Theorem enumct 7308

Description: A finitely enumerable set is countable. Lemma 8.1.14 of [AczelRathjen], p. 73 (except that our definition of countable does not require the set to be inhabited). "Finitely enumerable" is defined as E. n e. om E. f f : n -onto-> A per Definition 8.1.4 of [AczelRathjen], p. 71 and "countable" is defined as E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) per [BauerSwan], p. 14:3. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
enumct	|- ( E. n e. om E. f f : n -onto-> A -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )

Distinct variable group:   A, f, g, n

Proof of Theorem enumct

Dummy variables x k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 527	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) /\ n = (/) ) -> f : n -onto-> A )
2		foeq2 5553	. . . . . . . . . 10 |- ( n = (/) -> ( f : n -onto-> A <-> f : (/) -onto-> A ) )
3	2	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) /\ n = (/) ) -> ( f : n -onto-> A <-> f : (/) -onto-> A ) )
4	1, 3	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) /\ n = (/) ) -> f : (/) -onto-> A )
5		fo00 5617	. . . . . . . 8 |- ( f : (/) -onto-> A <-> ( f = (/) /\ A = (/) ) )
6	4, 5	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) /\ n = (/) ) -> ( f = (/) /\ A = (/) ) )
7		0ct 7300	. . . . . . . 8 |- E. g g : om -onto-> ( (/) ⊔ 1o )
8		djueq1 7233	. . . . . . . . . 10 |- ( A = (/) -> ( A ⊔ 1o ) = ( (/) ⊔ 1o ) )
9		foeq3 5554	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A ⊔ 1o ) = ( (/) ⊔ 1o ) -> ( g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> g : om -onto-> ( (/) ⊔ 1o ) ) )
10	8, 9	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( A = (/) -> ( g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> g : om -onto-> ( (/) ⊔ 1o ) ) )
11	10	exbidv 1871	. . . . . . . 8 |- ( A = (/) -> ( E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> E. g g : om -onto-> ( (/) ⊔ 1o ) ) )
12	7, 11	mpbiri 168	. . . . . . 7 |- ( A = (/) -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
13	6, 12	simpl2im 386	. . . . . 6 |- ( ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) /\ n = (/) ) -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
14		omex 4689	. . . . . . . . 9 |- om e. _V
15	14	mptex 5875	. . . . . . . 8 |- ( k e. om |-> if ( k e. n , ( f ` k ) , ( f ` (/) ) ) ) e. _V
16		simpll 527	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) /\ (/) e. n ) -> f : n -onto-> A )
17		simplr 528	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) /\ (/) e. n ) -> n e. om )
18		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) /\ (/) e. n ) -> (/) e. n )
19		eqid 2229	. . . . . . . . 9 |- ( k e. om |-> if ( k e. n , ( f ` k ) , ( f ` (/) ) ) ) = ( k e. om |-> if ( k e. n , ( f ` k ) , ( f ` (/) ) ) )
20	16, 17, 18, 19	enumctlemm 7307	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) /\ (/) e. n ) -> ( k e. om |-> if ( k e. n , ( f ` k ) , ( f ` (/) ) ) ) : om -onto-> A )
21		foeq1 5552	. . . . . . . . 9 |- ( g = ( k e. om |-> if ( k e. n , ( f ` k ) , ( f ` (/) ) ) ) -> ( g : om -onto-> A <-> ( k e. om |-> if ( k e. n , ( f ` k ) , ( f ` (/) ) ) ) : om -onto-> A ) )
22	21	spcegv 2892	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. om |-> if ( k e. n , ( f ` k ) , ( f ` (/) ) ) ) e. _V -> ( ( k e. om |-> if ( k e. n , ( f ` k ) , ( f ` (/) ) ) ) : om -onto-> A -> E. g g : om -onto-> A ) )
23	15, 20, 22	mpsyl 65	. . . . . . 7 |- ( ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) /\ (/) e. n ) -> E. g g : om -onto-> A )
24		fof 5556	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : n -onto-> A -> f : n --> A )
25	24	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) /\ (/) e. n ) -> f : n --> A )
26	25, 18	ffvelcdmd 5779	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) /\ (/) e. n ) -> ( f ` (/) ) e. A )
27		eleq1 2292	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( f ` (/) ) -> ( x e. A <-> ( f ` (/) ) e. A ) )
28	27	spcegv 2892	. . . . . . . . 9 |- ( ( f ` (/) ) e. A -> ( ( f ` (/) ) e. A -> E. x x e. A ) )
29	26, 26, 28	sylc 62	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) /\ (/) e. n ) -> E. x x e. A )
30		ctm 7302	. . . . . . . 8 |- ( E. x x e. A -> ( E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> E. g g : om -onto-> A ) )
31	29, 30	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) /\ (/) e. n ) -> ( E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> E. g g : om -onto-> A ) )
32	23, 31	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) /\ (/) e. n ) -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
33		0elnn 4715	. . . . . . 7 |- ( n e. om -> ( n = (/) \/ (/) e. n ) )
34	33	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) -> ( n = (/) \/ (/) e. n ) )
35	13, 32, 34	mpjaodan 803	. . . . 5 |- ( ( f : n -onto-> A /\ n e. om ) -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
36	35	ex 115	. . . 4 |- ( f : n -onto-> A -> ( n e. om -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) )
37	36	exlimiv 1644	. . 3 |- ( E. f f : n -onto-> A -> ( n e. om -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) )
38	37	impcom 125	. 2 |- ( ( n e. om /\ E. f f : n -onto-> A ) -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
39	38	rexlimiva 2643	1 |- ( E. n e. om E. f f : n -onto-> A -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 713   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   E.wrex 2509   _Vcvv 2800   (/)c0 3492   ifcif 3603   |-> cmpt 4148   omcom 4686   -->wf 5320   -onto->wfo 5322   ` cfv 5324   1oc1o 6570   ⊔ cdju 7230

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-1o 6577  df-dju 7231  df-inl 7240  df-inr 7241  df-case 7277

This theorem is referenced by:  finct  7309