Theorem ifcldcd 3643

Description: Membership (closure) of a conditional operator, deduction form. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ifcldcd.a	|- ( ph -> A e. C )
ifcldcd.b	|- ( ph -> B e. C )
ifcldcd.dc	|- ( ph -> DECID ps )

Assertion

Ref	Expression
ifcldcd	|- ( ph -> if ( ps , A , B ) e. C )

Proof of Theorem ifcldcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iftrue 3610	. . . 4 |- ( ps -> if ( ps , A , B ) = A )
2	1	adantl 277	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> if ( ps , A , B ) = A )
3		ifcldcd.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. C )
4	3	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> A e. C )
5	2, 4	eqeltrd 2308	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> if ( ps , A , B ) e. C )
6		iffalse 3613	. . . 4 |- ( -. ps -> if ( ps , A , B ) = B )
7	6	adantl 277	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ps ) -> if ( ps , A , B ) = B )
8		ifcldcd.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. C )
9	8	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ps ) -> B e. C )
10	7, 9	eqeltrd 2308	. 2 |- ( ( ph /\ -. ps ) -> if ( ps , A , B ) e. C )
11		ifcldcd.dc	. . 3 |- ( ph -> DECID ps )
12		df-dc 842	. . 3 |- (DECID ps <-> ( ps \/ -. ps ) )
13	11, 12	sylib 122	. 2 |- ( ph -> ( ps \/ -. ps ) )
14	5, 10, 13	mpjaodan 805	1 |- ( ph -> if ( ps , A , B ) e. C )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 715  DECID wdc 841   = wceq 1397   e. wcel 2202   ifcif 3605

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-11 1554  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-if 3606

This theorem is referenced by:  pw2f1odclem  7023  fimax2gtrilemstep  7093  nnnninf  7328  nnnninfeq  7330  fodjuf  7347  fodjum  7348  fodju0  7349  mkvprop  7360  nninfwlporlemd  7374  nninfwlporlem  7375  nninfwlpoimlemg  7377  nninfwlpoimlemginf  7378  xaddf  10082  xaddval  10083  nninfinf  10709  seqf1oglem1  10785  seqf1oglem2  10786  uzin2  11568  fsum3ser  11979  fsumsplit  11989  explecnv  12087  fprodsplitdc  12178  nninfctlemfo  12632  pcmpt2  12938  ennnfonelemp1  13048  opifismgmdc  13475  psr1clfi  14729  elply2  15486  ply1term  15494  plyaddlem1  15498  plyaddlem  15500  lgsval  15760  lgsfvalg  15761  lgsfcl2  15762  lgscllem  15763  lgsval2lem  15766  lgsneg  15780  lgsdilem  15783  lgsdir2  15789  lgsdir  15791  lgsdi  15793  lgsne0  15794  gausslemma2dlem1cl  15815  gausslemma2dlem4  15820  eupth2lemsfi  16356  bj-charfundc  16462  2omap  16653  nnsf  16666  peano4nninf  16667  nninfsellemcl  16672  nninffeq  16681  dceqnconst  16724  dcapnconst  16725