Theorem dvdsflip 11735

Description: An involution of the divisors of a number. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsflip.a	|- A = { x e. NN | x || N }
dvdsflip.f	|- F = ( y e. A |-> ( N / y ) )

Assertion

Ref	Expression
dvdsflip	|- ( N e. NN -> F : A -1-1-onto-> A )

Distinct variable groups:   y, A   x, y, N

Allowed substitution hints:   A( x)   F( x, y)

Proof of Theorem dvdsflip

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsflip.f	. 2 |- F = ( y e. A |-> ( N / y ) )
2		dvdsflip.a	. . . . 5 |- A = { x e. NN | x || N }
3	2	eleq2i 2224	. . . 4 |- ( y e. A <-> y e. { x e. NN | x || N } )
4		dvdsdivcl 11734	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) -> ( N / y ) e. { x e. NN | x || N } )
5	3, 4	sylan2b 285	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ y e. A ) -> ( N / y ) e. { x e. NN | x || N } )
6	5, 2	eleqtrrdi 2251	. 2 |- ( ( N e. NN /\ y e. A ) -> ( N / y ) e. A )
7	2	eleq2i 2224	. . . 4 |- ( z e. A <-> z e. { x e. NN | x || N } )
8		dvdsdivcl 11734	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ z e. { x e. NN | x || N } ) -> ( N / z ) e. { x e. NN | x || N } )
9	7, 8	sylan2b 285	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ z e. A ) -> ( N / z ) e. { x e. NN | x || N } )
10	9, 2	eleqtrrdi 2251	. 2 |- ( ( N e. NN /\ z e. A ) -> ( N / z ) e. A )
11		ssrab2 3213	. . . . . . 7 |- { x e. NN | x || N } C_ NN
12	2, 11	eqsstri 3160	. . . . . 6 |- A C_ NN
13	12	sseli 3124	. . . . 5 |- ( y e. A -> y e. NN )
14	12	sseli 3124	. . . . 5 |- ( z e. A -> z e. NN )
15	13, 14	anim12i 336	. . . 4 |- ( ( y e. A /\ z e. A ) -> ( y e. NN /\ z e. NN ) )
16		nncn 8835	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N e. CC )
17	16	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ ( y e. NN /\ z e. NN ) ) -> N e. CC )
18		nncn 8835	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> y e. CC )
19	18	ad2antrl 482	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ ( y e. NN /\ z e. NN ) ) -> y e. CC )
20		nncn 8835	. . . . . . 7 |- ( z e. NN -> z e. CC )
21	20	ad2antll 483	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ ( y e. NN /\ z e. NN ) ) -> z e. CC )
22		simprr 522	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ ( y e. NN /\ z e. NN ) ) -> z e. NN )
23	22	nnap0d 8873	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ ( y e. NN /\ z e. NN ) ) -> z # 0 )
24	17, 19, 21, 23	divmulap3d 8692	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ ( y e. NN /\ z e. NN ) ) -> ( ( N / z ) = y <-> N = ( y x. z ) ) )
25		simprl 521	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ ( y e. NN /\ z e. NN ) ) -> y e. NN )
26	25	nnap0d 8873	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ ( y e. NN /\ z e. NN ) ) -> y # 0 )
27	17, 21, 19, 26	divmulap2d 8691	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ ( y e. NN /\ z e. NN ) ) -> ( ( N / y ) = z <-> N = ( y x. z ) ) )
28	24, 27	bitr4d 190	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ ( y e. NN /\ z e. NN ) ) -> ( ( N / z ) = y <-> ( N / y ) = z ) )
29	15, 28	sylan2 284	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ ( y e. A /\ z e. A ) ) -> ( ( N / z ) = y <-> ( N / y ) = z ) )
30		eqcom 2159	. . 3 |- ( y = ( N / z ) <-> ( N / z ) = y )
31		eqcom 2159	. . 3 |- ( z = ( N / y ) <-> ( N / y ) = z )
32	29, 30, 31	3bitr4g 222	. 2 |- ( ( N e. NN /\ ( y e. A /\ z e. A ) ) -> ( y = ( N / z ) <-> z = ( N / y ) ) )
33	1, 6, 10, 32	f1o2d 6022	1 |- ( N e. NN -> F : A -1-1-onto-> A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1335   e. wcel 2128   {crab 2439   class class class wbr 3965   |-> cmpt 4025   -1-1-onto->wf1o 5168  (class class class)co 5821   CCcc 7724   x. cmul 7731   / cdiv 8539   NNcn 8827   || cdvds 11676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-cnex 7817  ax-resscn 7818  ax-1cn 7819  ax-1re 7820  ax-icn 7821  ax-addcl 7822  ax-addrcl 7823  ax-mulcl 7824  ax-mulrcl 7825  ax-addcom 7826  ax-mulcom 7827  ax-addass 7828  ax-mulass 7829  ax-distr 7830  ax-i2m1 7831  ax-0lt1 7832  ax-1rid 7833  ax-0id 7834  ax-rnegex 7835  ax-precex 7836  ax-cnre 7837  ax-pre-ltirr 7838  ax-pre-ltwlin 7839  ax-pre-lttrn 7840  ax-pre-apti 7841  ax-pre-ltadd 7842  ax-pre-mulgt0 7843  ax-pre-mulext 7844

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-f1 5174  df-fo 5175  df-f1o 5176  df-fv 5177  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-pnf 7908  df-mnf 7909  df-xr 7910  df-ltxr 7911  df-le 7912  df-sub 8042  df-neg 8043  df-reap 8444  df-ap 8451  df-div 8540  df-inn 8828  df-n0 9085  df-z 9162  df-dvds 11677

This theorem is referenced by:  phisum  12103