Theorem fo00 5630

Description: Onto mapping of the empty set. (Contributed by NM, 22-Mar-2006.)

Assertion

Ref	Expression
fo00	⊢ (𝐹:∅–onto→𝐴 ↔ (𝐹 = ∅ ∧ 𝐴 = ∅))

Proof of Theorem fo00

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fofn 5570	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:∅–onto→𝐴 → 𝐹 Fn ∅)
2		fn0 5459	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 Fn ∅ ↔ 𝐹 = ∅)
3		f10 5627	. . . . . . . 8 ⊢ ∅:∅–1-1→𝐴
4		f1eq1 5546	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 = ∅ → (𝐹:∅–1-1→𝐴 ↔ ∅:∅–1-1→𝐴))
5	3, 4	mpbiri 168	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 = ∅ → 𝐹:∅–1-1→𝐴)
6	2, 5	sylbi 121	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Fn ∅ → 𝐹:∅–1-1→𝐴)
7	1, 6	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐹:∅–onto→𝐴 → 𝐹:∅–1-1→𝐴)
8	7	ancri 324	. . . 4 ⊢ (𝐹:∅–onto→𝐴 → (𝐹:∅–1-1→𝐴 ∧ 𝐹:∅–onto→𝐴))
9		df-f1o 5340	. . . 4 ⊢ (𝐹:∅–1-1-onto→𝐴 ↔ (𝐹:∅–1-1→𝐴 ∧ 𝐹:∅–onto→𝐴))
10	8, 9	sylibr 134	. . 3 ⊢ (𝐹:∅–onto→𝐴 → 𝐹:∅–1-1-onto→𝐴)
11		f1ofo 5599	. . 3 ⊢ (𝐹:∅–1-1-onto→𝐴 → 𝐹:∅–onto→𝐴)
12	10, 11	impbii 126	. 2 ⊢ (𝐹:∅–onto→𝐴 ↔ 𝐹:∅–1-1-onto→𝐴)
13		f1o00 5629	. 2 ⊢ (𝐹:∅–1-1-onto→𝐴 ↔ (𝐹 = ∅ ∧ 𝐴 = ∅))
14	12, 13	bitri 184	1 ⊢ (𝐹:∅–onto→𝐴 ↔ (𝐹 = ∅ ∧ 𝐴 = ∅))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398  ∅c0 3496   Fn wfn 5328  –1-1→wf1 5330  –onto→wfo 5331  –1-1-onto→wf1o 5332

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340

This theorem is referenced by:  enumct  7357  fsumf1o  12014  fprodf1o  12212