Theorem fimax2gtri 7134

Description: A finite set has a maximum under a trichotomous order. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Sep-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
fimax2gtri.po	|- ( ph -> R Po A )
fimax2gtri.tri	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A ( x R y \/ x = y \/ y R x ) )
fimax2gtri.fin	|- ( ph -> A e. Fin )
fimax2gtri.n0	|- ( ph -> A =/= (/) )

Assertion

Ref	Expression
fimax2gtri	|- ( ph -> E. x e. A A. y e. A -. x R y )

Distinct variable groups:   x, R, y   x, A, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem fimax2gtri

Dummy variables z u v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		raleq 2731	. . 3 |- ( w = (/) -> ( A. y e. w -. x R y <-> A. y e. (/) -. x R y ) )
2	1	rexbidv 2534	. 2 |- ( w = (/) -> ( E. x e. A A. y e. w -. x R y <-> E. x e. A A. y e. (/) -. x R y ) )
3		raleq 2731	. . 3 |- ( w = u -> ( A. y e. w -. x R y <-> A. y e. u -. x R y ) )
4	3	rexbidv 2534	. 2 |- ( w = u -> ( E. x e. A A. y e. w -. x R y <-> E. x e. A A. y e. u -. x R y ) )
5		raleq 2731	. . 3 |- ( w = ( u u. { v } ) -> ( A. y e. w -. x R y <-> A. y e. ( u u. { v } ) -. x R y ) )
6	5	rexbidv 2534	. 2 |- ( w = ( u u. { v } ) -> ( E. x e. A A. y e. w -. x R y <-> E. x e. A A. y e. ( u u. { v } ) -. x R y ) )
7		raleq 2731	. . 3 |- ( w = A -> ( A. y e. w -. x R y <-> A. y e. A -. x R y ) )
8	7	rexbidv 2534	. 2 |- ( w = A -> ( E. x e. A A. y e. w -. x R y <-> E. x e. A A. y e. A -. x R y ) )
9		fimax2gtri.n0	. . . . 5 |- ( ph -> A =/= (/) )
10		fimax2gtri.fin	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. Fin )
11		fin0 7117	. . . . . 6 |- ( A e. Fin -> ( A =/= (/) <-> E. x x e. A ) )
12	10, 11	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( A =/= (/) <-> E. x x e. A ) )
13	9, 12	mpbid 147	. . . 4 |- ( ph -> E. x x e. A )
14		ral0 3598	. . . . . 6 |- A. y e. (/) -. x R y
15	14	biantru 302	. . . . 5 |- ( x e. A <-> ( x e. A /\ A. y e. (/) -. x R y ) )
16	15	exbii 1654	. . . 4 |- ( E. x x e. A <-> E. x ( x e. A /\ A. y e. (/) -. x R y ) )
17	13, 16	sylib 122	. . 3 |- ( ph -> E. x ( x e. A /\ A. y e. (/) -. x R y ) )
18		df-rex 2517	. . 3 |- ( E. x e. A A. y e. (/) -. x R y <-> E. x ( x e. A /\ A. y e. (/) -. x R y ) )
19	17, 18	sylibr 134	. 2 |- ( ph -> E. x e. A A. y e. (/) -. x R y )
20		breq1 4096	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( x R y <-> z R y ) )
21	20	notbid 673	. . . . 5 |- ( x = z -> ( -. x R y <-> -. z R y ) )
22	21	ralbidv 2533	. . . 4 |- ( x = z -> ( A. y e. u -. x R y <-> A. y e. u -. z R y ) )
23	22	cbvrexv 2769	. . 3 |- ( E. x e. A A. y e. u -. x R y <-> E. z e. A A. y e. u -. z R y )
24		fimax2gtri.po	. . . . . . 7 |- ( ph -> R Po A )
25	24	ad4antr 494	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ z e. A ) /\ A. y e. u -. z R y ) -> R Po A )
26		fimax2gtri.tri	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A ( x R y \/ x = y \/ y R x ) )
27	26	ad4antr 494	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ z e. A ) /\ A. y e. u -. z R y ) -> A. x e. A A. y e. A ( x R y \/ x = y \/ y R x ) )
28	10	ad4antr 494	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ z e. A ) /\ A. y e. u -. z R y ) -> A e. Fin )
29	9	ad4antr 494	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ z e. A ) /\ A. y e. u -. z R y ) -> A =/= (/) )
30		simp-4r 544	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ z e. A ) /\ A. y e. u -. z R y ) -> u e. Fin )
31		simprl 531	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> u C_ A )
32	31	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ z e. A ) /\ A. y e. u -. z R y ) -> u C_ A )
33		simplr 529	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ z e. A ) /\ A. y e. u -. z R y ) -> z e. A )
34		simprr 533	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> v e. ( A \ u ) )
35	34	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ z e. A ) /\ A. y e. u -. z R y ) -> v e. ( A \ u ) )
36	35	eldifad 3212	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ z e. A ) /\ A. y e. u -. z R y ) -> v e. A )
37	35	eldifbd 3213	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ z e. A ) /\ A. y e. u -. z R y ) -> -. v e. u )
38		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ z e. A ) /\ A. y e. u -. z R y ) -> A. y e. u -. z R y )
39	25, 27, 28, 29, 30, 32, 33, 36, 37, 38	fimax2gtrilemstep 7133	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ z e. A ) /\ A. y e. u -. z R y ) -> E. x e. A A. y e. ( u u. { v } ) -. x R y )
40	39	ex 115	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ z e. A ) -> ( A. y e. u -. z R y -> E. x e. A A. y e. ( u u. { v } ) -. x R y ) )
41	40	rexlimdva 2651	. . 3 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> ( E. z e. A A. y e. u -. z R y -> E. x e. A A. y e. ( u u. { v } ) -. x R y ) )
42	23, 41	biimtrid 152	. 2 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> ( E. x e. A A. y e. u -. x R y -> E. x e. A A. y e. ( u u. { v } ) -. x R y ) )
43	2, 4, 6, 8, 19, 42, 10	findcard2sd 7124	1 |- ( ph -> E. x e. A A. y e. A -. x R y )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ w3o 1004   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2202   =/= wne 2403   A.wral 2511   E.wrex 2512   \ cdif 3198   u. cun 3199   C_ wss 3201   (/)c0 3496   {csn 3673   class class class wbr 4093   Po wpo 4397   Fincfn 6952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-er 6745  df-en 6953  df-fin 6955

This theorem is referenced by:  fimaxq  11154