Theorem fimax2gtri 7090

Description: A finite set has a maximum under a trichotomous order. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Sep-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
fimax2gtri.po	|- ( ph -> R Po A )
fimax2gtri.tri	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A ( x R y \/ x = y \/ y R x ) )
fimax2gtri.fin	|- ( ph -> A e. Fin )
fimax2gtri.n0	|- ( ph -> A =/= (/) )

Assertion

Ref	Expression
fimax2gtri	|- ( ph -> E. x e. A A. y e. A -. x R y )

Distinct variable groups:   x, R, y   x, A, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem fimax2gtri

Dummy variables z u v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		raleq 2730	. . 3 |- ( w = (/) -> ( A. y e. w -. x R y <-> A. y e. (/) -. x R y ) )
2	1	rexbidv 2533	. 2 |- ( w = (/) -> ( E. x e. A A. y e. w -. x R y <-> E. x e. A A. y e. (/) -. x R y ) )
3		raleq 2730	. . 3 |- ( w = u -> ( A. y e. w -. x R y <-> A. y e. u -. x R y ) )
4	3	rexbidv 2533	. 2 |- ( w = u -> ( E. x e. A A. y e. w -. x R y <-> E. x e. A A. y e. u -. x R y ) )
5		raleq 2730	. . 3 |- ( w = ( u u. { v } ) -> ( A. y e. w -. x R y <-> A. y e. ( u u. { v } ) -. x R y ) )
6	5	rexbidv 2533	. 2 |- ( w = ( u u. { v } ) -> ( E. x e. A A. y e. w -. x R y <-> E. x e. A A. y e. ( u u. { v } ) -. x R y ) )
7		raleq 2730	. . 3 |- ( w = A -> ( A. y e. w -. x R y <-> A. y e. A -. x R y ) )
8	7	rexbidv 2533	. 2 |- ( w = A -> ( E. x e. A A. y e. w -. x R y <-> E. x e. A A. y e. A -. x R y ) )
9		fimax2gtri.n0	. . . . 5 |- ( ph -> A =/= (/) )
10		fimax2gtri.fin	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. Fin )
11		fin0 7073	. . . . . 6 |- ( A e. Fin -> ( A =/= (/) <-> E. x x e. A ) )
12	10, 11	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( A =/= (/) <-> E. x x e. A ) )
13	9, 12	mpbid 147	. . . 4 |- ( ph -> E. x x e. A )
14		ral0 3596	. . . . . 6 |- A. y e. (/) -. x R y
15	14	biantru 302	. . . . 5 |- ( x e. A <-> ( x e. A /\ A. y e. (/) -. x R y ) )
16	15	exbii 1653	. . . 4 |- ( E. x x e. A <-> E. x ( x e. A /\ A. y e. (/) -. x R y ) )
17	13, 16	sylib 122	. . 3 |- ( ph -> E. x ( x e. A /\ A. y e. (/) -. x R y ) )
18		df-rex 2516	. . 3 |- ( E. x e. A A. y e. (/) -. x R y <-> E. x ( x e. A /\ A. y e. (/) -. x R y ) )
19	17, 18	sylibr 134	. 2 |- ( ph -> E. x e. A A. y e. (/) -. x R y )
20		breq1 4091	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( x R y <-> z R y ) )
21	20	notbid 673	. . . . 5 |- ( x = z -> ( -. x R y <-> -. z R y ) )
22	21	ralbidv 2532	. . . 4 |- ( x = z -> ( A. y e. u -. x R y <-> A. y e. u -. z R y ) )
23	22	cbvrexv 2768	. . 3 |- ( E. x e. A A. y e. u -. x R y <-> E. z e. A A. y e. u -. z R y )
24		fimax2gtri.po	. . . . . . 7 |- ( ph -> R Po A )
25	24	ad4antr 494	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ z e. A ) /\ A. y e. u -. z R y ) -> R Po A )
26		fimax2gtri.tri	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A ( x R y \/ x = y \/ y R x ) )
27	26	ad4antr 494	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ z e. A ) /\ A. y e. u -. z R y ) -> A. x e. A A. y e. A ( x R y \/ x = y \/ y R x ) )
28	10	ad4antr 494	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ z e. A ) /\ A. y e. u -. z R y ) -> A e. Fin )
29	9	ad4antr 494	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ z e. A ) /\ A. y e. u -. z R y ) -> A =/= (/) )
30		simp-4r 544	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ z e. A ) /\ A. y e. u -. z R y ) -> u e. Fin )
31		simprl 531	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> u C_ A )
32	31	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ z e. A ) /\ A. y e. u -. z R y ) -> u C_ A )
33		simplr 529	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ z e. A ) /\ A. y e. u -. z R y ) -> z e. A )
34		simprr 533	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> v e. ( A \ u ) )
35	34	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ z e. A ) /\ A. y e. u -. z R y ) -> v e. ( A \ u ) )
36	35	eldifad 3211	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ z e. A ) /\ A. y e. u -. z R y ) -> v e. A )
37	35	eldifbd 3212	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ z e. A ) /\ A. y e. u -. z R y ) -> -. v e. u )
38		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ z e. A ) /\ A. y e. u -. z R y ) -> A. y e. u -. z R y )
39	25, 27, 28, 29, 30, 32, 33, 36, 37, 38	fimax2gtrilemstep 7089	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ z e. A ) /\ A. y e. u -. z R y ) -> E. x e. A A. y e. ( u u. { v } ) -. x R y )
40	39	ex 115	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ z e. A ) -> ( A. y e. u -. z R y -> E. x e. A A. y e. ( u u. { v } ) -. x R y ) )
41	40	rexlimdva 2650	. . 3 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> ( E. z e. A A. y e. u -. z R y -> E. x e. A A. y e. ( u u. { v } ) -. x R y ) )
42	23, 41	biimtrid 152	. 2 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> ( E. x e. A A. y e. u -. x R y -> E. x e. A A. y e. ( u u. { v } ) -. x R y ) )
43	2, 4, 6, 8, 19, 42, 10	findcard2sd 7080	1 |- ( ph -> E. x e. A A. y e. A -. x R y )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ w3o 1003   = wceq 1397   E.wex 1540   e. wcel 2202   =/= wne 2402   A.wral 2510   E.wrex 2511   \ cdif 3197   u. cun 3198   C_ wss 3200   (/)c0 3494   {csn 3669   class class class wbr 4088   Po wpo 4391   Fincfn 6908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-er 6701  df-en 6909  df-fin 6911

This theorem is referenced by:  fimaxq  11090