Theorem fsumf1o 11051

Description: Re-index a finite sum using a bijection. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumf1o.1	|- ( k = G -> B = D )
fsumf1o.2	|- ( ph -> C e. Fin )
fsumf1o.3	|- ( ph -> F : C -1-1-onto-> A )
fsumf1o.4	|- ( ( ph /\ n e. C ) -> ( F ` n ) = G )
fsumf1o.5	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fsumf1o	|- ( ph -> sum_ k e. A B = sum_ n e. C D )

Distinct variable groups:   k, n, A   B, n   C, n   D, k   n, F   k, G   ph, k, n

Allowed substitution hints:   B( k)   C( k)   D( n)   F( k)   G( n)

Proof of Theorem fsumf1o

Dummy variables f m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sum0 11049	. . . 4 |- sum_ k e. (/) B = 0
2		fsumf1o.3	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : C -1-1-onto-> A )
3		f1oeq2 5315	. . . . . . . 8 |- ( C = (/) -> ( F : C -1-1-onto-> A <-> F : (/) -1-1-onto-> A ) )
4	2, 3	syl5ibcom 154	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( C = (/) -> F : (/) -1-1-onto-> A ) )
5	4	imp 123	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ C = (/) ) -> F : (/) -1-1-onto-> A )
6		f1ofo 5330	. . . . . 6 |- ( F : (/) -1-1-onto-> A -> F : (/) -onto-> A )
7		fo00 5359	. . . . . . 7 |- ( F : (/) -onto-> A <-> ( F = (/) /\ A = (/) ) )
8	7	simprbi 271	. . . . . 6 |- ( F : (/) -onto-> A -> A = (/) )
9	5, 6, 8	3syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C = (/) ) -> A = (/) )
10	9	sumeq1d 11027	. . . 4 |- ( ( ph /\ C = (/) ) -> sum_ k e. A B = sum_ k e. (/) B )
11		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ C = (/) ) -> C = (/) )
12	11	sumeq1d 11027	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C = (/) ) -> sum_ n e. C D = sum_ n e. (/) D )
13		sum0 11049	. . . . 5 |- sum_ n e. (/) D = 0
14	12, 13	syl6eq 2163	. . . 4 |- ( ( ph /\ C = (/) ) -> sum_ n e. C D = 0 )
15	1, 10, 14	3eqtr4a 2173	. . 3 |- ( ( ph /\ C = (/) ) -> sum_ k e. A B = sum_ n e. C D )
16	15	ex 114	. 2 |- ( ph -> ( C = (/) -> sum_ k e. A B = sum_ n e. C D ) )
17		2fveq3 5380	. . . . . . . 8 |- ( m = ( f ` n ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` ( f ` n ) ) ) )
18		simprl 503	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> (♯ ` C ) e. NN )
19		simprr 504	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C )
20		f1of 5323	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : C -1-1-onto-> A -> F : C --> A )
21	2, 20	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : C --> A )
22	21	ffvelrnda 5509	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. C ) -> ( F ` m ) e. A )
23		fsumf1o.5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
24	23	fmpttd 5529	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( k e. A |-> B ) : A --> CC )
25	24	ffvelrnda 5509	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( F ` m ) e. A ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) e. CC )
26	22, 25	syldan 278	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. C ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) e. CC )
27	26	adantlr 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) /\ m e. C ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) e. CC )
28	2	adantr 272	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> F : C -1-1-onto-> A )
29		f1oco 5346	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : C -1-1-onto-> A /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) -> ( F o. f ) : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> A )
30	28, 19, 29	syl2anc 406	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> ( F o. f ) : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> A )
31		f1of 5323	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F o. f ) : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> A -> ( F o. f ) : ( 1 ... (♯ ` C ) ) --> A )
32	30, 31	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> ( F o. f ) : ( 1 ... (♯ ` C ) ) --> A )
33		fvco3 5446	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F o. f ) : ( 1 ... (♯ ` C ) ) --> A /\ n e. ( 1 ... (♯ ` C ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. ( F o. f ) ) ` n ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( ( F o. f ) ` n ) ) )
34	32, 33	sylan 279	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) /\ n e. ( 1 ... (♯ ` C ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. ( F o. f ) ) ` n ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( ( F o. f ) ` n ) ) )
35		f1of 5323	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C -> f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) --> C )
36	35	ad2antll 480	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) --> C )
37		fvco3 5446	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) --> C /\ n e. ( 1 ... (♯ ` C ) ) ) -> ( ( F o. f ) ` n ) = ( F ` ( f ` n ) ) )
38	36, 37	sylan 279	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) /\ n e. ( 1 ... (♯ ` C ) ) ) -> ( ( F o. f ) ` n ) = ( F ` ( f ` n ) ) )
39	38	fveq2d 5379	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) /\ n e. ( 1 ... (♯ ` C ) ) ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` ( ( F o. f ) ` n ) ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` ( f ` n ) ) ) )
40	34, 39	eqtrd 2147	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) /\ n e. ( 1 ... (♯ ` C ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. ( F o. f ) ) ` n ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` ( f ` n ) ) ) )
41	17, 18, 19, 27, 40	fsum3 11048	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> sum_ m e. C ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` C ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. ( F o. f ) ) ` n ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` C ) ) )
42		eqid 2115	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. A |-> B ) = ( k e. A |-> B )
43		fsumf1o.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = G -> B = D )
44		fsumf1o.4	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> ( F ` n ) = G )
45	21	ffvelrnda 5509	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> ( F ` n ) e. A )
46	44, 45	eqeltrrd 2192	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> G e. A )
47	43	eleq1d 2183	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = G -> ( B e. CC <-> D e. CC ) )
48	23	ralrimiva 2479	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. k e. A B e. CC )
49	48	adantr 272	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> A. k e. A B e. CC )
50	47, 49, 46	rspcdva 2765	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> D e. CC )
51	42, 43, 46, 50	fvmptd3 5468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` G ) = D )
52	44	fveq2d 5379	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` n ) ) = ( ( k e. A |-> B ) ` G ) )
53		simpr 109	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> n e. C )
54		eqid 2115	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. C |-> D ) = ( n e. C |-> D )
55	54	fvmpt2 5458	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. C /\ D e. CC ) -> ( ( n e. C |-> D ) ` n ) = D )
56	53, 50, 55	syl2anc 406	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> ( ( n e. C |-> D ) ` n ) = D )
57	51, 52, 56	3eqtr4rd 2158	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> ( ( n e. C |-> D ) ` n ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` n ) ) )
58	57	ralrimiva 2479	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. n e. C ( ( n e. C |-> D ) ` n ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` n ) ) )
59		nffvmpt1 5386	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ n ( ( n e. C |-> D ) ` m )
60	59	nfeq1 2265	. . . . . . . . . . 11 |- F/ n ( ( n e. C |-> D ) ` m ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) )
61		fveq2 5375	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = m -> ( ( n e. C |-> D ) ` n ) = ( ( n e. C |-> D ) ` m ) )
62		2fveq3 5380	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = m -> ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` n ) ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) )
63	61, 62	eqeq12d 2129	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = m -> ( ( ( n e. C |-> D ) ` n ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` n ) ) <-> ( ( n e. C |-> D ) ` m ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) ) )
64	60, 63	rspc 2754	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. C -> ( A. n e. C ( ( n e. C |-> D ) ` n ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` n ) ) -> ( ( n e. C |-> D ) ` m ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) ) )
65	58, 64	mpan9 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. C ) -> ( ( n e. C |-> D ) ` m ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) )
66	65	adantlr 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) /\ m e. C ) -> ( ( n e. C |-> D ) ` m ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) )
67	66	sumeq2dv 11029	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> sum_ m e. C ( ( n e. C |-> D ) ` m ) = sum_ m e. C ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) )
68		fveq2 5375	. . . . . . . 8 |- ( m = ( ( F o. f ) ` n ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( ( F o. f ) ` n ) ) )
69	24	adantr 272	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> ( k e. A |-> B ) : A --> CC )
70	69	ffvelrnda 5509	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` m ) e. CC )
71	68, 18, 30, 70, 34	fsum3 11048	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` C ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. ( F o. f ) ) ` n ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` C ) ) )
72	41, 67, 71	3eqtr4rd 2158	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = sum_ m e. C ( ( n e. C |-> D ) ` m ) )
73		sumfct 11035	. . . . . . . 8 |- ( A. k e. A B e. CC -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = sum_ k e. A B )
74	48, 73	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = sum_ k e. A B )
75	74	adantr 272	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = sum_ k e. A B )
76	50	ralrimiva 2479	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. n e. C D e. CC )
77		sumfct 11035	. . . . . . . 8 |- ( A. n e. C D e. CC -> sum_ m e. C ( ( n e. C |-> D ) ` m ) = sum_ n e. C D )
78	76, 77	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ m e. C ( ( n e. C |-> D ) ` m ) = sum_ n e. C D )
79	78	adantr 272	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> sum_ m e. C ( ( n e. C |-> D ) ` m ) = sum_ n e. C D )
80	72, 75, 79	3eqtr3d 2155	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> sum_ k e. A B = sum_ n e. C D )
81	80	expr 370	. . . 4 |- ( ( ph /\ (♯ ` C ) e. NN ) -> ( f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C -> sum_ k e. A B = sum_ n e. C D ) )
82	81	exlimdv 1773	. . 3 |- ( ( ph /\ (♯ ` C ) e. NN ) -> ( E. f f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C -> sum_ k e. A B = sum_ n e. C D ) )
83	82	expimpd 358	. 2 |- ( ph -> ( ( (♯ ` C ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) -> sum_ k e. A B = sum_ n e. C D ) )
84		fsumf1o.2	. . 3 |- ( ph -> C e. Fin )
85		fz1f1o 11036	. . 3 |- ( C e. Fin -> ( C = (/) \/ ( (♯ ` C ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) )
86	84, 85	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( C = (/) \/ ( (♯ ` C ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) )
87	16, 83, 86	mpjaod 690	1 |- ( ph -> sum_ k e. A B = sum_ n e. C D )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 680   = wceq 1314   E.wex 1451   e. wcel 1463   A.wral 2390   (/)c0 3329   ifcif 3440   class class class wbr 3895   |-> cmpt 3949   o. ccom 4503   -->wf 5077   -onto->wfo 5079   -1-1-onto->wf1o 5080   ` cfv 5081  (class class class)co 5728   Fincfn 6588   CCcc 7545   0cc0 7547   1c1 7548   + caddc 7550   <_ cle 7725   NNcn 8630   ...cfz 9683   seqcseq 10111  ♯chash 10414   sum_csu 11014

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-iinf 4462  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-1re 7639  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-mulrcl 7644  ax-addcom 7645  ax-mulcom 7646  ax-addass 7647  ax-mulass 7648  ax-distr 7649  ax-i2m1 7650  ax-0lt1 7651  ax-1rid 7652  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-precex 7655  ax-cnre 7656  ax-pre-ltirr 7657  ax-pre-ltwlin 7658  ax-pre-lttrn 7659  ax-pre-apti 7660  ax-pre-ltadd 7661  ax-pre-mulgt0 7662  ax-pre-mulext 7663  ax-arch 7664  ax-caucvg 7665

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rmo 2398  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-if 3441  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-tr 3987  df-id 4175  df-po 4178  df-iso 4179  df-iord 4248  df-on 4250  df-ilim 4251  df-suc 4253  df-iom 4465  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-isom 5090  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-recs 6156  df-irdg 6221  df-frec 6242  df-1o 6267  df-oadd 6271  df-er 6383  df-en 6589  df-dom 6590  df-fin 6591  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-ltxr 7729  df-le 7730  df-sub 7858  df-neg 7859  df-reap 8255  df-ap 8262  df-div 8346  df-inn 8631  df-2 8689  df-3 8690  df-4 8691  df-n0 8882  df-z 8959  df-uz 9229  df-q 9314  df-rp 9344  df-fz 9684  df-fzo 9813  df-seqfrec 10112  df-exp 10186  df-ihash 10415  df-cj 10507  df-re 10508  df-im 10509  df-rsqrt 10662  df-abs 10663  df-clim 10940  df-sumdc 11015

This theorem is referenced by:  fisumss  11053  fsum2dlemstep  11095  fsumcnv  11098  fsumrev  11104  fsumshft  11105