Theorem fo00 5468

Description: Onto mapping of the empty set. (Contributed by NM, 22-Mar-2006.)

Assertion

Ref	Expression
fo00	|- ( F : (/) -onto-> A <-> ( F = (/) /\ A = (/) ) )

Proof of Theorem fo00

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fofn 5412	. . . . . 6 |- ( F : (/) -onto-> A -> F Fn (/) )
2		fn0 5307	. . . . . . 7 |- ( F Fn (/) <-> F = (/) )
3		f10 5466	. . . . . . . 8 |- (/) : (/) -1-1-> A
4		f1eq1 5388	. . . . . . . 8 |- ( F = (/) -> ( F : (/) -1-1-> A <-> (/) : (/) -1-1-> A ) )
5	3, 4	mpbiri 167	. . . . . . 7 |- ( F = (/) -> F : (/) -1-1-> A )
6	2, 5	sylbi 120	. . . . . 6 |- ( F Fn (/) -> F : (/) -1-1-> A )
7	1, 6	syl 14	. . . . 5 |- ( F : (/) -onto-> A -> F : (/) -1-1-> A )
8	7	ancri 322	. . . 4 |- ( F : (/) -onto-> A -> ( F : (/) -1-1-> A /\ F : (/) -onto-> A ) )
9		df-f1o 5195	. . . 4 |- ( F : (/) -1-1-onto-> A <-> ( F : (/) -1-1-> A /\ F : (/) -onto-> A ) )
10	8, 9	sylibr 133	. . 3 |- ( F : (/) -onto-> A -> F : (/) -1-1-onto-> A )
11		f1ofo 5439	. . 3 |- ( F : (/) -1-1-onto-> A -> F : (/) -onto-> A )
12	10, 11	impbii 125	. 2 |- ( F : (/) -onto-> A <-> F : (/) -1-1-onto-> A )
13		f1o00 5467	. 2 |- ( F : (/) -1-1-onto-> A <-> ( F = (/) /\ A = (/) ) )
14	12, 13	bitri 183	1 |- ( F : (/) -onto-> A <-> ( F = (/) /\ A = (/) ) )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   (/)c0 3409   Fn wfn 5183   -1-1->wf1 5185   -onto->wfo 5186   -1-1-onto->wf1o 5187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195

This theorem is referenced by:  enumct  7080  fsumf1o  11331  fprodf1o  11529