Theorem dvdsflip 11993

Description: An involution of the divisors of a number. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsflip.a	|- A = { x e. NN | x || N }
dvdsflip.f	|- F = ( y e. A |-> ( N / y ) )

Assertion

Ref	Expression
dvdsflip	|- ( N e. NN -> F : A -1-1-onto-> A )

Distinct variable groups:   y, A   x, y, N

Allowed substitution hints:   A( x)   F( x, y)

Proof of Theorem dvdsflip

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsflip.f	. 2 |- F = ( y e. A |-> ( N / y ) )
2		dvdsflip.a	. . . . 5 |- A = { x e. NN | x || N }
3	2	eleq2i 2260	. . . 4 |- ( y e. A <-> y e. { x e. NN | x || N } )
4		dvdsdivcl 11992	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ y e. { x e. NN | x || N } ) -> ( N / y ) e. { x e. NN | x || N } )
5	3, 4	sylan2b 287	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ y e. A ) -> ( N / y ) e. { x e. NN | x || N } )
6	5, 2	eleqtrrdi 2287	. 2 |- ( ( N e. NN /\ y e. A ) -> ( N / y ) e. A )
7	2	eleq2i 2260	. . . 4 |- ( z e. A <-> z e. { x e. NN | x || N } )
8		dvdsdivcl 11992	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ z e. { x e. NN | x || N } ) -> ( N / z ) e. { x e. NN | x || N } )
9	7, 8	sylan2b 287	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ z e. A ) -> ( N / z ) e. { x e. NN | x || N } )
10	9, 2	eleqtrrdi 2287	. 2 |- ( ( N e. NN /\ z e. A ) -> ( N / z ) e. A )
11		ssrab2 3264	. . . . . . 7 |- { x e. NN | x || N } C_ NN
12	2, 11	eqsstri 3211	. . . . . 6 |- A C_ NN
13	12	sseli 3175	. . . . 5 |- ( y e. A -> y e. NN )
14	12	sseli 3175	. . . . 5 |- ( z e. A -> z e. NN )
15	13, 14	anim12i 338	. . . 4 |- ( ( y e. A /\ z e. A ) -> ( y e. NN /\ z e. NN ) )
16		nncn 8990	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N e. CC )
17	16	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ ( y e. NN /\ z e. NN ) ) -> N e. CC )
18		nncn 8990	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> y e. CC )
19	18	ad2antrl 490	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ ( y e. NN /\ z e. NN ) ) -> y e. CC )
20		nncn 8990	. . . . . . 7 |- ( z e. NN -> z e. CC )
21	20	ad2antll 491	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ ( y e. NN /\ z e. NN ) ) -> z e. CC )
22		simprr 531	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ ( y e. NN /\ z e. NN ) ) -> z e. NN )
23	22	nnap0d 9028	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ ( y e. NN /\ z e. NN ) ) -> z # 0 )
24	17, 19, 21, 23	divmulap3d 8844	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ ( y e. NN /\ z e. NN ) ) -> ( ( N / z ) = y <-> N = ( y x. z ) ) )
25		simprl 529	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ ( y e. NN /\ z e. NN ) ) -> y e. NN )
26	25	nnap0d 9028	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ ( y e. NN /\ z e. NN ) ) -> y # 0 )
27	17, 21, 19, 26	divmulap2d 8843	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ ( y e. NN /\ z e. NN ) ) -> ( ( N / y ) = z <-> N = ( y x. z ) ) )
28	24, 27	bitr4d 191	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ ( y e. NN /\ z e. NN ) ) -> ( ( N / z ) = y <-> ( N / y ) = z ) )
29	15, 28	sylan2 286	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ ( y e. A /\ z e. A ) ) -> ( ( N / z ) = y <-> ( N / y ) = z ) )
30		eqcom 2195	. . 3 |- ( y = ( N / z ) <-> ( N / z ) = y )
31		eqcom 2195	. . 3 |- ( z = ( N / y ) <-> ( N / y ) = z )
32	29, 30, 31	3bitr4g 223	. 2 |- ( ( N e. NN /\ ( y e. A /\ z e. A ) ) -> ( y = ( N / z ) <-> z = ( N / y ) ) )
33	1, 6, 10, 32	f1o2d 6123	1 |- ( N e. NN -> F : A -1-1-onto-> A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   {crab 2476   class class class wbr 4029   |-> cmpt 4090   -1-1-onto->wf1o 5253  (class class class)co 5918   CCcc 7870   x. cmul 7877   / cdiv 8691   NNcn 8982   || cdvds 11930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-dvds 11931

This theorem is referenced by:  phisum  12378