Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  enumct Unicode version

Theorem enumct 7000
 Description: A finitely enumerable set is countable. Lemma 8.1.14 of [AczelRathjen], p. 73 (except that our definition of countable does not require the set to be inhabited). "Finitely enumerable" is defined as per Definition 8.1.4 of [AczelRathjen], p. 71 and "countable" is defined as ⊔ per [BauerSwan], p. 14:3. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Mar-2023.)
Assertion
Ref Expression
enumct
Distinct variable group:   ,,,

Proof of Theorem enumct
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 518 . . . . . . . . 9
2 foeq2 5342 . . . . . . . . . 10
32adantl 275 . . . . . . . . 9
41, 3mpbid 146 . . . . . . . 8
5 fo00 5403 . . . . . . . 8
64, 5sylib 121 . . . . . . 7
7 0ct 6992 . . . . . . . 8
8 djueq1 6925 . . . . . . . . . 10
9 foeq3 5343 . . . . . . . . . 10
108, 9syl 14 . . . . . . . . 9
1110exbidv 1797 . . . . . . . 8
127, 11mpbiri 167 . . . . . . 7
136, 12simpl2im 383 . . . . . 6
14 omex 4507 . . . . . . . . 9
1514mptex 5646 . . . . . . . 8
16 simpll 518 . . . . . . . . 9
17 simplr 519 . . . . . . . . 9
18 simpr 109 . . . . . . . . 9
19 eqid 2139 . . . . . . . . 9
2016, 17, 18, 19enumctlemm 6999 . . . . . . . 8
21 foeq1 5341 . . . . . . . . 9
2221spcegv 2774 . . . . . . . 8
2315, 20, 22mpsyl 65 . . . . . . 7
24 fof 5345 . . . . . . . . . . 11
2524ad2antrr 479 . . . . . . . . . 10
2625, 18ffvelrnd 5556 . . . . . . . . 9
27 eleq1 2202 . . . . . . . . . 10
2827spcegv 2774 . . . . . . . . 9
2926, 26, 28sylc 62 . . . . . . . 8
30 ctm 6994 . . . . . . . 8
3129, 30syl 14 . . . . . . 7
3223, 31mpbird 166 . . . . . 6
33 0elnn 4532 . . . . . . 7
3433adantl 275 . . . . . 6
3513, 32, 34mpjaodan 787 . . . . 5
3635ex 114 . . . 4
3736exlimiv 1577 . . 3
3837impcom 124 . 2
3938rexlimiva 2544 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wb 104   wo 697   wceq 1331  wex 1468   wcel 1480  wrex 2417  cvv 2686  c0 3363  cif 3474   cmpt 3989  com 4504  wf 5119  wfo 5121  cfv 5123  c1o 6306   ⊔ cdju 6922 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-1o 6313  df-dju 6923  df-inl 6932  df-inr 6933  df-case 6969 This theorem is referenced by:  finct  7001
 Copyright terms: Public domain W3C validator