Theorem fun2dmnop 11111

Description: A function with a domain containing (at least) two different elements is not an ordered pair. (Contributed by AV, 21-Sep-2020.) (Proof shortened by AV, 9-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fun2dmnop.a	⊢ 𝐴 ∈ V
fun2dmnop.b	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fun2dmnop	⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐺) → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))

Proof of Theorem fun2dmnop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fundif 5374	. 2 ⊢ (Fun 𝐺 → Fun (𝐺 ∖ {∅}))
2		fun2dmnop.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
3		fun2dmnop.b	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
4	2, 3	fun2dmnop0 11110	. 2 ⊢ ((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐺) → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))
5	1, 4	syl3an1 1306	1 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐺) → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ w3a 1004   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2402  Vcvv 2802   ∖ cdif 3197   ⊆ wss 3200  ∅c0 3494  {csn 3669  {cpr 3670   × cxp 4723  dom cdm 4725  Fun wfun 5320

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-1o 6581  df-2o 6582  df-en 6909  df-dom 6910

This theorem is referenced by: (None)