Theorem enumct 7080

Description: A finitely enumerable set is countable. Lemma 8.1.14 of [AczelRathjen], p. 73 (except that our definition of countable does not require the set to be inhabited). "Finitely enumerable" is defined as E. n e. om E. f f : n -onto-> A per Definition 8.1.4 of [AczelRathjen], p. 71 and "countable" is defined as E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) per [BauerSwan], p. 14:3. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
enumct	|- ( E. n e. om E. f f : n -onto-> A -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )

Distinct variable group:   A, f, g, n

Proof of Theorem enumct

Dummy variables x k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 519	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) /\ n = (/) ) -> f : n -onto-> A )
2		foeq2 5407	. . . . . . . . . 10 |- ( n = (/) -> ( f : n -onto-> A <-> f : (/) -onto-> A ) )
3	2	adantl 275	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) /\ n = (/) ) -> ( f : n -onto-> A <-> f : (/) -onto-> A ) )
4	1, 3	mpbid 146	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) /\ n = (/) ) -> f : (/) -onto-> A )
5		fo00 5468	. . . . . . . 8 |- ( f : (/) -onto-> A <-> ( f = (/) /\ A = (/) ) )
6	4, 5	sylib 121	. . . . . . 7 |- ( ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) /\ n = (/) ) -> ( f = (/) /\ A = (/) ) )
7		0ct 7072	. . . . . . . 8 |- E. g g : om -onto-> ( (/) ⊔ 1o )
8		djueq1 7005	. . . . . . . . . 10 |- ( A = (/) -> ( A ⊔ 1o ) = ( (/) ⊔ 1o ) )
9		foeq3 5408	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A ⊔ 1o ) = ( (/) ⊔ 1o ) -> ( g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> g : om -onto-> ( (/) ⊔ 1o ) ) )
10	8, 9	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( A = (/) -> ( g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> g : om -onto-> ( (/) ⊔ 1o ) ) )
11	10	exbidv 1813	. . . . . . . 8 |- ( A = (/) -> ( E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> E. g g : om -onto-> ( (/) ⊔ 1o ) ) )
12	7, 11	mpbiri 167	. . . . . . 7 |- ( A = (/) -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
13	6, 12	simpl2im 384	. . . . . 6 |- ( ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) /\ n = (/) ) -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
14		omex 4570	. . . . . . . . 9 |- om e. _V
15	14	mptex 5711	. . . . . . . 8 |- ( k e. om |-> if ( k e. n , ( f ` k ) , ( f ` (/) ) ) ) e. _V
16		simpll 519	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) /\ (/) e. n ) -> f : n -onto-> A )
17		simplr 520	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) /\ (/) e. n ) -> n e. om )
18		simpr 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) /\ (/) e. n ) -> (/) e. n )
19		eqid 2165	. . . . . . . . 9 |- ( k e. om |-> if ( k e. n , ( f ` k ) , ( f ` (/) ) ) ) = ( k e. om |-> if ( k e. n , ( f ` k ) , ( f ` (/) ) ) )
20	16, 17, 18, 19	enumctlemm 7079	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) /\ (/) e. n ) -> ( k e. om |-> if ( k e. n , ( f ` k ) , ( f ` (/) ) ) ) : om -onto-> A )
21		foeq1 5406	. . . . . . . . 9 |- ( g = ( k e. om |-> if ( k e. n , ( f ` k ) , ( f ` (/) ) ) ) -> ( g : om -onto-> A <-> ( k e. om |-> if ( k e. n , ( f ` k ) , ( f ` (/) ) ) ) : om -onto-> A ) )
22	21	spcegv 2814	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. om |-> if ( k e. n , ( f ` k ) , ( f ` (/) ) ) ) e. _V -> ( ( k e. om |-> if ( k e. n , ( f ` k ) , ( f ` (/) ) ) ) : om -onto-> A -> E. g g : om -onto-> A ) )
23	15, 20, 22	mpsyl 65	. . . . . . 7 |- ( ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) /\ (/) e. n ) -> E. g g : om -onto-> A )
24		fof 5410	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : n -onto-> A -> f : n --> A )
25	24	ad2antrr 480	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) /\ (/) e. n ) -> f : n --> A )
26	25, 18	ffvelrnd 5621	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) /\ (/) e. n ) -> ( f ` (/) ) e. A )
27		eleq1 2229	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( f ` (/) ) -> ( x e. A <-> ( f ` (/) ) e. A ) )
28	27	spcegv 2814	. . . . . . . . 9 |- ( ( f ` (/) ) e. A -> ( ( f ` (/) ) e. A -> E. x x e. A ) )
29	26, 26, 28	sylc 62	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) /\ (/) e. n ) -> E. x x e. A )
30		ctm 7074	. . . . . . . 8 |- ( E. x x e. A -> ( E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> E. g g : om -onto-> A ) )
31	29, 30	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) /\ (/) e. n ) -> ( E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> E. g g : om -onto-> A ) )
32	23, 31	mpbird 166	. . . . . 6 |- ( ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) /\ (/) e. n ) -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
33		0elnn 4596	. . . . . . 7 |- ( n e. om -> ( n = (/) \/ (/) e. n ) )
34	33	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) -> ( n = (/) \/ (/) e. n ) )
35	13, 32, 34	mpjaodan 788	. . . . 5 |- ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
36	35	ex 114	. . . 4 |- ( f : n -onto-> A -> ( n e. om -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) )
37	36	exlimiv 1586	. . 3 |- ( E. f f : n -onto-> A -> ( n e. om -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) )
38	37	impcom 124	. 2 |- ( ( n e. om /\ E. f f : n -onto-> A ) -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
39	38	rexlimiva 2578	1 |- ( E. n e. om E. f f : n -onto-> A -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698   = wceq 1343   E.wex 1480   e. wcel 2136   E.wrex 2445   _Vcvv 2726   (/)c0 3409   ifcif 3520   |-> cmpt 4043   omcom 4567   -->wf 5184   -onto->wfo 5186   ` cfv 5188   1oc1o 6377   ⊔ cdju 7002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-1o 6384  df-dju 7003  df-inl 7012  df-inr 7013  df-case 7049

This theorem is referenced by:  finct  7081