ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fo00 GIF version

Theorem fo00 5369
Description: Onto mapping of the empty set. (Contributed by NM, 22-Mar-2006.)
Assertion
Ref Expression
fo00 (𝐹:∅–onto𝐴 ↔ (𝐹 = ∅ ∧ 𝐴 = ∅))

Proof of Theorem fo00
StepHypRef Expression
1 fofn 5315 . . . . . 6 (𝐹:∅–onto𝐴𝐹 Fn ∅)
2 fn0 5210 . . . . . . 7 (𝐹 Fn ∅ ↔ 𝐹 = ∅)
3 f10 5367 . . . . . . . 8 ∅:∅–1-1𝐴
4 f1eq1 5291 . . . . . . . 8 (𝐹 = ∅ → (𝐹:∅–1-1𝐴 ↔ ∅:∅–1-1𝐴))
53, 4mpbiri 167 . . . . . . 7 (𝐹 = ∅ → 𝐹:∅–1-1𝐴)
62, 5sylbi 120 . . . . . 6 (𝐹 Fn ∅ → 𝐹:∅–1-1𝐴)
71, 6syl 14 . . . . 5 (𝐹:∅–onto𝐴𝐹:∅–1-1𝐴)
87ancri 320 . . . 4 (𝐹:∅–onto𝐴 → (𝐹:∅–1-1𝐴𝐹:∅–onto𝐴))
9 df-f1o 5098 . . . 4 (𝐹:∅–1-1-onto𝐴 ↔ (𝐹:∅–1-1𝐴𝐹:∅–onto𝐴))
108, 9sylibr 133 . . 3 (𝐹:∅–onto𝐴𝐹:∅–1-1-onto𝐴)
11 f1ofo 5340 . . 3 (𝐹:∅–1-1-onto𝐴𝐹:∅–onto𝐴)
1210, 11impbii 125 . 2 (𝐹:∅–onto𝐴𝐹:∅–1-1-onto𝐴)
13 f1o00 5368 . 2 (𝐹:∅–1-1-onto𝐴 ↔ (𝐹 = ∅ ∧ 𝐴 = ∅))
1412, 13bitri 183 1 (𝐹:∅–onto𝐴 ↔ (𝐹 = ∅ ∧ 𝐴 = ∅))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 103  wb 104   = wceq 1314  c0 3331   Fn wfn 5086  1-1wf1 5088  ontowfo 5089  1-1-ontowf1o 5090
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ral 2396  df-rex 2397  df-v 2660  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-br 3898  df-opab 3958  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098
This theorem is referenced by:  enumct  6966  fsumf1o  11099
  Copyright terms: Public domain W3C validator