ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fo00 Unicode version

Theorem fo00 5410
Description: Onto mapping of the empty set. (Contributed by NM, 22-Mar-2006.)
Assertion
Ref Expression
fo00  |-  ( F : (/) -onto-> A  <->  ( F  =  (/)  /\  A  =  (/) ) )

Proof of Theorem fo00
StepHypRef Expression
1 fofn 5354 . . . . . 6  |-  ( F : (/) -onto-> A  ->  F  Fn  (/) )
2 fn0 5249 . . . . . . 7  |-  ( F  Fn  (/)  <->  F  =  (/) )
3 f10 5408 . . . . . . . 8  |-  (/) : (/) -1-1-> A
4 f1eq1 5330 . . . . . . . 8  |-  ( F  =  (/)  ->  ( F : (/) -1-1-> A  <->  (/) : (/) -1-1-> A ) )
53, 4mpbiri 167 . . . . . . 7  |-  ( F  =  (/)  ->  F : (/) -1-1->
A )
62, 5sylbi 120 . . . . . 6  |-  ( F  Fn  (/)  ->  F : (/) -1-1->
A )
71, 6syl 14 . . . . 5  |-  ( F : (/) -onto-> A  ->  F : (/) -1-1->
A )
87ancri 322 . . . 4  |-  ( F : (/) -onto-> A  ->  ( F : (/) -1-1-> A  /\  F : (/)
-onto-> A ) )
9 df-f1o 5137 . . . 4  |-  ( F : (/)
-1-1-onto-> A 
<->  ( F : (/) -1-1-> A  /\  F : (/) -onto-> A ) )
108, 9sylibr 133 . . 3  |-  ( F : (/) -onto-> A  ->  F : (/) -1-1-onto-> A )
11 f1ofo 5381 . . 3  |-  ( F : (/)
-1-1-onto-> A  ->  F : (/) -onto-> A )
1210, 11impbii 125 . 2  |-  ( F : (/) -onto-> A  <->  F : (/) -1-1-onto-> A )
13 f1o00 5409 . 2  |-  ( F : (/)
-1-1-onto-> A 
<->  ( F  =  (/)  /\  A  =  (/) ) )
1412, 13bitri 183 1  |-  ( F : (/) -onto-> A  <->  ( F  =  (/)  /\  A  =  (/) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1332   (/)c0 3367    Fn wfn 5125   -1-1->wf1 5127   -onto->wfo 5128   -1-1-onto->wf1o 5129
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-br 3937  df-opab 3997  df-id 4222  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137
This theorem is referenced by:  enumct  7007  fsumf1o  11190
  Copyright terms: Public domain W3C validator