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Theorem fidifsnen 6730
Description: All decrements of a finite set are equinumerous. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
fidifsnen  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( X  \  { A } )  ~~  ( X  \  { B }
) )

Proof of Theorem fidifsnen
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difexg 4037 . . . . . 6  |-  ( X  e.  Fin  ->  ( X  \  { A }
)  e.  _V )
213ad2ant1 985 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( X  \  { A } )  e.  _V )
32adantr 272 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  A  =  B
)  ->  ( X  \  { A } )  e.  _V )
4 enrefg 6624 . . . 4  |-  ( ( X  \  { A } )  e.  _V  ->  ( X  \  { A } )  ~~  ( X  \  { A }
) )
53, 4syl 14 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  A  =  B
)  ->  ( X  \  { A } ) 
~~  ( X  \  { A } ) )
6 sneq 3506 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  { A }  =  { B } )
76difeq2d 3162 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  ( X  \  { A }
)  =  ( X 
\  { B }
) )
87adantl 273 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  A  =  B
)  ->  ( X  \  { A } )  =  ( X  \  { B } ) )
95, 8breqtrd 3922 . 2  |-  ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  A  =  B
)  ->  ( X  \  { A } ) 
~~  ( X  \  { B } ) )
102adantr 272 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  ->  ( X  \  { A } )  e.  _V )
11 eqid 2115 . . . 4  |-  ( x  e.  ( X  \  { A } )  |->  if ( x  =  B ,  A ,  x
) )  =  ( x  e.  ( X 
\  { A }
)  |->  if ( x  =  B ,  A ,  x ) )
12 iftrue 3447 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  B  ->  if ( x  =  B ,  A ,  x )  =  A )
1312adantl 273 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  x  e.  ( X  \  { A }
) )  /\  x  =  B )  ->  if ( x  =  B ,  A ,  x )  =  A )
14 simpll2 1004 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( X  e. 
Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  -.  A  =  B )  /\  x  e.  ( X  \  { A } ) )  ->  A  e.  X )
1514adantr 272 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  x  e.  ( X  \  { A }
) )  /\  x  =  B )  ->  A  e.  X )
1613, 15eqeltrd 2192 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  x  e.  ( X  \  { A }
) )  /\  x  =  B )  ->  if ( x  =  B ,  A ,  x )  e.  X )
17 simpllr 506 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  x  e.  ( X  \  { A }
) )  /\  x  =  B )  ->  -.  A  =  B )
1813eqeq1d 2124 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  x  e.  ( X  \  { A }
) )  /\  x  =  B )  ->  ( if ( x  =  B ,  A ,  x
)  =  B  <->  A  =  B ) )
1917, 18mtbird 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  x  e.  ( X  \  { A }
) )  /\  x  =  B )  ->  -.  if ( x  =  B ,  A ,  x
)  =  B )
2019neneqad 2362 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  x  e.  ( X  \  { A }
) )  /\  x  =  B )  ->  if ( x  =  B ,  A ,  x )  =/=  B )
21 eldifsn 3618 . . . . . 6  |-  ( if ( x  =  B ,  A ,  x
)  e.  ( X 
\  { B }
)  <->  ( if ( x  =  B ,  A ,  x )  e.  X  /\  if ( x  =  B ,  A ,  x )  =/=  B ) )
2216, 20, 21sylanbrc 411 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  x  e.  ( X  \  { A }
) )  /\  x  =  B )  ->  if ( x  =  B ,  A ,  x )  e.  ( X  \  { B } ) )
23 iffalse 3450 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  =  B  ->  if ( x  =  B ,  A ,  x
)  =  x )
2423adantl 273 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  x  e.  ( X  \  { A }
) )  /\  -.  x  =  B )  ->  if ( x  =  B ,  A ,  x )  =  x )
25 eldifi 3166 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( X  \  { A } )  ->  x  e.  X )
2625ad2antlr 478 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  x  e.  ( X  \  { A }
) )  /\  -.  x  =  B )  ->  x  e.  X )
2724, 26eqeltrd 2192 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  x  e.  ( X  \  { A }
) )  /\  -.  x  =  B )  ->  if ( x  =  B ,  A ,  x )  e.  X
)
28 simpr 109 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  x  e.  ( X  \  { A }
) )  /\  -.  x  =  B )  ->  -.  x  =  B )
2924eqeq1d 2124 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  x  e.  ( X  \  { A }
) )  /\  -.  x  =  B )  ->  ( if ( x  =  B ,  A ,  x )  =  B  <-> 
x  =  B ) )
3028, 29mtbird 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  x  e.  ( X  \  { A }
) )  /\  -.  x  =  B )  ->  -.  if ( x  =  B ,  A ,  x )  =  B )
3130neneqad 2362 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  x  e.  ( X  \  { A }
) )  /\  -.  x  =  B )  ->  if ( x  =  B ,  A ,  x )  =/=  B
)
3227, 31, 21sylanbrc 411 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  x  e.  ( X  \  { A }
) )  /\  -.  x  =  B )  ->  if ( x  =  B ,  A ,  x )  e.  ( X  \  { B } ) )
33 simpll1 1003 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  e. 
Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  -.  A  =  B )  /\  x  e.  ( X  \  { A } ) )  ->  X  e.  Fin )
3425adantl 273 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  e. 
Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  -.  A  =  B )  /\  x  e.  ( X  \  { A } ) )  ->  x  e.  X )
35 simpll3 1005 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  e. 
Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  -.  A  =  B )  /\  x  e.  ( X  \  { A } ) )  ->  B  e.  X )
36 fidceq 6729 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  x  e.  X  /\  B  e.  X )  -> DECID  x  =  B )
3733, 34, 35, 36syl3anc 1199 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  e. 
Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  -.  A  =  B )  /\  x  e.  ( X  \  { A } ) )  -> DECID  x  =  B )
38 exmiddc 804 . . . . . 6  |-  (DECID  x  =  B  ->  ( x  =  B  \/  -.  x  =  B )
)
3937, 38syl 14 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  e. 
Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  -.  A  =  B )  /\  x  e.  ( X  \  { A } ) )  -> 
( x  =  B  \/  -.  x  =  B ) )
4022, 32, 39mpjaodan 770 . . . 4  |-  ( ( ( ( X  e. 
Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  -.  A  =  B )  /\  x  e.  ( X  \  { A } ) )  ->  if ( x  =  B ,  A ,  x
)  e.  ( X 
\  { B }
) )
41 iftrue 3447 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  if ( y  =  A ,  B ,  y )  =  B )
4241adantl 273 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  y  e.  ( X  \  { B }
) )  /\  y  =  A )  ->  if ( y  =  A ,  B ,  y )  =  B )
43 simpl3 969 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  ->  B  e.  X )
44 simpr 109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  ->  -.  A  =  B )
4544neneqad 2362 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  ->  A  =/=  B )
4645necomd 2369 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  ->  B  =/=  A )
47 eldifsn 3618 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( X  \  { A } )  <->  ( B  e.  X  /\  B  =/= 
A ) )
4843, 46, 47sylanbrc 411 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  ->  B  e.  ( X  \  { A } ) )
4948ad2antrr 477 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  y  e.  ( X  \  { B }
) )  /\  y  =  A )  ->  B  e.  ( X  \  { A } ) )
5042, 49eqeltrd 2192 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  y  e.  ( X  \  { B }
) )  /\  y  =  A )  ->  if ( y  =  A ,  B ,  y )  e.  ( X 
\  { A }
) )
51 iffalse 3450 . . . . . . 7  |-  ( -.  y  =  A  ->  if ( y  =  A ,  B ,  y )  =  y )
5251adantl 273 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  y  e.  ( X  \  { B }
) )  /\  -.  y  =  A )  ->  if ( y  =  A ,  B , 
y )  =  y )
53 eldifi 3166 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( X  \  { B } )  -> 
y  e.  X )
5453ad2antlr 478 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  y  e.  ( X  \  { B }
) )  /\  -.  y  =  A )  ->  y  e.  X )
55 simpr 109 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  y  e.  ( X  \  { B }
) )  /\  -.  y  =  A )  ->  -.  y  =  A )
5655neneqad 2362 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  y  e.  ( X  \  { B }
) )  /\  -.  y  =  A )  ->  y  =/=  A )
57 eldifsn 3618 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( X  \  { A } )  <->  ( y  e.  X  /\  y  =/=  A ) )
5854, 56, 57sylanbrc 411 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  y  e.  ( X  \  { B }
) )  /\  -.  y  =  A )  ->  y  e.  ( X 
\  { A }
) )
5952, 58eqeltrd 2192 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  y  e.  ( X  \  { B }
) )  /\  -.  y  =  A )  ->  if ( y  =  A ,  B , 
y )  e.  ( X  \  { A } ) )
60 simpll1 1003 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  e. 
Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  -.  A  =  B )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) )  ->  X  e.  Fin )
6153adantl 273 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  e. 
Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  -.  A  =  B )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) )  -> 
y  e.  X )
62 simpll2 1004 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  e. 
Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  -.  A  =  B )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) )  ->  A  e.  X )
63 fidceq 6729 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  y  e.  X  /\  A  e.  X )  -> DECID  y  =  A )
6460, 61, 62, 63syl3anc 1199 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  e. 
Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  -.  A  =  B )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) )  -> DECID  y  =  A )
65 exmiddc 804 . . . . . 6  |-  (DECID  y  =  A  ->  ( y  =  A  \/  -.  y  =  A )
)
6664, 65syl 14 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  e. 
Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  -.  A  =  B )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) )  -> 
( y  =  A  \/  -.  y  =  A ) )
6750, 59, 66mpjaodan 770 . . . 4  |-  ( ( ( ( X  e. 
Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  -.  A  =  B )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) )  ->  if ( y  =  A ,  B ,  y )  e.  ( X 
\  { A }
) )
6812adantl 273 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  x  =  B )  ->  if (
x  =  B ,  A ,  x )  =  A )
6968eqeq2d 2127 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  x  =  B )  ->  ( y  =  if ( x  =  B ,  A ,  x )  <->  y  =  A ) )
7069biimpar 293 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  x  =  B )  /\  y  =  A )  ->  y  =  if ( x  =  B ,  A ,  x ) )
7170a1d 22 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  x  =  B )  /\  y  =  A )  ->  (
x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y )  ->  y  =  if ( x  =  B ,  A ,  x )
) )
72 simpr 109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  x  =  B )  /\  -.  y  =  A )  /\  x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y ) )  ->  x  =  if ( y  =  A ,  B , 
y ) )
7351eqeq2d 2127 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  y  =  A  -> 
( x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y )  <->  x  =  y
) )
7473ad2antlr 478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  x  =  B )  /\  -.  y  =  A )  /\  x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y ) )  ->  (
x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y )  <->  x  =  y ) )
7572, 74mpbid 146 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  x  =  B )  /\  -.  y  =  A )  /\  x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y ) )  ->  x  =  y )
76 simpllr 506 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  x  =  B )  /\  -.  y  =  A )  /\  x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y ) )  ->  x  =  B )
7775, 76eqtr3d 2150 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  x  =  B )  /\  -.  y  =  A )  /\  x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y ) )  ->  y  =  B )
78 simprr 504 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( X  e. 
Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  -.  A  =  B )  /\  (
x  e.  ( X 
\  { A }
)  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  ->  y  e.  ( X  \  { B } ) )
7978ad2antrr 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  x  =  B )  /\  -.  y  =  A )  ->  y  e.  ( X 
\  { B }
) )
8079eldifbd 3051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  x  =  B )  /\  -.  y  =  A )  ->  -.  y  e.  { B } )
8180adantr 272 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  x  =  B )  /\  -.  y  =  A )  /\  x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y ) )  ->  -.  y  e.  { B } )
82 velsn 3512 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  { B }  <->  y  =  B )
8381, 82sylnib 648 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  x  =  B )  /\  -.  y  =  A )  /\  x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y ) )  ->  -.  y  =  B )
8477, 83pm2.21dd 592 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  x  =  B )  /\  -.  y  =  A )  /\  x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y ) )  ->  y  =  if ( x  =  B ,  A ,  x ) )
8584ex 114 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  x  =  B )  /\  -.  y  =  A )  ->  ( x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y )  ->  y  =  if ( x  =  B ,  A ,  x
) ) )
86 simpll1 1003 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( X  e. 
Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  -.  A  =  B )  /\  (
x  e.  ( X 
\  { A }
)  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  ->  X  e.  Fin )
8753ad2antll 480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( X  e. 
Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  -.  A  =  B )  /\  (
x  e.  ( X 
\  { A }
)  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  ->  y  e.  X
)
88 simpll2 1004 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( X  e. 
Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  -.  A  =  B )  /\  (
x  e.  ( X 
\  { A }
)  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  ->  A  e.  X
)
8986, 87, 88, 63syl3anc 1199 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( X  e. 
Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  -.  A  =  B )  /\  (
x  e.  ( X 
\  { A }
)  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  -> DECID 
y  =  A )
9089, 65syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( X  e. 
Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  -.  A  =  B )  /\  (
x  e.  ( X 
\  { A }
)  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  ->  ( y  =  A  \/  -.  y  =  A ) )
9190adantr 272 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  x  =  B )  ->  ( y  =  A  \/  -.  y  =  A )
)
9271, 85, 91mpjaodan 770 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  x  =  B )  ->  ( x  =  if ( y  =  A ,  B , 
y )  ->  y  =  if ( x  =  B ,  A ,  x ) ) )
9341eqeq2d 2127 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  A  ->  (
x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y )  <->  x  =  B ) )
9493biimprcd 159 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  B  ->  (
y  =  A  ->  x  =  if (
y  =  A ,  B ,  y )
) )
9594adantl 273 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  x  =  B )  ->  ( y  =  A  ->  x  =  if ( y  =  A ,  B , 
y ) ) )
9669, 95sylbid 149 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  x  =  B )  ->  ( y  =  if ( x  =  B ,  A ,  x )  ->  x  =  if ( y  =  A ,  B , 
y ) ) )
9792, 96impbid 128 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  x  =  B )  ->  ( x  =  if ( y  =  A ,  B , 
y )  <->  y  =  if ( x  =  B ,  A ,  x
) ) )
98 simplr 502 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  -.  x  =  B )  /\  x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y ) )  /\  y  =  A )  ->  x  =  if ( y  =  A ,  B , 
y ) )
9941adantl 273 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  -.  x  =  B )  /\  x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y ) )  /\  y  =  A )  ->  if ( y  =  A ,  B ,  y )  =  B )
10098, 99eqtrd 2148 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  -.  x  =  B )  /\  x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y ) )  /\  y  =  A )  ->  x  =  B )
101 simpllr 506 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  -.  x  =  B )  /\  x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y ) )  /\  y  =  A )  ->  -.  x  =  B )
102100, 101pm2.21dd 592 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  -.  x  =  B )  /\  x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y ) )  /\  y  =  A )  ->  y  =  if ( x  =  B ,  A ,  x ) )
10323ad3antlr 482 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  -.  x  =  B )  /\  x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y ) )  /\  -.  y  =  A )  ->  if ( x  =  B ,  A ,  x )  =  x )
104 simplr 502 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  -.  x  =  B )  /\  x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y ) )  /\  -.  y  =  A )  ->  x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y )
)
10551adantl 273 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  -.  x  =  B )  /\  x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y ) )  /\  -.  y  =  A )  ->  if ( y  =  A ,  B , 
y )  =  y )
106104, 105eqtrd 2148 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  -.  x  =  B )  /\  x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y ) )  /\  -.  y  =  A )  ->  x  =  y )
107103, 106eqtr2d 2149 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  -.  x  =  B )  /\  x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y ) )  /\  -.  y  =  A )  ->  y  =  if ( x  =  B ,  A ,  x )
)
10890ad2antrr 477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  -.  x  =  B )  /\  x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y ) )  ->  (
y  =  A  \/  -.  y  =  A
) )
109102, 107, 108mpjaodan 770 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  -.  x  =  B )  /\  x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y ) )  ->  y  =  if ( x  =  B ,  A ,  x ) )
110 simprl 503 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( X  e. 
Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  -.  A  =  B )  /\  (
x  e.  ( X 
\  { A }
)  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  ->  x  e.  ( X  \  { A } ) )
111110eldifbd 3051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( X  e. 
Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  -.  A  =  B )  /\  (
x  e.  ( X 
\  { A }
)  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  ->  -.  x  e.  { A } )
112 velsn 3512 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  { A }  <->  x  =  A )
113111, 112sylnib 648 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( X  e. 
Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  -.  A  =  B )  /\  (
x  e.  ( X 
\  { A }
)  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  ->  -.  x  =  A )
114113ad2antrr 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  -.  x  =  B )  /\  y  =  if ( x  =  B ,  A ,  x ) )  ->  -.  x  =  A )
115 simpr 109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  -.  x  =  B )  /\  y  =  if ( x  =  B ,  A ,  x ) )  ->  y  =  if ( x  =  B ,  A ,  x
) )
11623eqeq2d 2127 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  x  =  B  -> 
( y  =  if ( x  =  B ,  A ,  x
)  <->  y  =  x ) )
117116ad2antlr 478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  -.  x  =  B )  /\  y  =  if ( x  =  B ,  A ,  x ) )  ->  ( y  =  if ( x  =  B ,  A ,  x )  <->  y  =  x ) )
118115, 117mpbid 146 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  -.  x  =  B )  /\  y  =  if ( x  =  B ,  A ,  x ) )  ->  y  =  x )
119118eqeq1d 2124 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  -.  x  =  B )  /\  y  =  if ( x  =  B ,  A ,  x ) )  ->  ( y  =  A  <->  x  =  A
) )
120114, 119mtbird 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  -.  x  =  B )  /\  y  =  if ( x  =  B ,  A ,  x ) )  ->  -.  y  =  A )
121120, 51syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  -.  x  =  B )  /\  y  =  if ( x  =  B ,  A ,  x ) )  ->  if (
y  =  A ,  B ,  y )  =  y )
122121, 118eqtr2d 2149 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  -.  x  =  B )  /\  y  =  if ( x  =  B ,  A ,  x ) )  ->  x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y ) )
123109, 122impbida 568 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  -.  x  =  B )  ->  (
x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y )  <->  y  =  if ( x  =  B ,  A ,  x ) ) )
12439adantrr 468 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  e. 
Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  -.  A  =  B )  /\  (
x  e.  ( X 
\  { A }
)  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  ->  ( x  =  B  \/  -.  x  =  B ) )
12597, 123, 124mpjaodan 770 . . . 4  |-  ( ( ( ( X  e. 
Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  -.  A  =  B )  /\  (
x  e.  ( X 
\  { A }
)  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  ->  ( x  =  if ( y  =  A ,  B , 
y )  <->  y  =  if ( x  =  B ,  A ,  x
) ) )
12611, 40, 67, 125f1o2d 5941 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  ->  ( x  e.  ( X  \  { A } )  |->  if ( x  =  B ,  A ,  x )
) : ( X 
\  { A }
)
-1-1-onto-> ( X  \  { B } ) )
127 f1oeng 6617 . . 3  |-  ( ( ( X  \  { A } )  e.  _V  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  |->  if ( x  =  B ,  A ,  x )
) : ( X 
\  { A }
)
-1-1-onto-> ( X  \  { B } ) )  -> 
( X  \  { A } )  ~~  ( X  \  { B }
) )
12810, 126, 127syl2anc 406 . 2  |-  ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  ->  ( X  \  { A } ) 
~~  ( X  \  { B } ) )
129 fidceq 6729 . . 3  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  -> DECID  A  =  B )
130 exmiddc 804 . . 3  |-  (DECID  A  =  B  ->  ( A  =  B  \/  -.  A  =  B )
)
131129, 130syl 14 . 2  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A  =  B  \/  -.  A  =  B ) )
1329, 128, 131mpjaodan 770 1  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( X  \  { A } )  ~~  ( X  \  { B }
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 680  DECID wdc 802    /\ w3a 945    = wceq 1314    e. wcel 1463    =/= wne 2283   _Vcvv 2658    \ cdif 3036   ifcif 3442   {csn 3495   class class class wbr 3897    |-> cmpt 3957   -1-1-onto->wf1o 5090    ~~ cen 6598   Fincfn 6600
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-iord 4256  df-on 4258  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-en 6601  df-fin 6603
This theorem is referenced by:  dif1en  6739
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