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Theorem fsumf1o 11364
Description: Re-index a finite sum using a bijection. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumf1o.1  |-  ( k  =  G  ->  B  =  D )
fsumf1o.2  |-  ( ph  ->  C  e.  Fin )
fsumf1o.3  |-  ( ph  ->  F : C -1-1-onto-> A )
fsumf1o.4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  ( F `  n )  =  G )
fsumf1o.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
fsumf1o  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  sum_ n  e.  C  D )
Distinct variable groups:    k, n, A    B, n    C, n    D, k    n, F    k, G    ph, k, n
Allowed substitution hints:    B( k)    C( k)    D( n)    F( k)    G( n)

Proof of Theorem fsumf1o
Dummy variables  f  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sum0 11362 . . . 4  |-  sum_ k  e.  (/)  B  =  0
2 fsumf1o.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : C -1-1-onto-> A )
3 f1oeq2 5442 . . . . . . . 8  |-  ( C  =  (/)  ->  ( F : C -1-1-onto-> A  <->  F : (/) -1-1-onto-> A ) )
42, 3syl5ibcom 155 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( C  =  (/)  ->  F : (/) -1-1-onto-> A ) )
54imp 124 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  =  (/) )  ->  F : (/) -1-1-onto-> A )
6 f1ofo 5460 . . . . . 6  |-  ( F : (/)
-1-1-onto-> A  ->  F : (/) -onto-> A )
7 fo00 5489 . . . . . . 7  |-  ( F : (/) -onto-> A  <->  ( F  =  (/)  /\  A  =  (/) ) )
87simprbi 275 . . . . . 6  |-  ( F : (/) -onto-> A  ->  A  =  (/) )
95, 6, 83syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  =  (/) )  ->  A  =  (/) )
109sumeq1d 11340 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  =  (/) )  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ k  e.  (/)  B )
11 simpr 110 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  =  (/) )  ->  C  =  (/) )
1211sumeq1d 11340 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  =  (/) )  ->  sum_ n  e.  C  D  =  sum_ n  e.  (/)  D )
13 sum0 11362 . . . . 5  |-  sum_ n  e.  (/)  D  =  0
1412, 13eqtrdi 2224 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  =  (/) )  ->  sum_ n  e.  C  D  =  0 )
151, 10, 143eqtr4a 2234 . . 3  |-  ( (
ph  /\  C  =  (/) )  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ n  e.  C  D )
1615ex 115 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  =  (/)  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  sum_ n  e.  C  D ) )
17 2fveq3 5512 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  m )
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `
 ( f `  n ) ) ) )
18 simprl 529 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  -> 
( `  C )  e.  NN )
19 simprr 531 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  -> 
f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C )
20 f1of 5453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : C -1-1-onto-> A  ->  F : C
--> A )
212, 20syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : C --> A )
2221ffvelcdmda 5643 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  C )  ->  ( F `  m )  e.  A )
23 fsumf1o.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
2423fmpttd 5663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
2524ffvelcdmda 5643 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( F `  m )  e.  A
)  ->  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  ( F `
 m ) )  e.  CC )
2622, 25syldan 282 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  C )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  m )
)  e.  CC )
2726adantlr 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C ) ) -1-1-onto-> C ) )  /\  m  e.  C )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  m )
)  e.  CC )
282adantr 276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  F : C -1-1-onto-> A )
29 f1oco 5476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : C -1-1-onto-> A  /\  f : ( 1 ... ( `  C )
)
-1-1-onto-> C )  ->  ( F  o.  f ) : ( 1 ... ( `  C )
)
-1-1-onto-> A )
3028, 19, 29syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  -> 
( F  o.  f
) : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> A )
31 f1of 5453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  o.  f ) : ( 1 ... ( `  C )
)
-1-1-onto-> A  ->  ( F  o.  f ) : ( 1 ... ( `  C
) ) --> A )
3230, 31syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  -> 
( F  o.  f
) : ( 1 ... ( `  C
) ) --> A )
33 fvco3 5579 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  o.  f
) : ( 1 ... ( `  C
) ) --> A  /\  n  e.  ( 1 ... ( `  C
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  ( F  o.  f ) ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
( F  o.  f
) `  n )
) )
3432, 33sylan 283 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C ) ) -1-1-onto-> C ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( `  C ) ) )  ->  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  ( F  o.  f ) ) `
 n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( ( F  o.  f ) `  n
) ) )
35 f1of 5453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : ( 1 ... ( `  C )
)
-1-1-onto-> C  ->  f : ( 1 ... ( `  C
) ) --> C )
3635ad2antll 491 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  -> 
f : ( 1 ... ( `  C
) ) --> C )
37 fvco3 5579 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ( 1 ... ( `  C
) ) --> C  /\  n  e.  ( 1 ... ( `  C
) ) )  -> 
( ( F  o.  f ) `  n
)  =  ( F `
 ( f `  n ) ) )
3836, 37sylan 283 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C ) ) -1-1-onto-> C ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( `  C ) ) )  ->  ( ( F  o.  f ) `  n )  =  ( F `  ( f `
 n ) ) )
3938fveq2d 5511 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C ) ) -1-1-onto-> C ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( `  C ) ) )  ->  ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 ( ( F  o.  f ) `  n ) )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  ( f `
 n ) ) ) )
4034, 39eqtrd 2208 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C ) ) -1-1-onto-> C ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( `  C ) ) )  ->  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  ( F  o.  f ) ) `
 n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  ( f `
 n ) ) ) )
4117, 18, 19, 27, 40fsum3 11361 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  sum_ m  e.  C  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  m )
)  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  C ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  ( F  o.  f
) ) `  n
) ,  0 ) ) ) `  ( `  C ) ) )
42 eqid 2175 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( k  e.  A  |->  B )
43 fsumf1o.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  G  ->  B  =  D )
44 fsumf1o.4 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  ( F `  n )  =  G )
4521ffvelcdmda 5643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  ( F `  n )  e.  A )
4644, 45eqeltrrd 2253 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  G  e.  A )
4743eleq1d 2244 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  G  ->  ( B  e.  CC  <->  D  e.  CC ) )
4823ralrimiva 2548 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
4948adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
5047, 49, 46rspcdva 2844 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  D  e.  CC )
5142, 43, 46, 50fvmptd3 5601 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  G
)  =  D )
5244fveq2d 5511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  n )
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  G ) )
53 simpr 110 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  n  e.  C )
54 eqid 2175 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  C  |->  D )  =  ( n  e.  C  |->  D )
5554fvmpt2 5591 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  C  /\  D  e.  CC )  ->  ( ( n  e.  C  |->  D ) `  n )  =  D )
5653, 50, 55syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  (
( n  e.  C  |->  D ) `  n
)  =  D )
5751, 52, 563eqtr4rd 2219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  (
( n  e.  C  |->  D ) `  n
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `
 n ) ) )
5857ralrimiva 2548 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. n  e.  C  ( ( n  e.  C  |->  D ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  n )
) )
59 nffvmpt1 5518 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n
( ( n  e.  C  |->  D ) `  m )
6059nfeq1 2327 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ n
( ( n  e.  C  |->  D ) `  m )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  m )
)
61 fveq2 5507 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  m  ->  (
( n  e.  C  |->  D ) `  n
)  =  ( ( n  e.  C  |->  D ) `  m ) )
62 2fveq3 5512 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  m  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  n )
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `
 m ) ) )
6361, 62eqeq12d 2190 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( n  e.  C  |->  D ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  n )
)  <->  ( ( n  e.  C  |->  D ) `
 m )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  m ) ) ) )
6460, 63rspc 2833 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  C  ->  ( A. n  e.  C  ( ( n  e.  C  |->  D ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  n )
)  ->  ( (
n  e.  C  |->  D ) `  m )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 ( F `  m ) ) ) )
6558, 64mpan9 281 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  C )  ->  (
( n  e.  C  |->  D ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `
 m ) ) )
6665adantlr 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C ) ) -1-1-onto-> C ) )  /\  m  e.  C )  ->  (
( n  e.  C  |->  D ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `
 m ) ) )
6766sumeq2dv 11342 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  sum_ m  e.  C  ( ( n  e.  C  |->  D ) `  m
)  =  sum_ m  e.  C  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  ( F `
 m ) ) )
68 fveq2 5507 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( ( F  o.  f ) `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( ( F  o.  f ) `
 n ) ) )
6924adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  -> 
( k  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
7069ffvelcdmda 5643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C ) ) -1-1-onto-> C ) )  /\  m  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  e.  CC )
7168, 18, 30, 70, 34fsum3 11361 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  C ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  ( F  o.  f
) ) `  n
) ,  0 ) ) ) `  ( `  C ) ) )
7241, 67, 713eqtr4rd 2219 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  =  sum_ m  e.  C  ( (
n  e.  C  |->  D ) `  m ) )
73 sumfct 11348 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 m )  = 
sum_ k  e.  A  B )
7448, 73syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m )  =  sum_ k  e.  A  B
)
7574adantr 276 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  =  sum_ k  e.  A  B )
7650ralrimiva 2548 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. n  e.  C  D  e.  CC )
77 sumfct 11348 . . . . . . . 8  |-  ( A. n  e.  C  D  e.  CC  ->  sum_ m  e.  C  ( ( n  e.  C  |->  D ) `
 m )  = 
sum_ n  e.  C  D )
7876, 77syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  C  ( ( n  e.  C  |->  D ) `  m )  =  sum_ n  e.  C  D )
7978adantr 276 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  sum_ m  e.  C  ( ( n  e.  C  |->  D ) `  m
)  =  sum_ n  e.  C  D )
8072, 75, 793eqtr3d 2216 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ n  e.  C  D )
8180expr 375 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( `  C
)  e.  NN )  ->  ( f : ( 1 ... ( `  C ) ) -1-1-onto-> C  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ n  e.  C  D ) )
8281exlimdv 1817 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( `  C
)  e.  NN )  ->  ( E. f 
f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ n  e.  C  D ) )
8382expimpd 363 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( `  C
)  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C )  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ n  e.  C  D
) )
84 fsumf1o.2 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  Fin )
85 fz1f1o 11349 . . 3  |-  ( C  e.  Fin  ->  ( C  =  (/)  \/  (
( `  C )  e.  NN  /\  E. f 
f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C ) ) )
8684, 85syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  =  (/)  \/  ( ( `  C
)  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C ) ) )
8716, 83, 86mpjaod 718 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  sum_ n  e.  C  D )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    \/ wo 708    = wceq 1353   E.wex 1490    e. wcel 2146   A.wral 2453   (/)c0 3420   ifcif 3532   class class class wbr 3998    |-> cmpt 4059    o. ccom 4624   -->wf 5204   -onto->wfo 5206   -1-1-onto->wf1o 5207   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   Fincfn 6730   CCcc 7784   0cc0 7786   1c1 7787    + caddc 7789    <_ cle 7967   NNcn 8890   ...cfz 9977    seqcseq 10413  ♯chash 10721   sum_csu 11327
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905  ax-caucvg 7906
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-isom 5217  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-irdg 6361  df-frec 6382  df-1o 6407  df-oadd 6411  df-er 6525  df-en 6731  df-dom 6732  df-fin 6733  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8602  df-inn 8891  df-2 8949  df-3 8950  df-4 8951  df-n0 9148  df-z 9225  df-uz 9500  df-q 9591  df-rp 9623  df-fz 9978  df-fzo 10111  df-seqfrec 10414  df-exp 10488  df-ihash 10722  df-cj 10817  df-re 10818  df-im 10819  df-rsqrt 10973  df-abs 10974  df-clim 11253  df-sumdc 11328
This theorem is referenced by:  fisumss  11366  fsum2dlemstep  11408  fsumcnv  11411  fsumrev  11417  fsumshft  11418  phisum  12205
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