Theorem fun2dmnop 11325

Description: A function with a domain containing (at least) two different elements is not an ordered pair. (Contributed by AV, 21-Sep-2020.) (Proof shortened by AV, 9-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fun2dmnop.a	|- A e. _V
fun2dmnop.b	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
fun2dmnop	|- ( ( Fun G /\ A =/= B /\ { A , B } C_ dom G ) -> -. G e. ( _V X. _V ) )

Proof of Theorem fun2dmnop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fundif 5428	. 2 |- ( Fun G -> Fun ( G \ { (/) } ) )
2		fun2dmnop.a	. . 3 |- A e. _V
3		fun2dmnop.b	. . 3 |- B e. _V
4	2, 3	fun2dmnop0 11324	. 2 |- ( ( Fun ( G \ { (/) } ) /\ A =/= B /\ { A , B } C_ dom G ) -> -. G e. ( _V X. _V ) )
5	1, 4	syl3an1 1311	1 |- ( ( Fun G /\ A =/= B /\ { A , B } C_ dom G ) -> -. G e. ( _V X. _V ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ w3a 1009   e. wcel 2209   =/= wne 2420   _Vcvv 2821   \ cdif 3217   C_ wss 3220   (/)c0 3520   {csn 3709   {cpr 3710   X. cxp 4774   dom cdm 4776   Fun wfun 5374

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-1o 6691  df-2o 6692  df-en 7027  df-dom 7028

This theorem is used by: (None)