ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  funconstss GIF version

Theorem funconstss 5504
Description: Two ways of specifying that a function is constant on a subdomain. (Contributed by NM, 8-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
funconstss ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝐵𝐴 ⊆ (𝐹 “ {𝐵})))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem funconstss
StepHypRef Expression
1 funimass4 5438 . 2 ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹𝐴) ⊆ {𝐵} ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ {𝐵}))
2 funimass3 5502 . 2 ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹𝐴) ⊆ {𝐵} ↔ 𝐴 ⊆ (𝐹 “ {𝐵})))
3 ssel2 3060 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ dom 𝐹𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
43anim2i 337 . . . . 5 ((Fun 𝐹 ∧ (𝐴 ⊆ dom 𝐹𝑥𝐴)) → (Fun 𝐹𝑥 ∈ dom 𝐹))
54anassrs 395 . . . 4 (((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝑥𝐴) → (Fun 𝐹𝑥 ∈ dom 𝐹))
6 funfvex 5404 . . . 4 ((Fun 𝐹𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑥) ∈ V)
7 elsng 3510 . . . 4 ((𝐹𝑥) ∈ V → ((𝐹𝑥) ∈ {𝐵} ↔ (𝐹𝑥) = 𝐵))
85, 6, 73syl 17 . . 3 (((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) ∈ {𝐵} ↔ (𝐹𝑥) = 𝐵))
98ralbidva 2408 . 2 ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ {𝐵} ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝐵))
101, 2, 93bitr3rd 218 1 ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝐵𝐴 ⊆ (𝐹 “ {𝐵})))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1314  wcel 1463  wral 2391  Vcvv 2658  wss 3039  {csn 3495  ccnv 4506  dom cdm 4507  cima 4510  Fun wfun 5085  cfv 5091
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ral 2396  df-rex 2397  df-v 2660  df-sbc 2881  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-br 3898  df-opab 3958  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-fv 5099
This theorem is referenced by:  fconst3m  5605
  Copyright terms: Public domain W3C validator