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Theorem fimax2gtri 6761
Description: A finite set has a maximum under a trichotomous order. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Sep-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
fimax2gtri.po  |-  ( ph  ->  R  Po  A )
fimax2gtri.tri  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) )
fimax2gtri.fin  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fimax2gtri.n0  |-  ( ph  ->  A  =/=  (/) )
Assertion
Ref Expression
fimax2gtri  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x R y )
Distinct variable groups:    x, R, y   
x, A, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)

Proof of Theorem fimax2gtri
Dummy variables  z  u  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 raleq 2601 . . 3  |-  ( w  =  (/)  ->  ( A. y  e.  w  -.  x R y  <->  A. y  e.  (/)  -.  x R y ) )
21rexbidv 2413 . 2  |-  ( w  =  (/)  ->  ( E. x  e.  A  A. y  e.  w  -.  x R y  <->  E. x  e.  A  A. y  e.  (/)  -.  x R y ) )
3 raleq 2601 . . 3  |-  ( w  =  u  ->  ( A. y  e.  w  -.  x R y  <->  A. y  e.  u  -.  x R y ) )
43rexbidv 2413 . 2  |-  ( w  =  u  ->  ( E. x  e.  A  A. y  e.  w  -.  x R y  <->  E. x  e.  A  A. y  e.  u  -.  x R y ) )
5 raleq 2601 . . 3  |-  ( w  =  ( u  u. 
{ v } )  ->  ( A. y  e.  w  -.  x R y  <->  A. y  e.  ( u  u.  {
v } )  -.  x R y ) )
65rexbidv 2413 . 2  |-  ( w  =  ( u  u. 
{ v } )  ->  ( E. x  e.  A  A. y  e.  w  -.  x R y  <->  E. x  e.  A  A. y  e.  ( u  u.  {
v } )  -.  x R y ) )
7 raleq 2601 . . 3  |-  ( w  =  A  ->  ( A. y  e.  w  -.  x R y  <->  A. y  e.  A  -.  x R y ) )
87rexbidv 2413 . 2  |-  ( w  =  A  ->  ( E. x  e.  A  A. y  e.  w  -.  x R y  <->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x R y ) )
9 fimax2gtri.n0 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  =/=  (/) )
10 fimax2gtri.fin . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
11 fin0 6745 . . . . . 6  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  A ) )
1210, 11syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  A )
)
139, 12mpbid 146 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. x  x  e.  A )
14 ral0 3432 . . . . . 6  |-  A. y  e.  (/)  -.  x R y
1514biantru 298 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  <->  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  (/)  -.  x R y ) )
1615exbii 1567 . . . 4  |-  ( E. x  x  e.  A  <->  E. x ( x  e.  A  /\  A. y  e.  (/)  -.  x R y ) )
1713, 16sylib 121 . . 3  |-  ( ph  ->  E. x ( x  e.  A  /\  A. y  e.  (/)  -.  x R y ) )
18 df-rex 2397 . . 3  |-  ( E. x  e.  A  A. y  e.  (/)  -.  x R y  <->  E. x
( x  e.  A  /\  A. y  e.  (/)  -.  x R y ) )
1917, 18sylibr 133 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  (/)  -.  x R y )
20 breq1 3900 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
x R y  <->  z R
y ) )
2120notbid 639 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  ( -.  x R y  <->  -.  z R y ) )
2221ralbidv 2412 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  ( A. y  e.  u  -.  x R y  <->  A. y  e.  u  -.  z R y ) )
2322cbvrexv 2630 . . 3  |-  ( E. x  e.  A  A. y  e.  u  -.  x R y  <->  E. z  e.  A  A. y  e.  u  -.  z R y )
24 fimax2gtri.po . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  Po  A )
2524ad4antr 483 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  ( u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  /\  z  e.  A )  /\  A. y  e.  u  -.  z R y )  ->  R  Po  A )
26 fimax2gtri.tri . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) )
2726ad4antr 483 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  ( u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  /\  z  e.  A )  /\  A. y  e.  u  -.  z R y )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) )
2810ad4antr 483 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  ( u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  /\  z  e.  A )  /\  A. y  e.  u  -.  z R y )  ->  A  e.  Fin )
299ad4antr 483 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  ( u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  /\  z  e.  A )  /\  A. y  e.  u  -.  z R y )  ->  A  =/=  (/) )
30 simp-4r 514 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  ( u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  /\  z  e.  A )  /\  A. y  e.  u  -.  z R y )  ->  u  e.  Fin )
31 simprl 503 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  (
u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  ->  u  C_  A
)
3231ad2antrr 477 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  ( u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  /\  z  e.  A )  /\  A. y  e.  u  -.  z R y )  ->  u  C_  A )
33 simplr 502 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  ( u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  /\  z  e.  A )  /\  A. y  e.  u  -.  z R y )  -> 
z  e.  A )
34 simprr 504 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  (
u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  ->  v  e.  ( A  \  u ) )
3534ad2antrr 477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  ( u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  /\  z  e.  A )  /\  A. y  e.  u  -.  z R y )  -> 
v  e.  ( A 
\  u ) )
3635eldifad 3050 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  ( u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  /\  z  e.  A )  /\  A. y  e.  u  -.  z R y )  -> 
v  e.  A )
3735eldifbd 3051 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  ( u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  /\  z  e.  A )  /\  A. y  e.  u  -.  z R y )  ->  -.  v  e.  u
)
38 simpr 109 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  ( u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  /\  z  e.  A )  /\  A. y  e.  u  -.  z R y )  ->  A. y  e.  u  -.  z R y )
3925, 27, 28, 29, 30, 32, 33, 36, 37, 38fimax2gtrilemstep 6760 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  ( u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  /\  z  e.  A )  /\  A. y  e.  u  -.  z R y )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  (
u  u.  { v } )  -.  x R y )
4039ex 114 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  ( u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  /\  z  e.  A )  ->  ( A. y  e.  u  -.  z R y  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  (
u  u.  { v } )  -.  x R y ) )
4140rexlimdva 2524 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  (
u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  ->  ( E. z  e.  A  A. y  e.  u  -.  z R y  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  ( u  u.  {
v } )  -.  x R y ) )
4223, 41syl5bi 151 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  (
u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  ->  ( E. x  e.  A  A. y  e.  u  -.  x R y  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  ( u  u.  {
v } )  -.  x R y ) )
432, 4, 6, 8, 19, 42, 10findcard2sd 6752 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x R y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ w3o 944    = wceq 1314   E.wex 1451    e. wcel 1463    =/= wne 2283   A.wral 2391   E.wrex 2392    \ cdif 3036    u. cun 3037    C_ wss 3039   (/)c0 3331   {csn 3495   class class class wbr 3897    Po wpo 4184   Fincfn 6600
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-po 4186  df-iord 4256  df-on 4258  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-er 6395  df-en 6601  df-fin 6603
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