Theorem cnvresid 5395

Description: Converse of a restricted identity function. (Contributed by FL, 4-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
cnvresid	|- `' ( _I |` A ) = ( _I |` A )

Proof of Theorem cnvresid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvi 5133	. . 3 |- `' _I = _I
2	1	eqcomi 2233	. 2 |- _I = `' _I
3		funi 5350	. . 3 |- Fun _I
4		funeq 5338	. . 3 |- ( _I = `' _I -> ( Fun _I <-> Fun `' _I ) )
5	3, 4	mpbii 148	. 2 |- ( _I = `' _I -> Fun `' _I )
6		funcnvres 5394	. . 3 |- ( Fun `' _I -> `' ( _I |` A ) = ( `' _I |` ( _I " A ) ) )
7		imai 5084	. . . 4 |- ( _I " A ) = A
8	1, 7	reseq12i 5003	. . 3 |- ( `' _I |` ( _I " A ) ) = ( _I |` A )
9	6, 8	eqtrdi 2278	. 2 |- ( Fun `' _I -> `' ( _I |` A ) = ( _I |` A ) )
10	2, 5, 9	mp2b 8	1 |- `' ( _I |` A ) = ( _I |` A )

Syntax hints:   = wceq 1395   _I cid 4379   `'ccnv 4718   |` cres 4721   "cima 4722   Fun wfun 5312

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-fun 5320

This theorem is referenced by:  fcoi1  5506  f1oi  5611  xnn0nnen  10659  ssidcn  14884  idhmeo  14991