Theorem cnvresid 5088

Description: Converse of a restricted identity function. (Contributed by FL, 4-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
cnvresid	|- `' ( _I |` A ) = ( _I |` A )

Proof of Theorem cnvresid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvi 4836	. . 3 |- `' _I = _I
2	1	eqcomi 2092	. 2 |- _I = `' _I
3		funi 5046	. . 3 |- Fun _I
4		funeq 5035	. . 3 |- ( _I = `' _I -> ( Fun _I <-> Fun `' _I ) )
5	3, 4	mpbii 146	. 2 |- ( _I = `' _I -> Fun `' _I )
6		funcnvres 5087	. . 3 |- ( Fun `' _I -> `' ( _I |` A ) = ( `' _I |` ( _I " A ) ) )
7		imai 4788	. . . 4 |- ( _I " A ) = A
8	1, 7	reseq12i 4711	. . 3 |- ( `' _I |` ( _I " A ) ) = ( _I |` A )
9	6, 8	syl6eq 2136	. 2 |- ( Fun `' _I -> `' ( _I |` A ) = ( _I |` A ) )
10	2, 5, 9	mp2b 8	1 |- `' ( _I |` A ) = ( _I |` A )

Syntax hints:   = wceq 1289   _I cid 4115   `'ccnv 4437   |` cres 4440   "cima 4441   Fun wfun 5009

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-br 3846  df-opab 3900  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-fun 5017

This theorem is referenced by:  fcoi1  5191  f1oi  5291