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Theorem fsumf1o 11433
Description: Re-index a finite sum using a bijection. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumf1o.1  |-  ( k  =  G  ->  B  =  D )
fsumf1o.2  |-  ( ph  ->  C  e.  Fin )
fsumf1o.3  |-  ( ph  ->  F : C -1-1-onto-> A )
fsumf1o.4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  ( F `  n )  =  G )
fsumf1o.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
fsumf1o  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  sum_ n  e.  C  D )
Distinct variable groups:    k, n, A    B, n    C, n    D, k    n, F    k, G    ph, k, n
Allowed substitution hints:    B( k)    C( k)    D( n)    F( k)    G( n)

Proof of Theorem fsumf1o
Dummy variables  f  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sum0 11431 . . . 4  |-  sum_ k  e.  (/)  B  =  0
2 fsumf1o.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : C -1-1-onto-> A )
3 f1oeq2 5469 . . . . . . . 8  |-  ( C  =  (/)  ->  ( F : C -1-1-onto-> A  <->  F : (/) -1-1-onto-> A ) )
42, 3syl5ibcom 155 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( C  =  (/)  ->  F : (/) -1-1-onto-> A ) )
54imp 124 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  =  (/) )  ->  F : (/) -1-1-onto-> A )
6 f1ofo 5487 . . . . . 6  |-  ( F : (/)
-1-1-onto-> A  ->  F : (/) -onto-> A )
7 fo00 5516 . . . . . . 7  |-  ( F : (/) -onto-> A  <->  ( F  =  (/)  /\  A  =  (/) ) )
87simprbi 275 . . . . . 6  |-  ( F : (/) -onto-> A  ->  A  =  (/) )
95, 6, 83syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  =  (/) )  ->  A  =  (/) )
109sumeq1d 11409 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  =  (/) )  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ k  e.  (/)  B )
11 simpr 110 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  =  (/) )  ->  C  =  (/) )
1211sumeq1d 11409 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  =  (/) )  ->  sum_ n  e.  C  D  =  sum_ n  e.  (/)  D )
13 sum0 11431 . . . . 5  |-  sum_ n  e.  (/)  D  =  0
1412, 13eqtrdi 2238 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  =  (/) )  ->  sum_ n  e.  C  D  =  0 )
151, 10, 143eqtr4a 2248 . . 3  |-  ( (
ph  /\  C  =  (/) )  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ n  e.  C  D )
1615ex 115 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  =  (/)  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  sum_ n  e.  C  D ) )
17 2fveq3 5539 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  m )
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `
 ( f `  n ) ) ) )
18 simprl 529 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  -> 
( `  C )  e.  NN )
19 simprr 531 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  -> 
f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C )
20 f1of 5480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : C -1-1-onto-> A  ->  F : C
--> A )
212, 20syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : C --> A )
2221ffvelcdmda 5672 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  C )  ->  ( F `  m )  e.  A )
23 fsumf1o.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
2423fmpttd 5692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
2524ffvelcdmda 5672 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( F `  m )  e.  A
)  ->  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  ( F `
 m ) )  e.  CC )
2622, 25syldan 282 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  C )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  m )
)  e.  CC )
2726adantlr 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C ) ) -1-1-onto-> C ) )  /\  m  e.  C )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  m )
)  e.  CC )
282adantr 276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  F : C -1-1-onto-> A )
29 f1oco 5503 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : C -1-1-onto-> A  /\  f : ( 1 ... ( `  C )
)
-1-1-onto-> C )  ->  ( F  o.  f ) : ( 1 ... ( `  C )
)
-1-1-onto-> A )
3028, 19, 29syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  -> 
( F  o.  f
) : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> A )
31 f1of 5480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  o.  f ) : ( 1 ... ( `  C )
)
-1-1-onto-> A  ->  ( F  o.  f ) : ( 1 ... ( `  C
) ) --> A )
3230, 31syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  -> 
( F  o.  f
) : ( 1 ... ( `  C
) ) --> A )
33 fvco3 5608 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  o.  f
) : ( 1 ... ( `  C
) ) --> A  /\  n  e.  ( 1 ... ( `  C
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  ( F  o.  f ) ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
( F  o.  f
) `  n )
) )
3432, 33sylan 283 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C ) ) -1-1-onto-> C ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( `  C ) ) )  ->  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  ( F  o.  f ) ) `
 n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( ( F  o.  f ) `  n
) ) )
35 f1of 5480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : ( 1 ... ( `  C )
)
-1-1-onto-> C  ->  f : ( 1 ... ( `  C
) ) --> C )
3635ad2antll 491 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  -> 
f : ( 1 ... ( `  C
) ) --> C )
37 fvco3 5608 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ( 1 ... ( `  C
) ) --> C  /\  n  e.  ( 1 ... ( `  C
) ) )  -> 
( ( F  o.  f ) `  n
)  =  ( F `
 ( f `  n ) ) )
3836, 37sylan 283 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C ) ) -1-1-onto-> C ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( `  C ) ) )  ->  ( ( F  o.  f ) `  n )  =  ( F `  ( f `
 n ) ) )
3938fveq2d 5538 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C ) ) -1-1-onto-> C ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( `  C ) ) )  ->  ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 ( ( F  o.  f ) `  n ) )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  ( f `
 n ) ) ) )
4034, 39eqtrd 2222 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C ) ) -1-1-onto-> C ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( `  C ) ) )  ->  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  ( F  o.  f ) ) `
 n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  ( f `
 n ) ) ) )
4117, 18, 19, 27, 40fsum3 11430 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  sum_ m  e.  C  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  m )
)  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  C ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  ( F  o.  f
) ) `  n
) ,  0 ) ) ) `  ( `  C ) ) )
42 eqid 2189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( k  e.  A  |->  B )
43 fsumf1o.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  G  ->  B  =  D )
44 fsumf1o.4 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  ( F `  n )  =  G )
4521ffvelcdmda 5672 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  ( F `  n )  e.  A )
4644, 45eqeltrrd 2267 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  G  e.  A )
4743eleq1d 2258 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  G  ->  ( B  e.  CC  <->  D  e.  CC ) )
4823ralrimiva 2563 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
4948adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
5047, 49, 46rspcdva 2861 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  D  e.  CC )
5142, 43, 46, 50fvmptd3 5630 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  G
)  =  D )
5244fveq2d 5538 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  n )
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  G ) )
53 simpr 110 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  n  e.  C )
54 eqid 2189 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  C  |->  D )  =  ( n  e.  C  |->  D )
5554fvmpt2 5620 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  C  /\  D  e.  CC )  ->  ( ( n  e.  C  |->  D ) `  n )  =  D )
5653, 50, 55syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  (
( n  e.  C  |->  D ) `  n
)  =  D )
5751, 52, 563eqtr4rd 2233 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  (
( n  e.  C  |->  D ) `  n
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `
 n ) ) )
5857ralrimiva 2563 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. n  e.  C  ( ( n  e.  C  |->  D ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  n )
) )
59 nffvmpt1 5545 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n
( ( n  e.  C  |->  D ) `  m )
6059nfeq1 2342 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ n
( ( n  e.  C  |->  D ) `  m )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  m )
)
61 fveq2 5534 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  m  ->  (
( n  e.  C  |->  D ) `  n
)  =  ( ( n  e.  C  |->  D ) `  m ) )
62 2fveq3 5539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  m  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  n )
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `
 m ) ) )
6361, 62eqeq12d 2204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( n  e.  C  |->  D ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  n )
)  <->  ( ( n  e.  C  |->  D ) `
 m )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  m ) ) ) )
6460, 63rspc 2850 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  C  ->  ( A. n  e.  C  ( ( n  e.  C  |->  D ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  n )
)  ->  ( (
n  e.  C  |->  D ) `  m )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 ( F `  m ) ) ) )
6558, 64mpan9 281 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  C )  ->  (
( n  e.  C  |->  D ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `
 m ) ) )
6665adantlr 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C ) ) -1-1-onto-> C ) )  /\  m  e.  C )  ->  (
( n  e.  C  |->  D ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `
 m ) ) )
6766sumeq2dv 11411 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  sum_ m  e.  C  ( ( n  e.  C  |->  D ) `  m
)  =  sum_ m  e.  C  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  ( F `
 m ) ) )
68 fveq2 5534 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( ( F  o.  f ) `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( ( F  o.  f ) `
 n ) ) )
6924adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  -> 
( k  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
7069ffvelcdmda 5672 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C ) ) -1-1-onto-> C ) )  /\  m  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  e.  CC )
7168, 18, 30, 70, 34fsum3 11430 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  C ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  ( F  o.  f
) ) `  n
) ,  0 ) ) ) `  ( `  C ) ) )
7241, 67, 713eqtr4rd 2233 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  =  sum_ m  e.  C  ( (
n  e.  C  |->  D ) `  m ) )
73 sumfct 11417 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 m )  = 
sum_ k  e.  A  B )
7448, 73syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m )  =  sum_ k  e.  A  B
)
7574adantr 276 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  =  sum_ k  e.  A  B )
7650ralrimiva 2563 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. n  e.  C  D  e.  CC )
77 sumfct 11417 . . . . . . . 8  |-  ( A. n  e.  C  D  e.  CC  ->  sum_ m  e.  C  ( ( n  e.  C  |->  D ) `
 m )  = 
sum_ n  e.  C  D )
7876, 77syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  C  ( ( n  e.  C  |->  D ) `  m )  =  sum_ n  e.  C  D )
7978adantr 276 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  sum_ m  e.  C  ( ( n  e.  C  |->  D ) `  m
)  =  sum_ n  e.  C  D )
8072, 75, 793eqtr3d 2230 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ n  e.  C  D )
8180expr 375 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( `  C
)  e.  NN )  ->  ( f : ( 1 ... ( `  C ) ) -1-1-onto-> C  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ n  e.  C  D ) )
8281exlimdv 1830 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( `  C
)  e.  NN )  ->  ( E. f 
f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ n  e.  C  D ) )
8382expimpd 363 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( `  C
)  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C )  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ n  e.  C  D
) )
84 fsumf1o.2 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  Fin )
85 fz1f1o 11418 . . 3  |-  ( C  e.  Fin  ->  ( C  =  (/)  \/  (
( `  C )  e.  NN  /\  E. f 
f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C ) ) )
8684, 85syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  =  (/)  \/  ( ( `  C
)  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C ) ) )
8716, 83, 86mpjaod 719 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  sum_ n  e.  C  D )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    \/ wo 709    = wceq 1364   E.wex 1503    e. wcel 2160   A.wral 2468   (/)c0 3437   ifcif 3549   class class class wbr 4018    |-> cmpt 4079    o. ccom 4648   -->wf 5231   -onto->wfo 5233   -1-1-onto->wf1o 5234   ` cfv 5235  (class class class)co 5897   Fincfn 6767   CCcc 7840   0cc0 7842   1c1 7843    + caddc 7845    <_ cle 8024   NNcn 8950   ...cfz 10040    seqcseq 10478  ♯chash 10790   sum_csu 11396
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959  ax-pre-mulext 7960  ax-arch 7961  ax-caucvg 7962
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-isom 5244  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-recs 6331  df-irdg 6396  df-frec 6417  df-1o 6442  df-oadd 6446  df-er 6560  df-en 6768  df-dom 6769  df-fin 6770  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-reap 8563  df-ap 8570  df-div 8661  df-inn 8951  df-2 9009  df-3 9010  df-4 9011  df-n0 9208  df-z 9285  df-uz 9560  df-q 9652  df-rp 9686  df-fz 10041  df-fzo 10175  df-seqfrec 10479  df-exp 10554  df-ihash 10791  df-cj 10886  df-re 10887  df-im 10888  df-rsqrt 11042  df-abs 11043  df-clim 11322  df-sumdc 11397
This theorem is referenced by:  fisumss  11435  fsum2dlemstep  11477  fsumcnv  11480  fsumrev  11486  fsumshft  11487  phisum  12275
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