Theorem fcof1 5826

Description: An application is injective if a retraction exists. Proposition 8 of [BourbakiEns] p. E.II.18. (Contributed by FL, 11-Nov-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fcof1	|- ( ( F : A --> B /\ ( R o. F ) = ( _I |` A ) ) -> F : A -1-1-> B )

Proof of Theorem fcof1

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. 2 |- ( ( F : A --> B /\ ( R o. F ) = ( _I |` A ) ) -> F : A --> B )
2		simprr 531	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F : A --> B /\ ( R o. F ) = ( _I |` A ) ) /\ ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> ( F ` x ) = ( F ` y ) )
3	2	fveq2d 5558	. . . . . . 7 |- ( ( ( F : A --> B /\ ( R o. F ) = ( _I |` A ) ) /\ ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> ( R ` ( F ` x ) ) = ( R ` ( F ` y ) ) )
4		simpll 527	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F : A --> B /\ ( R o. F ) = ( _I |` A ) ) /\ ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> F : A --> B )
5		simprll 537	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F : A --> B /\ ( R o. F ) = ( _I |` A ) ) /\ ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> x e. A )
6		fvco3 5628	. . . . . . . 8 |- ( ( F : A --> B /\ x e. A ) -> ( ( R o. F ) ` x ) = ( R ` ( F ` x ) ) )
7	4, 5, 6	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( F : A --> B /\ ( R o. F ) = ( _I |` A ) ) /\ ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> ( ( R o. F ) ` x ) = ( R ` ( F ` x ) ) )
8		simprlr 538	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F : A --> B /\ ( R o. F ) = ( _I |` A ) ) /\ ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> y e. A )
9		fvco3 5628	. . . . . . . 8 |- ( ( F : A --> B /\ y e. A ) -> ( ( R o. F ) ` y ) = ( R ` ( F ` y ) ) )
10	4, 8, 9	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( F : A --> B /\ ( R o. F ) = ( _I |` A ) ) /\ ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> ( ( R o. F ) ` y ) = ( R ` ( F ` y ) ) )
11	3, 7, 10	3eqtr4d 2236	. . . . . 6 |- ( ( ( F : A --> B /\ ( R o. F ) = ( _I |` A ) ) /\ ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> ( ( R o. F ) ` x ) = ( ( R o. F ) ` y ) )
12		simplr 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( F : A --> B /\ ( R o. F ) = ( _I |` A ) ) /\ ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> ( R o. F ) = ( _I |` A ) )
13	12	fveq1d 5556	. . . . . 6 |- ( ( ( F : A --> B /\ ( R o. F ) = ( _I |` A ) ) /\ ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> ( ( R o. F ) ` x ) = ( ( _I |` A ) ` x ) )
14	12	fveq1d 5556	. . . . . 6 |- ( ( ( F : A --> B /\ ( R o. F ) = ( _I |` A ) ) /\ ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> ( ( R o. F ) ` y ) = ( ( _I |` A ) ` y ) )
15	11, 13, 14	3eqtr3d 2234	. . . . 5 |- ( ( ( F : A --> B /\ ( R o. F ) = ( _I |` A ) ) /\ ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> ( ( _I |` A ) ` x ) = ( ( _I |` A ) ` y ) )
16		fvresi 5751	. . . . . 6 |- ( x e. A -> ( ( _I |` A ) ` x ) = x )
17	5, 16	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( F : A --> B /\ ( R o. F ) = ( _I |` A ) ) /\ ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> ( ( _I |` A ) ` x ) = x )
18		fvresi 5751	. . . . . 6 |- ( y e. A -> ( ( _I |` A ) ` y ) = y )
19	8, 18	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( F : A --> B /\ ( R o. F ) = ( _I |` A ) ) /\ ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> ( ( _I |` A ) ` y ) = y )
20	15, 17, 19	3eqtr3d 2234	. . . 4 |- ( ( ( F : A --> B /\ ( R o. F ) = ( _I |` A ) ) /\ ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) -> x = y )
21	20	expr 375	. . 3 |- ( ( ( F : A --> B /\ ( R o. F ) = ( _I |` A ) ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) )
22	21	ralrimivva 2576	. 2 |- ( ( F : A --> B /\ ( R o. F ) = ( _I |` A ) ) -> A. x e. A A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) )
23		dff13 5811	. 2 |- ( F : A -1-1-> B <-> ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) )
24	1, 22, 23	sylanbrc 417	1 |- ( ( F : A --> B /\ ( R o. F ) = ( _I |` A ) ) -> F : A -1-1-> B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   _I cid 4319   |` cres 4661   o. ccom 4663   -->wf 5250   -1-1->wf1 5251   ` cfv 5254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2986  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fv 5262

This theorem is referenced by:  fcof1o  5832