ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fo00 Unicode version

Theorem fo00 5516
Description: Onto mapping of the empty set. (Contributed by NM, 22-Mar-2006.)
Assertion
Ref Expression
fo00  |-  ( F : (/) -onto-> A  <->  ( F  =  (/)  /\  A  =  (/) ) )

Proof of Theorem fo00
StepHypRef Expression
1 fofn 5459 . . . . . 6  |-  ( F : (/) -onto-> A  ->  F  Fn  (/) )
2 fn0 5354 . . . . . . 7  |-  ( F  Fn  (/)  <->  F  =  (/) )
3 f10 5514 . . . . . . . 8  |-  (/) : (/) -1-1-> A
4 f1eq1 5435 . . . . . . . 8  |-  ( F  =  (/)  ->  ( F : (/) -1-1-> A  <->  (/) : (/) -1-1-> A ) )
53, 4mpbiri 168 . . . . . . 7  |-  ( F  =  (/)  ->  F : (/) -1-1->
A )
62, 5sylbi 121 . . . . . 6  |-  ( F  Fn  (/)  ->  F : (/) -1-1->
A )
71, 6syl 14 . . . . 5  |-  ( F : (/) -onto-> A  ->  F : (/) -1-1->
A )
87ancri 324 . . . 4  |-  ( F : (/) -onto-> A  ->  ( F : (/) -1-1-> A  /\  F : (/)
-onto-> A ) )
9 df-f1o 5242 . . . 4  |-  ( F : (/)
-1-1-onto-> A 
<->  ( F : (/) -1-1-> A  /\  F : (/) -onto-> A ) )
108, 9sylibr 134 . . 3  |-  ( F : (/) -onto-> A  ->  F : (/) -1-1-onto-> A )
11 f1ofo 5487 . . 3  |-  ( F : (/)
-1-1-onto-> A  ->  F : (/) -onto-> A )
1210, 11impbii 126 . 2  |-  ( F : (/) -onto-> A  <->  F : (/) -1-1-onto-> A )
13 f1o00 5515 . 2  |-  ( F : (/)
-1-1-onto-> A 
<->  ( F  =  (/)  /\  A  =  (/) ) )
1412, 13bitri 184 1  |-  ( F : (/) -onto-> A  <->  ( F  =  (/)  /\  A  =  (/) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1364   (/)c0 3437    Fn wfn 5230   -1-1->wf1 5232   -onto->wfo 5233   -1-1-onto->wf1o 5234
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242
This theorem is referenced by:  enumct  7145  fsumf1o  11433  fprodf1o  11631
  Copyright terms: Public domain W3C validator