ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1o2d GIF version

Theorem f1o2d 6025
Description: Describe an implicit one-to-one onto function. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
f1od.1 𝐹 = (𝑥𝐴𝐶)
f1o2d.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝐵)
f1o2d.3 ((𝜑𝑦𝐵) → 𝐷𝐴)
f1o2d.4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵)) → (𝑥 = 𝐷𝑦 = 𝐶))
Assertion
Ref Expression
f1o2d (𝜑𝐹:𝐴1-1-onto𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑦,𝐶   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem f1o2d
StepHypRef Expression
1 f1od.1 . . 3 𝐹 = (𝑥𝐴𝐶)
2 f1o2d.2 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝐵)
3 f1o2d.3 . . 3 ((𝜑𝑦𝐵) → 𝐷𝐴)
4 f1o2d.4 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵)) → (𝑥 = 𝐷𝑦 = 𝐶))
51, 2, 3, 4f1ocnv2d 6024 . 2 (𝜑 → (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹 = (𝑦𝐵𝐷)))
65simpld 111 1 (𝜑𝐹:𝐴1-1-onto𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1335  wcel 2128  cmpt 4025  ccnv 4585  1-1-ontowf1o 5169
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4253  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177
This theorem is referenced by:  f1opw2  6026  en3d  6714  fidifsnen  6815  djuf1olem  6997  omp1eomlem  7038  dvdsflip  11743  hashgcdlem  12113  hmeoimaf1o  12725  iooref1o  13616
  Copyright terms: Public domain W3C validator