Theorem fsumf1o 11331

Description: Re-index a finite sum using a bijection. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumf1o.1	|- ( k = G -> B = D )
fsumf1o.2	|- ( ph -> C e. Fin )
fsumf1o.3	|- ( ph -> F : C -1-1-onto-> A )
fsumf1o.4	|- ( ( ph /\ n e. C ) -> ( F ` n ) = G )
fsumf1o.5	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fsumf1o	|- ( ph -> sum_ k e. A B = sum_ n e. C D )

Distinct variable groups:   k, n, A   B, n   C, n   D, k   n, F   k, G   ph, k, n

Allowed substitution hints:   B( k)   C( k)   D( n)   F( k)   G( n)

Proof of Theorem fsumf1o

Dummy variables f m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sum0 11329	. . . 4 |- sum_ k e. (/) B = 0
2		fsumf1o.3	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : C -1-1-onto-> A )
3		f1oeq2 5422	. . . . . . . 8 |- ( C = (/) -> ( F : C -1-1-onto-> A <-> F : (/) -1-1-onto-> A ) )
4	2, 3	syl5ibcom 154	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( C = (/) -> F : (/) -1-1-onto-> A ) )
5	4	imp 123	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ C = (/) ) -> F : (/) -1-1-onto-> A )
6		f1ofo 5439	. . . . . 6 |- ( F : (/) -1-1-onto-> A -> F : (/) -onto-> A )
7		fo00 5468	. . . . . . 7 |- ( F : (/) -onto-> A <-> ( F = (/) /\ A = (/) ) )
8	7	simprbi 273	. . . . . 6 |- ( F : (/) -onto-> A -> A = (/) )
9	5, 6, 8	3syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C = (/) ) -> A = (/) )
10	9	sumeq1d 11307	. . . 4 |- ( ( ph /\ C = (/) ) -> sum_ k e. A B = sum_ k e. (/) B )
11		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ C = (/) ) -> C = (/) )
12	11	sumeq1d 11307	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C = (/) ) -> sum_ n e. C D = sum_ n e. (/) D )
13		sum0 11329	. . . . 5 |- sum_ n e. (/) D = 0
14	12, 13	eqtrdi 2215	. . . 4 |- ( ( ph /\ C = (/) ) -> sum_ n e. C D = 0 )
15	1, 10, 14	3eqtr4a 2225	. . 3 |- ( ( ph /\ C = (/) ) -> sum_ k e. A B = sum_ n e. C D )
16	15	ex 114	. 2 |- ( ph -> ( C = (/) -> sum_ k e. A B = sum_ n e. C D ) )
17		2fveq3 5491	. . . . . . . 8 |- ( m = ( f ` n ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` ( f ` n ) ) ) )
18		simprl 521	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> (♯ ` C ) e. NN )
19		simprr 522	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C )
20		f1of 5432	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : C -1-1-onto-> A -> F : C --> A )
21	2, 20	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : C --> A )
22	21	ffvelrnda 5620	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. C ) -> ( F ` m ) e. A )
23		fsumf1o.5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
24	23	fmpttd 5640	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( k e. A |-> B ) : A --> CC )
25	24	ffvelrnda 5620	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( F ` m ) e. A ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) e. CC )
26	22, 25	syldan 280	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. C ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) e. CC )
27	26	adantlr 469	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) /\ m e. C ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) e. CC )
28	2	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> F : C -1-1-onto-> A )
29		f1oco 5455	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : C -1-1-onto-> A /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) -> ( F o. f ) : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> A )
30	28, 19, 29	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> ( F o. f ) : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> A )
31		f1of 5432	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F o. f ) : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> A -> ( F o. f ) : ( 1 ... (♯ ` C ) ) --> A )
32	30, 31	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> ( F o. f ) : ( 1 ... (♯ ` C ) ) --> A )
33		fvco3 5557	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F o. f ) : ( 1 ... (♯ ` C ) ) --> A /\ n e. ( 1 ... (♯ ` C ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. ( F o. f ) ) ` n ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( ( F o. f ) ` n ) ) )
34	32, 33	sylan 281	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) /\ n e. ( 1 ... (♯ ` C ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. ( F o. f ) ) ` n ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( ( F o. f ) ` n ) ) )
35		f1of 5432	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C -> f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) --> C )
36	35	ad2antll 483	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) --> C )
37		fvco3 5557	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) --> C /\ n e. ( 1 ... (♯ ` C ) ) ) -> ( ( F o. f ) ` n ) = ( F ` ( f ` n ) ) )
38	36, 37	sylan 281	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) /\ n e. ( 1 ... (♯ ` C ) ) ) -> ( ( F o. f ) ` n ) = ( F ` ( f ` n ) ) )
39	38	fveq2d 5490	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) /\ n e. ( 1 ... (♯ ` C ) ) ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` ( ( F o. f ) ` n ) ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` ( f ` n ) ) ) )
40	34, 39	eqtrd 2198	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) /\ n e. ( 1 ... (♯ ` C ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. ( F o. f ) ) ` n ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` ( f ` n ) ) ) )
41	17, 18, 19, 27, 40	fsum3 11328	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> sum_ m e. C ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` C ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. ( F o. f ) ) ` n ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` C ) ) )
42		eqid 2165	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. A |-> B ) = ( k e. A |-> B )
43		fsumf1o.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = G -> B = D )
44		fsumf1o.4	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> ( F ` n ) = G )
45	21	ffvelrnda 5620	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> ( F ` n ) e. A )
46	44, 45	eqeltrrd 2244	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> G e. A )
47	43	eleq1d 2235	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = G -> ( B e. CC <-> D e. CC ) )
48	23	ralrimiva 2539	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. k e. A B e. CC )
49	48	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> A. k e. A B e. CC )
50	47, 49, 46	rspcdva 2835	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> D e. CC )
51	42, 43, 46, 50	fvmptd3 5579	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` G ) = D )
52	44	fveq2d 5490	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` n ) ) = ( ( k e. A |-> B ) ` G ) )
53		simpr 109	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> n e. C )
54		eqid 2165	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. C |-> D ) = ( n e. C |-> D )
55	54	fvmpt2 5569	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. C /\ D e. CC ) -> ( ( n e. C |-> D ) ` n ) = D )
56	53, 50, 55	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> ( ( n e. C |-> D ) ` n ) = D )
57	51, 52, 56	3eqtr4rd 2209	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> ( ( n e. C |-> D ) ` n ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` n ) ) )
58	57	ralrimiva 2539	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. n e. C ( ( n e. C |-> D ) ` n ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` n ) ) )
59		nffvmpt1 5497	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ n ( ( n e. C |-> D ) ` m )
60	59	nfeq1 2318	. . . . . . . . . . 11 |- F/ n ( ( n e. C |-> D ) ` m ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) )
61		fveq2 5486	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = m -> ( ( n e. C |-> D ) ` n ) = ( ( n e. C |-> D ) ` m ) )
62		2fveq3 5491	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = m -> ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` n ) ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) )
63	61, 62	eqeq12d 2180	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = m -> ( ( ( n e. C |-> D ) ` n ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` n ) ) <-> ( ( n e. C |-> D ) ` m ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) ) )
64	60, 63	rspc 2824	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. C -> ( A. n e. C ( ( n e. C |-> D ) ` n ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` n ) ) -> ( ( n e. C |-> D ) ` m ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) ) )
65	58, 64	mpan9 279	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. C ) -> ( ( n e. C |-> D ) ` m ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) )
66	65	adantlr 469	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) /\ m e. C ) -> ( ( n e. C |-> D ) ` m ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) )
67	66	sumeq2dv 11309	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> sum_ m e. C ( ( n e. C |-> D ) ` m ) = sum_ m e. C ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) )
68		fveq2 5486	. . . . . . . 8 |- ( m = ( ( F o. f ) ` n ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( ( F o. f ) ` n ) ) )
69	24	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> ( k e. A |-> B ) : A --> CC )
70	69	ffvelrnda 5620	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` m ) e. CC )
71	68, 18, 30, 70, 34	fsum3 11328	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` C ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. ( F o. f ) ) ` n ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` C ) ) )
72	41, 67, 71	3eqtr4rd 2209	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = sum_ m e. C ( ( n e. C |-> D ) ` m ) )
73		sumfct 11315	. . . . . . . 8 |- ( A. k e. A B e. CC -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = sum_ k e. A B )
74	48, 73	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = sum_ k e. A B )
75	74	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = sum_ k e. A B )
76	50	ralrimiva 2539	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. n e. C D e. CC )
77		sumfct 11315	. . . . . . . 8 |- ( A. n e. C D e. CC -> sum_ m e. C ( ( n e. C |-> D ) ` m ) = sum_ n e. C D )
78	76, 77	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ m e. C ( ( n e. C |-> D ) ` m ) = sum_ n e. C D )
79	78	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> sum_ m e. C ( ( n e. C |-> D ) ` m ) = sum_ n e. C D )
80	72, 75, 79	3eqtr3d 2206	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> sum_ k e. A B = sum_ n e. C D )
81	80	expr 373	. . . 4 |- ( ( ph /\ (♯ ` C ) e. NN ) -> ( f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C -> sum_ k e. A B = sum_ n e. C D ) )
82	81	exlimdv 1807	. . 3 |- ( ( ph /\ (♯ ` C ) e. NN ) -> ( E. f f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C -> sum_ k e. A B = sum_ n e. C D ) )
83	82	expimpd 361	. 2 |- ( ph -> ( ( (♯ ` C ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) -> sum_ k e. A B = sum_ n e. C D ) )
84		fsumf1o.2	. . 3 |- ( ph -> C e. Fin )
85		fz1f1o 11316	. . 3 |- ( C e. Fin -> ( C = (/) \/ ( (♯ ` C ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) )
86	84, 85	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( C = (/) \/ ( (♯ ` C ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) )
87	16, 83, 86	mpjaod 708	1 |- ( ph -> sum_ k e. A B = sum_ n e. C D )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 698   = wceq 1343   E.wex 1480   e. wcel 2136   A.wral 2444   (/)c0 3409   ifcif 3520   class class class wbr 3982   |-> cmpt 4043   o. ccom 4608   -->wf 5184   -onto->wfo 5186   -1-1-onto->wf1o 5187   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   Fincfn 6706   CCcc 7751   0cc0 7753   1c1 7754   + caddc 7756   <_ cle 7934   NNcn 8857   ...cfz 9944   seqcseq 10380  ♯chash 10688   sum_csu 11294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-frec 6359  df-1o 6384  df-oadd 6388  df-er 6501  df-en 6707  df-dom 6708  df-fin 6709  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-fz 9945  df-fzo 10078  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-ihash 10689  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-clim 11220  df-sumdc 11295

This theorem is referenced by:  fisumss  11333  fsum2dlemstep  11375  fsumcnv  11378  fsumrev  11384  fsumshft  11385  phisum  12172