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Theorem fprodf1o 11489
Description: Re-index a finite product using a bijection. (Contributed by Scott Fenton, 7-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodf1o.1  |-  ( k  =  G  ->  B  =  D )
fprodf1o.2  |-  ( ph  ->  C  e.  Fin )
fprodf1o.3  |-  ( ph  ->  F : C -1-1-onto-> A )
fprodf1o.4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  ( F `  n )  =  G )
fprodf1o.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
fprodf1o  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A  B  =  prod_ n  e.  C  D )
Distinct variable groups:    A, k, n    B, n    C, n    D, k    n, F    k, G    ph, k, n
Allowed substitution hints:    B( k)    C( k)    D( n)    F( k)    G( n)

Proof of Theorem fprodf1o
Dummy variables  f  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prod0 11486 . . . 4  |-  prod_ k  e.  (/)  B  =  1
2 fprodf1o.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : C -1-1-onto-> A )
32adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C  =  (/) )  ->  F : C
-1-1-onto-> A )
4 f1oeq2 5405 . . . . . . . . 9  |-  ( C  =  (/)  ->  ( F : C -1-1-onto-> A  <->  F : (/) -1-1-onto-> A ) )
54adantl 275 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C  =  (/) )  ->  ( F : C -1-1-onto-> A  <->  F : (/) -1-1-onto-> A ) )
63, 5mpbid 146 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C  =  (/) )  ->  F : (/) -1-1-onto-> A )
7 f1ofo 5422 . . . . . . 7  |-  ( F : (/)
-1-1-onto-> A  ->  F : (/) -onto-> A )
86, 7syl 14 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  =  (/) )  ->  F : (/)
-onto-> A )
9 fo00 5451 . . . . . . 7  |-  ( F : (/) -onto-> A  <->  ( F  =  (/)  /\  A  =  (/) ) )
109simprbi 273 . . . . . 6  |-  ( F : (/) -onto-> A  ->  A  =  (/) )
118, 10syl 14 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  =  (/) )  ->  A  =  (/) )
1211prodeq1d 11465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  =  (/) )  ->  prod_ k  e.  A  B  =  prod_ k  e.  (/)  B )
13 prodeq1 11454 . . . . . 6  |-  ( C  =  (/)  ->  prod_ n  e.  C  D  =  prod_ n  e.  (/)  D )
14 prod0 11486 . . . . . 6  |-  prod_ n  e.  (/)  D  =  1
1513, 14eqtrdi 2206 . . . . 5  |-  ( C  =  (/)  ->  prod_ n  e.  C  D  = 
1 )
1615adantl 275 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  =  (/) )  ->  prod_ n  e.  C  D  =  1 )
171, 12, 163eqtr4a 2216 . . 3  |-  ( (
ph  /\  C  =  (/) )  ->  prod_ k  e.  A  B  =  prod_ n  e.  C  D )
1817ex 114 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  =  (/)  ->  prod_ k  e.  A  B  =  prod_ n  e.  C  D ) )
19 2fveq3 5474 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  m )
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `
 ( f `  n ) ) ) )
20 simprl 521 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  -> 
( `  C )  e.  NN )
21 simprr 522 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  -> 
f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C )
22 f1of 5415 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : C -1-1-onto-> A  ->  F : C
--> A )
232, 22syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : C --> A )
2423ffvelrnda 5603 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  C )  ->  ( F `  m )  e.  A )
25 fprodf1o.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
2625fmpttd 5623 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
2726ffvelrnda 5603 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( F `  m )  e.  A
)  ->  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  ( F `
 m ) )  e.  CC )
2824, 27syldan 280 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  C )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  m )
)  e.  CC )
2928adantlr 469 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C ) ) -1-1-onto-> C ) )  /\  m  e.  C )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  m )
)  e.  CC )
30 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C ) ) -1-1-onto-> C )  ->  f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C )
31 f1oco 5438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : C -1-1-onto-> A  /\  f : ( 1 ... ( `  C )
)
-1-1-onto-> C )  ->  ( F  o.  f ) : ( 1 ... ( `  C )
)
-1-1-onto-> A )
322, 30, 31syl2an 287 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  -> 
( F  o.  f
) : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> A )
33 f1of 5415 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  o.  f ) : ( 1 ... ( `  C )
)
-1-1-onto-> A  ->  ( F  o.  f ) : ( 1 ... ( `  C
) ) --> A )
3432, 33syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  -> 
( F  o.  f
) : ( 1 ... ( `  C
) ) --> A )
35 fvco3 5540 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  o.  f
) : ( 1 ... ( `  C
) ) --> A  /\  n  e.  ( 1 ... ( `  C
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  ( F  o.  f ) ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
( F  o.  f
) `  n )
) )
3634, 35sylan 281 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C ) ) -1-1-onto-> C ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( `  C ) ) )  ->  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  ( F  o.  f ) ) `
 n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( ( F  o.  f ) `  n
) ) )
37 f1of 5415 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : ( 1 ... ( `  C )
)
-1-1-onto-> C  ->  f : ( 1 ... ( `  C
) ) --> C )
3837adantl 275 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C ) ) -1-1-onto-> C )  ->  f : ( 1 ... ( `  C
) ) --> C )
3938adantl 275 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  -> 
f : ( 1 ... ( `  C
) ) --> C )
40 fvco3 5540 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ( 1 ... ( `  C
) ) --> C  /\  n  e.  ( 1 ... ( `  C
) ) )  -> 
( ( F  o.  f ) `  n
)  =  ( F `
 ( f `  n ) ) )
4139, 40sylan 281 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C ) ) -1-1-onto-> C ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( `  C ) ) )  ->  ( ( F  o.  f ) `  n )  =  ( F `  ( f `
 n ) ) )
4241fveq2d 5473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C ) ) -1-1-onto-> C ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( `  C ) ) )  ->  ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 ( ( F  o.  f ) `  n ) )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  ( f `
 n ) ) ) )
4336, 42eqtrd 2190 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C ) ) -1-1-onto-> C ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( `  C ) ) )  ->  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  ( F  o.  f ) ) `
 n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  ( f `
 n ) ) ) )
4419, 20, 21, 29, 43fprodseq 11484 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  prod_ m  e.  C  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  m )
)  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  C ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  ( F  o.  f
) ) `  n
) ,  1 ) ) ) `  ( `  C ) ) )
45 eqid 2157 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( k  e.  A  |->  B )
46 fprodf1o.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  G  ->  B  =  D )
47 fprodf1o.4 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  ( F `  n )  =  G )
4823ffvelrnda 5603 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  ( F `  n )  e.  A )
4947, 48eqeltrrd 2235 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  G  e.  A )
5046eleq1d 2226 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  G  ->  ( B  e.  CC  <->  D  e.  CC ) )
5125ralrimiva 2530 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
5251adantr 274 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
5350, 52, 49rspcdva 2821 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  D  e.  CC )
5445, 46, 49, 53fvmptd3 5562 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  G
)  =  D )
5547fveq2d 5473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  n )
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  G ) )
56 simpr 109 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  n  e.  C )
57 eqid 2157 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  C  |->  D )  =  ( n  e.  C  |->  D )
5857fvmpt2 5552 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  C  /\  D  e.  CC )  ->  ( ( n  e.  C  |->  D ) `  n )  =  D )
5956, 53, 58syl2anc 409 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  (
( n  e.  C  |->  D ) `  n
)  =  D )
6054, 55, 593eqtr4rd 2201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  (
( n  e.  C  |->  D ) `  n
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `
 n ) ) )
6160ralrimiva 2530 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. n  e.  C  ( ( n  e.  C  |->  D ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  n )
) )
62 nffvmpt1 5480 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n
( ( n  e.  C  |->  D ) `  m )
6362nfeq1 2309 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ n
( ( n  e.  C  |->  D ) `  m )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  m )
)
64 fveq2 5469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  m  ->  (
( n  e.  C  |->  D ) `  n
)  =  ( ( n  e.  C  |->  D ) `  m ) )
65 2fveq3 5474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  m  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  n )
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `
 m ) ) )
6664, 65eqeq12d 2172 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( n  e.  C  |->  D ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  n )
)  <->  ( ( n  e.  C  |->  D ) `
 m )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  m ) ) ) )
6763, 66rspc 2810 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  C  ->  ( A. n  e.  C  ( ( n  e.  C  |->  D ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  n )
)  ->  ( (
n  e.  C  |->  D ) `  m )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 ( F `  m ) ) ) )
6861, 67mpan9 279 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  C )  ->  (
( n  e.  C  |->  D ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `
 m ) ) )
6968adantlr 469 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C ) ) -1-1-onto-> C ) )  /\  m  e.  C )  ->  (
( n  e.  C  |->  D ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `
 m ) ) )
7069prodeq2dv 11467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  prod_ m  e.  C  ( ( n  e.  C  |->  D ) `  m
)  =  prod_ m  e.  C  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  ( F `
 m ) ) )
71 fveq2 5469 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( ( F  o.  f ) `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( ( F  o.  f ) `
 n ) ) )
7226adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  -> 
( k  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
7372ffvelrnda 5603 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C ) ) -1-1-onto-> C ) )  /\  m  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  e.  CC )
7471, 20, 32, 73, 36fprodseq 11484 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  prod_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  C ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  ( F  o.  f
) ) `  n
) ,  1 ) ) ) `  ( `  C ) ) )
7544, 70, 743eqtr4rd 2201 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  prod_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  =  prod_ m  e.  C  ( (
n  e.  C  |->  D ) `  m ) )
7651adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
77 prodfct 11488 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  prod_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 m )  = 
prod_ k  e.  A  B )
7876, 77syl 14 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  prod_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  =  prod_ k  e.  A  B )
7953ralrimiva 2530 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. n  e.  C  D  e.  CC )
8079adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  A. n  e.  C  D  e.  CC )
81 prodfct 11488 . . . . . . 7  |-  ( A. n  e.  C  D  e.  CC  ->  prod_ m  e.  C  ( ( n  e.  C  |->  D ) `
 m )  = 
prod_ n  e.  C  D )
8280, 81syl 14 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  prod_ m  e.  C  ( ( n  e.  C  |->  D ) `  m
)  =  prod_ n  e.  C  D )
8375, 78, 823eqtr3d 2198 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  prod_ k  e.  A  B  =  prod_ n  e.  C  D )
8483expr 373 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( `  C
)  e.  NN )  ->  ( f : ( 1 ... ( `  C ) ) -1-1-onto-> C  ->  prod_ k  e.  A  B  =  prod_ n  e.  C  D ) )
8584exlimdv 1799 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( `  C
)  e.  NN )  ->  ( E. f 
f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C  ->  prod_ k  e.  A  B  =  prod_ n  e.  C  D ) )
8685expimpd 361 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( `  C
)  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C )  ->  prod_ k  e.  A  B  = 
prod_ n  e.  C  D ) )
87 fprodf1o.2 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  Fin )
88 fz1f1o 11276 . . 3  |-  ( C  e.  Fin  ->  ( C  =  (/)  \/  (
( `  C )  e.  NN  /\  E. f 
f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C ) ) )
8987, 88syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  =  (/)  \/  ( ( `  C
)  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C ) ) )
9018, 86, 89mpjaod 708 1  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A  B  =  prod_ n  e.  C  D )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 698    = wceq 1335   E.wex 1472    e. wcel 2128   A.wral 2435   (/)c0 3394   ifcif 3505   class class class wbr 3966    |-> cmpt 4026    o. ccom 4591   -->wf 5167   -onto->wfo 5169   -1-1-onto->wf1o 5170   ` cfv 5171  (class class class)co 5825   Fincfn 6686   CCcc 7731   1c1 7734    x. cmul 7738    <_ cle 7914   NNcn 8834   ...cfz 9913    seqcseq 10348  ♯chash 10653   prod_cprod 11451
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4080  ax-sep 4083  ax-nul 4091  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-setind 4497  ax-iinf 4548  ax-cnex 7824  ax-resscn 7825  ax-1cn 7826  ax-1re 7827  ax-icn 7828  ax-addcl 7829  ax-addrcl 7830  ax-mulcl 7831  ax-mulrcl 7832  ax-addcom 7833  ax-mulcom 7834  ax-addass 7835  ax-mulass 7836  ax-distr 7837  ax-i2m1 7838  ax-0lt1 7839  ax-1rid 7840  ax-0id 7841  ax-rnegex 7842  ax-precex 7843  ax-cnre 7844  ax-pre-ltirr 7845  ax-pre-ltwlin 7846  ax-pre-lttrn 7847  ax-pre-apti 7848  ax-pre-ltadd 7849  ax-pre-mulgt0 7850  ax-pre-mulext 7851  ax-arch 7852  ax-caucvg 7853
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-int 3809  df-iun 3852  df-br 3967  df-opab 4027  df-mpt 4028  df-tr 4064  df-id 4254  df-po 4257  df-iso 4258  df-iord 4327  df-on 4329  df-ilim 4330  df-suc 4332  df-iom 4551  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-rn 4598  df-res 4599  df-ima 4600  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fn 5174  df-f 5175  df-f1 5176  df-fo 5177  df-f1o 5178  df-fv 5179  df-isom 5180  df-riota 5781  df-ov 5828  df-oprab 5829  df-mpo 5830  df-1st 6089  df-2nd 6090  df-recs 6253  df-irdg 6318  df-frec 6339  df-1o 6364  df-oadd 6368  df-er 6481  df-en 6687  df-dom 6688  df-fin 6689  df-pnf 7915  df-mnf 7916  df-xr 7917  df-ltxr 7918  df-le 7919  df-sub 8049  df-neg 8050  df-reap 8451  df-ap 8458  df-div 8547  df-inn 8835  df-2 8893  df-3 8894  df-4 8895  df-n0 9092  df-z 9169  df-uz 9441  df-q 9530  df-rp 9562  df-fz 9914  df-fzo 10046  df-seqfrec 10349  df-exp 10423  df-ihash 10654  df-cj 10746  df-re 10747  df-im 10748  df-rsqrt 10902  df-abs 10903  df-clim 11180  df-proddc 11452
This theorem is referenced by:  fprodssdc  11491  fprodshft  11519  fprodrev  11520  fprod2dlemstep  11523  fprodcnv  11526  eulerthlemth  12111
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