ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fo00 GIF version

Theorem fo00 5478
Description: Onto mapping of the empty set. (Contributed by NM, 22-Mar-2006.)
Assertion
Ref Expression
fo00 (𝐹:∅–onto𝐴 ↔ (𝐹 = ∅ ∧ 𝐴 = ∅))

Proof of Theorem fo00
StepHypRef Expression
1 fofn 5422 . . . . . 6 (𝐹:∅–onto𝐴𝐹 Fn ∅)
2 fn0 5317 . . . . . . 7 (𝐹 Fn ∅ ↔ 𝐹 = ∅)
3 f10 5476 . . . . . . . 8 ∅:∅–1-1𝐴
4 f1eq1 5398 . . . . . . . 8 (𝐹 = ∅ → (𝐹:∅–1-1𝐴 ↔ ∅:∅–1-1𝐴))
53, 4mpbiri 167 . . . . . . 7 (𝐹 = ∅ → 𝐹:∅–1-1𝐴)
62, 5sylbi 120 . . . . . 6 (𝐹 Fn ∅ → 𝐹:∅–1-1𝐴)
71, 6syl 14 . . . . 5 (𝐹:∅–onto𝐴𝐹:∅–1-1𝐴)
87ancri 322 . . . 4 (𝐹:∅–onto𝐴 → (𝐹:∅–1-1𝐴𝐹:∅–onto𝐴))
9 df-f1o 5205 . . . 4 (𝐹:∅–1-1-onto𝐴 ↔ (𝐹:∅–1-1𝐴𝐹:∅–onto𝐴))
108, 9sylibr 133 . . 3 (𝐹:∅–onto𝐴𝐹:∅–1-1-onto𝐴)
11 f1ofo 5449 . . 3 (𝐹:∅–1-1-onto𝐴𝐹:∅–onto𝐴)
1210, 11impbii 125 . 2 (𝐹:∅–onto𝐴𝐹:∅–1-1-onto𝐴)
13 f1o00 5477 . 2 (𝐹:∅–1-1-onto𝐴 ↔ (𝐹 = ∅ ∧ 𝐴 = ∅))
1412, 13bitri 183 1 (𝐹:∅–onto𝐴 ↔ (𝐹 = ∅ ∧ 𝐴 = ∅))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 103  wb 104   = wceq 1348  c0 3414   Fn wfn 5193  1-1wf1 5195  ontowfo 5196  1-1-ontowf1o 5197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205
This theorem is referenced by:  enumct  7092  fsumf1o  11353  fprodf1o  11551
  Copyright terms: Public domain W3C validator