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Theorem fidifsnen 6852
Description: All decrements of a finite set are equinumerous. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
fidifsnen |- ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( X \ { A } ) ~~ ( X \ { B } ) )
Proof of Theorem fidifsnen
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difexg 4131 . . . . . 6 |- ( X e. Fin -> ( X \ { A } ) e. _V )
213ad2ant1 1014 . . . . 5 |- ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( X \ { A } ) e. _V )
32adantr 274 . . . 4 |- ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A = B ) -> ( X \ { A } ) e. _V )
4 enrefg 6746 . . . 4 |- ( ( X \ { A } ) e. _V -> ( X \ { A } ) ~~ ( X \ { A } ) )
53, 4syl 14 . . 3 |- ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A = B ) -> ( X \ { A } ) ~~ ( X \ { A } ) )
6 sneq 3595 . . . . 5 |- ( A = B -> { A } = { B } )
76difeq2d 3246 . . . 4 |- ( A = B -> ( X \ { A } ) = ( X \ { B } ) )
87adantl 275 . . 3 |- ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A = B ) -> ( X \ { A } ) = ( X \ { B } ) )
95, 8breqtrd 4016 . 2 |- ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A = B ) -> ( X \ { A } ) ~~ ( X \ { B } ) )
102adantr 274 . . 3 |- ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) -> ( X \ { A } ) e. _V )
11 eqid 2171 . . . 4 |- ( x e. ( X \ { A } ) |-> if ( x = B , A , x ) ) = ( x e. ( X \ { A } ) |-> if ( x = B , A , x ) )
12 iftrue 3532 . . . . . . . 8 |- ( x = B -> if ( x = B , A , x ) = A )
1312adantl 275 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) /\ x = B ) -> if ( x = B , A , x ) = A )
14 simpll2 1033 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) -> A e. X )
1514adantr 274 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) /\ x = B ) -> A e. X )
1613, 15eqeltrd 2248 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) /\ x = B ) -> if ( x = B , A , x ) e. X )
17 simpllr 530 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) /\ x = B ) -> -. A = B )
1813eqeq1d 2180 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) /\ x = B ) -> ( if ( x = B , A , x ) = B <-> A = B ) )
1917, 18mtbird 669 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) /\ x = B ) -> -. if ( x = B , A , x ) = B )
2019neneqad 2420 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) /\ x = B ) -> if ( x = B , A , x ) =/= B )
21 eldifsn 3711 . . . . . 6 |- ( if ( x = B , A , x ) e. ( X \ { B } ) <-> ( if ( x = B , A , x ) e. X /\ if ( x = B , A , x ) =/= B ) )
2216, 20, 21sylanbrc 415 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) /\ x = B ) -> if ( x = B , A , x ) e. ( X \ { B } ) )
23 iffalse 3535 . . . . . . . 8 |- ( -. x = B -> if ( x = B , A , x ) = x )
2423adantl 275 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) /\ -. x = B ) -> if ( x = B , A , x ) = x )
25 eldifi 3250 . . . . . . . 8 |- ( x e. ( X \ { A } ) -> x e. X )
2625ad2antlr 487 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) /\ -. x = B ) -> x e. X )
2724, 26eqeltrd 2248 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) /\ -. x = B ) -> if ( x = B , A , x ) e. X )
28 simpr 109 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) /\ -. x = B ) -> -. x = B )
2924eqeq1d 2180 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) /\ -. x = B ) -> ( if ( x = B , A , x ) = B <-> x = B ) )
3028, 29mtbird 669 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) /\ -. x = B ) -> -. if ( x = B , A , x ) = B )
3130neneqad 2420 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) /\ -. x = B ) -> if ( x = B , A , x ) =/= B )
3227, 31, 21sylanbrc 415 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) /\ -. x = B ) -> if ( x = B , A , x ) e. ( X \ { B } ) )
33 simpll1 1032 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) -> X e. Fin )
3425adantl 275 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) -> x e. X )
35 simpll3 1034 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) -> B e. X )
36 fidceq 6851 . . . . . . 7 |- ( ( X e. Fin /\ x e. X /\ B e. X ) -> DECID x = B )
3733, 34, 35, 36syl3anc 1234 . . . . . 6 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) -> DECID x = B )
38 exmiddc 832 . . . . . 6 |- (DECID x = B -> ( x = B \/ -. x = B ) )
3937, 38syl 14 . . . . 5 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) -> ( x = B \/ -. x = B ) )
4022, 32, 39mpjaodan 794 . . . 4 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) -> if ( x = B , A , x ) e. ( X \ { B } ) )
41 iftrue 3532 . . . . . . 7 |- ( y = A -> if ( y = A , B , y ) = B )
4241adantl 275 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) /\ y = A ) -> if ( y = A , B , y ) = B )
43 simpl3 998 . . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) -> B e. X )
44 simpr 109 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) -> -. A = B )
4544neneqad 2420 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) -> A =/= B )
4645necomd 2427 . . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) -> B =/= A )
47 eldifsn 3711 . . . . . . . 8 |- ( B e. ( X \ { A } ) <-> ( B e. X /\ B =/= A ) )
4843, 46, 47sylanbrc 415 . . . . . . 7 |- ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) -> B e. ( X \ { A } ) )
4948ad2antrr 486 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) /\ y = A ) -> B e. ( X \ { A } ) )
5042, 49eqeltrd 2248 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) /\ y = A ) -> if ( y = A , B , y ) e. ( X \ { A } ) )
51 iffalse 3535 . . . . . . 7 |- ( -. y = A -> if ( y = A , B , y ) = y )
5251adantl 275 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) /\ -. y = A ) -> if ( y = A , B , y ) = y )
53 eldifi 3250 . . . . . . . 8 |- ( y e. ( X \ { B } ) -> y e. X )
5453ad2antlr 487 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) /\ -. y = A ) -> y e. X )
55 simpr 109 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) /\ -. y = A ) -> -. y = A )
5655neneqad 2420 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) /\ -. y = A ) -> y =/= A )
57 eldifsn 3711 . . . . . . 7 |- ( y e. ( X \ { A } ) <-> ( y e. X /\ y =/= A ) )
5854, 56, 57sylanbrc 415 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) /\ -. y = A ) -> y e. ( X \ { A } ) )
5952, 58eqeltrd 2248 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) /\ -. y = A ) -> if ( y = A , B , y ) e. ( X \ { A } ) )
60 simpll1 1032 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) -> X e. Fin )
6153adantl 275 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) -> y e. X )
62 simpll2 1033 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) -> A e. X )
63 fidceq 6851 . . . . . . 7 |- ( ( X e. Fin /\ y e. X /\ A e. X ) -> DECID y = A )
6460, 61, 62, 63syl3anc 1234 . . . . . 6 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) -> DECID y = A )
65 exmiddc 832 . . . . . 6 |- (DECID y = A -> ( y = A \/ -. y = A ) )
6664, 65syl 14 . . . . 5 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) -> ( y = A \/ -. y = A ) )
6750, 59, 66mpjaodan 794 . . . 4 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) -> if ( y = A , B , y ) e. ( X \ { A } ) )
6812adantl 275 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) -> if ( x = B , A , x ) = A )
6968eqeq2d 2183 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) -> ( y = if ( x = B , A , x ) <-> y = A ) )
7069biimpar 295 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) /\ y = A ) -> y = if ( x = B , A , x ) )
7170a1d 22 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) /\ y = A ) -> ( x = if ( y = A , B , y ) -> y = if ( x = B , A , x ) ) )
72 simpr 109 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) /\ -. y = A ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) -> x = if ( y = A , B , y ) )
7351eqeq2d 2183 . . . . . . . . . . . 12 |- ( -. y = A -> ( x = if ( y = A , B , y ) <-> x = y ) )
7473ad2antlr 487 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) /\ -. y = A ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) -> ( x = if ( y = A , B , y ) <-> x = y ) )
7572, 74mpbid 146 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) /\ -. y = A ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) -> x = y )
76 simpllr 530 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) /\ -. y = A ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) -> x = B )
7775, 76eqtr3d 2206 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) /\ -. y = A ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) -> y = B )
78 simprr 528 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) -> y e. ( X \ { B } ) )
7978ad2antrr 486 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) /\ -. y = A ) -> y e. ( X \ { B } ) )
8079eldifbd 3134 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) /\ -. y = A ) -> -. y e. { B } )
8180adantr 274 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) /\ -. y = A ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) -> -. y e. { B } )
82 velsn 3601 . . . . . . . . . 10 |- ( y e. { B } <-> y = B )
8381, 82sylnib 672 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) /\ -. y = A ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) -> -. y = B )
8477, 83pm2.21dd 616 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) /\ -. y = A ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) -> y = if ( x = B , A , x ) )
8584ex 114 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) /\ -. y = A ) -> ( x = if ( y = A , B , y ) -> y = if ( x = B , A , x ) ) )
86 simpll1 1032 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) -> X e. Fin )
8753ad2antll 489 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) -> y e. X )
88 simpll2 1033 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) -> A e. X )
8986, 87, 88, 63syl3anc 1234 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) -> DECID y = A )
9089, 65syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) -> ( y = A \/ -. y = A ) )
9190adantr 274 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) -> ( y = A \/ -. y = A ) )
9271, 85, 91mpjaodan 794 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) -> ( x = if ( y = A , B , y ) -> y = if ( x = B , A , x ) ) )
9341eqeq2d 2183 . . . . . . . . 9 |- ( y = A -> ( x = if ( y = A , B , y ) <-> x = B ) )
9493biimprcd 159 . . . . . . . 8 |- ( x = B -> ( y = A -> x = if ( y = A , B , y ) ) )
9594adantl 275 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) -> ( y = A -> x = if ( y = A , B , y ) ) )
9669, 95sylbid 149 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) -> ( y = if ( x = B , A , x ) -> x = if ( y = A , B , y ) ) )
9792, 96impbid 128 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) -> ( x = if ( y = A , B , y ) <-> y = if ( x = B , A , x ) ) )
98 simplr 526 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) /\ y = A ) -> x = if ( y = A , B , y ) )
9941adantl 275 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) /\ y = A ) -> if ( y = A , B , y ) = B )
10098, 99eqtrd 2204 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) /\ y = A ) -> x = B )
101 simpllr 530 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) /\ y = A ) -> -. x = B )
102100, 101pm2.21dd 616 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) /\ y = A ) -> y = if ( x = B , A , x ) )
10323ad3antlr 491 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) /\ -. y = A ) -> if ( x = B , A , x ) = x )
104 simplr 526 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) /\ -. y = A ) -> x = if ( y = A , B , y ) )
10551adantl 275 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) /\ -. y = A ) -> if ( y = A , B , y ) = y )
106104, 105eqtrd 2204 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) /\ -. y = A ) -> x = y )
107103, 106eqtr2d 2205 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) /\ -. y = A ) -> y = if ( x = B , A , x ) )
10890ad2antrr 486 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) -> ( y = A \/ -. y = A ) )
109102, 107, 108mpjaodan 794 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) -> y = if ( x = B , A , x ) )
110 simprl 527 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) -> x e. ( X \ { A } ) )
111110eldifbd 3134 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) -> -. x e. { A } )
112 velsn 3601 . . . . . . . . . . 11 |- ( x e. { A } <-> x = A )
113111, 112sylnib 672 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) -> -. x = A )
114113ad2antrr 486 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ y = if ( x = B , A , x ) ) -> -. x = A )
115 simpr 109 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ y = if ( x = B , A , x ) ) -> y = if ( x = B , A , x ) )
11623eqeq2d 2183 . . . . . . . . . . . 12 |- ( -. x = B -> ( y = if ( x = B , A , x ) <-> y = x ) )
117116ad2antlr 487 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ y = if ( x = B , A , x ) ) -> ( y = if ( x = B , A , x ) <-> y = x ) )
118115, 117mpbid 146 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ y = if ( x = B , A , x ) ) -> y = x )
119118eqeq1d 2180 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ y = if ( x = B , A , x ) ) -> ( y = A <-> x = A ) )
120114, 119mtbird 669 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ y = if ( x = B , A , x ) ) -> -. y = A )
121120, 51syl 14 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ y = if ( x = B , A , x ) ) -> if ( y = A , B , y ) = y )
122121, 118eqtr2d 2205 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ y = if ( x = B , A , x ) ) -> x = if ( y = A , B , y ) )
123109, 122impbida 592 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) -> ( x = if ( y = A , B , y ) <-> y = if ( x = B , A , x ) ) )
12439adantrr 477 . . . . 5 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) -> ( x = B \/ -. x = B ) )
12597, 123, 124mpjaodan 794 . . . 4 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) -> ( x = if ( y = A , B , y ) <-> y = if ( x = B , A , x ) ) )
12611, 40, 67, 125f1o2d 6058 . . 3 |- ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) -> ( x e. ( X \ { A } ) |-> if ( x = B , A , x ) ) : ( X \ { A } ) -1-1-onto-> ( X \ { B } ) )
127 f1oeng 6739 . . 3 |- ( ( ( X \ { A } ) e. _V /\ ( x e. ( X \ { A } ) |-> if ( x = B , A , x ) ) : ( X \ { A } ) -1-1-onto-> ( X \ { B } ) ) -> ( X \ { A } ) ~~ ( X \ { B } ) )
12810, 126, 127syl2anc 409 . 2 |- ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) -> ( X \ { A } ) ~~ ( X \ { B } ) )
129 fidceq 6851 . . 3 |- ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) -> DECID A = B )
130 exmiddc 832 . . 3 |- (DECID A = B -> ( A = B \/ -. A = B ) )
131129, 130syl 14 . 2 |- ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A = B \/ -. A = B ) )
1329, 128, 131mpjaodan 794 1 |- ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( X \ { A } ) ~~ ( X \ { B } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 704  DECID wdc 830   /\ w3a 974   = wceq 1349   e. wcel 2142   =/= wne 2341   _Vcvv 2731   \ cdif 3119   ifcif 3527   {csn 3584   class class class wbr 3990   |-> cmpt 4051   -1-1-onto->wf1o 5199   ~~ cen 6720   Fincfn 6722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 610  ax-in2 611  ax-io 705  ax-5 1441  ax-7 1442  ax-gen 1443  ax-ie1 1487  ax-ie2 1488  ax-8 1498  ax-10 1499  ax-11 1500  ax-i12 1501  ax-bndl 1503  ax-4 1504  ax-17 1520  ax-i9 1524  ax-ial 1528  ax-i5r 1529  ax-13 2144  ax-14 2145  ax-ext 2153  ax-coll 4105  ax-sep 4108  ax-nul 4116  ax-pow 4161  ax-pr 4195  ax-un 4419  ax-setind 4522  ax-iinf 4573
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 831  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1352  df-nf 1455  df-sb 1757  df-eu 2023  df-mo 2024  df-clab 2158  df-cleq 2164  df-clel 2167  df-nfc 2302  df-ne 2342  df-ral 2454  df-rex 2455  df-reu 2456  df-rab 2458  df-v 2733  df-sbc 2957  df-csb 3051  df-dif 3124  df-un 3126  df-in 3128  df-ss 3135  df-nul 3416  df-if 3528  df-pw 3569  df-sn 3590  df-pr 3591  df-op 3593  df-uni 3798  df-int 3833  df-iun 3876  df-br 3991  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4089  df-id 4279  df-iord 4352  df-on 4354  df-suc 4357  df-iom 4576  df-xp 4618  df-rel 4619  df-cnv 4620  df-co 4621  df-dm 4622  df-rn 4623  df-res 4624  df-ima 4625  df-iota 5162  df-fun 5202  df-fn 5203  df-f 5204  df-f1 5205  df-fo 5206  df-f1o 5207  df-fv 5208  df-en 6723  df-fin 6725
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