Theorem enumct 7449

Description: A finitely enumerable set is countable. Lemma 8.1.14 of [AczelRathjen], p. 73 (except that our definition of countable does not require the set to be inhabited). "Finitely enumerable" is defined as E. n e. om E. f f : n -onto-> A per Definition 8.1.4 of [AczelRathjen], p. 71 and "countable" is defined as E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) per Definition on page 14:3 of [BauerSwan], p. 3. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
enumct	|- ( E. n e. om E. f f : n -onto-> A -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )

Distinct variable group:   A, f, g, n

Proof of Theorem enumct

Dummy variables x k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) /\ n = (/) ) -> f : n -onto-> A )
2		foeq2 5610	. . . . . . . . . 10 |- ( n = (/) -> ( f : n -onto-> A <-> f : (/) -onto-> A ) )
3	2	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) /\ n = (/) ) -> ( f : n -onto-> A <-> f : (/) -onto-> A ) )
4	1, 3	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) /\ n = (/) ) -> f : (/) -onto-> A )
5		fo00 5675	. . . . . . . 8 |- ( f : (/) -onto-> A <-> ( f = (/) /\ A = (/) ) )
6	4, 5	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) /\ n = (/) ) -> ( f = (/) /\ A = (/) ) )
7		0ct 7441	. . . . . . . 8 |- E. g g : om -onto-> ( (/) ⊔ 1o )
8		djueq1 7374	. . . . . . . . . 10 |- ( A = (/) -> ( A ⊔ 1o ) = ( (/) ⊔ 1o ) )
9		foeq3 5611	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A ⊔ 1o ) = ( (/) ⊔ 1o ) -> ( g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> g : om -onto-> ( (/) ⊔ 1o ) ) )
10	8, 9	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( A = (/) -> ( g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> g : om -onto-> ( (/) ⊔ 1o ) ) )
11	10	exbidv 1878	. . . . . . . 8 |- ( A = (/) -> ( E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> E. g g : om -onto-> ( (/) ⊔ 1o ) ) )
12	7, 11	mpbiri 168	. . . . . . 7 |- ( A = (/) -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
13	6, 12	simpl2im 390	. . . . . 6 |- ( ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) /\ n = (/) ) -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
14		omex 4738	. . . . . . . . 9 |- om e. _V
15	14	mptex 5937	. . . . . . . 8 |- ( k e. om |-> if ( k e. n , ( f ` k ) , ( f ` (/) ) ) ) e. _V
16		simpll 531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) /\ (/) e. n ) -> f : n -onto-> A )
17		simplr 533	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) /\ (/) e. n ) -> n e. om )
18		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) /\ (/) e. n ) -> (/) e. n )
19		eqid 2238	. . . . . . . . 9 |- ( k e. om |-> if ( k e. n , ( f ` k ) , ( f ` (/) ) ) ) = ( k e. om |-> if ( k e. n , ( f ` k ) , ( f ` (/) ) ) )
20	16, 17, 18, 19	enumctlemm 7448	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) /\ (/) e. n ) -> ( k e. om |-> if ( k e. n , ( f ` k ) , ( f ` (/) ) ) ) : om -onto-> A )
21		foeq1 5609	. . . . . . . . 9 |- ( g = ( k e. om |-> if ( k e. n , ( f ` k ) , ( f ` (/) ) ) ) -> ( g : om -onto-> A <-> ( k e. om |-> if ( k e. n , ( f ` k ) , ( f ` (/) ) ) ) : om -onto-> A ) )
22	21	spcegv 2913	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. om |-> if ( k e. n , ( f ` k ) , ( f ` (/) ) ) ) e. _V -> ( ( k e. om |-> if ( k e. n , ( f ` k ) , ( f ` (/) ) ) ) : om -onto-> A -> E. g g : om -onto-> A ) )
23	15, 20, 22	mpsyl 65	. . . . . . 7 |- ( ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) /\ (/) e. n ) -> E. g g : om -onto-> A )
24		fof 5613	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : n -onto-> A -> f : n --> A )
25	24	ad2antrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) /\ (/) e. n ) -> f : n --> A )
26	25, 18	ffvelcdmd 5838	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) /\ (/) e. n ) -> ( f ` (/) ) e. A )
27		eleq1 2301	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( f ` (/) ) -> ( x e. A <-> ( f ` (/) ) e. A ) )
28	27	spcegv 2913	. . . . . . . . 9 |- ( ( f ` (/) ) e. A -> ( ( f ` (/) ) e. A -> E. x x e. A ) )
29	26, 26, 28	sylc 62	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) /\ (/) e. n ) -> E. x x e. A )
30		ctm 7443	. . . . . . . 8 |- ( E. x x e. A -> ( E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> E. g g : om -onto-> A ) )
31	29, 30	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) /\ (/) e. n ) -> ( E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> E. g g : om -onto-> A ) )
32	23, 31	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) /\ (/) e. n ) -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
33		0elnn 4764	. . . . . . 7 |- ( n e. om -> ( n = (/) \/ (/) e. n ) )
34	33	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) -> ( n = (/) \/ (/) e. n ) )
35	13, 32, 34	mpjaodan 810	. . . . 5 |- ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
36	35	ex 115	. . . 4 |- ( f : n -onto-> A -> ( n e. om -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) )
37	36	exlimiv 1651	. . 3 |- ( E. f f : n -onto-> A -> ( n e. om -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) )
38	37	impcom 125	. 2 |- ( ( n e. om /\ E. f f : n -onto-> A ) -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
39	38	rexlimiva 2663	1 |- ( E. n e. om E. f f : n -onto-> A -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   E.wrex 2529   _Vcvv 2821   (/)c0 3520   ifcif 3638   |-> cmpt 4190   omcom 4735   -->wf 5371   -onto->wfo 5373   ` cfv 5375   1oc1o 6674   ⊔ cdju 7371

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-1o 6681  df-dju 7372  df-inl 7381  df-inr 7382  df-case 7418

This theorem is referenced by:  finct  7450