ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fo00 Unicode version

Theorem fo00 5289
Description: Onto mapping of the empty set. (Contributed by NM, 22-Mar-2006.)
Assertion
Ref Expression
fo00  |-  ( F : (/) -onto-> A  <->  ( F  =  (/)  /\  A  =  (/) ) )

Proof of Theorem fo00
StepHypRef Expression
1 fofn 5235 . . . . . 6  |-  ( F : (/) -onto-> A  ->  F  Fn  (/) )
2 fn0 5133 . . . . . . 7  |-  ( F  Fn  (/)  <->  F  =  (/) )
3 f10 5287 . . . . . . . 8  |-  (/) : (/) -1-1-> A
4 f1eq1 5211 . . . . . . . 8  |-  ( F  =  (/)  ->  ( F : (/) -1-1-> A  <->  (/) : (/) -1-1-> A ) )
53, 4mpbiri 166 . . . . . . 7  |-  ( F  =  (/)  ->  F : (/) -1-1->
A )
62, 5sylbi 119 . . . . . 6  |-  ( F  Fn  (/)  ->  F : (/) -1-1->
A )
71, 6syl 14 . . . . 5  |-  ( F : (/) -onto-> A  ->  F : (/) -1-1->
A )
87ancri 317 . . . 4  |-  ( F : (/) -onto-> A  ->  ( F : (/) -1-1-> A  /\  F : (/)
-onto-> A ) )
9 df-f1o 5022 . . . 4  |-  ( F : (/)
-1-1-onto-> A 
<->  ( F : (/) -1-1-> A  /\  F : (/) -onto-> A ) )
108, 9sylibr 132 . . 3  |-  ( F : (/) -onto-> A  ->  F : (/) -1-1-onto-> A )
11 f1ofo 5260 . . 3  |-  ( F : (/)
-1-1-onto-> A  ->  F : (/) -onto-> A )
1210, 11impbii 124 . 2  |-  ( F : (/) -onto-> A  <->  F : (/) -1-1-onto-> A )
13 f1o00 5288 . 2  |-  ( F : (/)
-1-1-onto-> A 
<->  ( F  =  (/)  /\  A  =  (/) ) )
1412, 13bitri 182 1  |-  ( F : (/) -onto-> A  <->  ( F  =  (/)  /\  A  =  (/) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1289   (/)c0 3286    Fn wfn 5010   -1-1->wf1 5012   -onto->wfo 5013   -1-1-onto->wf1o 5014
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-br 3846  df-opab 3900  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022
This theorem is referenced by:  fsumf1o  10778
  Copyright terms: Public domain W3C validator