Theorem funconstss 5798

Description: Two ways of specifying that a function is constant on a subdomain. (Contributed by NM, 8-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
funconstss	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ (◡𝐹 “ {𝐵})))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem funconstss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funimass4 5729	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹 “ 𝐴) ⊆ {𝐵} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ {𝐵}))
2		funimass3 5796	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹 “ 𝐴) ⊆ {𝐵} ↔ 𝐴 ⊆ (◡𝐹 “ {𝐵})))
3		ssel2 3235	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ dom 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
4	3	anim2i 342	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ (𝐴 ⊆ dom 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (Fun 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹))
5	4	anassrs 400	. . . 4 ⊢ (((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (Fun 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹))
6		funfvex 5689	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑥) ∈ V)
7		elsng 3706	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ V → ((𝐹‘𝑥) ∈ {𝐵} ↔ (𝐹‘𝑥) = 𝐵))
8	5, 6, 7	3syl 17	. . 3 ⊢ (((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) ∈ {𝐵} ↔ (𝐹‘𝑥) = 𝐵))
9	8	ralbidva 2540	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ {𝐵} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = 𝐵))
10	1, 2, 9	3bitr3rd 219	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ (◡𝐹 “ {𝐵})))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∀wral 2522  Vcvv 2815   ⊆ wss 3213  {csn 3691  ^◡ccnv 4750  dom cdm 4751   “ cima 4754  Fun wfun 5348  ‘cfv 5354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-sbc 3045  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-br 4112  df-opab 4174  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-fv 5362

This theorem is referenced by:  fconst3m  5905