Theorem fo00 5462

Description: Onto mapping of the empty set. (Contributed by NM, 22-Mar-2006.)

Assertion

Ref	Expression
fo00	|- ( F : (/) -onto-> A <-> ( F = (/) /\ A = (/) ) )

Proof of Theorem fo00

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fofn 5406	. . . . . 6 |- ( F : (/) -onto-> A -> F Fn (/) )
2		fn0 5301	. . . . . . 7 |- ( F Fn (/) <-> F = (/) )
3		f10 5460	. . . . . . . 8 |- (/) : (/) -1-1-> A
4		f1eq1 5382	. . . . . . . 8 |- ( F = (/) -> ( F : (/) -1-1-> A <-> (/) : (/) -1-1-> A ) )
5	3, 4	mpbiri 167	. . . . . . 7 |- ( F = (/) -> F : (/) -1-1-> A )
6	2, 5	sylbi 120	. . . . . 6 |- ( F Fn (/) -> F : (/) -1-1-> A )
7	1, 6	syl 14	. . . . 5 |- ( F : (/) -onto-> A -> F : (/) -1-1-> A )
8	7	ancri 322	. . . 4 |- ( F : (/) -onto-> A -> ( F : (/) -1-1-> A /\ F : (/) -onto-> A ) )
9		df-f1o 5189	. . . 4 |- ( F : (/) -1-1-onto-> A <-> ( F : (/) -1-1-> A /\ F : (/) -onto-> A ) )
10	8, 9	sylibr 133	. . 3 |- ( F : (/) -onto-> A -> F : (/) -1-1-onto-> A )
11		f1ofo 5433	. . 3 |- ( F : (/) -1-1-onto-> A -> F : (/) -onto-> A )
12	10, 11	impbii 125	. 2 |- ( F : (/) -onto-> A <-> F : (/) -1-1-onto-> A )
13		f1o00 5461	. 2 |- ( F : (/) -1-1-onto-> A <-> ( F = (/) /\ A = (/) ) )
14	12, 13	bitri 183	1 |- ( F : (/) -onto-> A <-> ( F = (/) /\ A = (/) ) )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1342   (/)c0 3404   Fn wfn 5177   -1-1->wf1 5179   -onto->wfo 5180   -1-1-onto->wf1o 5181

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-nul 4102  ax-pow 4147  ax-pr 4181

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ral 2447  df-rex 2448  df-v 2723  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-nul 3405  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-br 3977  df-opab 4038  df-id 4265  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-f1 5187  df-fo 5188  df-f1o 5189

This theorem is referenced by:  enumct  7071  fsumf1o  11317  fprodf1o  11515