ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fo00 GIF version

Theorem fo00 5273
Description: Onto mapping of the empty set. (Contributed by NM, 22-Mar-2006.)
Assertion
Ref Expression
fo00 (𝐹:∅–onto𝐴 ↔ (𝐹 = ∅ ∧ 𝐴 = ∅))

Proof of Theorem fo00
StepHypRef Expression
1 fofn 5219 . . . . . 6 (𝐹:∅–onto𝐴𝐹 Fn ∅)
2 fn0 5119 . . . . . . 7 (𝐹 Fn ∅ ↔ 𝐹 = ∅)
3 f10 5271 . . . . . . . 8 ∅:∅–1-1𝐴
4 f1eq1 5195 . . . . . . . 8 (𝐹 = ∅ → (𝐹:∅–1-1𝐴 ↔ ∅:∅–1-1𝐴))
53, 4mpbiri 166 . . . . . . 7 (𝐹 = ∅ → 𝐹:∅–1-1𝐴)
62, 5sylbi 119 . . . . . 6 (𝐹 Fn ∅ → 𝐹:∅–1-1𝐴)
71, 6syl 14 . . . . 5 (𝐹:∅–onto𝐴𝐹:∅–1-1𝐴)
87ancri 317 . . . 4 (𝐹:∅–onto𝐴 → (𝐹:∅–1-1𝐴𝐹:∅–onto𝐴))
9 df-f1o 5009 . . . 4 (𝐹:∅–1-1-onto𝐴 ↔ (𝐹:∅–1-1𝐴𝐹:∅–onto𝐴))
108, 9sylibr 132 . . 3 (𝐹:∅–onto𝐴𝐹:∅–1-1-onto𝐴)
11 f1ofo 5244 . . 3 (𝐹:∅–1-1-onto𝐴𝐹:∅–onto𝐴)
1210, 11impbii 124 . 2 (𝐹:∅–onto𝐴𝐹:∅–1-1-onto𝐴)
13 f1o00 5272 . 2 (𝐹:∅–1-1-onto𝐴 ↔ (𝐹 = ∅ ∧ 𝐴 = ∅))
1412, 13bitri 182 1 (𝐹:∅–onto𝐴 ↔ (𝐹 = ∅ ∧ 𝐴 = ∅))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 102  wb 103   = wceq 1289  c0 3284   Fn wfn 4997  1-1wf1 4999  ontowfo 5000  1-1-ontowf1o 5001
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-br 3838  df-opab 3892  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009
This theorem is referenced by:  fsumf1o  10746
  Copyright terms: Public domain W3C validator