Theorem fun2dmnop 11102

Description: A function with a domain containing (at least) two different elements is not an ordered pair. (Contributed by AV, 21-Sep-2020.) (Proof shortened by AV, 9-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fun2dmnop.a	|- A e. _V
fun2dmnop.b	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
fun2dmnop	|- ( ( Fun G /\ A =/= B /\ { A , B } C_ dom G ) -> -. G e. ( _V X. _V ) )

Proof of Theorem fun2dmnop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fundif 5371	. 2 |- ( Fun G -> Fun ( G \ { (/) } ) )
2		fun2dmnop.a	. . 3 |- A e. _V
3		fun2dmnop.b	. . 3 |- B e. _V
4	2, 3	fun2dmnop0 11101	. 2 |- ( ( Fun ( G \ { (/) } ) /\ A =/= B /\ { A , B } C_ dom G ) -> -. G e. ( _V X. _V ) )
5	1, 4	syl3an1 1304	1 |- ( ( Fun G /\ A =/= B /\ { A , B } C_ dom G ) -> -. G e. ( _V X. _V ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ w3a 1002   e. wcel 2200   =/= wne 2400   _Vcvv 2800   \ cdif 3195   C_ wss 3198   (/)c0 3492   {csn 3667   {cpr 3668   X. cxp 4721   dom cdm 4723   Fun wfun 5318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-suc 4466  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-1o 6577  df-2o 6578  df-en 6905  df-dom 6906

This theorem is referenced by: (None)