Theorem fprodf1o 11841

Description: Re-index a finite product using a bijection. (Contributed by Scott Fenton, 7-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodf1o.1	|- ( k = G -> B = D )
fprodf1o.2	|- ( ph -> C e. Fin )
fprodf1o.3	|- ( ph -> F : C -1-1-onto-> A )
fprodf1o.4	|- ( ( ph /\ n e. C ) -> ( F ` n ) = G )
fprodf1o.5	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fprodf1o	|- ( ph -> prod_ k e. A B = prod_ n e. C D )

Distinct variable groups:   A, k, n   B, n   C, n   D, k   n, F   k, G   ph, k, n

Allowed substitution hints:   B( k)   C( k)   D( n)   F( k)   G( n)

Proof of Theorem fprodf1o

Dummy variables f m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prod0 11838	. . . 4 |- prod_ k e. (/) B = 1
2		fprodf1o.3	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : C -1-1-onto-> A )
3	2	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ C = (/) ) -> F : C -1-1-onto-> A )
4		f1oeq2 5510	. . . . . . . . 9 |- ( C = (/) -> ( F : C -1-1-onto-> A <-> F : (/) -1-1-onto-> A ) )
5	4	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ C = (/) ) -> ( F : C -1-1-onto-> A <-> F : (/) -1-1-onto-> A ) )
6	3, 5	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ C = (/) ) -> F : (/) -1-1-onto-> A )
7		f1ofo 5528	. . . . . . 7 |- ( F : (/) -1-1-onto-> A -> F : (/) -onto-> A )
8	6, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ C = (/) ) -> F : (/) -onto-> A )
9		fo00 5557	. . . . . . 7 |- ( F : (/) -onto-> A <-> ( F = (/) /\ A = (/) ) )
10	9	simprbi 275	. . . . . 6 |- ( F : (/) -onto-> A -> A = (/) )
11	8, 10	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C = (/) ) -> A = (/) )
12	11	prodeq1d 11817	. . . 4 |- ( ( ph /\ C = (/) ) -> prod_ k e. A B = prod_ k e. (/) B )
13		prodeq1 11806	. . . . . 6 |- ( C = (/) -> prod_ n e. C D = prod_ n e. (/) D )
14		prod0 11838	. . . . . 6 |- prod_ n e. (/) D = 1
15	13, 14	eqtrdi 2253	. . . . 5 |- ( C = (/) -> prod_ n e. C D = 1 )
16	15	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ph /\ C = (/) ) -> prod_ n e. C D = 1 )
17	1, 12, 16	3eqtr4a 2263	. . 3 |- ( ( ph /\ C = (/) ) -> prod_ k e. A B = prod_ n e. C D )
18	17	ex 115	. 2 |- ( ph -> ( C = (/) -> prod_ k e. A B = prod_ n e. C D ) )
19		2fveq3 5580	. . . . . . . 8 |- ( m = ( f ` n ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` ( f ` n ) ) ) )
20		simprl 529	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> (♯ ` C ) e. NN )
21		simprr 531	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C )
22		f1of 5521	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : C -1-1-onto-> A -> F : C --> A )
23	2, 22	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : C --> A )
24	23	ffvelcdmda 5714	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. C ) -> ( F ` m ) e. A )
25		fprodf1o.5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
26	25	fmpttd 5734	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( k e. A |-> B ) : A --> CC )
27	26	ffvelcdmda 5714	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( F ` m ) e. A ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) e. CC )
28	24, 27	syldan 282	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. C ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) e. CC )
29	28	adantlr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) /\ m e. C ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) e. CC )
30		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) -> f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C )
31		f1oco 5544	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : C -1-1-onto-> A /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) -> ( F o. f ) : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> A )
32	2, 30, 31	syl2an 289	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> ( F o. f ) : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> A )
33		f1of 5521	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F o. f ) : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> A -> ( F o. f ) : ( 1 ... (♯ ` C ) ) --> A )
34	32, 33	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> ( F o. f ) : ( 1 ... (♯ ` C ) ) --> A )
35		fvco3 5649	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F o. f ) : ( 1 ... (♯ ` C ) ) --> A /\ n e. ( 1 ... (♯ ` C ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. ( F o. f ) ) ` n ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( ( F o. f ) ` n ) ) )
36	34, 35	sylan 283	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) /\ n e. ( 1 ... (♯ ` C ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. ( F o. f ) ) ` n ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( ( F o. f ) ` n ) ) )
37		f1of 5521	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C -> f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) --> C )
38	37	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) -> f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) --> C )
39	38	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) --> C )
40		fvco3 5649	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) --> C /\ n e. ( 1 ... (♯ ` C ) ) ) -> ( ( F o. f ) ` n ) = ( F ` ( f ` n ) ) )
41	39, 40	sylan 283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) /\ n e. ( 1 ... (♯ ` C ) ) ) -> ( ( F o. f ) ` n ) = ( F ` ( f ` n ) ) )
42	41	fveq2d 5579	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) /\ n e. ( 1 ... (♯ ` C ) ) ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` ( ( F o. f ) ` n ) ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` ( f ` n ) ) ) )
43	36, 42	eqtrd 2237	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) /\ n e. ( 1 ... (♯ ` C ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. ( F o. f ) ) ` n ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` ( f ` n ) ) ) )
44	19, 20, 21, 29, 43	fprodseq 11836	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> prod_ m e. C ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` C ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. ( F o. f ) ) ` n ) , 1 ) ) ) ` (♯ ` C ) ) )
45		eqid 2204	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. A |-> B ) = ( k e. A |-> B )
46		fprodf1o.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = G -> B = D )
47		fprodf1o.4	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> ( F ` n ) = G )
48	23	ffvelcdmda 5714	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> ( F ` n ) e. A )
49	47, 48	eqeltrrd 2282	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> G e. A )
50	46	eleq1d 2273	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = G -> ( B e. CC <-> D e. CC ) )
51	25	ralrimiva 2578	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. k e. A B e. CC )
52	51	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> A. k e. A B e. CC )
53	50, 52, 49	rspcdva 2881	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> D e. CC )
54	45, 46, 49, 53	fvmptd3 5672	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` G ) = D )
55	47	fveq2d 5579	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` n ) ) = ( ( k e. A |-> B ) ` G ) )
56		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> n e. C )
57		eqid 2204	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. C |-> D ) = ( n e. C |-> D )
58	57	fvmpt2 5662	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. C /\ D e. CC ) -> ( ( n e. C |-> D ) ` n ) = D )
59	56, 53, 58	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> ( ( n e. C |-> D ) ` n ) = D )
60	54, 55, 59	3eqtr4rd 2248	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> ( ( n e. C |-> D ) ` n ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` n ) ) )
61	60	ralrimiva 2578	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. n e. C ( ( n e. C |-> D ) ` n ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` n ) ) )
62		nffvmpt1 5586	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ n ( ( n e. C |-> D ) ` m )
63	62	nfeq1 2357	. . . . . . . . . . 11 |- F/ n ( ( n e. C |-> D ) ` m ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) )
64		fveq2 5575	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = m -> ( ( n e. C |-> D ) ` n ) = ( ( n e. C |-> D ) ` m ) )
65		2fveq3 5580	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = m -> ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` n ) ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) )
66	64, 65	eqeq12d 2219	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = m -> ( ( ( n e. C |-> D ) ` n ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` n ) ) <-> ( ( n e. C |-> D ) ` m ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) ) )
67	63, 66	rspc 2870	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. C -> ( A. n e. C ( ( n e. C |-> D ) ` n ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` n ) ) -> ( ( n e. C |-> D ) ` m ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) ) )
68	61, 67	mpan9 281	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. C ) -> ( ( n e. C |-> D ) ` m ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) )
69	68	adantlr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) /\ m e. C ) -> ( ( n e. C |-> D ) ` m ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) )
70	69	prodeq2dv 11819	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> prod_ m e. C ( ( n e. C |-> D ) ` m ) = prod_ m e. C ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) )
71		fveq2 5575	. . . . . . . 8 |- ( m = ( ( F o. f ) ` n ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( ( F o. f ) ` n ) ) )
72	26	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> ( k e. A |-> B ) : A --> CC )
73	72	ffvelcdmda 5714	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` m ) e. CC )
74	71, 20, 32, 73, 36	fprodseq 11836	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` C ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. ( F o. f ) ) ` n ) , 1 ) ) ) ` (♯ ` C ) ) )
75	44, 70, 74	3eqtr4rd 2248	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = prod_ m e. C ( ( n e. C |-> D ) ` m ) )
76	51	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> A. k e. A B e. CC )
77		prodfct 11840	. . . . . . 7 |- ( A. k e. A B e. CC -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = prod_ k e. A B )
78	76, 77	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = prod_ k e. A B )
79	53	ralrimiva 2578	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. n e. C D e. CC )
80	79	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> A. n e. C D e. CC )
81		prodfct 11840	. . . . . . 7 |- ( A. n e. C D e. CC -> prod_ m e. C ( ( n e. C |-> D ) ` m ) = prod_ n e. C D )
82	80, 81	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> prod_ m e. C ( ( n e. C |-> D ) ` m ) = prod_ n e. C D )
83	75, 78, 82	3eqtr3d 2245	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> prod_ k e. A B = prod_ n e. C D )
84	83	expr 375	. . . 4 |- ( ( ph /\ (♯ ` C ) e. NN ) -> ( f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C -> prod_ k e. A B = prod_ n e. C D ) )
85	84	exlimdv 1841	. . 3 |- ( ( ph /\ (♯ ` C ) e. NN ) -> ( E. f f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C -> prod_ k e. A B = prod_ n e. C D ) )
86	85	expimpd 363	. 2 |- ( ph -> ( ( (♯ ` C ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) -> prod_ k e. A B = prod_ n e. C D ) )
87		fprodf1o.2	. . 3 |- ( ph -> C e. Fin )
88		fz1f1o 11628	. . 3 |- ( C e. Fin -> ( C = (/) \/ ( (♯ ` C ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) )
89	87, 88	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( C = (/) \/ ( (♯ ` C ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) )
90	18, 86, 89	mpjaod 719	1 |- ( ph -> prod_ k e. A B = prod_ n e. C D )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   = wceq 1372   E.wex 1514   e. wcel 2175   A.wral 2483   (/)c0 3459   ifcif 3570   class class class wbr 4043   |-> cmpt 4104   o. ccom 4678   -->wf 5266   -onto->wfo 5268   -1-1-onto->wf1o 5269   ` cfv 5270  (class class class)co 5943   Fincfn 6826   CCcc 7922   1c1 7925   x. cmul 7929   <_ cle 8107   NNcn 9035   ...cfz 10129   seqcseq 10590  ♯chash 10918   prod_cprod 11803

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-iinf 4635  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-mulrcl 8023  ax-addcom 8024  ax-mulcom 8025  ax-addass 8026  ax-mulass 8027  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-1rid 8031  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-precex 8034  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-apti 8039  ax-pre-ltadd 8040  ax-pre-mulgt0 8041  ax-pre-mulext 8042  ax-arch 8043  ax-caucvg 8044

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-if 3571  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4339  df-po 4342  df-iso 4343  df-iord 4412  df-on 4414  df-ilim 4415  df-suc 4417  df-iom 4638  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-isom 5279  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-recs 6390  df-irdg 6455  df-frec 6476  df-1o 6501  df-oadd 6505  df-er 6619  df-en 6827  df-dom 6828  df-fin 6829  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-reap 8647  df-ap 8654  df-div 8745  df-inn 9036  df-2 9094  df-3 9095  df-4 9096  df-n0 9295  df-z 9372  df-uz 9648  df-q 9740  df-rp 9775  df-fz 10130  df-fzo 10264  df-seqfrec 10591  df-exp 10682  df-ihash 10919  df-cj 11095  df-re 11096  df-im 11097  df-rsqrt 11251  df-abs 11252  df-clim 11532  df-proddc 11804

This theorem is referenced by:  fprodssdc  11843  fprodshft  11871  fprodrev  11872  fprod2dlemstep  11875  fprodcnv  11878  eulerthlemth  12496  gausslemma2dlem1  15480