Theorem fimax2gtrilemstep 6997

Description: Lemma for fimax2gtri 6998. The induction step. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Sep-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
fimax2gtri.po	|- ( ph -> R Po A )
fimax2gtri.tri	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A ( x R y \/ x = y \/ y R x ) )
fimax2gtri.fin	|- ( ph -> A e. Fin )
fimax2gtri.n0	|- ( ph -> A =/= (/) )
fimax2gtri.ufin	|- ( ph -> U e. Fin )
fimax2gtri.uss	|- ( ph -> U C_ A )
fimax2gtri.za	|- ( ph -> Z e. A )
fimax2gtri.va	|- ( ph -> V e. A )
fimax2gtri.vu	|- ( ph -> -. V e. U )
fimax2gtri.zb	|- ( ph -> A. y e. U -. Z R y )

Assertion

Ref	Expression
fimax2gtrilemstep	|- ( ph -> E. x e. A A. y e. ( U u. { V } ) -. x R y )

Distinct variable groups:   x, R, y   x, A, y   x, U, y   x, V, y   x, Z, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem fimax2gtrilemstep

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fimax2gtri.va	. . 3 |- ( ph -> V e. A )
2		fimax2gtri.za	. . 3 |- ( ph -> Z e. A )
3		fimax2gtri.po	. . . 4 |- ( ph -> R Po A )
4		fimax2gtri.tri	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A ( x R y \/ x = y \/ y R x ) )
5	3, 4, 2, 1	tridc 6996	. . 3 |- ( ph -> DECID Z R V )
6	1, 2, 5	ifcldcd 3608	. 2 |- ( ph -> if ( Z R V , V , Z ) e. A )
7		simplr 528	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ w e. U ) /\ Z R V ) /\ if ( Z R V , V , Z ) R w ) -> Z R V )
8		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ Z R V ) -> Z R V )
9	8	iftrued 3578	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ Z R V ) -> if ( Z R V , V , Z ) = V )
10	9	breq1d 4054	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ Z R V ) -> ( if ( Z R V , V , Z ) R w <-> V R w ) )
11	10	biimpa 296	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ Z R V ) /\ if ( Z R V , V , Z ) R w ) -> V R w )
12	11	adantllr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ w e. U ) /\ Z R V ) /\ if ( Z R V , V , Z ) R w ) -> V R w )
13	3	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ w e. U ) /\ Z R V ) -> R Po A )
14	2	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ w e. U ) /\ Z R V ) -> Z e. A )
15	1	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ w e. U ) /\ Z R V ) -> V e. A )
16		fimax2gtri.uss	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> U C_ A )
17	16	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ w e. U ) /\ Z R V ) -> U C_ A )
18		simplr 528	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ w e. U ) /\ Z R V ) -> w e. U )
19	17, 18	sseldd 3194	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ w e. U ) /\ Z R V ) -> w e. A )
20		potr 4355	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R Po A /\ ( Z e. A /\ V e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( Z R V /\ V R w ) -> Z R w ) )
21	13, 14, 15, 19, 20	syl13anc 1252	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ w e. U ) /\ Z R V ) -> ( ( Z R V /\ V R w ) -> Z R w ) )
22	21	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ w e. U ) /\ Z R V ) /\ if ( Z R V , V , Z ) R w ) -> ( ( Z R V /\ V R w ) -> Z R w ) )
23	7, 12, 22	mp2and 433	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ w e. U ) /\ Z R V ) /\ if ( Z R V , V , Z ) R w ) -> Z R w )
24		fimax2gtri.zb	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. y e. U -. Z R y )
25		breq2 4048	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = w -> ( Z R y <-> Z R w ) )
26	25	notbid 669	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = w -> ( -. Z R y <-> -. Z R w ) )
27	26	cbvralv 2738	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y e. U -. Z R y <-> A. w e. U -. Z R w )
28	24, 27	sylib 122	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. w e. U -. Z R w )
29	28	r19.21bi 2594	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ w e. U ) -> -. Z R w )
30	29	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ w e. U ) /\ Z R V ) /\ if ( Z R V , V , Z ) R w ) -> -. Z R w )
31	23, 30	pm2.65da 663	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ w e. U ) /\ Z R V ) -> -. if ( Z R V , V , Z ) R w )
32	29	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ w e. U ) /\ -. Z R V ) -> -. Z R w )
33		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. Z R V ) -> -. Z R V )
34	33	iffalsed 3581	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. Z R V ) -> if ( Z R V , V , Z ) = Z )
35	34	breq1d 4054	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. Z R V ) -> ( if ( Z R V , V , Z ) R w <-> Z R w ) )
36	35	adantlr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ w e. U ) /\ -. Z R V ) -> ( if ( Z R V , V , Z ) R w <-> Z R w ) )
37	32, 36	mtbird 675	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ w e. U ) /\ -. Z R V ) -> -. if ( Z R V , V , Z ) R w )
38		exmiddc 838	. . . . . . . 8 |- (DECID Z R V -> ( Z R V \/ -. Z R V ) )
39	5, 38	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Z R V \/ -. Z R V ) )
40	39	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ w e. U ) -> ( Z R V \/ -. Z R V ) )
41	31, 37, 40	mpjaodan 800	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. U ) -> -. if ( Z R V , V , Z ) R w )
42	41	ralrimiva 2579	. . . 4 |- ( ph -> A. w e. U -. if ( Z R V , V , Z ) R w )
43		breq2 4048	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( if ( Z R V , V , Z ) R w <-> if ( Z R V , V , Z ) R y ) )
44	43	notbid 669	. . . . 5 |- ( w = y -> ( -. if ( Z R V , V , Z ) R w <-> -. if ( Z R V , V , Z ) R y ) )
45	44	cbvralv 2738	. . . 4 |- ( A. w e. U -. if ( Z R V , V , Z ) R w <-> A. y e. U -. if ( Z R V , V , Z ) R y )
46	42, 45	sylib 122	. . 3 |- ( ph -> A. y e. U -. if ( Z R V , V , Z ) R y )
47	3	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ Z R V ) -> R Po A )
48	1	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ Z R V ) -> V e. A )
49		poirr 4354	. . . . . . 7 |- ( ( R Po A /\ V e. A ) -> -. V R V )
50	47, 48, 49	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ Z R V ) -> -. V R V )
51	9	breq1d 4054	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ Z R V ) -> ( if ( Z R V , V , Z ) R V <-> V R V ) )
52	50, 51	mtbird 675	. . . . 5 |- ( ( ph /\ Z R V ) -> -. if ( Z R V , V , Z ) R V )
53	34	breq1d 4054	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. Z R V ) -> ( if ( Z R V , V , Z ) R V <-> Z R V ) )
54	33, 53	mtbird 675	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. Z R V ) -> -. if ( Z R V , V , Z ) R V )
55	52, 54, 39	mpjaodan 800	. . . 4 |- ( ph -> -. if ( Z R V , V , Z ) R V )
56		breq2 4048	. . . . . . 7 |- ( y = V -> ( if ( Z R V , V , Z ) R y <-> if ( Z R V , V , Z ) R V ) )
57	56	notbid 669	. . . . . 6 |- ( y = V -> ( -. if ( Z R V , V , Z ) R y <-> -. if ( Z R V , V , Z ) R V ) )
58	57	ralsng 3673	. . . . 5 |- ( V e. A -> ( A. y e. { V } -. if ( Z R V , V , Z ) R y <-> -. if ( Z R V , V , Z ) R V ) )
59	1, 58	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( A. y e. { V } -. if ( Z R V , V , Z ) R y <-> -. if ( Z R V , V , Z ) R V ) )
60	55, 59	mpbird 167	. . 3 |- ( ph -> A. y e. { V } -. if ( Z R V , V , Z ) R y )
61		ralun 3355	. . 3 |- ( ( A. y e. U -. if ( Z R V , V , Z ) R y /\ A. y e. { V } -. if ( Z R V , V , Z ) R y ) -> A. y e. ( U u. { V } ) -. if ( Z R V , V , Z ) R y )
62	46, 60, 61	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> A. y e. ( U u. { V } ) -. if ( Z R V , V , Z ) R y )
63		breq1 4047	. . . . 5 |- ( x = if ( Z R V , V , Z ) -> ( x R y <-> if ( Z R V , V , Z ) R y ) )
64	63	notbid 669	. . . 4 |- ( x = if ( Z R V , V , Z ) -> ( -. x R y <-> -. if ( Z R V , V , Z ) R y ) )
65	64	ralbidv 2506	. . 3 |- ( x = if ( Z R V , V , Z ) -> ( A. y e. ( U u. { V } ) -. x R y <-> A. y e. ( U u. { V } ) -. if ( Z R V , V , Z ) R y ) )
66	65	rspcev 2877	. 2 |- ( ( if ( Z R V , V , Z ) e. A /\ A. y e. ( U u. { V } ) -. if ( Z R V , V , Z ) R y ) -> E. x e. A A. y e. ( U u. { V } ) -. x R y )
67	6, 62, 66	syl2anc 411	1 |- ( ph -> E. x e. A A. y e. ( U u. { V } ) -. x R y )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710  DECID wdc 836   \/ w3o 980   = wceq 1373   e. wcel 2176   =/= wne 2376   A.wral 2484   E.wrex 2485   u. cun 3164   C_ wss 3166   (/)c0 3460   ifcif 3571   {csn 3633   class class class wbr 4044   Po wpo 4341   Fincfn 6827

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-sbc 2999  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-if 3572  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-br 4045  df-po 4343

This theorem is referenced by:  fimax2gtri  6998