Theorem enumct 7229

Description: A finitely enumerable set is countable. Lemma 8.1.14 of [AczelRathjen], p. 73 (except that our definition of countable does not require the set to be inhabited). "Finitely enumerable" is defined as E. n e. om E. f f : n -onto-> A per Definition 8.1.4 of [AczelRathjen], p. 71 and "countable" is defined as E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) per [BauerSwan], p. 14:3. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
enumct	|- ( E. n e. om E. f f : n -onto-> A -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )

Distinct variable group:   A, f, g, n

Proof of Theorem enumct

Dummy variables x k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 527	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) /\ n = (/) ) -> f : n -onto-> A )
2		foeq2 5504	. . . . . . . . . 10 |- ( n = (/) -> ( f : n -onto-> A <-> f : (/) -onto-> A ) )
3	2	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) /\ n = (/) ) -> ( f : n -onto-> A <-> f : (/) -onto-> A ) )
4	1, 3	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) /\ n = (/) ) -> f : (/) -onto-> A )
5		fo00 5568	. . . . . . . 8 |- ( f : (/) -onto-> A <-> ( f = (/) /\ A = (/) ) )
6	4, 5	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) /\ n = (/) ) -> ( f = (/) /\ A = (/) ) )
7		0ct 7221	. . . . . . . 8 |- E. g g : om -onto-> ( (/) ⊔ 1o )
8		djueq1 7154	. . . . . . . . . 10 |- ( A = (/) -> ( A ⊔ 1o ) = ( (/) ⊔ 1o ) )
9		foeq3 5505	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A ⊔ 1o ) = ( (/) ⊔ 1o ) -> ( g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> g : om -onto-> ( (/) ⊔ 1o ) ) )
10	8, 9	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( A = (/) -> ( g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> g : om -onto-> ( (/) ⊔ 1o ) ) )
11	10	exbidv 1849	. . . . . . . 8 |- ( A = (/) -> ( E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> E. g g : om -onto-> ( (/) ⊔ 1o ) ) )
12	7, 11	mpbiri 168	. . . . . . 7 |- ( A = (/) -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
13	6, 12	simpl2im 386	. . . . . 6 |- ( ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) /\ n = (/) ) -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
14		omex 4646	. . . . . . . . 9 |- om e. _V
15	14	mptex 5820	. . . . . . . 8 |- ( k e. om |-> if ( k e. n , ( f ` k ) , ( f ` (/) ) ) ) e. _V
16		simpll 527	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) /\ (/) e. n ) -> f : n -onto-> A )
17		simplr 528	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) /\ (/) e. n ) -> n e. om )
18		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) /\ (/) e. n ) -> (/) e. n )
19		eqid 2206	. . . . . . . . 9 |- ( k e. om |-> if ( k e. n , ( f ` k ) , ( f ` (/) ) ) ) = ( k e. om |-> if ( k e. n , ( f ` k ) , ( f ` (/) ) ) )
20	16, 17, 18, 19	enumctlemm 7228	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) /\ (/) e. n ) -> ( k e. om |-> if ( k e. n , ( f ` k ) , ( f ` (/) ) ) ) : om -onto-> A )
21		foeq1 5503	. . . . . . . . 9 |- ( g = ( k e. om |-> if ( k e. n , ( f ` k ) , ( f ` (/) ) ) ) -> ( g : om -onto-> A <-> ( k e. om |-> if ( k e. n , ( f ` k ) , ( f ` (/) ) ) ) : om -onto-> A ) )
22	21	spcegv 2863	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. om |-> if ( k e. n , ( f ` k ) , ( f ` (/) ) ) ) e. _V -> ( ( k e. om |-> if ( k e. n , ( f ` k ) , ( f ` (/) ) ) ) : om -onto-> A -> E. g g : om -onto-> A ) )
23	15, 20, 22	mpsyl 65	. . . . . . 7 |- ( ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) /\ (/) e. n ) -> E. g g : om -onto-> A )
24		fof 5507	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : n -onto-> A -> f : n --> A )
25	24	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) /\ (/) e. n ) -> f : n --> A )
26	25, 18	ffvelcdmd 5726	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) /\ (/) e. n ) -> ( f ` (/) ) e. A )
27		eleq1 2269	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( f ` (/) ) -> ( x e. A <-> ( f ` (/) ) e. A ) )
28	27	spcegv 2863	. . . . . . . . 9 |- ( ( f ` (/) ) e. A -> ( ( f ` (/) ) e. A -> E. x x e. A ) )
29	26, 26, 28	sylc 62	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) /\ (/) e. n ) -> E. x x e. A )
30		ctm 7223	. . . . . . . 8 |- ( E. x x e. A -> ( E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> E. g g : om -onto-> A ) )
31	29, 30	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) /\ (/) e. n ) -> ( E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> E. g g : om -onto-> A ) )
32	23, 31	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) /\ (/) e. n ) -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
33		0elnn 4672	. . . . . . 7 |- ( n e. om -> ( n = (/) \/ (/) e. n ) )
34	33	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) -> ( n = (/) \/ (/) e. n ) )
35	13, 32, 34	mpjaodan 800	. . . . 5 |- ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
36	35	ex 115	. . . 4 |- ( f : n -onto-> A -> ( n e. om -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) )
37	36	exlimiv 1622	. . 3 |- ( E. f f : n -onto-> A -> ( n e. om -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) )
38	37	impcom 125	. 2 |- ( ( n e. om /\ E. f f : n -onto-> A ) -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
39	38	rexlimiva 2619	1 |- ( E. n e. om E. f f : n -onto-> A -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710   = wceq 1373   E.wex 1516   e. wcel 2177   E.wrex 2486   _Vcvv 2773   (/)c0 3462   ifcif 3573   |-> cmpt 4110   omcom 4643   -->wf 5273   -onto->wfo 5275   ` cfv 5277   1oc1o 6505   ⊔ cdju 7151

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4164  ax-sep 4167  ax-nul 4175  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-setind 4590  ax-iinf 4641

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3001  df-csb 3096  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-nul 3463  df-if 3574  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-int 3889  df-iun 3932  df-br 4049  df-opab 4111  df-mpt 4112  df-tr 4148  df-id 4345  df-iord 4418  df-on 4420  df-suc 4423  df-iom 4644  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-rn 4691  df-res 4692  df-ima 4693  df-iota 5238  df-fun 5279  df-fn 5280  df-f 5281  df-f1 5282  df-fo 5283  df-f1o 5284  df-fv 5285  df-1st 6236  df-2nd 6237  df-1o 6512  df-dju 7152  df-inl 7161  df-inr 7162  df-case 7198

This theorem is referenced by:  finct  7230