Theorem fimax2gtri 6900

Description: A finite set has a maximum under a trichotomous order. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Sep-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
fimax2gtri.po	|- ( ph -> R Po A )
fimax2gtri.tri	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A ( x R y \/ x = y \/ y R x ) )
fimax2gtri.fin	|- ( ph -> A e. Fin )
fimax2gtri.n0	|- ( ph -> A =/= (/) )

Assertion

Ref	Expression
fimax2gtri	|- ( ph -> E. x e. A A. y e. A -. x R y )

Distinct variable groups:   x, R, y   x, A, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem fimax2gtri

Dummy variables z u v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		raleq 2672	. . 3 |- ( w = (/) -> ( A. y e. w -. x R y <-> A. y e. (/) -. x R y ) )
2	1	rexbidv 2478	. 2 |- ( w = (/) -> ( E. x e. A A. y e. w -. x R y <-> E. x e. A A. y e. (/) -. x R y ) )
3		raleq 2672	. . 3 |- ( w = u -> ( A. y e. w -. x R y <-> A. y e. u -. x R y ) )
4	3	rexbidv 2478	. 2 |- ( w = u -> ( E. x e. A A. y e. w -. x R y <-> E. x e. A A. y e. u -. x R y ) )
5		raleq 2672	. . 3 |- ( w = ( u u. { v } ) -> ( A. y e. w -. x R y <-> A. y e. ( u u. { v } ) -. x R y ) )
6	5	rexbidv 2478	. 2 |- ( w = ( u u. { v } ) -> ( E. x e. A A. y e. w -. x R y <-> E. x e. A A. y e. ( u u. { v } ) -. x R y ) )
7		raleq 2672	. . 3 |- ( w = A -> ( A. y e. w -. x R y <-> A. y e. A -. x R y ) )
8	7	rexbidv 2478	. 2 |- ( w = A -> ( E. x e. A A. y e. w -. x R y <-> E. x e. A A. y e. A -. x R y ) )
9		fimax2gtri.n0	. . . . 5 |- ( ph -> A =/= (/) )
10		fimax2gtri.fin	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. Fin )
11		fin0 6884	. . . . . 6 |- ( A e. Fin -> ( A =/= (/) <-> E. x x e. A ) )
12	10, 11	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( A =/= (/) <-> E. x x e. A ) )
13	9, 12	mpbid 147	. . . 4 |- ( ph -> E. x x e. A )
14		ral0 3524	. . . . . 6 |- A. y e. (/) -. x R y
15	14	biantru 302	. . . . 5 |- ( x e. A <-> ( x e. A /\ A. y e. (/) -. x R y ) )
16	15	exbii 1605	. . . 4 |- ( E. x x e. A <-> E. x ( x e. A /\ A. y e. (/) -. x R y ) )
17	13, 16	sylib 122	. . 3 |- ( ph -> E. x ( x e. A /\ A. y e. (/) -. x R y ) )
18		df-rex 2461	. . 3 |- ( E. x e. A A. y e. (/) -. x R y <-> E. x ( x e. A /\ A. y e. (/) -. x R y ) )
19	17, 18	sylibr 134	. 2 |- ( ph -> E. x e. A A. y e. (/) -. x R y )
20		breq1 4006	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( x R y <-> z R y ) )
21	20	notbid 667	. . . . 5 |- ( x = z -> ( -. x R y <-> -. z R y ) )
22	21	ralbidv 2477	. . . 4 |- ( x = z -> ( A. y e. u -. x R y <-> A. y e. u -. z R y ) )
23	22	cbvrexv 2704	. . 3 |- ( E. x e. A A. y e. u -. x R y <-> E. z e. A A. y e. u -. z R y )
24		fimax2gtri.po	. . . . . . 7 |- ( ph -> R Po A )
25	24	ad4antr 494	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ z e. A ) /\ A. y e. u -. z R y ) -> R Po A )
26		fimax2gtri.tri	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A ( x R y \/ x = y \/ y R x ) )
27	26	ad4antr 494	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ z e. A ) /\ A. y e. u -. z R y ) -> A. x e. A A. y e. A ( x R y \/ x = y \/ y R x ) )
28	10	ad4antr 494	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ z e. A ) /\ A. y e. u -. z R y ) -> A e. Fin )
29	9	ad4antr 494	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ z e. A ) /\ A. y e. u -. z R y ) -> A =/= (/) )
30		simp-4r 542	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ z e. A ) /\ A. y e. u -. z R y ) -> u e. Fin )
31		simprl 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> u C_ A )
32	31	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ z e. A ) /\ A. y e. u -. z R y ) -> u C_ A )
33		simplr 528	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ z e. A ) /\ A. y e. u -. z R y ) -> z e. A )
34		simprr 531	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> v e. ( A \ u ) )
35	34	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ z e. A ) /\ A. y e. u -. z R y ) -> v e. ( A \ u ) )
36	35	eldifad 3140	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ z e. A ) /\ A. y e. u -. z R y ) -> v e. A )
37	35	eldifbd 3141	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ z e. A ) /\ A. y e. u -. z R y ) -> -. v e. u )
38		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ z e. A ) /\ A. y e. u -. z R y ) -> A. y e. u -. z R y )
39	25, 27, 28, 29, 30, 32, 33, 36, 37, 38	fimax2gtrilemstep 6899	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ z e. A ) /\ A. y e. u -. z R y ) -> E. x e. A A. y e. ( u u. { v } ) -. x R y )
40	39	ex 115	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ z e. A ) -> ( A. y e. u -. z R y -> E. x e. A A. y e. ( u u. { v } ) -. x R y ) )
41	40	rexlimdva 2594	. . 3 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> ( E. z e. A A. y e. u -. z R y -> E. x e. A A. y e. ( u u. { v } ) -. x R y ) )
42	23, 41	biimtrid 152	. 2 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> ( E. x e. A A. y e. u -. x R y -> E. x e. A A. y e. ( u u. { v } ) -. x R y ) )
43	2, 4, 6, 8, 19, 42, 10	findcard2sd 6891	1 |- ( ph -> E. x e. A A. y e. A -. x R y )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ w3o 977   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   =/= wne 2347   A.wral 2455   E.wrex 2456   \ cdif 3126   u. cun 3127   C_ wss 3129   (/)c0 3422   {csn 3592   class class class wbr 4003   Po wpo 4294   Fincfn 6739

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iord 4366  df-on 4368  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-er 6534  df-en 6740  df-fin 6742

This theorem is referenced by:  fimaxq  10802