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Theorem fsumf1o 10744
Description: Re-index a finite sum using a bijection. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumf1o.1  |-  ( k  =  G  ->  B  =  D )
fsumf1o.2  |-  ( ph  ->  C  e.  Fin )
fsumf1o.3  |-  ( ph  ->  F : C -1-1-onto-> A )
fsumf1o.4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  ( F `  n )  =  G )
fsumf1o.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
fsumf1o  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  sum_ n  e.  C  D )
Distinct variable groups:    k, n, A    B, n    C, n    D, k    n, F    k, G    ph, k, n
Allowed substitution hints:    B( k)    C( k)    D( n)    F( k)    G( n)

Proof of Theorem fsumf1o
Dummy variables  f  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sum0 10742 . . . 4  |-  sum_ k  e.  (/)  B  =  0
2 fsumf1o.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : C -1-1-onto-> A )
3 f1oeq2 5229 . . . . . . . 8  |-  ( C  =  (/)  ->  ( F : C -1-1-onto-> A  <->  F : (/) -1-1-onto-> A ) )
42, 3syl5ibcom 153 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( C  =  (/)  ->  F : (/) -1-1-onto-> A ) )
54imp 122 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  =  (/) )  ->  F : (/) -1-1-onto-> A )
6 f1ofo 5244 . . . . . 6  |-  ( F : (/)
-1-1-onto-> A  ->  F : (/) -onto-> A )
7 fo00 5273 . . . . . . 7  |-  ( F : (/) -onto-> A  <->  ( F  =  (/)  /\  A  =  (/) ) )
87simprbi 269 . . . . . 6  |-  ( F : (/) -onto-> A  ->  A  =  (/) )
95, 6, 83syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  =  (/) )  ->  A  =  (/) )
109sumeq1d 10718 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  =  (/) )  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ k  e.  (/)  B )
11 simpr 108 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  =  (/) )  ->  C  =  (/) )
1211sumeq1d 10718 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  =  (/) )  ->  sum_ n  e.  C  D  =  sum_ n  e.  (/)  D )
13 sum0 10742 . . . . 5  |-  sum_ n  e.  (/)  D  =  0
1412, 13syl6eq 2136 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  =  (/) )  ->  sum_ n  e.  C  D  =  0 )
151, 10, 143eqtr4a 2146 . . 3  |-  ( (
ph  /\  C  =  (/) )  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ n  e.  C  D )
1615ex 113 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  =  (/)  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  sum_ n  e.  C  D ) )
17 2fveq3 5294 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  m )
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `
 ( f `  n ) ) ) )
18 simprl 498 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  -> 
( `  C )  e.  NN )
19 simprr 499 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  -> 
f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C )
20 f1of 5237 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : C -1-1-onto-> A  ->  F : C
--> A )
212, 20syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : C --> A )
2221ffvelrnda 5418 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  C )  ->  ( F `  m )  e.  A )
23 fsumf1o.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
2423fmpttd 5437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
2524ffvelrnda 5418 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( F `  m )  e.  A
)  ->  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  ( F `
 m ) )  e.  CC )
2622, 25syldan 276 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  C )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  m )
)  e.  CC )
2726adantlr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C ) ) -1-1-onto-> C ) )  /\  m  e.  C )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  m )
)  e.  CC )
282adantr 270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  F : C -1-1-onto-> A )
29 f1oco 5260 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : C -1-1-onto-> A  /\  f : ( 1 ... ( `  C )
)
-1-1-onto-> C )  ->  ( F  o.  f ) : ( 1 ... ( `  C )
)
-1-1-onto-> A )
3028, 19, 29syl2anc 403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  -> 
( F  o.  f
) : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> A )
31 f1of 5237 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  o.  f ) : ( 1 ... ( `  C )
)
-1-1-onto-> A  ->  ( F  o.  f ) : ( 1 ... ( `  C
) ) --> A )
3230, 31syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  -> 
( F  o.  f
) : ( 1 ... ( `  C
) ) --> A )
33 fvco3 5359 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  o.  f
) : ( 1 ... ( `  C
) ) --> A  /\  n  e.  ( 1 ... ( `  C
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  ( F  o.  f ) ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
( F  o.  f
) `  n )
) )
3432, 33sylan 277 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C ) ) -1-1-onto-> C ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( `  C ) ) )  ->  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  ( F  o.  f ) ) `
 n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( ( F  o.  f ) `  n
) ) )
35 f1of 5237 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : ( 1 ... ( `  C )
)
-1-1-onto-> C  ->  f : ( 1 ... ( `  C
) ) --> C )
3635ad2antll 475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  -> 
f : ( 1 ... ( `  C
) ) --> C )
37 fvco3 5359 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ( 1 ... ( `  C
) ) --> C  /\  n  e.  ( 1 ... ( `  C
) ) )  -> 
( ( F  o.  f ) `  n
)  =  ( F `
 ( f `  n ) ) )
3836, 37sylan 277 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C ) ) -1-1-onto-> C ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( `  C ) ) )  ->  ( ( F  o.  f ) `  n )  =  ( F `  ( f `
 n ) ) )
3938fveq2d 5293 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C ) ) -1-1-onto-> C ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( `  C ) ) )  ->  ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 ( ( F  o.  f ) `  n ) )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  ( f `
 n ) ) ) )
4034, 39eqtrd 2120 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C ) ) -1-1-onto-> C ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( `  C ) ) )  ->  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  ( F  o.  f ) ) `
 n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  ( f `
 n ) ) ) )
4117, 18, 19, 27, 40fisum 10740 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  sum_ m  e.  C  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  m )
)  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  C ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  ( F  o.  f
) ) `  n
) ,  0 ) ) ,  CC ) `
 ( `  C
) ) )
42 fsumf1o.4 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  ( F `  n )  =  G )
4321ffvelrnda 5418 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  ( F `  n )  e.  A )
4442, 43eqeltrrd 2165 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  G  e.  A )
45 fsumf1o.1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  G  ->  B  =  D )
4645eleq1d 2156 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  G  ->  ( B  e.  CC  <->  D  e.  CC ) )
4723ralrimiva 2446 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
4847adantr 270 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
4946, 48, 44rspcdva 2727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  D  e.  CC )
50 eqid 2088 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( k  e.  A  |->  B )
5145, 50fvmptg 5364 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  A  /\  D  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  G )  =  D )
5244, 49, 51syl2anc 403 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  G
)  =  D )
5342fveq2d 5293 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  n )
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  G ) )
54 simpr 108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  n  e.  C )
55 eqid 2088 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  C  |->  D )  =  ( n  e.  C  |->  D )
5655fvmpt2 5370 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  C  /\  D  e.  CC )  ->  ( ( n  e.  C  |->  D ) `  n )  =  D )
5754, 49, 56syl2anc 403 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  (
( n  e.  C  |->  D ) `  n
)  =  D )
5852, 53, 573eqtr4rd 2131 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  (
( n  e.  C  |->  D ) `  n
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `
 n ) ) )
5958ralrimiva 2446 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. n  e.  C  ( ( n  e.  C  |->  D ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  n )
) )
60 nffvmpt1 5300 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n
( ( n  e.  C  |->  D ) `  m )
6160nfeq1 2238 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ n
( ( n  e.  C  |->  D ) `  m )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  m )
)
62 fveq2 5289 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  m  ->  (
( n  e.  C  |->  D ) `  n
)  =  ( ( n  e.  C  |->  D ) `  m ) )
63 2fveq3 5294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  m  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  n )
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `
 m ) ) )
6462, 63eqeq12d 2102 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( n  e.  C  |->  D ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  n )
)  <->  ( ( n  e.  C  |->  D ) `
 m )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  m ) ) ) )
6561, 64rspc 2716 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  C  ->  ( A. n  e.  C  ( ( n  e.  C  |->  D ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  n )
)  ->  ( (
n  e.  C  |->  D ) `  m )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 ( F `  m ) ) ) )
6659, 65mpan9 275 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  C )  ->  (
( n  e.  C  |->  D ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `
 m ) ) )
6766adantlr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C ) ) -1-1-onto-> C ) )  /\  m  e.  C )  ->  (
( n  e.  C  |->  D ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `
 m ) ) )
6867sumeq2dv 10720 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  sum_ m  e.  C  ( ( n  e.  C  |->  D ) `  m
)  =  sum_ m  e.  C  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  ( F `
 m ) ) )
69 fveq2 5289 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( ( F  o.  f ) `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( ( F  o.  f ) `
 n ) ) )
7024adantr 270 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  -> 
( k  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
7170ffvelrnda 5418 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C ) ) -1-1-onto-> C ) )  /\  m  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  e.  CC )
7269, 18, 30, 71, 34fisum 10740 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  C ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  ( F  o.  f
) ) `  n
) ,  0 ) ) ,  CC ) `
 ( `  C
) ) )
7341, 68, 723eqtr4rd 2131 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  =  sum_ m  e.  C  ( (
n  e.  C  |->  D ) `  m ) )
74 sumfct 10726 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 m )  = 
sum_ k  e.  A  B )
7547, 74syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m )  =  sum_ k  e.  A  B
)
7675adantr 270 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  =  sum_ k  e.  A  B )
7749ralrimiva 2446 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. n  e.  C  D  e.  CC )
78 sumfct 10726 . . . . . . . 8  |-  ( A. n  e.  C  D  e.  CC  ->  sum_ m  e.  C  ( ( n  e.  C  |->  D ) `
 m )  = 
sum_ n  e.  C  D )
7977, 78syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  C  ( ( n  e.  C  |->  D ) `  m )  =  sum_ n  e.  C  D )
8079adantr 270 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  sum_ m  e.  C  ( ( n  e.  C  |->  D ) `  m
)  =  sum_ n  e.  C  D )
8173, 76, 803eqtr3d 2128 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ n  e.  C  D )
8281expr 367 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( `  C
)  e.  NN )  ->  ( f : ( 1 ... ( `  C ) ) -1-1-onto-> C  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ n  e.  C  D ) )
8382exlimdv 1747 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( `  C
)  e.  NN )  ->  ( E. f 
f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ n  e.  C  D ) )
8483expimpd 355 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( `  C
)  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C )  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ n  e.  C  D
) )
85 fsumf1o.2 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  Fin )
86 fz1f1o 10727 . . 3  |-  ( C  e.  Fin  ->  ( C  =  (/)  \/  (
( `  C )  e.  NN  /\  E. f 
f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C ) ) )
8785, 86syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  =  (/)  \/  ( ( `  C
)  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C ) ) )
8816, 84, 87mpjaod 673 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  sum_ n  e.  C  D )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    \/ wo 664    = wceq 1289   E.wex 1426    e. wcel 1438   A.wral 2359   (/)c0 3284   ifcif 3389   class class class wbr 3837    |-> cmpt 3891    o. ccom 4432   -->wf 4998   -onto->wfo 5000   -1-1-onto->wf1o 5001   ` cfv 5002  (class class class)co 5634   Fincfn 6437   CCcc 7327   0cc0 7329   1c1 7330    + caddc 7332    <_ cle 7502   NNcn 8394   ...cfz 9393    seqcseq4 9816  ♯chash 10147   sum_csu 10705
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442  ax-arch 7443  ax-caucvg 7444
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-iord 4184  df-on 4186  df-ilim 4187  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-isom 5011  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-irdg 6117  df-frec 6138  df-1o 6163  df-oadd 6167  df-er 6272  df-en 6438  df-dom 6439  df-fin 6440  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-inn 8395  df-2 8452  df-3 8453  df-4 8454  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-q 9074  df-rp 9104  df-fz 9394  df-fzo 9519  df-iseq 9818  df-seq3 9819  df-exp 9919  df-ihash 10148  df-cj 10240  df-re 10241  df-im 10242  df-rsqrt 10395  df-abs 10396  df-clim 10630  df-isum 10706
This theorem is referenced by:  fisumss  10746  fsum2dlemstep  10789  fsumcnv  10792  fsumrev  10798  fsumshft  10799
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