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Theorem fimax2gtri 6846
Description: A finite set has a maximum under a trichotomous order. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Sep-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
fimax2gtri.po  |-  ( ph  ->  R  Po  A )
fimax2gtri.tri  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) )
fimax2gtri.fin  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fimax2gtri.n0  |-  ( ph  ->  A  =/=  (/) )
Assertion
Ref Expression
fimax2gtri  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x R y )
Distinct variable groups:    x, R, y   
x, A, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)

Proof of Theorem fimax2gtri
Dummy variables  z  u  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 raleq 2652 . . 3  |-  ( w  =  (/)  ->  ( A. y  e.  w  -.  x R y  <->  A. y  e.  (/)  -.  x R y ) )
21rexbidv 2458 . 2  |-  ( w  =  (/)  ->  ( E. x  e.  A  A. y  e.  w  -.  x R y  <->  E. x  e.  A  A. y  e.  (/)  -.  x R y ) )
3 raleq 2652 . . 3  |-  ( w  =  u  ->  ( A. y  e.  w  -.  x R y  <->  A. y  e.  u  -.  x R y ) )
43rexbidv 2458 . 2  |-  ( w  =  u  ->  ( E. x  e.  A  A. y  e.  w  -.  x R y  <->  E. x  e.  A  A. y  e.  u  -.  x R y ) )
5 raleq 2652 . . 3  |-  ( w  =  ( u  u. 
{ v } )  ->  ( A. y  e.  w  -.  x R y  <->  A. y  e.  ( u  u.  {
v } )  -.  x R y ) )
65rexbidv 2458 . 2  |-  ( w  =  ( u  u. 
{ v } )  ->  ( E. x  e.  A  A. y  e.  w  -.  x R y  <->  E. x  e.  A  A. y  e.  ( u  u.  {
v } )  -.  x R y ) )
7 raleq 2652 . . 3  |-  ( w  =  A  ->  ( A. y  e.  w  -.  x R y  <->  A. y  e.  A  -.  x R y ) )
87rexbidv 2458 . 2  |-  ( w  =  A  ->  ( E. x  e.  A  A. y  e.  w  -.  x R y  <->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x R y ) )
9 fimax2gtri.n0 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  =/=  (/) )
10 fimax2gtri.fin . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
11 fin0 6830 . . . . . 6  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  A ) )
1210, 11syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  A )
)
139, 12mpbid 146 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. x  x  e.  A )
14 ral0 3495 . . . . . 6  |-  A. y  e.  (/)  -.  x R y
1514biantru 300 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  <->  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  (/)  -.  x R y ) )
1615exbii 1585 . . . 4  |-  ( E. x  x  e.  A  <->  E. x ( x  e.  A  /\  A. y  e.  (/)  -.  x R y ) )
1713, 16sylib 121 . . 3  |-  ( ph  ->  E. x ( x  e.  A  /\  A. y  e.  (/)  -.  x R y ) )
18 df-rex 2441 . . 3  |-  ( E. x  e.  A  A. y  e.  (/)  -.  x R y  <->  E. x
( x  e.  A  /\  A. y  e.  (/)  -.  x R y ) )
1917, 18sylibr 133 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  (/)  -.  x R y )
20 breq1 3968 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
x R y  <->  z R
y ) )
2120notbid 657 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  ( -.  x R y  <->  -.  z R y ) )
2221ralbidv 2457 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  ( A. y  e.  u  -.  x R y  <->  A. y  e.  u  -.  z R y ) )
2322cbvrexv 2681 . . 3  |-  ( E. x  e.  A  A. y  e.  u  -.  x R y  <->  E. z  e.  A  A. y  e.  u  -.  z R y )
24 fimax2gtri.po . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  Po  A )
2524ad4antr 486 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  ( u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  /\  z  e.  A )  /\  A. y  e.  u  -.  z R y )  ->  R  Po  A )
26 fimax2gtri.tri . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) )
2726ad4antr 486 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  ( u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  /\  z  e.  A )  /\  A. y  e.  u  -.  z R y )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) )
2810ad4antr 486 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  ( u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  /\  z  e.  A )  /\  A. y  e.  u  -.  z R y )  ->  A  e.  Fin )
299ad4antr 486 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  ( u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  /\  z  e.  A )  /\  A. y  e.  u  -.  z R y )  ->  A  =/=  (/) )
30 simp-4r 532 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  ( u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  /\  z  e.  A )  /\  A. y  e.  u  -.  z R y )  ->  u  e.  Fin )
31 simprl 521 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  (
u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  ->  u  C_  A
)
3231ad2antrr 480 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  ( u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  /\  z  e.  A )  /\  A. y  e.  u  -.  z R y )  ->  u  C_  A )
33 simplr 520 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  ( u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  /\  z  e.  A )  /\  A. y  e.  u  -.  z R y )  -> 
z  e.  A )
34 simprr 522 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  (
u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  ->  v  e.  ( A  \  u ) )
3534ad2antrr 480 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  ( u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  /\  z  e.  A )  /\  A. y  e.  u  -.  z R y )  -> 
v  e.  ( A 
\  u ) )
3635eldifad 3113 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  ( u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  /\  z  e.  A )  /\  A. y  e.  u  -.  z R y )  -> 
v  e.  A )
3735eldifbd 3114 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  ( u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  /\  z  e.  A )  /\  A. y  e.  u  -.  z R y )  ->  -.  v  e.  u
)
38 simpr 109 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  ( u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  /\  z  e.  A )  /\  A. y  e.  u  -.  z R y )  ->  A. y  e.  u  -.  z R y )
3925, 27, 28, 29, 30, 32, 33, 36, 37, 38fimax2gtrilemstep 6845 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  ( u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  /\  z  e.  A )  /\  A. y  e.  u  -.  z R y )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  (
u  u.  { v } )  -.  x R y )
4039ex 114 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  ( u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  /\  z  e.  A )  ->  ( A. y  e.  u  -.  z R y  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  (
u  u.  { v } )  -.  x R y ) )
4140rexlimdva 2574 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  (
u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  ->  ( E. z  e.  A  A. y  e.  u  -.  z R y  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  ( u  u.  {
v } )  -.  x R y ) )
4223, 41syl5bi 151 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  (
u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  ->  ( E. x  e.  A  A. y  e.  u  -.  x R y  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  ( u  u.  {
v } )  -.  x R y ) )
432, 4, 6, 8, 19, 42, 10findcard2sd 6837 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x R y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ w3o 962    = wceq 1335   E.wex 1472    e. wcel 2128    =/= wne 2327   A.wral 2435   E.wrex 2436    \ cdif 3099    u. cun 3100    C_ wss 3102   (/)c0 3394   {csn 3560   class class class wbr 3965    Po wpo 4254   Fincfn 6685
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-iinf 4547
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iord 4326  df-on 4328  df-suc 4331  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-er 6480  df-en 6686  df-fin 6688
This theorem is referenced by:  fimaxq  10701
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