Theorem fo00 5677

Description: Onto mapping of the empty set. (Contributed by NM, 22-Mar-2006.)

Assertion

Ref	Expression
fo00	|- ( F : (/) -onto-> A <-> ( F = (/) /\ A = (/) ) )

Proof of Theorem fo00

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fofn 5617	. . . . . 6 |- ( F : (/) -onto-> A -> F Fn (/) )
2		fn0 5503	. . . . . . 7 |- ( F Fn (/) <-> F = (/) )
3		f10 5674	. . . . . . . 8 |- (/) : (/) -1-1-> A
4		f1eq1 5593	. . . . . . . 8 |- ( F = (/) -> ( F : (/) -1-1-> A <-> (/) : (/) -1-1-> A ) )
5	3, 4	mpbiri 168	. . . . . . 7 |- ( F = (/) -> F : (/) -1-1-> A )
6	2, 5	sylbi 121	. . . . . 6 |- ( F Fn (/) -> F : (/) -1-1-> A )
7	1, 6	syl 14	. . . . 5 |- ( F : (/) -onto-> A -> F : (/) -1-1-> A )
8	7	ancri 324	. . . 4 |- ( F : (/) -onto-> A -> ( F : (/) -1-1-> A /\ F : (/) -onto-> A ) )
9		df-f1o 5384	. . . 4 |- ( F : (/) -1-1-onto-> A <-> ( F : (/) -1-1-> A /\ F : (/) -onto-> A ) )
10	8, 9	sylibr 134	. . 3 |- ( F : (/) -onto-> A -> F : (/) -1-1-onto-> A )
11		f1ofo 5646	. . 3 |- ( F : (/) -1-1-onto-> A -> F : (/) -onto-> A )
12	10, 11	impbii 126	. 2 |- ( F : (/) -onto-> A <-> F : (/) -1-1-onto-> A )
13		f1o00 5676	. 2 |- ( F : (/) -1-1-onto-> A <-> ( F = (/) /\ A = (/) ) )
14	12, 13	bitri 184	1 |- ( F : (/) -onto-> A <-> ( F = (/) /\ A = (/) ) )

This proof depends on syntax axioms:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   (/)c0 3520   Fn wfn 5372   -1-1->wf1 5374   -onto->wfo 5375   -1-1-onto->wf1o 5376

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384

This theorem is used by:  enumct  7455  fsumf1o  12157  fprodf1o  12355