) /\ ( z e. 1o /\ y = (inr ` z ) ) ) -> z = (/) )
90	71, 89	eqtr4d 2207	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. ( om ⊔ 1o ) ) /\ x = (/) ) /\ ( z e. 1o /\ y = (inr ` z ) ) ) -> x = z )
91	90	fveq2d 5503	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. ( om ⊔ 1o ) ) /\ x = (/) ) /\ ( z e. 1o /\ y = (inr ` z ) ) ) -> (inr ` x ) = (inr ` z ) )
92	65	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. ( om ⊔ 1o ) ) /\ x = (/) ) /\ ( z e. 1o /\ y = (inr ` z ) ) ) -> if ( x = (/) , (inr ` x ) , (inl ` U. x ) ) = (inr ` x ) )
93		simprr 528	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. ( om ⊔ 1o ) ) /\ x = (/) ) /\ ( z e. 1o /\ y = (inr ` z ) ) ) -> y = (inr ` z ) )
94	91, 92, 93	3eqtr4rd 2215	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. ( om ⊔ 1o ) ) /\ x = (/) ) /\ ( z e. 1o /\ y = (inr ` z ) ) ) -> y = if ( x = (/) , (inr ` x ) , (inl ` U. x ) ) )
95	88, 94	2thd 174	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. ( om ⊔ 1o ) ) /\ x = (/) ) /\ ( z e. 1o /\ y = (inr ` z ) ) ) -> ( x = ( G ` y ) <-> y = if ( x = (/) , (inr ` x ) , (inl ` U. x ) ) ) )
96	95	rexlimdvaa 2589	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. om /\ y e. ( om ⊔ 1o ) ) /\ x = (/) ) -> ( E. z e. 1o y = (inr ` z ) -> ( x = ( G ` y ) <-> y = if ( x = (/) , (inr ` x ) , (inl ` U. x ) ) ) ) )
97		djur 7050	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( om ⊔ 1o ) <-> ( E. z e. om y = (inl ` z ) \/ E. z e. 1o y = (inr ` z ) ) )
98	97	biimpi 119	. . . . . . 7 |- ( y e. ( om ⊔ 1o ) -> ( E. z e. om y = (inl ` z ) \/ E. z e. 1o y = (inr ` z ) ) )
99	98	ad2antlr 487	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. om /\ y e. ( om ⊔ 1o ) ) /\ x = (/) ) -> ( E. z e. om y = (inl ` z ) \/ E. z e. 1o y = (inr ` z ) ) )
100	70, 96, 99	mpjaod 714	. . . . 5 |- ( ( ( x e. om /\ y e. ( om ⊔ 1o ) ) /\ x = (/) ) -> ( x = ( G ` y ) <-> y = if ( x = (/) , (inr ` x ) , (inl ` U. x ) ) ) )
101		simplll 529	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. ( om ⊔ 1o ) ) /\ -. x = (/) ) /\ ( z e. om /\ y = (inl ` z ) ) ) -> x e. om )
102		simplr 526	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. ( om ⊔ 1o ) ) /\ -. x = (/) ) /\ ( z e. om /\ y = (inl ` z ) ) ) -> -. x = (/) )
103	102	neqned 2348	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. ( om ⊔ 1o ) ) /\ -. x = (/) ) /\ ( z e. om /\ y = (inl ` z ) ) ) -> x =/= (/) )
104		nnsucpred 4602	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. om /\ x =/= (/) ) -> suc U. x = x )
105	101, 103, 104	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. ( om ⊔ 1o ) ) /\ -. x = (/) ) /\ ( z e. om /\ y = (inl ` z ) ) ) -> suc U. x = x )
106	105	eqeq2d 2183	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. ( om ⊔ 1o ) ) /\ -. x = (/) ) /\ ( z e. om /\ y = (inl ` z ) ) ) -> ( suc z = suc U. x <-> suc z = x ) )
107		eqcom 2173	. . . . . . . . 9 |- ( suc z = x <-> x = suc z )
108	106, 107	bitrdi 195	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. ( om ⊔ 1o ) ) /\ -. x = (/) ) /\ ( z e. om /\ y = (inl ` z ) ) ) -> ( suc z = suc U. x <-> x = suc z ) )
109		simprr 528	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. ( om ⊔ 1o ) ) /\ -. x = (/) ) /\ ( z e. om /\ y = (inl ` z ) ) ) -> y = (inl ` z ) )
110		simpr 109	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. om /\ y e. ( om ⊔ 1o ) ) /\ -. x = (/) ) -> -. x = (/) )
111	110	iffalsed 3537	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. om /\ y e. ( om ⊔ 1o ) ) /\ -. x = (/) ) -> if ( x = (/) , (inr ` x ) , (inl ` U. x ) ) = (inl ` U. x ) )
112	111	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. ( om ⊔ 1o ) ) /\ -. x = (/) ) /\ ( z e. om /\ y = (inl ` z ) ) ) -> if ( x = (/) , (inr ` x ) , (inl ` U. x ) ) = (inl ` U. x ) )
113	109, 112	eqeq12d 2186	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. ( om ⊔ 1o ) ) /\ -. x = (/) ) /\ ( z e. om /\ y = (inl ` z ) ) ) -> ( y = if ( x = (/) , (inr ` x ) , (inl ` U. x ) ) <-> (inl ` z ) = (inl ` U. x ) ) )
114		vuniex 4424	. . . . . . . . . . . 12 |- U. x e. _V
115		inl11 7046	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. _V /\ U. x e. _V ) -> ( (inl ` z ) = (inl ` U. x ) <-> z = U. x ) )
116	114, 115	mpan2 423	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. _V -> ( (inl ` z ) = (inl ` U. x ) <-> z = U. x ) )
117	116	elv 2735	. . . . . . . . . 10 |- ( (inl ` z ) = (inl ` U. x ) <-> z = U. x )
118	113, 117	bitrdi 195	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. ( om ⊔ 1o ) ) /\ -. x = (/) ) /\ ( z e. om /\ y = (inl ` z ) ) ) -> ( y = if ( x = (/) , (inr ` x ) , (inl ` U. x ) ) <-> z = U. x ) )
119		nnon 4595	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. om -> z e. On )
120	119	ad2antrl 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. ( om ⊔ 1o ) ) /\ -. x = (/) ) /\ ( z e. om /\ y = (inl ` z ) ) ) -> z e. On )
121	7	ad3antrrr 490	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. ( om ⊔ 1o ) ) /\ -. x = (/) ) /\ ( z e. om /\ y = (inl ` z ) ) ) -> U. x e. om )
122		nnon 4595	. . . . . . . . . . 11 |- ( U. x e. om -> U. x e. On )
123	121, 122	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. ( om ⊔ 1o ) ) /\ -. x = (/) ) /\ ( z e. om /\ y = (inl ` z ) ) ) -> U. x e. On )
124		suc11 4543	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. On /\ U. x e. On ) -> ( suc z = suc U. x <-> z = U. x ) )
125	120, 123, 124	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. ( om ⊔ 1o ) ) /\ -. x = (/) ) /\ ( z e. om /\ y = (inl ` z ) ) ) -> ( suc z = suc U. x <-> z = U. x ) )
126	118, 125	bitr4d 190	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. ( om ⊔ 1o ) ) /\ -. x = (/) ) /\ ( z e. om /\ y = (inl ` z ) ) ) -> ( y = if ( x = (/) , (inr ` x ) , (inl ` U. x ) ) <-> suc z = suc U. x ) )
127	49	adantl 275	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. ( om ⊔ 1o ) ) /\ -. x = (/) ) /\ ( z e. om /\ y = (inl ` z ) ) ) -> ( G ` y ) = suc z )
128	127	eqeq2d 2183	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. ( om ⊔ 1o ) ) /\ -. x = (/) ) /\ ( z e. om /\ y = (inl ` z ) ) ) -> ( x = ( G ` y ) <-> x = suc z ) )
129	108, 126, 128	3bitr4rd 220	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. ( om ⊔ 1o ) ) /\ -. x = (/) ) /\ ( z e. om /\ y = (inl ` z ) ) ) -> ( x = ( G ` y ) <-> y = if ( x = (/) , (inr ` x ) , (inl ` U. x ) ) ) )
130	129	rexlimdvaa 2589	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. om /\ y e. ( om ⊔ 1o ) ) /\ -. x = (/) ) -> ( E. z e. om y = (inl ` z ) -> ( x = ( G ` y ) <-> y = if ( x = (/) , (inr ` x ) , (inl ` U. x ) ) ) ) )
131		simplr 526	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. ( om ⊔ 1o ) ) /\ -. x = (/) ) /\ ( z e. 1o /\ y = (inr ` z ) ) ) -> -. x = (/) )
132	86	adantl 275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. ( om ⊔ 1o ) ) /\ -. x = (/) ) /\ ( z e. 1o /\ y = (inr ` z ) ) ) -> ( G ` y ) = (/) )
133	132	eqeq2d 2183	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. ( om ⊔ 1o ) ) /\ -. x = (/) ) /\ ( z e. 1o /\ y = (inr ` z ) ) ) -> ( x = ( G ` y ) <-> x = (/) ) )
134	131, 133	mtbird 669	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. ( om ⊔ 1o ) ) /\ -. x = (/) ) /\ ( z e. 1o /\ y = (inr ` z ) ) ) -> -. x = ( G ` y ) )
135		djune 7059	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U. x e. _V /\ z e. _V ) -> (inl ` U. x ) =/= (inr ` z ) )
136	135	elvd 2736	. . . . . . . . . . 11 |- ( U. x e. _V -> (inl ` U. x ) =/= (inr ` z ) )
137	114, 136	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- (inl ` U. x ) =/= (inr ` z )
138	137	nesymi 2387	. . . . . . . . 9 |- -. (inr ` z ) = (inl ` U. x )
139	73, 111	eqeqan12rd 2188	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. ( om ⊔ 1o ) ) /\ -. x = (/) ) /\ ( z e. 1o /\ y = (inr ` z ) ) ) -> ( y = if ( x = (/) , (inr ` x ) , (inl ` U. x ) ) <-> (inr ` z ) = (inl ` U. x ) ) )
140	138, 139	mtbiri 671	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. ( om ⊔ 1o ) ) /\ -. x = (/) ) /\ ( z e. 1o /\ y = (inr ` z ) ) ) -> -. y = if ( x = (/) , (inr ` x ) , (inl ` U. x ) ) )
141	134, 140	2falsed 698	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. ( om ⊔ 1o ) ) /\ -. x = (/) ) /\ ( z e. 1o /\ y = (inr ` z ) ) ) -> ( x = ( G ` y ) <-> y = if ( x = (/) , (inr ` x ) , (inl ` U. x ) ) ) )
142	141	rexlimdvaa 2589	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. om /\ y e. ( om ⊔ 1o ) ) /\ -. x = (/) ) -> ( E. z e. 1o y = (inr ` z ) -> ( x = ( G ` y ) <-> y = if ( x = (/) , (inr ` x ) , (inl ` U. x ) ) ) ) )
143	98	ad2antlr 487	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. om /\ y e. ( om ⊔ 1o ) ) /\ -. x = (/) ) -> ( E. z e. om y = (inl ` z ) \/ E. z e. 1o y = (inr ` z ) ) )
144	130, 142, 143	mpjaod 714	. . . . 5 |- ( ( ( x e. om /\ y e. ( om ⊔ 1o ) ) /\ -. x = (/) ) -> ( x = ( G ` y ) <-> y = if ( x = (/) , (inr ` x ) , (inl ` U. x ) ) ) )
145		exmiddc 832	. . . . . . 7 |- (DECID x = (/) -> ( x = (/) \/ -. x = (/) ) )
146	11, 145	syl 14	. . . . . 6 |- ( x e. om -> ( x = (/) \/ -. x = (/) ) )
147	146	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( x e. om /\ y e. ( om ⊔ 1o ) ) -> ( x = (/) \/ -. x = (/) ) )
148	100, 144, 147	mpjaodan 794	. . . 4 |- ( ( x e. om /\ y e. ( om ⊔ 1o ) ) -> ( x = ( G ` y ) <-> y = if ( x = (/) , (inr ` x ) , (inl ` U. x ) ) ) )
149	148	adantl 275	. . 3 |- ( ( T. /\ ( x e. om /\ y e. ( om ⊔ 1o ) ) ) -> ( x = ( G ` y ) <-> y = if ( x = (/) , (inr ` x ) , (inl ` U. x ) ) ) )
150	1, 13, 32, 149	f1o2d 6058	. 2 |- ( T. -> F : om -1-1-onto-> ( om ⊔ 1o ) )
151	150	mptru 1358	1 |- F : om -1-1-onto-> ( om ⊔ 1o )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 704  DECID wdc 830   = wceq 1349   T. wtru 1350   e. wcel 2142   =/= wne 2341   E.wrex 2450   _Vcvv 2731   C_ wss 3122   (/)c0 3415   ifcif 3527   U.cuni 3797   |-> cmpt 4051   _I cid 4274   Oncon0 4349   suc csuc 4351   omcom 4575   |` cres 4614   Fun wfun 5194   Fn wfn 5195   -->wf 5196   -1-1-onto->wf1o 5199   ` cfv 5200   1oc1o 6392   ⊔ cdju 7018  inlcinl 7026  inrcinr 7027  casecdjucase 7064

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 610  ax-in2 611  ax-io 705  ax-5 1441  ax-7 1442  ax-gen 1443  ax-ie1 1487  ax-ie2 1488  ax-8 1498  ax-10 1499  ax-11 1500  ax-i12 1501  ax-bndl 1503  ax-4 1504  ax-17 1520  ax-i9 1524  ax-ial 1528  ax-i5r 1529  ax-13 2144  ax-14 2145  ax-ext 2153  ax-sep 4108  ax-nul 4116  ax-pow 4161  ax-pr 4195  ax-un 4419  ax-setind 4522  ax-iinf 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 831  df-3an 976  df-tru 1352  df-fal 1355  df-nf 1455  df-sb 1757  df-eu 2023  df-mo 2024  df-clab 2158  df-cleq 2164  df-clel 2167  df-nfc 2302  df-ne 2342  df-ral 2454  df-rex 2455  df-rab 2458  df-v 2733  df-sbc 2957  df-csb 3051  df-dif 3124  df-un 3126  df-in 3128  df-ss 3135  df-nul 3416  df-if 3528  df-pw 3569  df-sn 3590  df-pr 3591  df-op 3593  df-uni 3798  df-int 3833  df-br 3991  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4089  df-id 4279  df-iord 4352  df-on 4354  df-suc 4357  df-iom 4576  df-xp 4618  df-rel 4619  df-cnv 4620  df-co 4621  df-dm 4622  df-rn 4623  df-res 4624  df-ima 4625  df-iota 5162  df-fun 5202  df-fn 5203  df-f 5204  df-f1 5205  df-fo 5206  df-f1o 5207  df-fv 5208  df-1st 6123  df-2nd 6124  df-1o 6399  df-dju 7019  df-inl 7028  df-inr 7029  df-case 7065

This theorem is referenced by:  omp1eom  7076