ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fidifsnen Unicode version
Theorem fidifsnen 6772
Description: All decrements of a finite set are equinumerous. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
fidifsnen |- ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( X \ { A } ) ~~ ( X \ { B } ) )
Proof of Theorem fidifsnen
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difexg 4077 . . . . . 6 |- ( X e. Fin -> ( X \ { A } ) e. _V )
213ad2ant1 1003 . . . . 5 |- ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( X \ { A } ) e. _V )
32adantr 274 . . . 4 |- ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A = B ) -> ( X \ { A } ) e. _V )
4 enrefg 6666 . . . 4 |- ( ( X \ { A } ) e. _V -> ( X \ { A } ) ~~ ( X \ { A } ) )
53, 4syl 14 . . 3 |- ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A = B ) -> ( X \ { A } ) ~~ ( X \ { A } ) )
6 sneq 3543 . . . . 5 |- ( A = B -> { A } = { B } )
76difeq2d 3199 . . . 4 |- ( A = B -> ( X \ { A } ) = ( X \ { B } ) )
87adantl 275 . . 3 |- ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A = B ) -> ( X \ { A } ) = ( X \ { B } ) )
95, 8breqtrd 3962 . 2 |- ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A = B ) -> ( X \ { A } ) ~~ ( X \ { B } ) )
102adantr 274 . . 3 |- ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) -> ( X \ { A } ) e. _V )
11 eqid 2140 . . . 4 |- ( x e. ( X \ { A } ) |-> if ( x = B , A , x ) ) = ( x e. ( X \ { A } ) |-> if ( x = B , A , x ) )
12 iftrue 3484 . . . . . . . 8 |- ( x = B -> if ( x = B , A , x ) = A )
1312adantl 275 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) /\ x = B ) -> if ( x = B , A , x ) = A )
14 simpll2 1022 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) -> A e. X )
1514adantr 274 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) /\ x = B ) -> A e. X )
1613, 15eqeltrd 2217 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) /\ x = B ) -> if ( x = B , A , x ) e. X )
17 simpllr 524 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) /\ x = B ) -> -. A = B )
1813eqeq1d 2149 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) /\ x = B ) -> ( if ( x = B , A , x ) = B <-> A = B ) )
1917, 18mtbird 663 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) /\ x = B ) -> -. if ( x = B , A , x ) = B )
2019neneqad 2388 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) /\ x = B ) -> if ( x = B , A , x ) =/= B )
21 eldifsn 3658 . . . . . 6 |- ( if ( x = B , A , x ) e. ( X \ { B } ) <-> ( if ( x = B , A , x ) e. X /\ if ( x = B , A , x ) =/= B ) )
2216, 20, 21sylanbrc 414 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) /\ x = B ) -> if ( x = B , A , x ) e. ( X \ { B } ) )
23 iffalse 3487 . . . . . . . 8 |- ( -. x = B -> if ( x = B , A , x ) = x )
2423adantl 275 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) /\ -. x = B ) -> if ( x = B , A , x ) = x )
25 eldifi 3203 . . . . . . . 8 |- ( x e. ( X \ { A } ) -> x e. X )
2625ad2antlr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) /\ -. x = B ) -> x e. X )
2724, 26eqeltrd 2217 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) /\ -. x = B ) -> if ( x = B , A , x ) e. X )
28 simpr 109 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) /\ -. x = B ) -> -. x = B )
2924eqeq1d 2149 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) /\ -. x = B ) -> ( if ( x = B , A , x ) = B <-> x = B ) )
3028, 29mtbird 663 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) /\ -. x = B ) -> -. if ( x = B , A , x ) = B )
3130neneqad 2388 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) /\ -. x = B ) -> if ( x = B , A , x ) =/= B )
3227, 31, 21sylanbrc 414 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) /\ -. x = B ) -> if ( x = B , A , x ) e. ( X \ { B } ) )
33 simpll1 1021 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) -> X e. Fin )
3425adantl 275 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) -> x e. X )
35 simpll3 1023 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) -> B e. X )
36 fidceq 6771 . . . . . . 7 |- ( ( X e. Fin /\ x e. X /\ B e. X ) -> DECID x = B )
3733, 34, 35, 36syl3anc 1217 . . . . . 6 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) -> DECID x = B )
38 exmiddc 822 . . . . . 6 |- (DECID x = B -> ( x = B \/ -. x = B ) )
3937, 38syl 14 . . . . 5 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) -> ( x = B \/ -. x = B ) )
4022, 32, 39mpjaodan 788 . . . 4 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) -> if ( x = B , A , x ) e. ( X \ { B } ) )
41 iftrue 3484 . . . . . . 7 |- ( y = A -> if ( y = A , B , y ) = B )
4241adantl 275 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) /\ y = A ) -> if ( y = A , B , y ) = B )
43 simpl3 987 . . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) -> B e. X )
44 simpr 109 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) -> -. A = B )
4544neneqad 2388 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) -> A =/= B )
4645necomd 2395 . . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) -> B =/= A )
47 eldifsn 3658 . . . . . . . 8 |- ( B e. ( X \ { A } ) <-> ( B e. X /\ B =/= A ) )
4843, 46, 47sylanbrc 414 . . . . . . 7 |- ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) -> B e. ( X \ { A } ) )
4948ad2antrr 480 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) /\ y = A ) -> B e. ( X \ { A } ) )
5042, 49eqeltrd 2217 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) /\ y = A ) -> if ( y = A , B , y ) e. ( X \ { A } ) )
51 iffalse 3487 . . . . . . 7 |- ( -. y = A -> if ( y = A , B , y ) = y )
5251adantl 275 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) /\ -. y = A ) -> if ( y = A , B , y ) = y )
53 eldifi 3203 . . . . . . . 8 |- ( y e. ( X \ { B } ) -> y e. X )
5453ad2antlr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) /\ -. y = A ) -> y e. X )
55 simpr 109 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) /\ -. y = A ) -> -. y = A )
5655neneqad 2388 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) /\ -. y = A ) -> y =/= A )
57 eldifsn 3658 . . . . . . 7 |- ( y e. ( X \ { A } ) <-> ( y e. X /\ y =/= A ) )
5854, 56, 57sylanbrc 414 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) /\ -. y = A ) -> y e. ( X \ { A } ) )
5952, 58eqeltrd 2217 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) /\ -. y = A ) -> if ( y = A , B , y ) e. ( X \ { A } ) )
60 simpll1 1021 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) -> X e. Fin )
6153adantl 275 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) -> y e. X )
62 simpll2 1022 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) -> A e. X )
63 fidceq 6771 . . . . . . 7 |- ( ( X e. Fin /\ y e. X /\ A e. X ) -> DECID y = A )
6460, 61, 62, 63syl3anc 1217 . . . . . 6 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) -> DECID y = A )
65 exmiddc 822 . . . . . 6 |- (DECID y = A -> ( y = A \/ -. y = A ) )
6664, 65syl 14 . . . . 5 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) -> ( y = A \/ -. y = A ) )
6750, 59, 66mpjaodan 788 . . . 4 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) -> if ( y = A , B , y ) e. ( X \ { A } ) )
6812adantl 275 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) -> if ( x = B , A , x ) = A )
6968eqeq2d 2152 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) -> ( y = if ( x = B , A , x ) <-> y = A ) )
7069biimpar 295 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) /\ y = A ) -> y = if ( x = B , A , x ) )
7170a1d 22 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) /\ y = A ) -> ( x = if ( y = A , B , y ) -> y = if ( x = B , A , x ) ) )
72 simpr 109 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) /\ -. y = A ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) -> x = if ( y = A , B , y ) )
7351eqeq2d 2152 . . . . . . . . . . . 12 |- ( -. y = A -> ( x = if ( y = A , B , y ) <-> x = y ) )
7473ad2antlr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) /\ -. y = A ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) -> ( x = if ( y = A , B , y ) <-> x = y ) )
7572, 74mpbid 146 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) /\ -. y = A ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) -> x = y )
76 simpllr 524 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) /\ -. y = A ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) -> x = B )
7775, 76eqtr3d 2175 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) /\ -. y = A ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) -> y = B )
78 simprr 522 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) -> y e. ( X \ { B } ) )
7978ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) /\ -. y = A ) -> y e. ( X \ { B } ) )
8079eldifbd 3088 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) /\ -. y = A ) -> -. y e. { B } )
8180adantr 274 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) /\ -. y = A ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) -> -. y e. { B } )
82 velsn 3549 . . . . . . . . . 10 |- ( y e. { B } <-> y = B )
8381, 82sylnib 666 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) /\ -. y = A ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) -> -. y = B )
8477, 83pm2.21dd 610 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) /\ -. y = A ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) -> y = if ( x = B , A , x ) )
8584ex 114 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) /\ -. y = A ) -> ( x = if ( y = A , B , y ) -> y = if ( x = B , A , x ) ) )
86 simpll1 1021 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) -> X e. Fin )
8753ad2antll 483 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) -> y e. X )
88 simpll2 1022 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) -> A e. X )
8986, 87, 88, 63syl3anc 1217 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) -> DECID y = A )
9089, 65syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) -> ( y = A \/ -. y = A ) )
9190adantr 274 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) -> ( y = A \/ -. y = A ) )
9271, 85, 91mpjaodan 788 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) -> ( x = if ( y = A , B , y ) -> y = if ( x = B , A , x ) ) )
9341eqeq2d 2152 . . . . . . . . 9 |- ( y = A -> ( x = if ( y = A , B , y ) <-> x = B ) )
9493biimprcd 159 . . . . . . . 8 |- ( x = B -> ( y = A -> x = if ( y = A , B , y ) ) )
9594adantl 275 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) -> ( y = A -> x = if ( y = A , B , y ) ) )
9669, 95sylbid 149 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) -> ( y = if ( x = B , A , x ) -> x = if ( y = A , B , y ) ) )
9792, 96impbid 128 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) -> ( x = if ( y = A , B , y ) <-> y = if ( x = B , A , x ) ) )
98 simplr 520 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) /\ y = A ) -> x = if ( y = A , B , y ) )
9941adantl 275 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) /\ y = A ) -> if ( y = A , B , y ) = B )
10098, 99eqtrd 2173 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) /\ y = A ) -> x = B )
101 simpllr 524 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) /\ y = A ) -> -. x = B )
102100, 101pm2.21dd 610 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) /\ y = A ) -> y = if ( x = B , A , x ) )
10323ad3antlr 485 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) /\ -. y = A ) -> if ( x = B , A , x ) = x )
104 simplr 520 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) /\ -. y = A ) -> x = if ( y = A , B , y ) )
10551adantl 275 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) /\ -. y = A ) -> if ( y = A , B , y ) = y )
106104, 105eqtrd 2173 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) /\ -. y = A ) -> x = y )
107103, 106eqtr2d 2174 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) /\ -. y = A ) -> y = if ( x = B , A , x ) )
10890ad2antrr 480 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) -> ( y = A \/ -. y = A ) )
109102, 107, 108mpjaodan 788 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) -> y = if ( x = B , A , x ) )
110 simprl 521 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) -> x e. ( X \ { A } ) )
111110eldifbd 3088 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) -> -. x e. { A } )
112 velsn 3549 . . . . . . . . . . 11 |- ( x e. { A } <-> x = A )
113111, 112sylnib 666 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) -> -. x = A )
114113ad2antrr 480 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ y = if ( x = B , A , x ) ) -> -. x = A )
115 simpr 109 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ y = if ( x = B , A , x ) ) -> y = if ( x = B , A , x ) )
11623eqeq2d 2152 . . . . . . . . . . . 12 |- ( -. x = B -> ( y = if ( x = B , A , x ) <-> y = x ) )
117116ad2antlr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ y = if ( x = B , A , x ) ) -> ( y = if ( x = B , A , x ) <-> y = x ) )
118115, 117mpbid 146 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ y = if ( x = B , A , x ) ) -> y = x )
119118eqeq1d 2149 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ y = if ( x = B , A , x ) ) -> ( y = A <-> x = A ) )
120114, 119mtbird 663 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ y = if ( x = B , A , x ) ) -> -. y = A )
121120, 51syl 14 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ y = if ( x = B , A , x ) ) -> if ( y = A , B , y ) = y )
122121, 118eqtr2d 2174 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ y = if ( x = B , A , x ) ) -> x = if ( y = A , B , y ) )
123109, 122impbida 586 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) -> ( x = if ( y = A , B , y ) <-> y = if ( x = B , A , x ) ) )
12439adantrr 471 . . . . 5 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) -> ( x = B \/ -. x = B ) )
12597, 123, 124mpjaodan 788 . . . 4 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) -> ( x = if ( y = A , B , y ) <-> y = if ( x = B , A , x ) ) )
12611, 40, 67, 125f1o2d 5983 . . 3 |- ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) -> ( x e. ( X \ { A } ) |-> if ( x = B , A , x ) ) : ( X \ { A } ) -1-1-onto-> ( X \ { B } ) )
127 f1oeng 6659 . . 3 |- ( ( ( X \ { A } ) e. _V /\ ( x e. ( X \ { A } ) |-> if ( x = B , A , x ) ) : ( X \ { A } ) -1-1-onto-> ( X \ { B } ) ) -> ( X \ { A } ) ~~ ( X \ { B } ) )
12810, 126, 127syl2anc 409 . 2 |- ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) -> ( X \ { A } ) ~~ ( X \ { B } ) )
129 fidceq 6771 . . 3 |- ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) -> DECID A = B )
130 exmiddc 822 . . 3 |- (DECID A = B -> ( A = B \/ -. A = B ) )
131129, 130syl 14 . 2 |- ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A = B \/ -. A = B ) )
1329, 128, 131mpjaodan 788 1 |- ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( X \ { A } ) ~~ ( X \ { B } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698  DECID wdc 820   /\ w3a 963   = wceq 1332   e. wcel 1481   =/= wne 2309   _Vcvv 2689   \ cdif 3073   ifcif 3479   {csn 3532   class class class wbr 3937   |-> cmpt 3997   -1-1-onto->wf1o 5130   ~~ cen 6640   Fincfn 6642
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-iord 4296  df-on 4298  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-en 6643  df-fin 6645
This theorem is referenced by:  dif1en  6781
  Copyright terms: Public domain W3C validator