Theorem fsumf1o 12138

Description: Re-index a finite sum using a bijection. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumf1o.1	|- ( k = G -> B = D )
fsumf1o.2	|- ( ph -> C e. Fin )
fsumf1o.3	|- ( ph -> F : C -1-1-onto-> A )
fsumf1o.4	|- ( ( ph /\ n e. C ) -> ( F ` n ) = G )
fsumf1o.5	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fsumf1o	|- ( ph -> sum_ k e. A B = sum_ n e. C D )

Distinct variable groups:   k, n, A   B, n   C, n   D, k   n, F   k, G   ph, k, n

Allowed substitution hints:   B( k)   C( k)   D( n)   F( k)   G( n)

Proof of Theorem fsumf1o

Dummy variables f m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sum0 12136	. . . 4 |- sum_ k e. (/) B = 0
2		fsumf1o.3	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : C -1-1-onto-> A )
3		f1oeq2 5626	. . . . . . . 8 |- ( C = (/) -> ( F : C -1-1-onto-> A <-> F : (/) -1-1-onto-> A ) )
4	2, 3	syl5ibcom 155	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( C = (/) -> F : (/) -1-1-onto-> A ) )
5	4	imp 124	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ C = (/) ) -> F : (/) -1-1-onto-> A )
6		f1ofo 5644	. . . . . 6 |- ( F : (/) -1-1-onto-> A -> F : (/) -onto-> A )
7		fo00 5675	. . . . . . 7 |- ( F : (/) -onto-> A <-> ( F = (/) /\ A = (/) ) )
8	7	simprbi 275	. . . . . 6 |- ( F : (/) -onto-> A -> A = (/) )
9	5, 6, 8	3syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C = (/) ) -> A = (/) )
10	9	sumeq1d 12113	. . . 4 |- ( ( ph /\ C = (/) ) -> sum_ k e. A B = sum_ k e. (/) B )
11		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ C = (/) ) -> C = (/) )
12	11	sumeq1d 12113	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C = (/) ) -> sum_ n e. C D = sum_ n e. (/) D )
13		sum0 12136	. . . . 5 |- sum_ n e. (/) D = 0
14	12, 13	eqtrdi 2287	. . . 4 |- ( ( ph /\ C = (/) ) -> sum_ n e. C D = 0 )
15	1, 10, 14	3eqtr4a 2297	. . 3 |- ( ( ph /\ C = (/) ) -> sum_ k e. A B = sum_ n e. C D )
16	15	ex 115	. 2 |- ( ph -> ( C = (/) -> sum_ k e. A B = sum_ n e. C D ) )
17		2fveq3 5698	. . . . . . . 8 |- ( m = ( f ` n ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` ( f ` n ) ) ) )
18		simprl 535	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> (♯ ` C ) e. NN )
19		simprr 537	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C )
20		f1of 5637	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : C -1-1-onto-> A -> F : C --> A )
21	2, 20	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : C --> A )
22	21	ffvelcdmda 5837	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. C ) -> ( F ` m ) e. A )
23		fsumf1o.5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
24	23	fmpttd 5857	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( k e. A |-> B ) : A --> CC )
25	24	ffvelcdmda 5837	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( F ` m ) e. A ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) e. CC )
26	22, 25	syldan 282	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. C ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) e. CC )
27	26	adantlr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) /\ m e. C ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) e. CC )
28	2	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> F : C -1-1-onto-> A )
29		f1oco 5660	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : C -1-1-onto-> A /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) -> ( F o. f ) : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> A )
30	28, 19, 29	syl2anc 415	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> ( F o. f ) : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> A )
31		f1of 5637	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F o. f ) : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> A -> ( F o. f ) : ( 1 ... (♯ ` C ) ) --> A )
32	30, 31	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> ( F o. f ) : ( 1 ... (♯ ` C ) ) --> A )
33		fvco3 5773	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F o. f ) : ( 1 ... (♯ ` C ) ) --> A /\ n e. ( 1 ... (♯ ` C ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. ( F o. f ) ) ` n ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( ( F o. f ) ` n ) ) )
34	32, 33	sylan 283	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) /\ n e. ( 1 ... (♯ ` C ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. ( F o. f ) ) ` n ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( ( F o. f ) ` n ) ) )
35		f1of 5637	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C -> f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) --> C )
36	35	ad2antll 495	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) --> C )
37		fvco3 5773	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) --> C /\ n e. ( 1 ... (♯ ` C ) ) ) -> ( ( F o. f ) ` n ) = ( F ` ( f ` n ) ) )
38	36, 37	sylan 283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) /\ n e. ( 1 ... (♯ ` C ) ) ) -> ( ( F o. f ) ` n ) = ( F ` ( f ` n ) ) )
39	38	fveq2d 5697	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) /\ n e. ( 1 ... (♯ ` C ) ) ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` ( ( F o. f ) ` n ) ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` ( f ` n ) ) ) )
40	34, 39	eqtrd 2271	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) /\ n e. ( 1 ... (♯ ` C ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. ( F o. f ) ) ` n ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` ( f ` n ) ) ) )
41	17, 18, 19, 27, 40	fsum3 12135	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> sum_ m e. C ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` C ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. ( F o. f ) ) ` n ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` C ) ) )
42		eqid 2238	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. A |-> B ) = ( k e. A |-> B )
43		fsumf1o.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = G -> B = D )
44		fsumf1o.4	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> ( F ` n ) = G )
45	21	ffvelcdmda 5837	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> ( F ` n ) e. A )
46	44, 45	eqeltrrd 2316	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> G e. A )
47	43	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = G -> ( B e. CC <-> D e. CC ) )
48	23	ralrimiva 2623	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. k e. A B e. CC )
49	48	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> A. k e. A B e. CC )
50	47, 49, 46	rspcdva 2934	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> D e. CC )
51	42, 43, 46, 50	fvmptd3 5796	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` G ) = D )
52	44	fveq2d 5697	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` n ) ) = ( ( k e. A |-> B ) ` G ) )
53		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> n e. C )
54		eqid 2238	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. C |-> D ) = ( n e. C |-> D )
55	54	fvmpt2 5786	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. C /\ D e. CC ) -> ( ( n e. C |-> D ) ` n ) = D )
56	53, 50, 55	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> ( ( n e. C |-> D ) ` n ) = D )
57	51, 52, 56	3eqtr4rd 2282	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> ( ( n e. C |-> D ) ` n ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` n ) ) )
58	57	ralrimiva 2623	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. n e. C ( ( n e. C |-> D ) ` n ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` n ) ) )
59		nffvmpt1 5704	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ n ( ( n e. C |-> D ) ` m )
60	59	nfeq1 2402	. . . . . . . . . . 11 |- F/ n ( ( n e. C |-> D ) ` m ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) )
61		fveq2 5693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = m -> ( ( n e. C |-> D ) ` n ) = ( ( n e. C |-> D ) ` m ) )
62		2fveq3 5698	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = m -> ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` n ) ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) )
63	61, 62	eqeq12d 2253	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = m -> ( ( ( n e. C |-> D ) ` n ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` n ) ) <-> ( ( n e. C |-> D ) ` m ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) ) )
64	60, 63	rspc 2923	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. C -> ( A. n e. C ( ( n e. C |-> D ) ` n ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` n ) ) -> ( ( n e. C |-> D ) ` m ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) ) )
65	58, 64	mpan9 281	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. C ) -> ( ( n e. C |-> D ) ` m ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) )
66	65	adantlr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) /\ m e. C ) -> ( ( n e. C |-> D ) ` m ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) )
67	66	sumeq2dv 12115	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> sum_ m e. C ( ( n e. C |-> D ) ` m ) = sum_ m e. C ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) )
68		fveq2 5693	. . . . . . . 8 |- ( m = ( ( F o. f ) ` n ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( ( F o. f ) ` n ) ) )
69	24	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> ( k e. A |-> B ) : A --> CC )
70	69	ffvelcdmda 5837	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` m ) e. CC )
71	68, 18, 30, 70, 34	fsum3 12135	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` C ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. ( F o. f ) ) ` n ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` C ) ) )
72	41, 67, 71	3eqtr4rd 2282	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = sum_ m e. C ( ( n e. C |-> D ) ` m ) )
73		sumfct 12121	. . . . . . . 8 |- ( A. k e. A B e. CC -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = sum_ k e. A B )
74	48, 73	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = sum_ k e. A B )
75	74	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = sum_ k e. A B )
76	50	ralrimiva 2623	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. n e. C D e. CC )
77		sumfct 12121	. . . . . . . 8 |- ( A. n e. C D e. CC -> sum_ m e. C ( ( n e. C |-> D ) ` m ) = sum_ n e. C D )
78	76, 77	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ m e. C ( ( n e. C |-> D ) ` m ) = sum_ n e. C D )
79	78	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> sum_ m e. C ( ( n e. C |-> D ) ` m ) = sum_ n e. C D )
80	72, 75, 79	3eqtr3d 2279	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> sum_ k e. A B = sum_ n e. C D )
81	80	expr 375	. . . 4 |- ( ( ph /\ (♯ ` C ) e. NN ) -> ( f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C -> sum_ k e. A B = sum_ n e. C D ) )
82	81	exlimdv 1872	. . 3 |- ( ( ph /\ (♯ ` C ) e. NN ) -> ( E. f f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C -> sum_ k e. A B = sum_ n e. C D ) )
83	82	expimpd 363	. 2 |- ( ph -> ( ( (♯ ` C ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) -> sum_ k e. A B = sum_ n e. C D ) )
84		fsumf1o.2	. . 3 |- ( ph -> C e. Fin )
85		fz1f1o 12122	. . 3 |- ( C e. Fin -> ( C = (/) \/ ( (♯ ` C ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) )
86	84, 85	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( C = (/) \/ ( (♯ ` C ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) )
87	16, 83, 86	mpjaod 730	1 |- ( ph -> sum_ k e. A B = sum_ n e. C D )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 720   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   A.wral 2528   (/)c0 3520   ifcif 3638   class class class wbr 4128   |-> cmpt 4190   o. ccom 4776   -->wf 5371   -onto->wfo 5373   -1-1-onto->wf1o 5374   ` cfv 5375  (class class class)co 6078   Fincfn 7015   CCcc 8170   0cc0 8172   1c1 8173   + caddc 8175   <_ cle 8354   NNcn 9286   ...cfz 10393   seqcseq 10865  ♯chash 11195   sum_csu 12100

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8263  ax-resscn 8264  ax-1cn 8265  ax-1re 8266  ax-icn 8267  ax-addcl 8268  ax-addrcl 8269  ax-mulcl 8270  ax-mulrcl 8271  ax-addcom 8272  ax-mulcom 8273  ax-addass 8274  ax-mulass 8275  ax-distr 8276  ax-i2m1 8277  ax-0lt1 8278  ax-1rid 8279  ax-0id 8280  ax-rnegex 8281  ax-precex 8282  ax-cnre 8283  ax-pre-ltirr 8284  ax-pre-ltwlin 8285  ax-pre-lttrn 8286  ax-pre-apti 8287  ax-pre-ltadd 8288  ax-pre-mulgt0 8289  ax-pre-mulext 8290  ax-arch 8291  ax-caucvg 8292

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-isom 5384  df-riota 6031  df-ov 6081  df-oprab 6082  df-mpo 6083  df-1st 6367  df-2nd 6368  df-recs 6569  df-irdg 6634  df-frec 6655  df-1o 6680  df-oadd 6684  df-er 6800  df-en 7016  df-dom 7017  df-fin 7018  df-pnf 8355  df-mnf 8356  df-xr 8357  df-ltxr 8358  df-le 8359  df-sub 8492  df-neg 8493  df-reap 8896  df-ap 8903  df-div 8996  df-inn 9287  df-2 9345  df-3 9346  df-4 9347  df-n0 9546  df-z 9627  df-uz 9904  df-q 10002  df-rp 10037  df-fz 10394  df-fzo 10531  df-seqfrec 10866  df-exp 10957  df-ihash 11196  df-cj 11588  df-re 11589  df-im 11590  df-rsqrt 11745  df-abs 11746  df-clim 12026  df-sumdc 12101

This theorem is referenced by:  fisumss  12140  fsum2dlemstep  12182  fsumcnv  12185  fsumrev  12191  fsumshft  12192  phisum  13000  fsumdvdsmul  16022  sgmppw  16023