Theorem funconstss 5680

Description: Two ways of specifying that a function is constant on a subdomain. (Contributed by NM, 8-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
funconstss	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ (◡𝐹 “ {𝐵})))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem funconstss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funimass4 5611	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹 “ 𝐴) ⊆ {𝐵} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ {𝐵}))
2		funimass3 5678	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹 “ 𝐴) ⊆ {𝐵} ↔ 𝐴 ⊆ (◡𝐹 “ {𝐵})))
3		ssel2 3178	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ dom 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
4	3	anim2i 342	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ (𝐴 ⊆ dom 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (Fun 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹))
5	4	anassrs 400	. . . 4 ⊢ (((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (Fun 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹))
6		funfvex 5575	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑥) ∈ V)
7		elsng 3637	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ V → ((𝐹‘𝑥) ∈ {𝐵} ↔ (𝐹‘𝑥) = 𝐵))
8	5, 6, 7	3syl 17	. . 3 ⊢ (((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) ∈ {𝐵} ↔ (𝐹‘𝑥) = 𝐵))
9	8	ralbidva 2493	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ {𝐵} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = 𝐵))
10	1, 2, 9	3bitr3rd 219	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ (◡𝐹 “ {𝐵})))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  Vcvv 2763   ⊆ wss 3157  {csn 3622  ^◡ccnv 4662  dom cdm 4663   “ cima 4666  Fun wfun 5252  ‘cfv 5258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-fv 5266

This theorem is referenced by:  fconst3m  5781