Theorem fo00 5289

Description: Onto mapping of the empty set. (Contributed by NM, 22-Mar-2006.)

Assertion

Ref	Expression
fo00	|- ( F : (/) -onto-> A <-> ( F = (/) /\ A = (/) ) )

Proof of Theorem fo00

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fofn 5235	. . . . . 6 |- ( F : (/) -onto-> A -> F Fn (/) )
2		fn0 5133	. . . . . . 7 |- ( F Fn (/) <-> F = (/) )
3		f10 5287	. . . . . . . 8 |- (/) : (/) -1-1-> A
4		f1eq1 5211	. . . . . . . 8 |- ( F = (/) -> ( F : (/) -1-1-> A <-> (/) : (/) -1-1-> A ) )
5	3, 4	mpbiri 166	. . . . . . 7 |- ( F = (/) -> F : (/) -1-1-> A )
6	2, 5	sylbi 119	. . . . . 6 |- ( F Fn (/) -> F : (/) -1-1-> A )
7	1, 6	syl 14	. . . . 5 |- ( F : (/) -onto-> A -> F : (/) -1-1-> A )
8	7	ancri 317	. . . 4 |- ( F : (/) -onto-> A -> ( F : (/) -1-1-> A /\ F : (/) -onto-> A ) )
9		df-f1o 5022	. . . 4 |- ( F : (/) -1-1-onto-> A <-> ( F : (/) -1-1-> A /\ F : (/) -onto-> A ) )
10	8, 9	sylibr 132	. . 3 |- ( F : (/) -onto-> A -> F : (/) -1-1-onto-> A )
11		f1ofo 5260	. . 3 |- ( F : (/) -1-1-onto-> A -> F : (/) -onto-> A )
12	10, 11	impbii 124	. 2 |- ( F : (/) -onto-> A <-> F : (/) -1-1-onto-> A )
13		f1o00 5288	. 2 |- ( F : (/) -1-1-onto-> A <-> ( F = (/) /\ A = (/) ) )
14	12, 13	bitri 182	1 |- ( F : (/) -onto-> A <-> ( F = (/) /\ A = (/) ) )

Syntax hints:   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1289   (/)c0 3286   Fn wfn 5010   -1-1->wf1 5012   -onto->wfo 5013   -1-1-onto->wf1o 5014

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-br 3846  df-opab 3900  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022

This theorem is referenced by:  fsumf1o  10778