Theorem dvdsflip 11859

Description: An involution of the divisors of a number. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsflip.a	|- A = { x e. NN | x || N }
dvdsflip.f	|- F = ( y e. A |-> ( N / y ) )

Assertion

Ref	Expression
dvdsflip	|- ( N e. NN -> F : A -1-1-onto-> A )

Distinct variable groups:   y, A   x, y, N

Allowed substitution hints:   A( x)   F( x, y)

Proof of Theorem dvdsflip

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsflip.f	. 2 |- F = ( y e. A |-> ( N / y ) )
2		dvdsflip.a	. . . . 5 |- A = { x e. NN | x || N }
3	2	eleq2i 2244	. . . 4 |- ( y e. A <-> y e. { x e. NN | x || N } )
4		dvdsdivcl 11858	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) -> ( N / y ) e. { x e. NN | x || N } )
5	3, 4	sylan2b 287	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ y e. A ) -> ( N / y ) e. { x e. NN | x || N } )
6	5, 2	eleqtrrdi 2271	. 2 |- ( ( N e. NN /\ y e. A ) -> ( N / y ) e. A )
7	2	eleq2i 2244	. . . 4 |- ( z e. A <-> z e. { x e. NN | x || N } )
8		dvdsdivcl 11858	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ z e. { x e. NN | x || N } ) -> ( N / z ) e. { x e. NN | x || N } )
9	7, 8	sylan2b 287	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ z e. A ) -> ( N / z ) e. { x e. NN | x || N } )
10	9, 2	eleqtrrdi 2271	. 2 |- ( ( N e. NN /\ z e. A ) -> ( N / z ) e. A )
11		ssrab2 3242	. . . . . . 7 |- { x e. NN | x || N } C_ NN
12	2, 11	eqsstri 3189	. . . . . 6 |- A C_ NN
13	12	sseli 3153	. . . . 5 |- ( y e. A -> y e. NN )
14	12	sseli 3153	. . . . 5 |- ( z e. A -> z e. NN )
15	13, 14	anim12i 338	. . . 4 |- ( ( y e. A /\ z e. A ) -> ( y e. NN /\ z e. NN ) )
16		nncn 8929	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N e. CC )
17	16	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ ( y e. NN /\ z e. NN ) ) -> N e. CC )
18		nncn 8929	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> y e. CC )
19	18	ad2antrl 490	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ ( y e. NN /\ z e. NN ) ) -> y e. CC )
20		nncn 8929	. . . . . . 7 |- ( z e. NN -> z e. CC )
21	20	ad2antll 491	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ ( y e. NN /\ z e. NN ) ) -> z e. CC )
22		simprr 531	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ ( y e. NN /\ z e. NN ) ) -> z e. NN )
23	22	nnap0d 8967	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ ( y e. NN /\ z e. NN ) ) -> z # 0 )
24	17, 19, 21, 23	divmulap3d 8784	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ ( y e. NN /\ z e. NN ) ) -> ( ( N / z ) = y <-> N = ( y x. z ) ) )
25		simprl 529	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ ( y e. NN /\ z e. NN ) ) -> y e. NN )
26	25	nnap0d 8967	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ ( y e. NN /\ z e. NN ) ) -> y # 0 )
27	17, 21, 19, 26	divmulap2d 8783	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ ( y e. NN /\ z e. NN ) ) -> ( ( N / y ) = z <-> N = ( y x. z ) ) )
28	24, 27	bitr4d 191	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ ( y e. NN /\ z e. NN ) ) -> ( ( N / z ) = y <-> ( N / y ) = z ) )
29	15, 28	sylan2 286	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ ( y e. A /\ z e. A ) ) -> ( ( N / z ) = y <-> ( N / y ) = z ) )
30		eqcom 2179	. . 3 |- ( y = ( N / z ) <-> ( N / z ) = y )
31		eqcom 2179	. . 3 |- ( z = ( N / y ) <-> ( N / y ) = z )
32	29, 30, 31	3bitr4g 223	. 2 |- ( ( N e. NN /\ ( y e. A /\ z e. A ) ) -> ( y = ( N / z ) <-> z = ( N / y ) ) )
33	1, 6, 10, 32	f1o2d 6078	1 |- ( N e. NN -> F : A -1-1-onto-> A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   {crab 2459   class class class wbr 4005   |-> cmpt 4066   -1-1-onto->wf1o 5217  (class class class)co 5877   CCcc 7811   x. cmul 7818   / cdiv 8631   NNcn 8921   || cdvds 11796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256  df-dvds 11797

This theorem is referenced by:  phisum  12242