Theorem fcof1 5787

Description: An application is injective if a retraction exists. Proposition 8 of [BourbakiEns] p. E.II.18. (Contributed by FL, 11-Nov-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fcof1	|- ( ( F : A --> B /\ ( R o. F ) = ( _I |` A ) ) -> F : A -1-1-> B )

Proof of Theorem fcof1

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. 2 |- ( ( F : A --> B /\ ( R o. F ) = ( _I |` A ) ) -> F : A --> B )
2		simprr 531	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F : A --> B /\ ( R o. F ) = ( _I |` A ) ) /\ ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> ( F ` x ) = ( F ` y ) )
3	2	fveq2d 5521	. . . . . . 7 |- ( ( ( F : A --> B /\ ( R o. F ) = ( _I |` A ) ) /\ ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> ( R ` ( F ` x ) ) = ( R ` ( F ` y ) ) )
4		simpll 527	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F : A --> B /\ ( R o. F ) = ( _I |` A ) ) /\ ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> F : A --> B )
5		simprll 537	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F : A --> B /\ ( R o. F ) = ( _I |` A ) ) /\ ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> x e. A )
6		fvco3 5590	. . . . . . . 8 |- ( ( F : A --> B /\ x e. A ) -> ( ( R o. F ) ` x ) = ( R ` ( F ` x ) ) )
7	4, 5, 6	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( F : A --> B /\ ( R o. F ) = ( _I |` A ) ) /\ ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> ( ( R o. F ) ` x ) = ( R ` ( F ` x ) ) )
8		simprlr 538	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F : A --> B /\ ( R o. F ) = ( _I |` A ) ) /\ ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> y e. A )
9		fvco3 5590	. . . . . . . 8 |- ( ( F : A --> B /\ y e. A ) -> ( ( R o. F ) ` y ) = ( R ` ( F ` y ) ) )
10	4, 8, 9	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( F : A --> B /\ ( R o. F ) = ( _I |` A ) ) /\ ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> ( ( R o. F ) ` y ) = ( R ` ( F ` y ) ) )
11	3, 7, 10	3eqtr4d 2220	. . . . . 6 |- ( ( ( F : A --> B /\ ( R o. F ) = ( _I |` A ) ) /\ ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> ( ( R o. F ) ` x ) = ( ( R o. F ) ` y ) )
12		simplr 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( F : A --> B /\ ( R o. F ) = ( _I |` A ) ) /\ ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> ( R o. F ) = ( _I |` A ) )
13	12	fveq1d 5519	. . . . . 6 |- ( ( ( F : A --> B /\ ( R o. F ) = ( _I |` A ) ) /\ ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> ( ( R o. F ) ` x ) = ( ( _I |` A ) ` x ) )
14	12	fveq1d 5519	. . . . . 6 |- ( ( ( F : A --> B /\ ( R o. F ) = ( _I |` A ) ) /\ ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> ( ( R o. F ) ` y ) = ( ( _I |` A ) ` y ) )
15	11, 13, 14	3eqtr3d 2218	. . . . 5 |- ( ( ( F : A --> B /\ ( R o. F ) = ( _I |` A ) ) /\ ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> ( ( _I |` A ) ` x ) = ( ( _I |` A ) ` y ) )
16		fvresi 5712	. . . . . 6 |- ( x e. A -> ( ( _I |` A ) ` x ) = x )
17	5, 16	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( F : A --> B /\ ( R o. F ) = ( _I |` A ) ) /\ ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> ( ( _I |` A ) ` x ) = x )
18		fvresi 5712	. . . . . 6 |- ( y e. A -> ( ( _I |` A ) ` y ) = y )
19	8, 18	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( F : A --> B /\ ( R o. F ) = ( _I |` A ) ) /\ ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> ( ( _I |` A ) ` y ) = y )
20	15, 17, 19	3eqtr3d 2218	. . . 4 |- ( ( ( F : A --> B /\ ( R o. F ) = ( _I |` A ) ) /\ ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> x = y )
21	20	expr 375	. . 3 |- ( ( ( F : A --> B /\ ( R o. F ) = ( _I |` A ) ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) )
22	21	ralrimivva 2559	. 2 |- ( ( F : A --> B /\ ( R o. F ) = ( _I |` A ) ) -> A. x e. A A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) )
23		dff13 5772	. 2 |- ( F : A -1-1-> B <-> ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) )
24	1, 22, 23	sylanbrc 417	1 |- ( ( F : A --> B /\ ( R o. F ) = ( _I |` A ) ) -> F : A -1-1-> B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   _I cid 4290   |` cres 4630   o. ccom 4632   -->wf 5214   -1-1->wf1 5215   ` cfv 5218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-sbc 2965  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fv 5226

This theorem is referenced by:  fcof1o  5793