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Theorem fsumf1o 11051
Description: Re-index a finite sum using a bijection. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumf1o.1  |-  ( k  =  G  ->  B  =  D )
fsumf1o.2  |-  ( ph  ->  C  e.  Fin )
fsumf1o.3  |-  ( ph  ->  F : C -1-1-onto-> A )
fsumf1o.4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  ( F `  n )  =  G )
fsumf1o.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
fsumf1o  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  sum_ n  e.  C  D )
Distinct variable groups:    k, n, A    B, n    C, n    D, k    n, F    k, G    ph, k, n
Allowed substitution hints:    B( k)    C( k)    D( n)    F( k)    G( n)

Proof of Theorem fsumf1o
Dummy variables  f  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sum0 11049 . . . 4  |-  sum_ k  e.  (/)  B  =  0
2 fsumf1o.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : C -1-1-onto-> A )
3 f1oeq2 5315 . . . . . . . 8  |-  ( C  =  (/)  ->  ( F : C -1-1-onto-> A  <->  F : (/) -1-1-onto-> A ) )
42, 3syl5ibcom 154 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( C  =  (/)  ->  F : (/) -1-1-onto-> A ) )
54imp 123 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  =  (/) )  ->  F : (/) -1-1-onto-> A )
6 f1ofo 5330 . . . . . 6  |-  ( F : (/)
-1-1-onto-> A  ->  F : (/) -onto-> A )
7 fo00 5359 . . . . . . 7  |-  ( F : (/) -onto-> A  <->  ( F  =  (/)  /\  A  =  (/) ) )
87simprbi 271 . . . . . 6  |-  ( F : (/) -onto-> A  ->  A  =  (/) )
95, 6, 83syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  =  (/) )  ->  A  =  (/) )
109sumeq1d 11027 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  =  (/) )  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ k  e.  (/)  B )
11 simpr 109 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  =  (/) )  ->  C  =  (/) )
1211sumeq1d 11027 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  =  (/) )  ->  sum_ n  e.  C  D  =  sum_ n  e.  (/)  D )
13 sum0 11049 . . . . 5  |-  sum_ n  e.  (/)  D  =  0
1412, 13syl6eq 2163 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  =  (/) )  ->  sum_ n  e.  C  D  =  0 )
151, 10, 143eqtr4a 2173 . . 3  |-  ( (
ph  /\  C  =  (/) )  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ n  e.  C  D )
1615ex 114 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  =  (/)  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  sum_ n  e.  C  D ) )
17 2fveq3 5380 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  m )
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `
 ( f `  n ) ) ) )
18 simprl 503 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  -> 
( `  C )  e.  NN )
19 simprr 504 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  -> 
f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C )
20 f1of 5323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : C -1-1-onto-> A  ->  F : C
--> A )
212, 20syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : C --> A )
2221ffvelrnda 5509 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  C )  ->  ( F `  m )  e.  A )
23 fsumf1o.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
2423fmpttd 5529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
2524ffvelrnda 5509 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( F `  m )  e.  A
)  ->  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  ( F `
 m ) )  e.  CC )
2622, 25syldan 278 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  C )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  m )
)  e.  CC )
2726adantlr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C ) ) -1-1-onto-> C ) )  /\  m  e.  C )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  m )
)  e.  CC )
282adantr 272 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  F : C -1-1-onto-> A )
29 f1oco 5346 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : C -1-1-onto-> A  /\  f : ( 1 ... ( `  C )
)
-1-1-onto-> C )  ->  ( F  o.  f ) : ( 1 ... ( `  C )
)
-1-1-onto-> A )
3028, 19, 29syl2anc 406 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  -> 
( F  o.  f
) : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> A )
31 f1of 5323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  o.  f ) : ( 1 ... ( `  C )
)
-1-1-onto-> A  ->  ( F  o.  f ) : ( 1 ... ( `  C
) ) --> A )
3230, 31syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  -> 
( F  o.  f
) : ( 1 ... ( `  C
) ) --> A )
33 fvco3 5446 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  o.  f
) : ( 1 ... ( `  C
) ) --> A  /\  n  e.  ( 1 ... ( `  C
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  ( F  o.  f ) ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
( F  o.  f
) `  n )
) )
3432, 33sylan 279 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C ) ) -1-1-onto-> C ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( `  C ) ) )  ->  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  ( F  o.  f ) ) `
 n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( ( F  o.  f ) `  n
) ) )
35 f1of 5323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : ( 1 ... ( `  C )
)
-1-1-onto-> C  ->  f : ( 1 ... ( `  C
) ) --> C )
3635ad2antll 480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  -> 
f : ( 1 ... ( `  C
) ) --> C )
37 fvco3 5446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ( 1 ... ( `  C
) ) --> C  /\  n  e.  ( 1 ... ( `  C
) ) )  -> 
( ( F  o.  f ) `  n
)  =  ( F `
 ( f `  n ) ) )
3836, 37sylan 279 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C ) ) -1-1-onto-> C ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( `  C ) ) )  ->  ( ( F  o.  f ) `  n )  =  ( F `  ( f `
 n ) ) )
3938fveq2d 5379 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C ) ) -1-1-onto-> C ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( `  C ) ) )  ->  ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 ( ( F  o.  f ) `  n ) )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  ( f `
 n ) ) ) )
4034, 39eqtrd 2147 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C ) ) -1-1-onto-> C ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( `  C ) ) )  ->  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  ( F  o.  f ) ) `
 n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  ( f `
 n ) ) ) )
4117, 18, 19, 27, 40fsum3 11048 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  sum_ m  e.  C  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  m )
)  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  C ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  ( F  o.  f
) ) `  n
) ,  0 ) ) ) `  ( `  C ) ) )
42 eqid 2115 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( k  e.  A  |->  B )
43 fsumf1o.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  G  ->  B  =  D )
44 fsumf1o.4 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  ( F `  n )  =  G )
4521ffvelrnda 5509 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  ( F `  n )  e.  A )
4644, 45eqeltrrd 2192 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  G  e.  A )
4743eleq1d 2183 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  G  ->  ( B  e.  CC  <->  D  e.  CC ) )
4823ralrimiva 2479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
4948adantr 272 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
5047, 49, 46rspcdva 2765 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  D  e.  CC )
5142, 43, 46, 50fvmptd3 5468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  G
)  =  D )
5244fveq2d 5379 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  n )
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  G ) )
53 simpr 109 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  n  e.  C )
54 eqid 2115 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  C  |->  D )  =  ( n  e.  C  |->  D )
5554fvmpt2 5458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  C  /\  D  e.  CC )  ->  ( ( n  e.  C  |->  D ) `  n )  =  D )
5653, 50, 55syl2anc 406 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  (
( n  e.  C  |->  D ) `  n
)  =  D )
5751, 52, 563eqtr4rd 2158 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  (
( n  e.  C  |->  D ) `  n
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `
 n ) ) )
5857ralrimiva 2479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. n  e.  C  ( ( n  e.  C  |->  D ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  n )
) )
59 nffvmpt1 5386 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n
( ( n  e.  C  |->  D ) `  m )
6059nfeq1 2265 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ n
( ( n  e.  C  |->  D ) `  m )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  m )
)
61 fveq2 5375 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  m  ->  (
( n  e.  C  |->  D ) `  n
)  =  ( ( n  e.  C  |->  D ) `  m ) )
62 2fveq3 5380 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  m  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  n )
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `
 m ) ) )
6361, 62eqeq12d 2129 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( n  e.  C  |->  D ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  n )
)  <->  ( ( n  e.  C  |->  D ) `
 m )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  m ) ) ) )
6460, 63rspc 2754 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  C  ->  ( A. n  e.  C  ( ( n  e.  C  |->  D ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  n )
)  ->  ( (
n  e.  C  |->  D ) `  m )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 ( F `  m ) ) ) )
6558, 64mpan9 277 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  C )  ->  (
( n  e.  C  |->  D ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `
 m ) ) )
6665adantlr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C ) ) -1-1-onto-> C ) )  /\  m  e.  C )  ->  (
( n  e.  C  |->  D ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `
 m ) ) )
6766sumeq2dv 11029 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  sum_ m  e.  C  ( ( n  e.  C  |->  D ) `  m
)  =  sum_ m  e.  C  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  ( F `
 m ) ) )
68 fveq2 5375 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( ( F  o.  f ) `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( ( F  o.  f ) `
 n ) ) )
6924adantr 272 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  -> 
( k  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
7069ffvelrnda 5509 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C ) ) -1-1-onto-> C ) )  /\  m  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  e.  CC )
7168, 18, 30, 70, 34fsum3 11048 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  C ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  ( F  o.  f
) ) `  n
) ,  0 ) ) ) `  ( `  C ) ) )
7241, 67, 713eqtr4rd 2158 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  =  sum_ m  e.  C  ( (
n  e.  C  |->  D ) `  m ) )
73 sumfct 11035 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 m )  = 
sum_ k  e.  A  B )
7448, 73syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m )  =  sum_ k  e.  A  B
)
7574adantr 272 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  =  sum_ k  e.  A  B )
7650ralrimiva 2479 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. n  e.  C  D  e.  CC )
77 sumfct 11035 . . . . . . . 8  |-  ( A. n  e.  C  D  e.  CC  ->  sum_ m  e.  C  ( ( n  e.  C  |->  D ) `
 m )  = 
sum_ n  e.  C  D )
7876, 77syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  C  ( ( n  e.  C  |->  D ) `  m )  =  sum_ n  e.  C  D )
7978adantr 272 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  sum_ m  e.  C  ( ( n  e.  C  |->  D ) `  m
)  =  sum_ n  e.  C  D )
8072, 75, 793eqtr3d 2155 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ n  e.  C  D )
8180expr 370 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( `  C
)  e.  NN )  ->  ( f : ( 1 ... ( `  C ) ) -1-1-onto-> C  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ n  e.  C  D ) )
8281exlimdv 1773 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( `  C
)  e.  NN )  ->  ( E. f 
f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ n  e.  C  D ) )
8382expimpd 358 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( `  C
)  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C )  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ n  e.  C  D
) )
84 fsumf1o.2 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  Fin )
85 fz1f1o 11036 . . 3  |-  ( C  e.  Fin  ->  ( C  =  (/)  \/  (
( `  C )  e.  NN  /\  E. f 
f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C ) ) )
8684, 85syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  =  (/)  \/  ( ( `  C
)  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( `  C
) ) -1-1-onto-> C ) ) )
8716, 83, 86mpjaod 690 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  sum_ n  e.  C  D )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 680    = wceq 1314   E.wex 1451    e. wcel 1463   A.wral 2390   (/)c0 3329   ifcif 3440   class class class wbr 3895    |-> cmpt 3949    o. ccom 4503   -->wf 5077   -onto->wfo 5079   -1-1-onto->wf1o 5080   ` cfv 5081  (class class class)co 5728   Fincfn 6588   CCcc 7545   0cc0 7547   1c1 7548    + caddc 7550    <_ cle 7725   NNcn 8630   ...cfz 9683    seqcseq 10111  ♯chash 10414   sum_csu 11014
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-iinf 4462  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-1re 7639  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-mulrcl 7644  ax-addcom 7645  ax-mulcom 7646  ax-addass 7647  ax-mulass 7648  ax-distr 7649  ax-i2m1 7650  ax-0lt1 7651  ax-1rid 7652  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-precex 7655  ax-cnre 7656  ax-pre-ltirr 7657  ax-pre-ltwlin 7658  ax-pre-lttrn 7659  ax-pre-apti 7660  ax-pre-ltadd 7661  ax-pre-mulgt0 7662  ax-pre-mulext 7663  ax-arch 7664  ax-caucvg 7665
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rmo 2398  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-if 3441  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-tr 3987  df-id 4175  df-po 4178  df-iso 4179  df-iord 4248  df-on 4250  df-ilim 4251  df-suc 4253  df-iom 4465  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-isom 5090  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-recs 6156  df-irdg 6221  df-frec 6242  df-1o 6267  df-oadd 6271  df-er 6383  df-en 6589  df-dom 6590  df-fin 6591  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-ltxr 7729  df-le 7730  df-sub 7858  df-neg 7859  df-reap 8255  df-ap 8262  df-div 8346  df-inn 8631  df-2 8689  df-3 8690  df-4 8691  df-n0 8882  df-z 8959  df-uz 9229  df-q 9314  df-rp 9344  df-fz 9684  df-fzo 9813  df-seqfrec 10112  df-exp 10186  df-ihash 10415  df-cj 10507  df-re 10508  df-im 10509  df-rsqrt 10662  df-abs 10663  df-clim 10940  df-sumdc 11015
This theorem is referenced by:  fisumss  11053  fsum2dlemstep  11095  fsumcnv  11098  fsumrev  11104  fsumshft  11105
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