Theorem fprodf1o 12212

Description: Re-index a finite product using a bijection. (Contributed by Scott Fenton, 7-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodf1o.1	|- ( k = G -> B = D )
fprodf1o.2	|- ( ph -> C e. Fin )
fprodf1o.3	|- ( ph -> F : C -1-1-onto-> A )
fprodf1o.4	|- ( ( ph /\ n e. C ) -> ( F ` n ) = G )
fprodf1o.5	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fprodf1o	|- ( ph -> prod_ k e. A B = prod_ n e. C D )

Distinct variable groups:   A, k, n   B, n   C, n   D, k   n, F   k, G   ph, k, n

Allowed substitution hints:   B( k)   C( k)   D( n)   F( k)   G( n)

Proof of Theorem fprodf1o

Dummy variables f m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prod0 12209	. . . 4 |- prod_ k e. (/) B = 1
2		fprodf1o.3	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : C -1-1-onto-> A )
3	2	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ C = (/) ) -> F : C -1-1-onto-> A )
4		f1oeq2 5581	. . . . . . . . 9 |- ( C = (/) -> ( F : C -1-1-onto-> A <-> F : (/) -1-1-onto-> A ) )
5	4	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ C = (/) ) -> ( F : C -1-1-onto-> A <-> F : (/) -1-1-onto-> A ) )
6	3, 5	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ C = (/) ) -> F : (/) -1-1-onto-> A )
7		f1ofo 5599	. . . . . . 7 |- ( F : (/) -1-1-onto-> A -> F : (/) -onto-> A )
8	6, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ C = (/) ) -> F : (/) -onto-> A )
9		fo00 5630	. . . . . . 7 |- ( F : (/) -onto-> A <-> ( F = (/) /\ A = (/) ) )
10	9	simprbi 275	. . . . . 6 |- ( F : (/) -onto-> A -> A = (/) )
11	8, 10	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C = (/) ) -> A = (/) )
12	11	prodeq1d 12188	. . . 4 |- ( ( ph /\ C = (/) ) -> prod_ k e. A B = prod_ k e. (/) B )
13		prodeq1 12177	. . . . . 6 |- ( C = (/) -> prod_ n e. C D = prod_ n e. (/) D )
14		prod0 12209	. . . . . 6 |- prod_ n e. (/) D = 1
15	13, 14	eqtrdi 2280	. . . . 5 |- ( C = (/) -> prod_ n e. C D = 1 )
16	15	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ph /\ C = (/) ) -> prod_ n e. C D = 1 )
17	1, 12, 16	3eqtr4a 2290	. . 3 |- ( ( ph /\ C = (/) ) -> prod_ k e. A B = prod_ n e. C D )
18	17	ex 115	. 2 |- ( ph -> ( C = (/) -> prod_ k e. A B = prod_ n e. C D ) )
19		2fveq3 5653	. . . . . . . 8 |- ( m = ( f ` n ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` ( f ` n ) ) ) )
20		simprl 531	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> (♯ ` C ) e. NN )
21		simprr 533	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C )
22		f1of 5592	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : C -1-1-onto-> A -> F : C --> A )
23	2, 22	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : C --> A )
24	23	ffvelcdmda 5790	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. C ) -> ( F ` m ) e. A )
25		fprodf1o.5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
26	25	fmpttd 5810	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( k e. A |-> B ) : A --> CC )
27	26	ffvelcdmda 5790	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( F ` m ) e. A ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) e. CC )
28	24, 27	syldan 282	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. C ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) e. CC )
29	28	adantlr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) /\ m e. C ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) e. CC )
30		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) -> f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C )
31		f1oco 5615	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : C -1-1-onto-> A /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) -> ( F o. f ) : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> A )
32	2, 30, 31	syl2an 289	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> ( F o. f ) : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> A )
33		f1of 5592	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F o. f ) : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> A -> ( F o. f ) : ( 1 ... (♯ ` C ) ) --> A )
34	32, 33	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> ( F o. f ) : ( 1 ... (♯ ` C ) ) --> A )
35		fvco3 5726	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F o. f ) : ( 1 ... (♯ ` C ) ) --> A /\ n e. ( 1 ... (♯ ` C ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. ( F o. f ) ) ` n ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( ( F o. f ) ` n ) ) )
36	34, 35	sylan 283	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) /\ n e. ( 1 ... (♯ ` C ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. ( F o. f ) ) ` n ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( ( F o. f ) ` n ) ) )
37		f1of 5592	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C -> f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) --> C )
38	37	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) -> f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) --> C )
39	38	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) --> C )
40		fvco3 5726	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) --> C /\ n e. ( 1 ... (♯ ` C ) ) ) -> ( ( F o. f ) ` n ) = ( F ` ( f ` n ) ) )
41	39, 40	sylan 283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) /\ n e. ( 1 ... (♯ ` C ) ) ) -> ( ( F o. f ) ` n ) = ( F ` ( f ` n ) ) )
42	41	fveq2d 5652	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) /\ n e. ( 1 ... (♯ ` C ) ) ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` ( ( F o. f ) ` n ) ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` ( f ` n ) ) ) )
43	36, 42	eqtrd 2264	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) /\ n e. ( 1 ... (♯ ` C ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. ( F o. f ) ) ` n ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` ( f ` n ) ) ) )
44	19, 20, 21, 29, 43	fprodseq 12207	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> prod_ m e. C ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` C ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. ( F o. f ) ) ` n ) , 1 ) ) ) ` (♯ ` C ) ) )
45		eqid 2231	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. A |-> B ) = ( k e. A |-> B )
46		fprodf1o.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = G -> B = D )
47		fprodf1o.4	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> ( F ` n ) = G )
48	23	ffvelcdmda 5790	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> ( F ` n ) e. A )
49	47, 48	eqeltrrd 2309	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> G e. A )
50	46	eleq1d 2300	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = G -> ( B e. CC <-> D e. CC ) )
51	25	ralrimiva 2606	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. k e. A B e. CC )
52	51	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> A. k e. A B e. CC )
53	50, 52, 49	rspcdva 2916	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> D e. CC )
54	45, 46, 49, 53	fvmptd3 5749	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` G ) = D )
55	47	fveq2d 5652	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` n ) ) = ( ( k e. A |-> B ) ` G ) )
56		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> n e. C )
57		eqid 2231	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. C |-> D ) = ( n e. C |-> D )
58	57	fvmpt2 5739	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. C /\ D e. CC ) -> ( ( n e. C |-> D ) ` n ) = D )
59	56, 53, 58	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> ( ( n e. C |-> D ) ` n ) = D )
60	54, 55, 59	3eqtr4rd 2275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> ( ( n e. C |-> D ) ` n ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` n ) ) )
61	60	ralrimiva 2606	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. n e. C ( ( n e. C |-> D ) ` n ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` n ) ) )
62		nffvmpt1 5659	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ n ( ( n e. C |-> D ) ` m )
63	62	nfeq1 2385	. . . . . . . . . . 11 |- F/ n ( ( n e. C |-> D ) ` m ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) )
64		fveq2 5648	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = m -> ( ( n e. C |-> D ) ` n ) = ( ( n e. C |-> D ) ` m ) )
65		2fveq3 5653	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = m -> ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` n ) ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) )
66	64, 65	eqeq12d 2246	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = m -> ( ( ( n e. C |-> D ) ` n ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` n ) ) <-> ( ( n e. C |-> D ) ` m ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) ) )
67	63, 66	rspc 2905	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. C -> ( A. n e. C ( ( n e. C |-> D ) ` n ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` n ) ) -> ( ( n e. C |-> D ) ` m ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) ) )
68	61, 67	mpan9 281	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. C ) -> ( ( n e. C |-> D ) ` m ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) )
69	68	adantlr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) /\ m e. C ) -> ( ( n e. C |-> D ) ` m ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) )
70	69	prodeq2dv 12190	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> prod_ m e. C ( ( n e. C |-> D ) ` m ) = prod_ m e. C ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) )
71		fveq2 5648	. . . . . . . 8 |- ( m = ( ( F o. f ) ` n ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( ( F o. f ) ` n ) ) )
72	26	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> ( k e. A |-> B ) : A --> CC )
73	72	ffvelcdmda 5790	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` m ) e. CC )
74	71, 20, 32, 73, 36	fprodseq 12207	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` C ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. ( F o. f ) ) ` n ) , 1 ) ) ) ` (♯ ` C ) ) )
75	44, 70, 74	3eqtr4rd 2275	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = prod_ m e. C ( ( n e. C |-> D ) ` m ) )
76	51	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> A. k e. A B e. CC )
77		prodfct 12211	. . . . . . 7 |- ( A. k e. A B e. CC -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = prod_ k e. A B )
78	76, 77	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = prod_ k e. A B )
79	53	ralrimiva 2606	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. n e. C D e. CC )
80	79	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> A. n e. C D e. CC )
81		prodfct 12211	. . . . . . 7 |- ( A. n e. C D e. CC -> prod_ m e. C ( ( n e. C |-> D ) ` m ) = prod_ n e. C D )
82	80, 81	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> prod_ m e. C ( ( n e. C |-> D ) ` m ) = prod_ n e. C D )
83	75, 78, 82	3eqtr3d 2272	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> prod_ k e. A B = prod_ n e. C D )
84	83	expr 375	. . . 4 |- ( ( ph /\ (♯ ` C ) e. NN ) -> ( f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C -> prod_ k e. A B = prod_ n e. C D ) )
85	84	exlimdv 1867	. . 3 |- ( ( ph /\ (♯ ` C ) e. NN ) -> ( E. f f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C -> prod_ k e. A B = prod_ n e. C D ) )
86	85	expimpd 363	. 2 |- ( ph -> ( ( (♯ ` C ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) -> prod_ k e. A B = prod_ n e. C D ) )
87		fprodf1o.2	. . 3 |- ( ph -> C e. Fin )
88		fz1f1o 11998	. . 3 |- ( C e. Fin -> ( C = (/) \/ ( (♯ ` C ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) )
89	87, 88	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( C = (/) \/ ( (♯ ` C ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) )
90	18, 86, 89	mpjaod 726	1 |- ( ph -> prod_ k e. A B = prod_ n e. C D )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2202   A.wral 2511   (/)c0 3496   ifcif 3607   class class class wbr 4093   |-> cmpt 4155   o. ccom 4735   -->wf 5329   -onto->wfo 5331   -1-1-onto->wf1o 5332   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   Fincfn 6952   CCcc 8073   1c1 8076   x. cmul 8080   <_ cle 8257   NNcn 9185   ...cfz 10288   seqcseq 10755  ♯chash 11083   prod_cprod 12174

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194  ax-caucvg 8195

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-frec 6600  df-1o 6625  df-oadd 6629  df-er 6745  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-reap 8797  df-ap 8804  df-div 8895  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800  df-q 9898  df-rp 9933  df-fz 10289  df-fzo 10423  df-seqfrec 10756  df-exp 10847  df-ihash 11084  df-cj 11465  df-re 11466  df-im 11467  df-rsqrt 11621  df-abs 11622  df-clim 11902  df-proddc 12175

This theorem is referenced by:  fprodssdc  12214  fprodshft  12242  fprodrev  12243  fprod2dlemstep  12246  fprodcnv  12249  eulerthlemth  12867  gausslemma2dlem1  15863