Theorem fsumf1o 11555

Description: Re-index a finite sum using a bijection. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumf1o.1	|- ( k = G -> B = D )
fsumf1o.2	|- ( ph -> C e. Fin )
fsumf1o.3	|- ( ph -> F : C -1-1-onto-> A )
fsumf1o.4	|- ( ( ph /\ n e. C ) -> ( F ` n ) = G )
fsumf1o.5	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fsumf1o	|- ( ph -> sum_ k e. A B = sum_ n e. C D )

Distinct variable groups:   k, n, A   B, n   C, n   D, k   n, F   k, G   ph, k, n

Allowed substitution hints:   B( k)   C( k)   D( n)   F( k)   G( n)

Proof of Theorem fsumf1o

Dummy variables f m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sum0 11553	. . . 4 |- sum_ k e. (/) B = 0
2		fsumf1o.3	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : C -1-1-onto-> A )
3		f1oeq2 5493	. . . . . . . 8 |- ( C = (/) -> ( F : C -1-1-onto-> A <-> F : (/) -1-1-onto-> A ) )
4	2, 3	syl5ibcom 155	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( C = (/) -> F : (/) -1-1-onto-> A ) )
5	4	imp 124	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ C = (/) ) -> F : (/) -1-1-onto-> A )
6		f1ofo 5511	. . . . . 6 |- ( F : (/) -1-1-onto-> A -> F : (/) -onto-> A )
7		fo00 5540	. . . . . . 7 |- ( F : (/) -onto-> A <-> ( F = (/) /\ A = (/) ) )
8	7	simprbi 275	. . . . . 6 |- ( F : (/) -onto-> A -> A = (/) )
9	5, 6, 8	3syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C = (/) ) -> A = (/) )
10	9	sumeq1d 11531	. . . 4 |- ( ( ph /\ C = (/) ) -> sum_ k e. A B = sum_ k e. (/) B )
11		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ C = (/) ) -> C = (/) )
12	11	sumeq1d 11531	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C = (/) ) -> sum_ n e. C D = sum_ n e. (/) D )
13		sum0 11553	. . . . 5 |- sum_ n e. (/) D = 0
14	12, 13	eqtrdi 2245	. . . 4 |- ( ( ph /\ C = (/) ) -> sum_ n e. C D = 0 )
15	1, 10, 14	3eqtr4a 2255	. . 3 |- ( ( ph /\ C = (/) ) -> sum_ k e. A B = sum_ n e. C D )
16	15	ex 115	. 2 |- ( ph -> ( C = (/) -> sum_ k e. A B = sum_ n e. C D ) )
17		2fveq3 5563	. . . . . . . 8 |- ( m = ( f ` n ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` ( f ` n ) ) ) )
18		simprl 529	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> (♯ ` C ) e. NN )
19		simprr 531	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C )
20		f1of 5504	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : C -1-1-onto-> A -> F : C --> A )
21	2, 20	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : C --> A )
22	21	ffvelcdmda 5697	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. C ) -> ( F ` m ) e. A )
23		fsumf1o.5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
24	23	fmpttd 5717	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( k e. A |-> B ) : A --> CC )
25	24	ffvelcdmda 5697	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( F ` m ) e. A ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) e. CC )
26	22, 25	syldan 282	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. C ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) e. CC )
27	26	adantlr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) /\ m e. C ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) e. CC )
28	2	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> F : C -1-1-onto-> A )
29		f1oco 5527	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : C -1-1-onto-> A /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) -> ( F o. f ) : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> A )
30	28, 19, 29	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> ( F o. f ) : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> A )
31		f1of 5504	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F o. f ) : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> A -> ( F o. f ) : ( 1 ... (♯ ` C ) ) --> A )
32	30, 31	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> ( F o. f ) : ( 1 ... (♯ ` C ) ) --> A )
33		fvco3 5632	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F o. f ) : ( 1 ... (♯ ` C ) ) --> A /\ n e. ( 1 ... (♯ ` C ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. ( F o. f ) ) ` n ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( ( F o. f ) ` n ) ) )
34	32, 33	sylan 283	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) /\ n e. ( 1 ... (♯ ` C ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. ( F o. f ) ) ` n ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( ( F o. f ) ` n ) ) )
35		f1of 5504	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C -> f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) --> C )
36	35	ad2antll 491	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) --> C )
37		fvco3 5632	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) --> C /\ n e. ( 1 ... (♯ ` C ) ) ) -> ( ( F o. f ) ` n ) = ( F ` ( f ` n ) ) )
38	36, 37	sylan 283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) /\ n e. ( 1 ... (♯ ` C ) ) ) -> ( ( F o. f ) ` n ) = ( F ` ( f ` n ) ) )
39	38	fveq2d 5562	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) /\ n e. ( 1 ... (♯ ` C ) ) ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` ( ( F o. f ) ` n ) ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` ( f ` n ) ) ) )
40	34, 39	eqtrd 2229	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) /\ n e. ( 1 ... (♯ ` C ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. ( F o. f ) ) ` n ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` ( f ` n ) ) ) )
41	17, 18, 19, 27, 40	fsum3 11552	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> sum_ m e. C ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` C ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. ( F o. f ) ) ` n ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` C ) ) )
42		eqid 2196	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. A |-> B ) = ( k e. A |-> B )
43		fsumf1o.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = G -> B = D )
44		fsumf1o.4	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> ( F ` n ) = G )
45	21	ffvelcdmda 5697	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> ( F ` n ) e. A )
46	44, 45	eqeltrrd 2274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> G e. A )
47	43	eleq1d 2265	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = G -> ( B e. CC <-> D e. CC ) )
48	23	ralrimiva 2570	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. k e. A B e. CC )
49	48	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> A. k e. A B e. CC )
50	47, 49, 46	rspcdva 2873	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> D e. CC )
51	42, 43, 46, 50	fvmptd3 5655	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` G ) = D )
52	44	fveq2d 5562	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` n ) ) = ( ( k e. A |-> B ) ` G ) )
53		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> n e. C )
54		eqid 2196	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. C |-> D ) = ( n e. C |-> D )
55	54	fvmpt2 5645	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. C /\ D e. CC ) -> ( ( n e. C |-> D ) ` n ) = D )
56	53, 50, 55	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> ( ( n e. C |-> D ) ` n ) = D )
57	51, 52, 56	3eqtr4rd 2240	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> ( ( n e. C |-> D ) ` n ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` n ) ) )
58	57	ralrimiva 2570	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. n e. C ( ( n e. C |-> D ) ` n ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` n ) ) )
59		nffvmpt1 5569	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ n ( ( n e. C |-> D ) ` m )
60	59	nfeq1 2349	. . . . . . . . . . 11 |- F/ n ( ( n e. C |-> D ) ` m ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) )
61		fveq2 5558	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = m -> ( ( n e. C |-> D ) ` n ) = ( ( n e. C |-> D ) ` m ) )
62		2fveq3 5563	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = m -> ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` n ) ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) )
63	61, 62	eqeq12d 2211	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = m -> ( ( ( n e. C |-> D ) ` n ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` n ) ) <-> ( ( n e. C |-> D ) ` m ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) ) )
64	60, 63	rspc 2862	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. C -> ( A. n e. C ( ( n e. C |-> D ) ` n ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` n ) ) -> ( ( n e. C |-> D ) ` m ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) ) )
65	58, 64	mpan9 281	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. C ) -> ( ( n e. C |-> D ) ` m ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) )
66	65	adantlr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) /\ m e. C ) -> ( ( n e. C |-> D ) ` m ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) )
67	66	sumeq2dv 11533	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> sum_ m e. C ( ( n e. C |-> D ) ` m ) = sum_ m e. C ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) )
68		fveq2 5558	. . . . . . . 8 |- ( m = ( ( F o. f ) ` n ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( ( F o. f ) ` n ) ) )
69	24	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> ( k e. A |-> B ) : A --> CC )
70	69	ffvelcdmda 5697	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` m ) e. CC )
71	68, 18, 30, 70, 34	fsum3 11552	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` C ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. ( F o. f ) ) ` n ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` C ) ) )
72	41, 67, 71	3eqtr4rd 2240	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = sum_ m e. C ( ( n e. C |-> D ) ` m ) )
73		sumfct 11539	. . . . . . . 8 |- ( A. k e. A B e. CC -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = sum_ k e. A B )
74	48, 73	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = sum_ k e. A B )
75	74	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = sum_ k e. A B )
76	50	ralrimiva 2570	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. n e. C D e. CC )
77		sumfct 11539	. . . . . . . 8 |- ( A. n e. C D e. CC -> sum_ m e. C ( ( n e. C |-> D ) ` m ) = sum_ n e. C D )
78	76, 77	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ m e. C ( ( n e. C |-> D ) ` m ) = sum_ n e. C D )
79	78	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> sum_ m e. C ( ( n e. C |-> D ) ` m ) = sum_ n e. C D )
80	72, 75, 79	3eqtr3d 2237	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> sum_ k e. A B = sum_ n e. C D )
81	80	expr 375	. . . 4 |- ( ( ph /\ (♯ ` C ) e. NN ) -> ( f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C -> sum_ k e. A B = sum_ n e. C D ) )
82	81	exlimdv 1833	. . 3 |- ( ( ph /\ (♯ ` C ) e. NN ) -> ( E. f f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C -> sum_ k e. A B = sum_ n e. C D ) )
83	82	expimpd 363	. 2 |- ( ph -> ( ( (♯ ` C ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) -> sum_ k e. A B = sum_ n e. C D ) )
84		fsumf1o.2	. . 3 |- ( ph -> C e. Fin )
85		fz1f1o 11540	. . 3 |- ( C e. Fin -> ( C = (/) \/ ( (♯ ` C ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) )
86	84, 85	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( C = (/) \/ ( (♯ ` C ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) )
87	16, 83, 86	mpjaod 719	1 |- ( ph -> sum_ k e. A B = sum_ n e. C D )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   A.wral 2475   (/)c0 3450   ifcif 3561   class class class wbr 4033   |-> cmpt 4094   o. ccom 4667   -->wf 5254   -onto->wfo 5256   -1-1-onto->wf1o 5257   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   Fincfn 6799   CCcc 7877   0cc0 7879   1c1 7880   + caddc 7882   <_ cle 8062   NNcn 8990   ...cfz 10083   seqcseq 10539  ♯chash 10867   sum_csu 11518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-frec 6449  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-er 6592  df-en 6800  df-dom 6801  df-fin 6802  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-fz 10084  df-fzo 10218  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-ihash 10868  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-clim 11444  df-sumdc 11519

This theorem is referenced by:  fisumss  11557  fsum2dlemstep  11599  fsumcnv  11602  fsumrev  11608  fsumshft  11609  phisum  12409  fsumdvdsmul  15227  sgmppw  15228