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Theorem fidifsnen 7028
Description: All decrements of a finite set are equinumerous. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
fidifsnen |- ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( X \ { A } ) ~~ ( X \ { B } ) )
Proof of Theorem fidifsnen
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difexg 4224 . . . . . 6 |- ( X e. Fin -> ( X \ { A } ) e. _V )
213ad2ant1 1042 . . . . 5 |- ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( X \ { A } ) e. _V )
32adantr 276 . . . 4 |- ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A = B ) -> ( X \ { A } ) e. _V )
4 enrefg 6913 . . . 4 |- ( ( X \ { A } ) e. _V -> ( X \ { A } ) ~~ ( X \ { A } ) )
53, 4syl 14 . . 3 |- ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A = B ) -> ( X \ { A } ) ~~ ( X \ { A } ) )
6 sneq 3677 . . . . 5 |- ( A = B -> { A } = { B } )
76difeq2d 3322 . . . 4 |- ( A = B -> ( X \ { A } ) = ( X \ { B } ) )
87adantl 277 . . 3 |- ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A = B ) -> ( X \ { A } ) = ( X \ { B } ) )
95, 8breqtrd 4108 . 2 |- ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A = B ) -> ( X \ { A } ) ~~ ( X \ { B } ) )
102adantr 276 . . 3 |- ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) -> ( X \ { A } ) e. _V )
11 eqid 2229 . . . 4 |- ( x e. ( X \ { A } ) |-> if ( x = B , A , x ) ) = ( x e. ( X \ { A } ) |-> if ( x = B , A , x ) )
12 iftrue 3607 . . . . . . . 8 |- ( x = B -> if ( x = B , A , x ) = A )
1312adantl 277 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) /\ x = B ) -> if ( x = B , A , x ) = A )
14 simpll2 1061 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) -> A e. X )
1514adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) /\ x = B ) -> A e. X )
1613, 15eqeltrd 2306 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) /\ x = B ) -> if ( x = B , A , x ) e. X )
17 simpllr 534 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) /\ x = B ) -> -. A = B )
1813eqeq1d 2238 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) /\ x = B ) -> ( if ( x = B , A , x ) = B <-> A = B ) )
1917, 18mtbird 677 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) /\ x = B ) -> -. if ( x = B , A , x ) = B )
2019neneqad 2479 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) /\ x = B ) -> if ( x = B , A , x ) =/= B )
21 eldifsn 3794 . . . . . 6 |- ( if ( x = B , A , x ) e. ( X \ { B } ) <-> ( if ( x = B , A , x ) e. X /\ if ( x = B , A , x ) =/= B ) )
2216, 20, 21sylanbrc 417 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) /\ x = B ) -> if ( x = B , A , x ) e. ( X \ { B } ) )
23 iffalse 3610 . . . . . . . 8 |- ( -. x = B -> if ( x = B , A , x ) = x )
2423adantl 277 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) /\ -. x = B ) -> if ( x = B , A , x ) = x )
25 eldifi 3326 . . . . . . . 8 |- ( x e. ( X \ { A } ) -> x e. X )
2625ad2antlr 489 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) /\ -. x = B ) -> x e. X )
2724, 26eqeltrd 2306 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) /\ -. x = B ) -> if ( x = B , A , x ) e. X )
28 simpr 110 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) /\ -. x = B ) -> -. x = B )
2924eqeq1d 2238 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) /\ -. x = B ) -> ( if ( x = B , A , x ) = B <-> x = B ) )
3028, 29mtbird 677 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) /\ -. x = B ) -> -. if ( x = B , A , x ) = B )
3130neneqad 2479 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) /\ -. x = B ) -> if ( x = B , A , x ) =/= B )
3227, 31, 21sylanbrc 417 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) /\ -. x = B ) -> if ( x = B , A , x ) e. ( X \ { B } ) )
33 simpll1 1060 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) -> X e. Fin )
3425adantl 277 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) -> x e. X )
35 simpll3 1062 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) -> B e. X )
36 fidceq 7027 . . . . . . 7 |- ( ( X e. Fin /\ x e. X /\ B e. X ) -> DECID x = B )
3733, 34, 35, 36syl3anc 1271 . . . . . 6 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) -> DECID x = B )
38 exmiddc 841 . . . . . 6 |- (DECID x = B -> ( x = B \/ -. x = B ) )
3937, 38syl 14 . . . . 5 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) -> ( x = B \/ -. x = B ) )
4022, 32, 39mpjaodan 803 . . . 4 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) -> if ( x = B , A , x ) e. ( X \ { B } ) )
41 iftrue 3607 . . . . . . 7 |- ( y = A -> if ( y = A , B , y ) = B )
4241adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) /\ y = A ) -> if ( y = A , B , y ) = B )
43 simpl3 1026 . . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) -> B e. X )
44 simpr 110 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) -> -. A = B )
4544neneqad 2479 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) -> A =/= B )
4645necomd 2486 . . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) -> B =/= A )
47 eldifsn 3794 . . . . . . . 8 |- ( B e. ( X \ { A } ) <-> ( B e. X /\ B =/= A ) )
4843, 46, 47sylanbrc 417 . . . . . . 7 |- ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) -> B e. ( X \ { A } ) )
4948ad2antrr 488 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) /\ y = A ) -> B e. ( X \ { A } ) )
5042, 49eqeltrd 2306 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) /\ y = A ) -> if ( y = A , B , y ) e. ( X \ { A } ) )
51 iffalse 3610 . . . . . . 7 |- ( -. y = A -> if ( y = A , B , y ) = y )
5251adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) /\ -. y = A ) -> if ( y = A , B , y ) = y )
53 eldifi 3326 . . . . . . . 8 |- ( y e. ( X \ { B } ) -> y e. X )
5453ad2antlr 489 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) /\ -. y = A ) -> y e. X )
55 simpr 110 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) /\ -. y = A ) -> -. y = A )
5655neneqad 2479 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) /\ -. y = A ) -> y =/= A )
57 eldifsn 3794 . . . . . . 7 |- ( y e. ( X \ { A } ) <-> ( y e. X /\ y =/= A ) )
5854, 56, 57sylanbrc 417 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) /\ -. y = A ) -> y e. ( X \ { A } ) )
5952, 58eqeltrd 2306 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) /\ -. y = A ) -> if ( y = A , B , y ) e. ( X \ { A } ) )
60 simpll1 1060 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) -> X e. Fin )
6153adantl 277 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) -> y e. X )
62 simpll2 1061 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) -> A e. X )
63 fidceq 7027 . . . . . . 7 |- ( ( X e. Fin /\ y e. X /\ A e. X ) -> DECID y = A )
6460, 61, 62, 63syl3anc 1271 . . . . . 6 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) -> DECID y = A )
65 exmiddc 841 . . . . . 6 |- (DECID y = A -> ( y = A \/ -. y = A ) )
6664, 65syl 14 . . . . 5 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) -> ( y = A \/ -. y = A ) )
6750, 59, 66mpjaodan 803 . . . 4 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) -> if ( y = A , B , y ) e. ( X \ { A } ) )
6812adantl 277 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) -> if ( x = B , A , x ) = A )
6968eqeq2d 2241 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) -> ( y = if ( x = B , A , x ) <-> y = A ) )
7069biimpar 297 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) /\ y = A ) -> y = if ( x = B , A , x ) )
7170a1d 22 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) /\ y = A ) -> ( x = if ( y = A , B , y ) -> y = if ( x = B , A , x ) ) )
72 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) /\ -. y = A ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) -> x = if ( y = A , B , y ) )
7351eqeq2d 2241 . . . . . . . . . . . 12 |- ( -. y = A -> ( x = if ( y = A , B , y ) <-> x = y ) )
7473ad2antlr 489 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) /\ -. y = A ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) -> ( x = if ( y = A , B , y ) <-> x = y ) )
7572, 74mpbid 147 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) /\ -. y = A ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) -> x = y )
76 simpllr 534 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) /\ -. y = A ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) -> x = B )
7775, 76eqtr3d 2264 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) /\ -. y = A ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) -> y = B )
78 simprr 531 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) -> y e. ( X \ { B } ) )
7978ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) /\ -. y = A ) -> y e. ( X \ { B } ) )
8079eldifbd 3209 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) /\ -. y = A ) -> -. y e. { B } )
8180adantr 276 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) /\ -. y = A ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) -> -. y e. { B } )
82 velsn 3683 . . . . . . . . . 10 |- ( y e. { B } <-> y = B )
8381, 82sylnib 680 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) /\ -. y = A ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) -> -. y = B )
8477, 83pm2.21dd 623 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) /\ -. y = A ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) -> y = if ( x = B , A , x ) )
8584ex 115 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) /\ -. y = A ) -> ( x = if ( y = A , B , y ) -> y = if ( x = B , A , x ) ) )
86 simpll1 1060 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) -> X e. Fin )
8753ad2antll 491 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) -> y e. X )
88 simpll2 1061 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) -> A e. X )
8986, 87, 88, 63syl3anc 1271 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) -> DECID y = A )
9089, 65syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) -> ( y = A \/ -. y = A ) )
9190adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) -> ( y = A \/ -. y = A ) )
9271, 85, 91mpjaodan 803 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) -> ( x = if ( y = A , B , y ) -> y = if ( x = B , A , x ) ) )
9341eqeq2d 2241 . . . . . . . . 9 |- ( y = A -> ( x = if ( y = A , B , y ) <-> x = B ) )
9493biimprcd 160 . . . . . . . 8 |- ( x = B -> ( y = A -> x = if ( y = A , B , y ) ) )
9594adantl 277 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) -> ( y = A -> x = if ( y = A , B , y ) ) )
9669, 95sylbid 150 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) -> ( y = if ( x = B , A , x ) -> x = if ( y = A , B , y ) ) )
9792, 96impbid 129 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) -> ( x = if ( y = A , B , y ) <-> y = if ( x = B , A , x ) ) )
98 simplr 528 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) /\ y = A ) -> x = if ( y = A , B , y ) )
9941adantl 277 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) /\ y = A ) -> if ( y = A , B , y ) = B )
10098, 99eqtrd 2262 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) /\ y = A ) -> x = B )
101 simpllr 534 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) /\ y = A ) -> -. x = B )
102100, 101pm2.21dd 623 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) /\ y = A ) -> y = if ( x = B , A , x ) )
10323ad3antlr 493 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) /\ -. y = A ) -> if ( x = B , A , x ) = x )
104 simplr 528 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) /\ -. y = A ) -> x = if ( y = A , B , y ) )
10551adantl 277 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) /\ -. y = A ) -> if ( y = A , B , y ) = y )
106104, 105eqtrd 2262 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) /\ -. y = A ) -> x = y )
107103, 106eqtr2d 2263 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) /\ -. y = A ) -> y = if ( x = B , A , x ) )
10890ad2antrr 488 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) -> ( y = A \/ -. y = A ) )
109102, 107, 108mpjaodan 803 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) -> y = if ( x = B , A , x ) )
110 simprl 529 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) -> x e. ( X \ { A } ) )
111110eldifbd 3209 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) -> -. x e. { A } )
112 velsn 3683 . . . . . . . . . . 11 |- ( x e. { A } <-> x = A )
113111, 112sylnib 680 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) -> -. x = A )
114113ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ y = if ( x = B , A , x ) ) -> -. x = A )
115 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ y = if ( x = B , A , x ) ) -> y = if ( x = B , A , x ) )
11623eqeq2d 2241 . . . . . . . . . . . 12 |- ( -. x = B -> ( y = if ( x = B , A , x ) <-> y = x ) )
117116ad2antlr 489 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ y = if ( x = B , A , x ) ) -> ( y = if ( x = B , A , x ) <-> y = x ) )
118115, 117mpbid 147 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ y = if ( x = B , A , x ) ) -> y = x )
119118eqeq1d 2238 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ y = if ( x = B , A , x ) ) -> ( y = A <-> x = A ) )
120114, 119mtbird 677 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ y = if ( x = B , A , x ) ) -> -. y = A )
121120, 51syl 14 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ y = if ( x = B , A , x ) ) -> if ( y = A , B , y ) = y )
122121, 118eqtr2d 2263 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ y = if ( x = B , A , x ) ) -> x = if ( y = A , B , y ) )
123109, 122impbida 598 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) -> ( x = if ( y = A , B , y ) <-> y = if ( x = B , A , x ) ) )
12439adantrr 479 . . . . 5 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) -> ( x = B \/ -. x = B ) )
12597, 123, 124mpjaodan 803 . . . 4 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) -> ( x = if ( y = A , B , y ) <-> y = if ( x = B , A , x ) ) )
12611, 40, 67, 125f1o2d 6209 . . 3 |- ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) -> ( x e. ( X \ { A } ) |-> if ( x = B , A , x ) ) : ( X \ { A } ) -1-1-onto-> ( X \ { B } ) )
127 f1oeng 6906 . . 3 |- ( ( ( X \ { A } ) e. _V /\ ( x e. ( X \ { A } ) |-> if ( x = B , A , x ) ) : ( X \ { A } ) -1-1-onto-> ( X \ { B } ) ) -> ( X \ { A } ) ~~ ( X \ { B } ) )
12810, 126, 127syl2anc 411 . 2 |- ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) -> ( X \ { A } ) ~~ ( X \ { B } ) )
129 fidceq 7027 . . 3 |- ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) -> DECID A = B )
130 exmiddc 841 . . 3 |- (DECID A = B -> ( A = B \/ -. A = B ) )
131129, 130syl 14 . 2 |- ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A = B \/ -. A = B ) )
1329, 128, 131mpjaodan 803 1 |- ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( X \ { A } ) ~~ ( X \ { B } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 713  DECID wdc 839   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   =/= wne 2400   _Vcvv 2799   \ cdif 3194   ifcif 3602   {csn 3666   class class class wbr 4082   |-> cmpt 4144   -1-1-onto->wf1o 5316   ~~ cen 6883   Fincfn 6885
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-iord 4456  df-on 4458  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-en 6886  df-fin 6888
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