Theorem cnvresid 5332

Description: Converse of a restricted identity function. (Contributed by FL, 4-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
cnvresid	|- `' ( _I |` A ) = ( _I |` A )

Proof of Theorem cnvresid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvi 5074	. . 3 |- `' _I = _I
2	1	eqcomi 2200	. 2 |- _I = `' _I
3		funi 5290	. . 3 |- Fun _I
4		funeq 5278	. . 3 |- ( _I = `' _I -> ( Fun _I <-> Fun `' _I ) )
5	3, 4	mpbii 148	. 2 |- ( _I = `' _I -> Fun `' _I )
6		funcnvres 5331	. . 3 |- ( Fun `' _I -> `' ( _I |` A ) = ( `' _I |` ( _I " A ) ) )
7		imai 5025	. . . 4 |- ( _I " A ) = A
8	1, 7	reseq12i 4944	. . 3 |- ( `' _I |` ( _I " A ) ) = ( _I |` A )
9	6, 8	eqtrdi 2245	. 2 |- ( Fun `' _I -> `' ( _I |` A ) = ( _I |` A ) )
10	2, 5, 9	mp2b 8	1 |- `' ( _I |` A ) = ( _I |` A )

Syntax hints:   = wceq 1364   _I cid 4323   `'ccnv 4662   |` cres 4665   "cima 4666   Fun wfun 5252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-fun 5260

This theorem is referenced by:  fcoi1  5438  f1oi  5542  xnn0nnen  10529  ssidcn  14446  idhmeo  14553