Theorem enumct 7181

Description: A finitely enumerable set is countable. Lemma 8.1.14 of [AczelRathjen], p. 73 (except that our definition of countable does not require the set to be inhabited). "Finitely enumerable" is defined as E. n e. om E. f f : n -onto-> A per Definition 8.1.4 of [AczelRathjen], p. 71 and "countable" is defined as E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) per [BauerSwan], p. 14:3. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
enumct	|- ( E. n e. om E. f f : n -onto-> A -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )

Distinct variable group:   A, f, g, n

Proof of Theorem enumct

Dummy variables x k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 527	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) /\ n = (/) ) -> f : n -onto-> A )
2		foeq2 5477	. . . . . . . . . 10 |- ( n = (/) -> ( f : n -onto-> A <-> f : (/) -onto-> A ) )
3	2	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) /\ n = (/) ) -> ( f : n -onto-> A <-> f : (/) -onto-> A ) )
4	1, 3	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) /\ n = (/) ) -> f : (/) -onto-> A )
5		fo00 5540	. . . . . . . 8 |- ( f : (/) -onto-> A <-> ( f = (/) /\ A = (/) ) )
6	4, 5	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) /\ n = (/) ) -> ( f = (/) /\ A = (/) ) )
7		0ct 7173	. . . . . . . 8 |- E. g g : om -onto-> ( (/) ⊔ 1o )
8		djueq1 7106	. . . . . . . . . 10 |- ( A = (/) -> ( A ⊔ 1o ) = ( (/) ⊔ 1o ) )
9		foeq3 5478	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A ⊔ 1o ) = ( (/) ⊔ 1o ) -> ( g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> g : om -onto-> ( (/) ⊔ 1o ) ) )
10	8, 9	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( A = (/) -> ( g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> g : om -onto-> ( (/) ⊔ 1o ) ) )
11	10	exbidv 1839	. . . . . . . 8 |- ( A = (/) -> ( E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> E. g g : om -onto-> ( (/) ⊔ 1o ) ) )
12	7, 11	mpbiri 168	. . . . . . 7 |- ( A = (/) -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
13	6, 12	simpl2im 386	. . . . . 6 |- ( ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) /\ n = (/) ) -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
14		omex 4629	. . . . . . . . 9 |- om e. _V
15	14	mptex 5788	. . . . . . . 8 |- ( k e. om |-> if ( k e. n , ( f ` k ) , ( f ` (/) ) ) ) e. _V
16		simpll 527	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) /\ (/) e. n ) -> f : n -onto-> A )
17		simplr 528	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) /\ (/) e. n ) -> n e. om )
18		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) /\ (/) e. n ) -> (/) e. n )
19		eqid 2196	. . . . . . . . 9 |- ( k e. om |-> if ( k e. n , ( f ` k ) , ( f ` (/) ) ) ) = ( k e. om |-> if ( k e. n , ( f ` k ) , ( f ` (/) ) ) )
20	16, 17, 18, 19	enumctlemm 7180	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) /\ (/) e. n ) -> ( k e. om |-> if ( k e. n , ( f ` k ) , ( f ` (/) ) ) ) : om -onto-> A )
21		foeq1 5476	. . . . . . . . 9 |- ( g = ( k e. om |-> if ( k e. n , ( f ` k ) , ( f ` (/) ) ) ) -> ( g : om -onto-> A <-> ( k e. om |-> if ( k e. n , ( f ` k ) , ( f ` (/) ) ) ) : om -onto-> A ) )
22	21	spcegv 2852	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. om |-> if ( k e. n , ( f ` k ) , ( f ` (/) ) ) ) e. _V -> ( ( k e. om |-> if ( k e. n , ( f ` k ) , ( f ` (/) ) ) ) : om -onto-> A -> E. g g : om -onto-> A ) )
23	15, 20, 22	mpsyl 65	. . . . . . 7 |- ( ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) /\ (/) e. n ) -> E. g g : om -onto-> A )
24		fof 5480	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : n -onto-> A -> f : n --> A )
25	24	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) /\ (/) e. n ) -> f : n --> A )
26	25, 18	ffvelcdmd 5698	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) /\ (/) e. n ) -> ( f ` (/) ) e. A )
27		eleq1 2259	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( f ` (/) ) -> ( x e. A <-> ( f ` (/) ) e. A ) )
28	27	spcegv 2852	. . . . . . . . 9 |- ( ( f ` (/) ) e. A -> ( ( f ` (/) ) e. A -> E. x x e. A ) )
29	26, 26, 28	sylc 62	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) /\ (/) e. n ) -> E. x x e. A )
30		ctm 7175	. . . . . . . 8 |- ( E. x x e. A -> ( E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> E. g g : om -onto-> A ) )
31	29, 30	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) /\ (/) e. n ) -> ( E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> E. g g : om -onto-> A ) )
32	23, 31	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) /\ (/) e. n ) -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
33		0elnn 4655	. . . . . . 7 |- ( n e. om -> ( n = (/) \/ (/) e. n ) )
34	33	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) -> ( n = (/) \/ (/) e. n ) )
35	13, 32, 34	mpjaodan 799	. . . . 5 |- ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
36	35	ex 115	. . . 4 |- ( f : n -onto-> A -> ( n e. om -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) )
37	36	exlimiv 1612	. . 3 |- ( E. f f : n -onto-> A -> ( n e. om -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) )
38	37	impcom 125	. 2 |- ( ( n e. om /\ E. f f : n -onto-> A ) -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
39	38	rexlimiva 2609	1 |- ( E. n e. om E. f f : n -onto-> A -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   E.wrex 2476   _Vcvv 2763   (/)c0 3450   ifcif 3561   |-> cmpt 4094   omcom 4626   -->wf 5254   -onto->wfo 5256   ` cfv 5258   1oc1o 6467   ⊔ cdju 7103

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-1o 6474  df-dju 7104  df-inl 7113  df-inr 7114  df-case 7150

This theorem is referenced by:  finct  7182