Theorem fimax2gtri 7024

Description: A finite set has a maximum under a trichotomous order. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Sep-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
fimax2gtri.po	|- ( ph -> R Po A )
fimax2gtri.tri	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A ( x R y \/ x = y \/ y R x ) )
fimax2gtri.fin	|- ( ph -> A e. Fin )
fimax2gtri.n0	|- ( ph -> A =/= (/) )

Assertion

Ref	Expression
fimax2gtri	|- ( ph -> E. x e. A A. y e. A -. x R y )

Distinct variable groups:   x, R, y   x, A, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem fimax2gtri

Dummy variables z u v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		raleq 2705	. . 3 |- ( w = (/) -> ( A. y e. w -. x R y <-> A. y e. (/) -. x R y ) )
2	1	rexbidv 2509	. 2 |- ( w = (/) -> ( E. x e. A A. y e. w -. x R y <-> E. x e. A A. y e. (/) -. x R y ) )
3		raleq 2705	. . 3 |- ( w = u -> ( A. y e. w -. x R y <-> A. y e. u -. x R y ) )
4	3	rexbidv 2509	. 2 |- ( w = u -> ( E. x e. A A. y e. w -. x R y <-> E. x e. A A. y e. u -. x R y ) )
5		raleq 2705	. . 3 |- ( w = ( u u. { v } ) -> ( A. y e. w -. x R y <-> A. y e. ( u u. { v } ) -. x R y ) )
6	5	rexbidv 2509	. 2 |- ( w = ( u u. { v } ) -> ( E. x e. A A. y e. w -. x R y <-> E. x e. A A. y e. ( u u. { v } ) -. x R y ) )
7		raleq 2705	. . 3 |- ( w = A -> ( A. y e. w -. x R y <-> A. y e. A -. x R y ) )
8	7	rexbidv 2509	. 2 |- ( w = A -> ( E. x e. A A. y e. w -. x R y <-> E. x e. A A. y e. A -. x R y ) )
9		fimax2gtri.n0	. . . . 5 |- ( ph -> A =/= (/) )
10		fimax2gtri.fin	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. Fin )
11		fin0 7008	. . . . . 6 |- ( A e. Fin -> ( A =/= (/) <-> E. x x e. A ) )
12	10, 11	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( A =/= (/) <-> E. x x e. A ) )
13	9, 12	mpbid 147	. . . 4 |- ( ph -> E. x x e. A )
14		ral0 3570	. . . . . 6 |- A. y e. (/) -. x R y
15	14	biantru 302	. . . . 5 |- ( x e. A <-> ( x e. A /\ A. y e. (/) -. x R y ) )
16	15	exbii 1629	. . . 4 |- ( E. x x e. A <-> E. x ( x e. A /\ A. y e. (/) -. x R y ) )
17	13, 16	sylib 122	. . 3 |- ( ph -> E. x ( x e. A /\ A. y e. (/) -. x R y ) )
18		df-rex 2492	. . 3 |- ( E. x e. A A. y e. (/) -. x R y <-> E. x ( x e. A /\ A. y e. (/) -. x R y ) )
19	17, 18	sylibr 134	. 2 |- ( ph -> E. x e. A A. y e. (/) -. x R y )
20		breq1 4062	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( x R y <-> z R y ) )
21	20	notbid 669	. . . . 5 |- ( x = z -> ( -. x R y <-> -. z R y ) )
22	21	ralbidv 2508	. . . 4 |- ( x = z -> ( A. y e. u -. x R y <-> A. y e. u -. z R y ) )
23	22	cbvrexv 2743	. . 3 |- ( E. x e. A A. y e. u -. x R y <-> E. z e. A A. y e. u -. z R y )
24		fimax2gtri.po	. . . . . . 7 |- ( ph -> R Po A )
25	24	ad4antr 494	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ z e. A ) /\ A. y e. u -. z R y ) -> R Po A )
26		fimax2gtri.tri	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A ( x R y \/ x = y \/ y R x ) )
27	26	ad4antr 494	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ z e. A ) /\ A. y e. u -. z R y ) -> A. x e. A A. y e. A ( x R y \/ x = y \/ y R x ) )
28	10	ad4antr 494	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ z e. A ) /\ A. y e. u -. z R y ) -> A e. Fin )
29	9	ad4antr 494	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ z e. A ) /\ A. y e. u -. z R y ) -> A =/= (/) )
30		simp-4r 542	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ z e. A ) /\ A. y e. u -. z R y ) -> u e. Fin )
31		simprl 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> u C_ A )
32	31	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ z e. A ) /\ A. y e. u -. z R y ) -> u C_ A )
33		simplr 528	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ z e. A ) /\ A. y e. u -. z R y ) -> z e. A )
34		simprr 531	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> v e. ( A \ u ) )
35	34	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ z e. A ) /\ A. y e. u -. z R y ) -> v e. ( A \ u ) )
36	35	eldifad 3185	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ z e. A ) /\ A. y e. u -. z R y ) -> v e. A )
37	35	eldifbd 3186	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ z e. A ) /\ A. y e. u -. z R y ) -> -. v e. u )
38		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ z e. A ) /\ A. y e. u -. z R y ) -> A. y e. u -. z R y )
39	25, 27, 28, 29, 30, 32, 33, 36, 37, 38	fimax2gtrilemstep 7023	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ z e. A ) /\ A. y e. u -. z R y ) -> E. x e. A A. y e. ( u u. { v } ) -. x R y )
40	39	ex 115	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ z e. A ) -> ( A. y e. u -. z R y -> E. x e. A A. y e. ( u u. { v } ) -. x R y ) )
41	40	rexlimdva 2625	. . 3 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> ( E. z e. A A. y e. u -. z R y -> E. x e. A A. y e. ( u u. { v } ) -. x R y ) )
42	23, 41	biimtrid 152	. 2 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> ( E. x e. A A. y e. u -. x R y -> E. x e. A A. y e. ( u u. { v } ) -. x R y ) )
43	2, 4, 6, 8, 19, 42, 10	findcard2sd 7015	1 |- ( ph -> E. x e. A A. y e. A -. x R y )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ w3o 980   = wceq 1373   E.wex 1516   e. wcel 2178   =/= wne 2378   A.wral 2486   E.wrex 2487   \ cdif 3171   u. cun 3172   C_ wss 3174   (/)c0 3468   {csn 3643   class class class wbr 4059   Po wpo 4359   Fincfn 6850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-po 4361  df-iord 4431  df-on 4433  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-er 6643  df-en 6851  df-fin 6853

This theorem is referenced by:  fimaxq  11009