Theorem fprodf1o 12154

Description: Re-index a finite product using a bijection. (Contributed by Scott Fenton, 7-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodf1o.1	|- ( k = G -> B = D )
fprodf1o.2	|- ( ph -> C e. Fin )
fprodf1o.3	|- ( ph -> F : C -1-1-onto-> A )
fprodf1o.4	|- ( ( ph /\ n e. C ) -> ( F ` n ) = G )
fprodf1o.5	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fprodf1o	|- ( ph -> prod_ k e. A B = prod_ n e. C D )

Distinct variable groups:   A, k, n   B, n   C, n   D, k   n, F   k, G   ph, k, n

Allowed substitution hints:   B( k)   C( k)   D( n)   F( k)   G( n)

Proof of Theorem fprodf1o

Dummy variables f m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prod0 12151	. . . 4 |- prod_ k e. (/) B = 1
2		fprodf1o.3	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : C -1-1-onto-> A )
3	2	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ C = (/) ) -> F : C -1-1-onto-> A )
4		f1oeq2 5572	. . . . . . . . 9 |- ( C = (/) -> ( F : C -1-1-onto-> A <-> F : (/) -1-1-onto-> A ) )
5	4	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ C = (/) ) -> ( F : C -1-1-onto-> A <-> F : (/) -1-1-onto-> A ) )
6	3, 5	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ C = (/) ) -> F : (/) -1-1-onto-> A )
7		f1ofo 5590	. . . . . . 7 |- ( F : (/) -1-1-onto-> A -> F : (/) -onto-> A )
8	6, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ C = (/) ) -> F : (/) -onto-> A )
9		fo00 5621	. . . . . . 7 |- ( F : (/) -onto-> A <-> ( F = (/) /\ A = (/) ) )
10	9	simprbi 275	. . . . . 6 |- ( F : (/) -onto-> A -> A = (/) )
11	8, 10	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C = (/) ) -> A = (/) )
12	11	prodeq1d 12130	. . . 4 |- ( ( ph /\ C = (/) ) -> prod_ k e. A B = prod_ k e. (/) B )
13		prodeq1 12119	. . . . . 6 |- ( C = (/) -> prod_ n e. C D = prod_ n e. (/) D )
14		prod0 12151	. . . . . 6 |- prod_ n e. (/) D = 1
15	13, 14	eqtrdi 2280	. . . . 5 |- ( C = (/) -> prod_ n e. C D = 1 )
16	15	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ph /\ C = (/) ) -> prod_ n e. C D = 1 )
17	1, 12, 16	3eqtr4a 2290	. . 3 |- ( ( ph /\ C = (/) ) -> prod_ k e. A B = prod_ n e. C D )
18	17	ex 115	. 2 |- ( ph -> ( C = (/) -> prod_ k e. A B = prod_ n e. C D ) )
19		2fveq3 5644	. . . . . . . 8 |- ( m = ( f ` n ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` ( f ` n ) ) ) )
20		simprl 531	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> (♯ ` C ) e. NN )
21		simprr 533	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C )
22		f1of 5583	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : C -1-1-onto-> A -> F : C --> A )
23	2, 22	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : C --> A )
24	23	ffvelcdmda 5782	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. C ) -> ( F ` m ) e. A )
25		fprodf1o.5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
26	25	fmpttd 5802	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( k e. A |-> B ) : A --> CC )
27	26	ffvelcdmda 5782	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( F ` m ) e. A ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) e. CC )
28	24, 27	syldan 282	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. C ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) e. CC )
29	28	adantlr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) /\ m e. C ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) e. CC )
30		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) -> f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C )
31		f1oco 5606	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : C -1-1-onto-> A /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) -> ( F o. f ) : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> A )
32	2, 30, 31	syl2an 289	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> ( F o. f ) : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> A )
33		f1of 5583	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F o. f ) : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> A -> ( F o. f ) : ( 1 ... (♯ ` C ) ) --> A )
34	32, 33	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> ( F o. f ) : ( 1 ... (♯ ` C ) ) --> A )
35		fvco3 5717	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F o. f ) : ( 1 ... (♯ ` C ) ) --> A /\ n e. ( 1 ... (♯ ` C ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. ( F o. f ) ) ` n ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( ( F o. f ) ` n ) ) )
36	34, 35	sylan 283	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) /\ n e. ( 1 ... (♯ ` C ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. ( F o. f ) ) ` n ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( ( F o. f ) ` n ) ) )
37		f1of 5583	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C -> f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) --> C )
38	37	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) -> f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) --> C )
39	38	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) --> C )
40		fvco3 5717	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) --> C /\ n e. ( 1 ... (♯ ` C ) ) ) -> ( ( F o. f ) ` n ) = ( F ` ( f ` n ) ) )
41	39, 40	sylan 283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) /\ n e. ( 1 ... (♯ ` C ) ) ) -> ( ( F o. f ) ` n ) = ( F ` ( f ` n ) ) )
42	41	fveq2d 5643	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) /\ n e. ( 1 ... (♯ ` C ) ) ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` ( ( F o. f ) ` n ) ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` ( f ` n ) ) ) )
43	36, 42	eqtrd 2264	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) /\ n e. ( 1 ... (♯ ` C ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. ( F o. f ) ) ` n ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` ( f ` n ) ) ) )
44	19, 20, 21, 29, 43	fprodseq 12149	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> prod_ m e. C ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` C ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. ( F o. f ) ) ` n ) , 1 ) ) ) ` (♯ ` C ) ) )
45		eqid 2231	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. A |-> B ) = ( k e. A |-> B )
46		fprodf1o.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = G -> B = D )
47		fprodf1o.4	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> ( F ` n ) = G )
48	23	ffvelcdmda 5782	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> ( F ` n ) e. A )
49	47, 48	eqeltrrd 2309	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> G e. A )
50	46	eleq1d 2300	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = G -> ( B e. CC <-> D e. CC ) )
51	25	ralrimiva 2605	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. k e. A B e. CC )
52	51	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> A. k e. A B e. CC )
53	50, 52, 49	rspcdva 2915	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> D e. CC )
54	45, 46, 49, 53	fvmptd3 5740	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` G ) = D )
55	47	fveq2d 5643	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` n ) ) = ( ( k e. A |-> B ) ` G ) )
56		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> n e. C )
57		eqid 2231	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. C |-> D ) = ( n e. C |-> D )
58	57	fvmpt2 5730	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. C /\ D e. CC ) -> ( ( n e. C |-> D ) ` n ) = D )
59	56, 53, 58	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> ( ( n e. C |-> D ) ` n ) = D )
60	54, 55, 59	3eqtr4rd 2275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> ( ( n e. C |-> D ) ` n ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` n ) ) )
61	60	ralrimiva 2605	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. n e. C ( ( n e. C |-> D ) ` n ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` n ) ) )
62		nffvmpt1 5650	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ n ( ( n e. C |-> D ) ` m )
63	62	nfeq1 2384	. . . . . . . . . . 11 |- F/ n ( ( n e. C |-> D ) ` m ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) )
64		fveq2 5639	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = m -> ( ( n e. C |-> D ) ` n ) = ( ( n e. C |-> D ) ` m ) )
65		2fveq3 5644	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = m -> ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` n ) ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) )
66	64, 65	eqeq12d 2246	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = m -> ( ( ( n e. C |-> D ) ` n ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` n ) ) <-> ( ( n e. C |-> D ) ` m ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) ) )
67	63, 66	rspc 2904	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. C -> ( A. n e. C ( ( n e. C |-> D ) ` n ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` n ) ) -> ( ( n e. C |-> D ) ` m ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) ) )
68	61, 67	mpan9 281	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. C ) -> ( ( n e. C |-> D ) ` m ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) )
69	68	adantlr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) /\ m e. C ) -> ( ( n e. C |-> D ) ` m ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) )
70	69	prodeq2dv 12132	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> prod_ m e. C ( ( n e. C |-> D ) ` m ) = prod_ m e. C ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) )
71		fveq2 5639	. . . . . . . 8 |- ( m = ( ( F o. f ) ` n ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( ( F o. f ) ` n ) ) )
72	26	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> ( k e. A |-> B ) : A --> CC )
73	72	ffvelcdmda 5782	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` m ) e. CC )
74	71, 20, 32, 73, 36	fprodseq 12149	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` C ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. ( F o. f ) ) ` n ) , 1 ) ) ) ` (♯ ` C ) ) )
75	44, 70, 74	3eqtr4rd 2275	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = prod_ m e. C ( ( n e. C |-> D ) ` m ) )
76	51	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> A. k e. A B e. CC )
77		prodfct 12153	. . . . . . 7 |- ( A. k e. A B e. CC -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = prod_ k e. A B )
78	76, 77	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = prod_ k e. A B )
79	53	ralrimiva 2605	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. n e. C D e. CC )
80	79	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> A. n e. C D e. CC )
81		prodfct 12153	. . . . . . 7 |- ( A. n e. C D e. CC -> prod_ m e. C ( ( n e. C |-> D ) ` m ) = prod_ n e. C D )
82	80, 81	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> prod_ m e. C ( ( n e. C |-> D ) ` m ) = prod_ n e. C D )
83	75, 78, 82	3eqtr3d 2272	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> prod_ k e. A B = prod_ n e. C D )
84	83	expr 375	. . . 4 |- ( ( ph /\ (♯ ` C ) e. NN ) -> ( f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C -> prod_ k e. A B = prod_ n e. C D ) )
85	84	exlimdv 1867	. . 3 |- ( ( ph /\ (♯ ` C ) e. NN ) -> ( E. f f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C -> prod_ k e. A B = prod_ n e. C D ) )
86	85	expimpd 363	. 2 |- ( ph -> ( ( (♯ ` C ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) -> prod_ k e. A B = prod_ n e. C D ) )
87		fprodf1o.2	. . 3 |- ( ph -> C e. Fin )
88		fz1f1o 11940	. . 3 |- ( C e. Fin -> ( C = (/) \/ ( (♯ ` C ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) )
89	87, 88	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( C = (/) \/ ( (♯ ` C ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) )
90	18, 86, 89	mpjaod 725	1 |- ( ph -> prod_ k e. A B = prod_ n e. C D )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 715   = wceq 1397   E.wex 1540   e. wcel 2202   A.wral 2510   (/)c0 3494   ifcif 3605   class class class wbr 4088   |-> cmpt 4150   o. ccom 4729   -->wf 5322   -onto->wfo 5324   -1-1-onto->wf1o 5325   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   Fincfn 6909   CCcc 8030   1c1 8033   x. cmul 8037   <_ cle 8215   NNcn 9143   ...cfz 10243   seqcseq 10710  ♯chash 11038   prod_cprod 12116

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151  ax-caucvg 8152

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-irdg 6536  df-frec 6557  df-1o 6582  df-oadd 6586  df-er 6702  df-en 6910  df-dom 6911  df-fin 6912  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-q 9854  df-rp 9889  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-seqfrec 10711  df-exp 10802  df-ihash 11039  df-cj 11407  df-re 11408  df-im 11409  df-rsqrt 11563  df-abs 11564  df-clim 11844  df-proddc 12117

This theorem is referenced by:  fprodssdc  12156  fprodshft  12184  fprodrev  12185  fprod2dlemstep  12188  fprodcnv  12191  eulerthlemth  12809  gausslemma2dlem1  15796