Theorem funi 5290

Description: The identity relation is a function. Part of Theorem 10.4 of [Quine] p. 65. (Contributed by NM, 30-Apr-1998.)

Assertion

Ref	Expression
funi	|- Fun _I

Proof of Theorem funi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reli 4795	. 2 |- Rel _I
2		relcnv 5047	. . . . 5 |- Rel `' _I
3		coi2 5186	. . . . 5 |- ( Rel `' _I -> ( _I o. `' _I ) = `' _I )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 |- ( _I o. `' _I ) = `' _I
5		cnvi 5074	. . . 4 |- `' _I = _I
6	4, 5	eqtri 2217	. . 3 |- ( _I o. `' _I ) = _I
7	6	eqimssi 3239	. 2 |- ( _I o. `' _I ) C_ _I
8		df-fun 5260	. 2 |- ( Fun _I <-> ( Rel _I /\ ( _I o. `' _I ) C_ _I ) )
9	1, 7, 8	mpbir2an 944	1 |- Fun _I

Syntax hints:   = wceq 1364   C_ wss 3157   _I cid 4323   `'ccnv 4662   o. ccom 4667   Rel wrel 4668   Fun wfun 5252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-fun 5260

This theorem is referenced by:  cnvresid  5332  fnresi  5375  fvi  5618  ssdomg  6837  residfi  7006  climshft2  11471