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Theorem fidifsnen 6566
Description: All decrements of a finite set are equinumerous. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
fidifsnen  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( X  \  { A } )  ~~  ( X  \  { B }
) )

Proof of Theorem fidifsnen
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difexg 3972 . . . . . 6  |-  ( X  e.  Fin  ->  ( X  \  { A }
)  e.  _V )
213ad2ant1 964 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( X  \  { A } )  e.  _V )
32adantr 270 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  A  =  B
)  ->  ( X  \  { A } )  e.  _V )
4 enrefg 6461 . . . 4  |-  ( ( X  \  { A } )  e.  _V  ->  ( X  \  { A } )  ~~  ( X  \  { A }
) )
53, 4syl 14 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  A  =  B
)  ->  ( X  \  { A } ) 
~~  ( X  \  { A } ) )
6 sneq 3452 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  { A }  =  { B } )
76difeq2d 3116 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  ( X  \  { A }
)  =  ( X 
\  { B }
) )
87adantl 271 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  A  =  B
)  ->  ( X  \  { A } )  =  ( X  \  { B } ) )
95, 8breqtrd 3861 . 2  |-  ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  A  =  B
)  ->  ( X  \  { A } ) 
~~  ( X  \  { B } ) )
102adantr 270 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  ->  ( X  \  { A } )  e.  _V )
11 eqid 2088 . . . 4  |-  ( x  e.  ( X  \  { A } )  |->  if ( x  =  B ,  A ,  x
) )  =  ( x  e.  ( X 
\  { A }
)  |->  if ( x  =  B ,  A ,  x ) )
12 iftrue 3394 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  B  ->  if ( x  =  B ,  A ,  x )  =  A )
1312adantl 271 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  x  e.  ( X  \  { A }
) )  /\  x  =  B )  ->  if ( x  =  B ,  A ,  x )  =  A )
14 simpll2 983 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( X  e. 
Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  -.  A  =  B )  /\  x  e.  ( X  \  { A } ) )  ->  A  e.  X )
1514adantr 270 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  x  e.  ( X  \  { A }
) )  /\  x  =  B )  ->  A  e.  X )
1613, 15eqeltrd 2164 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  x  e.  ( X  \  { A }
) )  /\  x  =  B )  ->  if ( x  =  B ,  A ,  x )  e.  X )
17 simpllr 501 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  x  e.  ( X  \  { A }
) )  /\  x  =  B )  ->  -.  A  =  B )
1813eqeq1d 2096 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  x  e.  ( X  \  { A }
) )  /\  x  =  B )  ->  ( if ( x  =  B ,  A ,  x
)  =  B  <->  A  =  B ) )
1917, 18mtbird 633 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  x  e.  ( X  \  { A }
) )  /\  x  =  B )  ->  -.  if ( x  =  B ,  A ,  x
)  =  B )
2019neneqad 2334 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  x  e.  ( X  \  { A }
) )  /\  x  =  B )  ->  if ( x  =  B ,  A ,  x )  =/=  B )
21 eldifsn 3562 . . . . . 6  |-  ( if ( x  =  B ,  A ,  x
)  e.  ( X 
\  { B }
)  <->  ( if ( x  =  B ,  A ,  x )  e.  X  /\  if ( x  =  B ,  A ,  x )  =/=  B ) )
2216, 20, 21sylanbrc 408 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  x  e.  ( X  \  { A }
) )  /\  x  =  B )  ->  if ( x  =  B ,  A ,  x )  e.  ( X  \  { B } ) )
23 iffalse 3397 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  =  B  ->  if ( x  =  B ,  A ,  x
)  =  x )
2423adantl 271 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  x  e.  ( X  \  { A }
) )  /\  -.  x  =  B )  ->  if ( x  =  B ,  A ,  x )  =  x )
25 eldifi 3120 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( X  \  { A } )  ->  x  e.  X )
2625ad2antlr 473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  x  e.  ( X  \  { A }
) )  /\  -.  x  =  B )  ->  x  e.  X )
2724, 26eqeltrd 2164 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  x  e.  ( X  \  { A }
) )  /\  -.  x  =  B )  ->  if ( x  =  B ,  A ,  x )  e.  X
)
28 simpr 108 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  x  e.  ( X  \  { A }
) )  /\  -.  x  =  B )  ->  -.  x  =  B )
2924eqeq1d 2096 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  x  e.  ( X  \  { A }
) )  /\  -.  x  =  B )  ->  ( if ( x  =  B ,  A ,  x )  =  B  <-> 
x  =  B ) )
3028, 29mtbird 633 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  x  e.  ( X  \  { A }
) )  /\  -.  x  =  B )  ->  -.  if ( x  =  B ,  A ,  x )  =  B )
3130neneqad 2334 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  x  e.  ( X  \  { A }
) )  /\  -.  x  =  B )  ->  if ( x  =  B ,  A ,  x )  =/=  B
)
3227, 31, 21sylanbrc 408 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  x  e.  ( X  \  { A }
) )  /\  -.  x  =  B )  ->  if ( x  =  B ,  A ,  x )  e.  ( X  \  { B } ) )
33 simpll1 982 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  e. 
Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  -.  A  =  B )  /\  x  e.  ( X  \  { A } ) )  ->  X  e.  Fin )
3425adantl 271 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  e. 
Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  -.  A  =  B )  /\  x  e.  ( X  \  { A } ) )  ->  x  e.  X )
35 simpll3 984 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  e. 
Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  -.  A  =  B )  /\  x  e.  ( X  \  { A } ) )  ->  B  e.  X )
36 fidceq 6565 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  x  e.  X  /\  B  e.  X )  -> DECID  x  =  B )
3733, 34, 35, 36syl3anc 1174 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  e. 
Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  -.  A  =  B )  /\  x  e.  ( X  \  { A } ) )  -> DECID  x  =  B )
38 exmiddc 782 . . . . . 6  |-  (DECID  x  =  B  ->  ( x  =  B  \/  -.  x  =  B )
)
3937, 38syl 14 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  e. 
Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  -.  A  =  B )  /\  x  e.  ( X  \  { A } ) )  -> 
( x  =  B  \/  -.  x  =  B ) )
4022, 32, 39mpjaodan 747 . . . 4  |-  ( ( ( ( X  e. 
Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  -.  A  =  B )  /\  x  e.  ( X  \  { A } ) )  ->  if ( x  =  B ,  A ,  x
)  e.  ( X 
\  { B }
) )
41 iftrue 3394 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  if ( y  =  A ,  B ,  y )  =  B )
4241adantl 271 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  y  e.  ( X  \  { B }
) )  /\  y  =  A )  ->  if ( y  =  A ,  B ,  y )  =  B )
43 simpl3 948 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  ->  B  e.  X )
44 simpr 108 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  ->  -.  A  =  B )
4544neneqad 2334 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  ->  A  =/=  B )
4645necomd 2341 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  ->  B  =/=  A )
47 eldifsn 3562 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( X  \  { A } )  <->  ( B  e.  X  /\  B  =/= 
A ) )
4843, 46, 47sylanbrc 408 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  ->  B  e.  ( X  \  { A } ) )
4948ad2antrr 472 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  y  e.  ( X  \  { B }
) )  /\  y  =  A )  ->  B  e.  ( X  \  { A } ) )
5042, 49eqeltrd 2164 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  y  e.  ( X  \  { B }
) )  /\  y  =  A )  ->  if ( y  =  A ,  B ,  y )  e.  ( X 
\  { A }
) )
51 iffalse 3397 . . . . . . 7  |-  ( -.  y  =  A  ->  if ( y  =  A ,  B ,  y )  =  y )
5251adantl 271 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  y  e.  ( X  \  { B }
) )  /\  -.  y  =  A )  ->  if ( y  =  A ,  B , 
y )  =  y )
53 eldifi 3120 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( X  \  { B } )  -> 
y  e.  X )
5453ad2antlr 473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  y  e.  ( X  \  { B }
) )  /\  -.  y  =  A )  ->  y  e.  X )
55 simpr 108 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  y  e.  ( X  \  { B }
) )  /\  -.  y  =  A )  ->  -.  y  =  A )
5655neneqad 2334 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  y  e.  ( X  \  { B }
) )  /\  -.  y  =  A )  ->  y  =/=  A )
57 eldifsn 3562 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( X  \  { A } )  <->  ( y  e.  X  /\  y  =/=  A ) )
5854, 56, 57sylanbrc 408 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  y  e.  ( X  \  { B }
) )  /\  -.  y  =  A )  ->  y  e.  ( X 
\  { A }
) )
5952, 58eqeltrd 2164 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  y  e.  ( X  \  { B }
) )  /\  -.  y  =  A )  ->  if ( y  =  A ,  B , 
y )  e.  ( X  \  { A } ) )
60 simpll1 982 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  e. 
Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  -.  A  =  B )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) )  ->  X  e.  Fin )
6153adantl 271 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  e. 
Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  -.  A  =  B )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) )  -> 
y  e.  X )
62 simpll2 983 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  e. 
Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  -.  A  =  B )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) )  ->  A  e.  X )
63 fidceq 6565 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  y  e.  X  /\  A  e.  X )  -> DECID  y  =  A )
6460, 61, 62, 63syl3anc 1174 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  e. 
Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  -.  A  =  B )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) )  -> DECID  y  =  A )
65 exmiddc 782 . . . . . 6  |-  (DECID  y  =  A  ->  ( y  =  A  \/  -.  y  =  A )
)
6664, 65syl 14 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  e. 
Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  -.  A  =  B )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) )  -> 
( y  =  A  \/  -.  y  =  A ) )
6750, 59, 66mpjaodan 747 . . . 4  |-  ( ( ( ( X  e. 
Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  -.  A  =  B )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) )  ->  if ( y  =  A ,  B ,  y )  e.  ( X 
\  { A }
) )
6812adantl 271 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  x  =  B )  ->  if (
x  =  B ,  A ,  x )  =  A )
6968eqeq2d 2099 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  x  =  B )  ->  ( y  =  if ( x  =  B ,  A ,  x )  <->  y  =  A ) )
7069biimpar 291 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  x  =  B )  /\  y  =  A )  ->  y  =  if ( x  =  B ,  A ,  x ) )
7170a1d 22 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  x  =  B )  /\  y  =  A )  ->  (
x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y )  ->  y  =  if ( x  =  B ,  A ,  x )
) )
72 simpr 108 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  x  =  B )  /\  -.  y  =  A )  /\  x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y ) )  ->  x  =  if ( y  =  A ,  B , 
y ) )
7351eqeq2d 2099 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  y  =  A  -> 
( x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y )  <->  x  =  y
) )
7473ad2antlr 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  x  =  B )  /\  -.  y  =  A )  /\  x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y ) )  ->  (
x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y )  <->  x  =  y ) )
7572, 74mpbid 145 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  x  =  B )  /\  -.  y  =  A )  /\  x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y ) )  ->  x  =  y )
76 simpllr 501 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  x  =  B )  /\  -.  y  =  A )  /\  x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y ) )  ->  x  =  B )
7775, 76eqtr3d 2122 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  x  =  B )  /\  -.  y  =  A )  /\  x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y ) )  ->  y  =  B )
78 simprr 499 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( X  e. 
Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  -.  A  =  B )  /\  (
x  e.  ( X 
\  { A }
)  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  ->  y  e.  ( X  \  { B } ) )
7978ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  x  =  B )  /\  -.  y  =  A )  ->  y  e.  ( X 
\  { B }
) )
8079eldifbd 3009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  x  =  B )  /\  -.  y  =  A )  ->  -.  y  e.  { B } )
8180adantr 270 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  x  =  B )  /\  -.  y  =  A )  /\  x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y ) )  ->  -.  y  e.  { B } )
82 velsn 3458 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  { B }  <->  y  =  B )
8381, 82sylnib 636 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  x  =  B )  /\  -.  y  =  A )  /\  x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y ) )  ->  -.  y  =  B )
8477, 83pm2.21dd 585 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  x  =  B )  /\  -.  y  =  A )  /\  x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y ) )  ->  y  =  if ( x  =  B ,  A ,  x ) )
8584ex 113 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  x  =  B )  /\  -.  y  =  A )  ->  ( x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y )  ->  y  =  if ( x  =  B ,  A ,  x
) ) )
86 simpll1 982 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( X  e. 
Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  -.  A  =  B )  /\  (
x  e.  ( X 
\  { A }
)  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  ->  X  e.  Fin )
8753ad2antll 475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( X  e. 
Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  -.  A  =  B )  /\  (
x  e.  ( X 
\  { A }
)  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  ->  y  e.  X
)
88 simpll2 983 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( X  e. 
Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  -.  A  =  B )  /\  (
x  e.  ( X 
\  { A }
)  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  ->  A  e.  X
)
8986, 87, 88, 63syl3anc 1174 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( X  e. 
Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  -.  A  =  B )  /\  (
x  e.  ( X 
\  { A }
)  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  -> DECID 
y  =  A )
9089, 65syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( X  e. 
Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  -.  A  =  B )  /\  (
x  e.  ( X 
\  { A }
)  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  ->  ( y  =  A  \/  -.  y  =  A ) )
9190adantr 270 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  x  =  B )  ->  ( y  =  A  \/  -.  y  =  A )
)
9271, 85, 91mpjaodan 747 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  x  =  B )  ->  ( x  =  if ( y  =  A ,  B , 
y )  ->  y  =  if ( x  =  B ,  A ,  x ) ) )
9341eqeq2d 2099 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  A  ->  (
x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y )  <->  x  =  B ) )
9493biimprcd 158 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  B  ->  (
y  =  A  ->  x  =  if (
y  =  A ,  B ,  y )
) )
9594adantl 271 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  x  =  B )  ->  ( y  =  A  ->  x  =  if ( y  =  A ,  B , 
y ) ) )
9669, 95sylbid 148 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  x  =  B )  ->  ( y  =  if ( x  =  B ,  A ,  x )  ->  x  =  if ( y  =  A ,  B , 
y ) ) )
9792, 96impbid 127 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  x  =  B )  ->  ( x  =  if ( y  =  A ,  B , 
y )  <->  y  =  if ( x  =  B ,  A ,  x
) ) )
98 simplr 497 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  -.  x  =  B )  /\  x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y ) )  /\  y  =  A )  ->  x  =  if ( y  =  A ,  B , 
y ) )
9941adantl 271 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  -.  x  =  B )  /\  x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y ) )  /\  y  =  A )  ->  if ( y  =  A ,  B ,  y )  =  B )
10098, 99eqtrd 2120 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  -.  x  =  B )  /\  x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y ) )  /\  y  =  A )  ->  x  =  B )
101 simpllr 501 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  -.  x  =  B )  /\  x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y ) )  /\  y  =  A )  ->  -.  x  =  B )
102100, 101pm2.21dd 585 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  -.  x  =  B )  /\  x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y ) )  /\  y  =  A )  ->  y  =  if ( x  =  B ,  A ,  x ) )
10323ad3antlr 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  -.  x  =  B )  /\  x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y ) )  /\  -.  y  =  A )  ->  if ( x  =  B ,  A ,  x )  =  x )
104 simplr 497 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  -.  x  =  B )  /\  x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y ) )  /\  -.  y  =  A )  ->  x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y )
)
10551adantl 271 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  -.  x  =  B )  /\  x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y ) )  /\  -.  y  =  A )  ->  if ( y  =  A ,  B , 
y )  =  y )
106104, 105eqtrd 2120 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  -.  x  =  B )  /\  x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y ) )  /\  -.  y  =  A )  ->  x  =  y )
107103, 106eqtr2d 2121 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  -.  x  =  B )  /\  x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y ) )  /\  -.  y  =  A )  ->  y  =  if ( x  =  B ,  A ,  x )
)
10890ad2antrr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  -.  x  =  B )  /\  x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y ) )  ->  (
y  =  A  \/  -.  y  =  A
) )
109102, 107, 108mpjaodan 747 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  -.  x  =  B )  /\  x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y ) )  ->  y  =  if ( x  =  B ,  A ,  x ) )
110 simprl 498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( X  e. 
Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  -.  A  =  B )  /\  (
x  e.  ( X 
\  { A }
)  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  ->  x  e.  ( X  \  { A } ) )
111110eldifbd 3009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( X  e. 
Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  -.  A  =  B )  /\  (
x  e.  ( X 
\  { A }
)  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  ->  -.  x  e.  { A } )
112 velsn 3458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  { A }  <->  x  =  A )
113111, 112sylnib 636 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( X  e. 
Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  -.  A  =  B )  /\  (
x  e.  ( X 
\  { A }
)  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  ->  -.  x  =  A )
114113ad2antrr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  -.  x  =  B )  /\  y  =  if ( x  =  B ,  A ,  x ) )  ->  -.  x  =  A )
115 simpr 108 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  -.  x  =  B )  /\  y  =  if ( x  =  B ,  A ,  x ) )  ->  y  =  if ( x  =  B ,  A ,  x
) )
11623eqeq2d 2099 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  x  =  B  -> 
( y  =  if ( x  =  B ,  A ,  x
)  <->  y  =  x ) )
117116ad2antlr 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  -.  x  =  B )  /\  y  =  if ( x  =  B ,  A ,  x ) )  ->  ( y  =  if ( x  =  B ,  A ,  x )  <->  y  =  x ) )
118115, 117mpbid 145 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  -.  x  =  B )  /\  y  =  if ( x  =  B ,  A ,  x ) )  ->  y  =  x )
119118eqeq1d 2096 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  -.  x  =  B )  /\  y  =  if ( x  =  B ,  A ,  x ) )  ->  ( y  =  A  <->  x  =  A
) )
120114, 119mtbird 633 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  -.  x  =  B )  /\  y  =  if ( x  =  B ,  A ,  x ) )  ->  -.  y  =  A )
121120, 51syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  -.  x  =  B )  /\  y  =  if ( x  =  B ,  A ,  x ) )  ->  if (
y  =  A ,  B ,  y )  =  y )
122121, 118eqtr2d 2121 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  -.  x  =  B )  /\  y  =  if ( x  =  B ,  A ,  x ) )  ->  x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y ) )
123109, 122impbida 563 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  -.  x  =  B )  ->  (
x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y )  <->  y  =  if ( x  =  B ,  A ,  x ) ) )
12439adantrr 463 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  e. 
Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  -.  A  =  B )  /\  (
x  e.  ( X 
\  { A }
)  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  ->  ( x  =  B  \/  -.  x  =  B ) )
12597, 123, 124mpjaodan 747 . . . 4  |-  ( ( ( ( X  e. 
Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  -.  A  =  B )  /\  (
x  e.  ( X 
\  { A }
)  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  ->  ( x  =  if ( y  =  A ,  B , 
y )  <->  y  =  if ( x  =  B ,  A ,  x
) ) )
12611, 40, 67, 125f1o2d 5831 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  ->  ( x  e.  ( X  \  { A } )  |->  if ( x  =  B ,  A ,  x )
) : ( X 
\  { A }
)
-1-1-onto-> ( X  \  { B } ) )
127 f1oeng 6454 . . 3  |-  ( ( ( X  \  { A } )  e.  _V  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  |->  if ( x  =  B ,  A ,  x )
) : ( X 
\  { A }
)
-1-1-onto-> ( X  \  { B } ) )  -> 
( X  \  { A } )  ~~  ( X  \  { B }
) )
12810, 126, 127syl2anc 403 . 2  |-  ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  ->  ( X  \  { A } ) 
~~  ( X  \  { B } ) )
129 fidceq 6565 . . 3  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  -> DECID  A  =  B )
130 exmiddc 782 . . 3  |-  (DECID  A  =  B  ->  ( A  =  B  \/  -.  A  =  B )
)
131129, 130syl 14 . 2  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A  =  B  \/  -.  A  =  B ) )
1329, 128, 131mpjaodan 747 1  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( X  \  { A } )  ~~  ( X  \  { B }
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 664  DECID wdc 780    /\ w3a 924    = wceq 1289    e. wcel 1438    =/= wne 2255   _Vcvv 2619    \ cdif 2994   ifcif 3389   {csn 3441   class class class wbr 3837    |-> cmpt 3891   -1-1-onto->wf1o 5001    ~~ cen 6435   Fincfn 6437
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-iord 4184  df-on 4186  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-en 6438  df-fin 6440
This theorem is referenced by:  dif1en  6575
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