Theorem funi 5205

Description: The identity relation is a function. Part of Theorem 10.4 of [Quine] p. 65. (Contributed by NM, 30-Apr-1998.)

Assertion

Ref	Expression
funi	⊢ Fun I

Proof of Theorem funi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reli 4718	. 2 ⊢ Rel I
2		relcnv 4967	. . . . 5 ⊢ Rel ◡ I
3		coi2 5105	. . . . 5 ⊢ (Rel ◡ I → ( I ∘ ◡ I ) = ◡ I )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( I ∘ ◡ I ) = ◡ I
5		cnvi 4993	. . . 4 ⊢ ◡ I = I
6	4, 5	eqtri 2178	. . 3 ⊢ ( I ∘ ◡ I ) = I
7	6	eqimssi 3184	. 2 ⊢ ( I ∘ ◡ I ) ⊆ I
8		df-fun 5175	. 2 ⊢ (Fun I ↔ (Rel I ∧ ( I ∘ ◡ I ) ⊆ I ))
9	1, 7, 8	mpbir2an 927	1 ⊢ Fun I

Syntax hints:   = wceq 1335   ⊆ wss 3102   I cid 4251  ^◡ccnv 4588   ∘ ccom 4593  Rel wrel 4594  Fun wfun 5167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4085  ax-pow 4138  ax-pr 4172

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-br 3968  df-opab 4029  df-id 4256  df-xp 4595  df-rel 4596  df-cnv 4597  df-co 4598  df-fun 5175

This theorem is referenced by:  cnvresid  5247  fnresi  5290  fvi  5528  ssdomg  6726  climshft2  11215