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Theorem fimax2gtri 6901
Description: A finite set has a maximum under a trichotomous order. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Sep-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
fimax2gtri.po  |-  ( ph  ->  R  Po  A )
fimax2gtri.tri  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) )
fimax2gtri.fin  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fimax2gtri.n0  |-  ( ph  ->  A  =/=  (/) )
Assertion
Ref Expression
fimax2gtri  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x R y )
Distinct variable groups:    x, R, y   
x, A, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)

Proof of Theorem fimax2gtri
Dummy variables  z  u  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 raleq 2673 . . 3  |-  ( w  =  (/)  ->  ( A. y  e.  w  -.  x R y  <->  A. y  e.  (/)  -.  x R y ) )
21rexbidv 2478 . 2  |-  ( w  =  (/)  ->  ( E. x  e.  A  A. y  e.  w  -.  x R y  <->  E. x  e.  A  A. y  e.  (/)  -.  x R y ) )
3 raleq 2673 . . 3  |-  ( w  =  u  ->  ( A. y  e.  w  -.  x R y  <->  A. y  e.  u  -.  x R y ) )
43rexbidv 2478 . 2  |-  ( w  =  u  ->  ( E. x  e.  A  A. y  e.  w  -.  x R y  <->  E. x  e.  A  A. y  e.  u  -.  x R y ) )
5 raleq 2673 . . 3  |-  ( w  =  ( u  u. 
{ v } )  ->  ( A. y  e.  w  -.  x R y  <->  A. y  e.  ( u  u.  {
v } )  -.  x R y ) )
65rexbidv 2478 . 2  |-  ( w  =  ( u  u. 
{ v } )  ->  ( E. x  e.  A  A. y  e.  w  -.  x R y  <->  E. x  e.  A  A. y  e.  ( u  u.  {
v } )  -.  x R y ) )
7 raleq 2673 . . 3  |-  ( w  =  A  ->  ( A. y  e.  w  -.  x R y  <->  A. y  e.  A  -.  x R y ) )
87rexbidv 2478 . 2  |-  ( w  =  A  ->  ( E. x  e.  A  A. y  e.  w  -.  x R y  <->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x R y ) )
9 fimax2gtri.n0 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  =/=  (/) )
10 fimax2gtri.fin . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
11 fin0 6885 . . . . . 6  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  A ) )
1210, 11syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  A )
)
139, 12mpbid 147 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. x  x  e.  A )
14 ral0 3525 . . . . . 6  |-  A. y  e.  (/)  -.  x R y
1514biantru 302 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  <->  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  (/)  -.  x R y ) )
1615exbii 1605 . . . 4  |-  ( E. x  x  e.  A  <->  E. x ( x  e.  A  /\  A. y  e.  (/)  -.  x R y ) )
1713, 16sylib 122 . . 3  |-  ( ph  ->  E. x ( x  e.  A  /\  A. y  e.  (/)  -.  x R y ) )
18 df-rex 2461 . . 3  |-  ( E. x  e.  A  A. y  e.  (/)  -.  x R y  <->  E. x
( x  e.  A  /\  A. y  e.  (/)  -.  x R y ) )
1917, 18sylibr 134 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  (/)  -.  x R y )
20 breq1 4007 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
x R y  <->  z R
y ) )
2120notbid 667 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  ( -.  x R y  <->  -.  z R y ) )
2221ralbidv 2477 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  ( A. y  e.  u  -.  x R y  <->  A. y  e.  u  -.  z R y ) )
2322cbvrexv 2705 . . 3  |-  ( E. x  e.  A  A. y  e.  u  -.  x R y  <->  E. z  e.  A  A. y  e.  u  -.  z R y )
24 fimax2gtri.po . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  Po  A )
2524ad4antr 494 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  ( u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  /\  z  e.  A )  /\  A. y  e.  u  -.  z R y )  ->  R  Po  A )
26 fimax2gtri.tri . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) )
2726ad4antr 494 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  ( u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  /\  z  e.  A )  /\  A. y  e.  u  -.  z R y )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) )
2810ad4antr 494 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  ( u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  /\  z  e.  A )  /\  A. y  e.  u  -.  z R y )  ->  A  e.  Fin )
299ad4antr 494 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  ( u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  /\  z  e.  A )  /\  A. y  e.  u  -.  z R y )  ->  A  =/=  (/) )
30 simp-4r 542 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  ( u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  /\  z  e.  A )  /\  A. y  e.  u  -.  z R y )  ->  u  e.  Fin )
31 simprl 529 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  (
u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  ->  u  C_  A
)
3231ad2antrr 488 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  ( u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  /\  z  e.  A )  /\  A. y  e.  u  -.  z R y )  ->  u  C_  A )
33 simplr 528 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  ( u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  /\  z  e.  A )  /\  A. y  e.  u  -.  z R y )  -> 
z  e.  A )
34 simprr 531 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  (
u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  ->  v  e.  ( A  \  u ) )
3534ad2antrr 488 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  ( u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  /\  z  e.  A )  /\  A. y  e.  u  -.  z R y )  -> 
v  e.  ( A 
\  u ) )
3635eldifad 3141 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  ( u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  /\  z  e.  A )  /\  A. y  e.  u  -.  z R y )  -> 
v  e.  A )
3735eldifbd 3142 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  ( u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  /\  z  e.  A )  /\  A. y  e.  u  -.  z R y )  ->  -.  v  e.  u
)
38 simpr 110 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  ( u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  /\  z  e.  A )  /\  A. y  e.  u  -.  z R y )  ->  A. y  e.  u  -.  z R y )
3925, 27, 28, 29, 30, 32, 33, 36, 37, 38fimax2gtrilemstep 6900 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  ( u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  /\  z  e.  A )  /\  A. y  e.  u  -.  z R y )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  (
u  u.  { v } )  -.  x R y )
4039ex 115 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  ( u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  /\  z  e.  A )  ->  ( A. y  e.  u  -.  z R y  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  (
u  u.  { v } )  -.  x R y ) )
4140rexlimdva 2594 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  (
u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  ->  ( E. z  e.  A  A. y  e.  u  -.  z R y  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  ( u  u.  {
v } )  -.  x R y ) )
4223, 41biimtrid 152 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  (
u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  ->  ( E. x  e.  A  A. y  e.  u  -.  x R y  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  ( u  u.  {
v } )  -.  x R y ) )
432, 4, 6, 8, 19, 42, 10findcard2sd 6892 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x R y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ w3o 977    = wceq 1353   E.wex 1492    e. wcel 2148    =/= wne 2347   A.wral 2455   E.wrex 2456    \ cdif 3127    u. cun 3128    C_ wss 3130   (/)c0 3423   {csn 3593   class class class wbr 4004    Po wpo 4295   Fincfn 6740
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iord 4367  df-on 4369  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-er 6535  df-en 6741  df-fin 6743
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