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Theorem fidifsnen 6836
Description: All decrements of a finite set are equinumerous. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
fidifsnen |- ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( X \ { A } ) ~~ ( X \ { B } ) )
Proof of Theorem fidifsnen
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difexg 4123 . . . . . 6 |- ( X e. Fin -> ( X \ { A } ) e. _V )
213ad2ant1 1008 . . . . 5 |- ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( X \ { A } ) e. _V )
32adantr 274 . . . 4 |- ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A = B ) -> ( X \ { A } ) e. _V )
4 enrefg 6730 . . . 4 |- ( ( X \ { A } ) e. _V -> ( X \ { A } ) ~~ ( X \ { A } ) )
53, 4syl 14 . . 3 |- ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A = B ) -> ( X \ { A } ) ~~ ( X \ { A } ) )
6 sneq 3587 . . . . 5 |- ( A = B -> { A } = { B } )
76difeq2d 3240 . . . 4 |- ( A = B -> ( X \ { A } ) = ( X \ { B } ) )
87adantl 275 . . 3 |- ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A = B ) -> ( X \ { A } ) = ( X \ { B } ) )
95, 8breqtrd 4008 . 2 |- ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A = B ) -> ( X \ { A } ) ~~ ( X \ { B } ) )
102adantr 274 . . 3 |- ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) -> ( X \ { A } ) e. _V )
11 eqid 2165 . . . 4 |- ( x e. ( X \ { A } ) |-> if ( x = B , A , x ) ) = ( x e. ( X \ { A } ) |-> if ( x = B , A , x ) )
12 iftrue 3525 . . . . . . . 8 |- ( x = B -> if ( x = B , A , x ) = A )
1312adantl 275 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) /\ x = B ) -> if ( x = B , A , x ) = A )
14 simpll2 1027 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) -> A e. X )
1514adantr 274 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) /\ x = B ) -> A e. X )
1613, 15eqeltrd 2243 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) /\ x = B ) -> if ( x = B , A , x ) e. X )
17 simpllr 524 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) /\ x = B ) -> -. A = B )
1813eqeq1d 2174 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) /\ x = B ) -> ( if ( x = B , A , x ) = B <-> A = B ) )
1917, 18mtbird 663 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) /\ x = B ) -> -. if ( x = B , A , x ) = B )
2019neneqad 2415 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) /\ x = B ) -> if ( x = B , A , x ) =/= B )
21 eldifsn 3703 . . . . . 6 |- ( if ( x = B , A , x ) e. ( X \ { B } ) <-> ( if ( x = B , A , x ) e. X /\ if ( x = B , A , x ) =/= B ) )
2216, 20, 21sylanbrc 414 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) /\ x = B ) -> if ( x = B , A , x ) e. ( X \ { B } ) )
23 iffalse 3528 . . . . . . . 8 |- ( -. x = B -> if ( x = B , A , x ) = x )
2423adantl 275 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) /\ -. x = B ) -> if ( x = B , A , x ) = x )
25 eldifi 3244 . . . . . . . 8 |- ( x e. ( X \ { A } ) -> x e. X )
2625ad2antlr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) /\ -. x = B ) -> x e. X )
2724, 26eqeltrd 2243 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) /\ -. x = B ) -> if ( x = B , A , x ) e. X )
28 simpr 109 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) /\ -. x = B ) -> -. x = B )
2924eqeq1d 2174 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) /\ -. x = B ) -> ( if ( x = B , A , x ) = B <-> x = B ) )
3028, 29mtbird 663 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) /\ -. x = B ) -> -. if ( x = B , A , x ) = B )
3130neneqad 2415 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) /\ -. x = B ) -> if ( x = B , A , x ) =/= B )
3227, 31, 21sylanbrc 414 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) /\ -. x = B ) -> if ( x = B , A , x ) e. ( X \ { B } ) )
33 simpll1 1026 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) -> X e. Fin )
3425adantl 275 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) -> x e. X )
35 simpll3 1028 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) -> B e. X )
36 fidceq 6835 . . . . . . 7 |- ( ( X e. Fin /\ x e. X /\ B e. X ) -> DECID x = B )
3733, 34, 35, 36syl3anc 1228 . . . . . 6 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) -> DECID x = B )
38 exmiddc 826 . . . . . 6 |- (DECID x = B -> ( x = B \/ -. x = B ) )
3937, 38syl 14 . . . . 5 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) -> ( x = B \/ -. x = B ) )
4022, 32, 39mpjaodan 788 . . . 4 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) -> if ( x = B , A , x ) e. ( X \ { B } ) )
41 iftrue 3525 . . . . . . 7 |- ( y = A -> if ( y = A , B , y ) = B )
4241adantl 275 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) /\ y = A ) -> if ( y = A , B , y ) = B )
43 simpl3 992 . . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) -> B e. X )
44 simpr 109 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) -> -. A = B )
4544neneqad 2415 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) -> A =/= B )
4645necomd 2422 . . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) -> B =/= A )
47 eldifsn 3703 . . . . . . . 8 |- ( B e. ( X \ { A } ) <-> ( B e. X /\ B =/= A ) )
4843, 46, 47sylanbrc 414 . . . . . . 7 |- ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) -> B e. ( X \ { A } ) )
4948ad2antrr 480 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) /\ y = A ) -> B e. ( X \ { A } ) )
5042, 49eqeltrd 2243 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) /\ y = A ) -> if ( y = A , B , y ) e. ( X \ { A } ) )
51 iffalse 3528 . . . . . . 7 |- ( -. y = A -> if ( y = A , B , y ) = y )
5251adantl 275 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) /\ -. y = A ) -> if ( y = A , B , y ) = y )
53 eldifi 3244 . . . . . . . 8 |- ( y e. ( X \ { B } ) -> y e. X )
5453ad2antlr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) /\ -. y = A ) -> y e. X )
55 simpr 109 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) /\ -. y = A ) -> -. y = A )
5655neneqad 2415 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) /\ -. y = A ) -> y =/= A )
57 eldifsn 3703 . . . . . . 7 |- ( y e. ( X \ { A } ) <-> ( y e. X /\ y =/= A ) )
5854, 56, 57sylanbrc 414 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) /\ -. y = A ) -> y e. ( X \ { A } ) )
5952, 58eqeltrd 2243 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) /\ -. y = A ) -> if ( y = A , B , y ) e. ( X \ { A } ) )
60 simpll1 1026 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) -> X e. Fin )
6153adantl 275 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) -> y e. X )
62 simpll2 1027 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) -> A e. X )
63 fidceq 6835 . . . . . . 7 |- ( ( X e. Fin /\ y e. X /\ A e. X ) -> DECID y = A )
6460, 61, 62, 63syl3anc 1228 . . . . . 6 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) -> DECID y = A )
65 exmiddc 826 . . . . . 6 |- (DECID y = A -> ( y = A \/ -. y = A ) )
6664, 65syl 14 . . . . 5 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) -> ( y = A \/ -. y = A ) )
6750, 59, 66mpjaodan 788 . . . 4 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) -> if ( y = A , B , y ) e. ( X \ { A } ) )
6812adantl 275 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) -> if ( x = B , A , x ) = A )
6968eqeq2d 2177 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) -> ( y = if ( x = B , A , x ) <-> y = A ) )
7069biimpar 295 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) /\ y = A ) -> y = if ( x = B , A , x ) )
7170a1d 22 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) /\ y = A ) -> ( x = if ( y = A , B , y ) -> y = if ( x = B , A , x ) ) )
72 simpr 109 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) /\ -. y = A ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) -> x = if ( y = A , B , y ) )
7351eqeq2d 2177 . . . . . . . . . . . 12 |- ( -. y = A -> ( x = if ( y = A , B , y ) <-> x = y ) )
7473ad2antlr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) /\ -. y = A ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) -> ( x = if ( y = A , B , y ) <-> x = y ) )
7572, 74mpbid 146 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) /\ -. y = A ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) -> x = y )
76 simpllr 524 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) /\ -. y = A ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) -> x = B )
7775, 76eqtr3d 2200 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) /\ -. y = A ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) -> y = B )
78 simprr 522 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) -> y e. ( X \ { B } ) )
7978ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) /\ -. y = A ) -> y e. ( X \ { B } ) )
8079eldifbd 3128 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) /\ -. y = A ) -> -. y e. { B } )
8180adantr 274 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) /\ -. y = A ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) -> -. y e. { B } )
82 velsn 3593 . . . . . . . . . 10 |- ( y e. { B } <-> y = B )
8381, 82sylnib 666 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) /\ -. y = A ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) -> -. y = B )
8477, 83pm2.21dd 610 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) /\ -. y = A ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) -> y = if ( x = B , A , x ) )
8584ex 114 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) /\ -. y = A ) -> ( x = if ( y = A , B , y ) -> y = if ( x = B , A , x ) ) )
86 simpll1 1026 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) -> X e. Fin )
8753ad2antll 483 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) -> y e. X )
88 simpll2 1027 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) -> A e. X )
8986, 87, 88, 63syl3anc 1228 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) -> DECID y = A )
9089, 65syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) -> ( y = A \/ -. y = A ) )
9190adantr 274 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) -> ( y = A \/ -. y = A ) )
9271, 85, 91mpjaodan 788 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) -> ( x = if ( y = A , B , y ) -> y = if ( x = B , A , x ) ) )
9341eqeq2d 2177 . . . . . . . . 9 |- ( y = A -> ( x = if ( y = A , B , y ) <-> x = B ) )
9493biimprcd 159 . . . . . . . 8 |- ( x = B -> ( y = A -> x = if ( y = A , B , y ) ) )
9594adantl 275 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) -> ( y = A -> x = if ( y = A , B , y ) ) )
9669, 95sylbid 149 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) -> ( y = if ( x = B , A , x ) -> x = if ( y = A , B , y ) ) )
9792, 96impbid 128 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) -> ( x = if ( y = A , B , y ) <-> y = if ( x = B , A , x ) ) )
98 simplr 520 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) /\ y = A ) -> x = if ( y = A , B , y ) )
9941adantl 275 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) /\ y = A ) -> if ( y = A , B , y ) = B )
10098, 99eqtrd 2198 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) /\ y = A ) -> x = B )
101 simpllr 524 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) /\ y = A ) -> -. x = B )
102100, 101pm2.21dd 610 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) /\ y = A ) -> y = if ( x = B , A , x ) )
10323ad3antlr 485 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) /\ -. y = A ) -> if ( x = B , A , x ) = x )
104 simplr 520 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) /\ -. y = A ) -> x = if ( y = A , B , y ) )
10551adantl 275 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) /\ -. y = A ) -> if ( y = A , B , y ) = y )
106104, 105eqtrd 2198 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) /\ -. y = A ) -> x = y )
107103, 106eqtr2d 2199 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) /\ -. y = A ) -> y = if ( x = B , A , x ) )
10890ad2antrr 480 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) -> ( y = A \/ -. y = A ) )
109102, 107, 108mpjaodan 788 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) -> y = if ( x = B , A , x ) )
110 simprl 521 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) -> x e. ( X \ { A } ) )
111110eldifbd 3128 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) -> -. x e. { A } )
112 velsn 3593 . . . . . . . . . . 11 |- ( x e. { A } <-> x = A )
113111, 112sylnib 666 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) -> -. x = A )
114113ad2antrr 480 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ y = if ( x = B , A , x ) ) -> -. x = A )
115 simpr 109 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ y = if ( x = B , A , x ) ) -> y = if ( x = B , A , x ) )
11623eqeq2d 2177 . . . . . . . . . . . 12 |- ( -. x = B -> ( y = if ( x = B , A , x ) <-> y = x ) )
117116ad2antlr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ y = if ( x = B , A , x ) ) -> ( y = if ( x = B , A , x ) <-> y = x ) )
118115, 117mpbid 146 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ y = if ( x = B , A , x ) ) -> y = x )
119118eqeq1d 2174 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ y = if ( x = B , A , x ) ) -> ( y = A <-> x = A ) )
120114, 119mtbird 663 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ y = if ( x = B , A , x ) ) -> -. y = A )
121120, 51syl 14 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ y = if ( x = B , A , x ) ) -> if ( y = A , B , y ) = y )
122121, 118eqtr2d 2199 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ y = if ( x = B , A , x ) ) -> x = if ( y = A , B , y ) )
123109, 122impbida 586 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) -> ( x = if ( y = A , B , y ) <-> y = if ( x = B , A , x ) ) )
12439adantrr 471 . . . . 5 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) -> ( x = B \/ -. x = B ) )
12597, 123, 124mpjaodan 788 . . . 4 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) -> ( x = if ( y = A , B , y ) <-> y = if ( x = B , A , x ) ) )
12611, 40, 67, 125f1o2d 6043 . . 3 |- ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) -> ( x e. ( X \ { A } ) |-> if ( x = B , A , x ) ) : ( X \ { A } ) -1-1-onto-> ( X \ { B } ) )
127 f1oeng 6723 . . 3 |- ( ( ( X \ { A } ) e. _V /\ ( x e. ( X \ { A } ) |-> if ( x = B , A , x ) ) : ( X \ { A } ) -1-1-onto-> ( X \ { B } ) ) -> ( X \ { A } ) ~~ ( X \ { B } ) )
12810, 126, 127syl2anc 409 . 2 |- ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) -> ( X \ { A } ) ~~ ( X \ { B } ) )
129 fidceq 6835 . . 3 |- ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) -> DECID A = B )
130 exmiddc 826 . . 3 |- (DECID A = B -> ( A = B \/ -. A = B ) )
131129, 130syl 14 . 2 |- ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A = B \/ -. A = B ) )
1329, 128, 131mpjaodan 788 1 |- ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( X \ { A } ) ~~ ( X \ { B } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698  DECID wdc 824   /\ w3a 968   = wceq 1343   e. wcel 2136   =/= wne 2336   _Vcvv 2726   \ cdif 3113   ifcif 3520   {csn 3576   class class class wbr 3982   |-> cmpt 4043   -1-1-onto->wf1o 5187   ~~ cen 6704   Fincfn 6706
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-en 6707  df-fin 6709
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