Theorem dvdsflip 12016

Description: An involution of the divisors of a number. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsflip.a	|- A = { x e. NN | x || N }
dvdsflip.f	|- F = ( y e. A |-> ( N / y ) )

Assertion

Ref	Expression
dvdsflip	|- ( N e. NN -> F : A -1-1-onto-> A )

Distinct variable groups:   y, A   x, y, N

Allowed substitution hints:   A( x)   F( x, y)

Proof of Theorem dvdsflip

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsflip.f	. 2 |- F = ( y e. A |-> ( N / y ) )
2		dvdsflip.a	. . . . 5 |- A = { x e. NN | x || N }
3	2	eleq2i 2263	. . . 4 |- ( y e. A <-> y e. { x e. NN | x || N } )
4		dvdsdivcl 12015	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) -> ( N / y ) e. { x e. NN | x || N } )
5	3, 4	sylan2b 287	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ y e. A ) -> ( N / y ) e. { x e. NN | x || N } )
6	5, 2	eleqtrrdi 2290	. 2 |- ( ( N e. NN /\ y e. A ) -> ( N / y ) e. A )
7	2	eleq2i 2263	. . . 4 |- ( z e. A <-> z e. { x e. NN | x || N } )
8		dvdsdivcl 12015	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ z e. { x e. NN | x || N } ) -> ( N / z ) e. { x e. NN | x || N } )
9	7, 8	sylan2b 287	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ z e. A ) -> ( N / z ) e. { x e. NN | x || N } )
10	9, 2	eleqtrrdi 2290	. 2 |- ( ( N e. NN /\ z e. A ) -> ( N / z ) e. A )
11		ssrab2 3268	. . . . . . 7 |- { x e. NN | x || N } C_ NN
12	2, 11	eqsstri 3215	. . . . . 6 |- A C_ NN
13	12	sseli 3179	. . . . 5 |- ( y e. A -> y e. NN )
14	12	sseli 3179	. . . . 5 |- ( z e. A -> z e. NN )
15	13, 14	anim12i 338	. . . 4 |- ( ( y e. A /\ z e. A ) -> ( y e. NN /\ z e. NN ) )
16		nncn 8998	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N e. CC )
17	16	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ ( y e. NN /\ z e. NN ) ) -> N e. CC )
18		nncn 8998	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> y e. CC )
19	18	ad2antrl 490	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ ( y e. NN /\ z e. NN ) ) -> y e. CC )
20		nncn 8998	. . . . . . 7 |- ( z e. NN -> z e. CC )
21	20	ad2antll 491	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ ( y e. NN /\ z e. NN ) ) -> z e. CC )
22		simprr 531	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ ( y e. NN /\ z e. NN ) ) -> z e. NN )
23	22	nnap0d 9036	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ ( y e. NN /\ z e. NN ) ) -> z # 0 )
24	17, 19, 21, 23	divmulap3d 8852	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ ( y e. NN /\ z e. NN ) ) -> ( ( N / z ) = y <-> N = ( y x. z ) ) )
25		simprl 529	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ ( y e. NN /\ z e. NN ) ) -> y e. NN )
26	25	nnap0d 9036	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ ( y e. NN /\ z e. NN ) ) -> y # 0 )
27	17, 21, 19, 26	divmulap2d 8851	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ ( y e. NN /\ z e. NN ) ) -> ( ( N / y ) = z <-> N = ( y x. z ) ) )
28	24, 27	bitr4d 191	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ ( y e. NN /\ z e. NN ) ) -> ( ( N / z ) = y <-> ( N / y ) = z ) )
29	15, 28	sylan2 286	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ ( y e. A /\ z e. A ) ) -> ( ( N / z ) = y <-> ( N / y ) = z ) )
30		eqcom 2198	. . 3 |- ( y = ( N / z ) <-> ( N / z ) = y )
31		eqcom 2198	. . 3 |- ( z = ( N / y ) <-> ( N / y ) = z )
32	29, 30, 31	3bitr4g 223	. 2 |- ( ( N e. NN /\ ( y e. A /\ z e. A ) ) -> ( y = ( N / z ) <-> z = ( N / y ) ) )
33	1, 6, 10, 32	f1o2d 6128	1 |- ( N e. NN -> F : A -1-1-onto-> A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   {crab 2479   class class class wbr 4033   |-> cmpt 4094   -1-1-onto->wf1o 5257  (class class class)co 5922   CCcc 7877   x. cmul 7884   / cdiv 8699   NNcn 8990   || cdvds 11952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-n0 9250  df-z 9327  df-dvds 11953

This theorem is referenced by:  phisum  12409