ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  funconstss GIF version

Theorem funconstss 5417
Description: Two ways of specifying that a function is constant on a subdomain. (Contributed by NM, 8-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
funconstss ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝐵𝐴 ⊆ (𝐹 “ {𝐵})))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem funconstss
StepHypRef Expression
1 funimass4 5355 . 2 ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹𝐴) ⊆ {𝐵} ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ {𝐵}))
2 funimass3 5415 . 2 ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹𝐴) ⊆ {𝐵} ↔ 𝐴 ⊆ (𝐹 “ {𝐵})))
3 ssel2 3020 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ dom 𝐹𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
43anim2i 334 . . . . 5 ((Fun 𝐹 ∧ (𝐴 ⊆ dom 𝐹𝑥𝐴)) → (Fun 𝐹𝑥 ∈ dom 𝐹))
54anassrs 392 . . . 4 (((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝑥𝐴) → (Fun 𝐹𝑥 ∈ dom 𝐹))
6 funfvex 5322 . . . 4 ((Fun 𝐹𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑥) ∈ V)
7 elsng 3461 . . . 4 ((𝐹𝑥) ∈ V → ((𝐹𝑥) ∈ {𝐵} ↔ (𝐹𝑥) = 𝐵))
85, 6, 73syl 17 . . 3 (((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) ∈ {𝐵} ↔ (𝐹𝑥) = 𝐵))
98ralbidva 2376 . 2 ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ {𝐵} ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝐵))
101, 2, 93bitr3rd 217 1 ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝐵𝐴 ⊆ (𝐹 “ {𝐵})))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103   = wceq 1289  wcel 1438  wral 2359  Vcvv 2619  wss 2999  {csn 3446  ccnv 4437  dom cdm 4438  cima 4441  Fun wfun 5009  cfv 5015
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-sbc 2841  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-br 3846  df-opab 3900  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-fv 5023
This theorem is referenced by:  fconst3m  5516
  Copyright terms: Public domain W3C validator