Theorem cnvresid 5309

Description: Converse of a restricted identity function. (Contributed by FL, 4-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
cnvresid	|- `' ( _I |` A ) = ( _I |` A )

Proof of Theorem cnvresid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvi 5051	. . 3 |- `' _I = _I
2	1	eqcomi 2193	. 2 |- _I = `' _I
3		funi 5267	. . 3 |- Fun _I
4		funeq 5255	. . 3 |- ( _I = `' _I -> ( Fun _I <-> Fun `' _I ) )
5	3, 4	mpbii 148	. 2 |- ( _I = `' _I -> Fun `' _I )
6		funcnvres 5308	. . 3 |- ( Fun `' _I -> `' ( _I |` A ) = ( `' _I |` ( _I " A ) ) )
7		imai 5002	. . . 4 |- ( _I " A ) = A
8	1, 7	reseq12i 4923	. . 3 |- ( `' _I |` ( _I " A ) ) = ( _I |` A )
9	6, 8	eqtrdi 2238	. 2 |- ( Fun `' _I -> `' ( _I |` A ) = ( _I |` A ) )
10	2, 5, 9	mp2b 8	1 |- `' ( _I |` A ) = ( _I |` A )

Syntax hints:   = wceq 1364   _I cid 4306   `'ccnv 4643   |` cres 4646   "cima 4647   Fun wfun 5229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-fun 5237

This theorem is referenced by:  fcoi1  5415  f1oi  5518  ssidcn  14187  idhmeo  14294