Theorem funi 5291

Description: The identity relation is a function. Part of Theorem 10.4 of [Quine] p. 65. (Contributed by NM, 30-Apr-1998.)

Assertion

Ref	Expression
funi	⊢ Fun I

Proof of Theorem funi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reli 4796	. 2 ⊢ Rel I
2		relcnv 5048	. . . . 5 ⊢ Rel ◡ I
3		coi2 5187	. . . . 5 ⊢ (Rel ◡ I → ( I ∘ ◡ I ) = ◡ I )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( I ∘ ◡ I ) = ◡ I
5		cnvi 5075	. . . 4 ⊢ ◡ I = I
6	4, 5	eqtri 2217	. . 3 ⊢ ( I ∘ ◡ I ) = I
7	6	eqimssi 3240	. 2 ⊢ ( I ∘ ◡ I ) ⊆ I
8		df-fun 5261	. 2 ⊢ (Fun I ↔ (Rel I ∧ ( I ∘ ◡ I ) ⊆ I ))
9	1, 7, 8	mpbir2an 944	1 ⊢ Fun I

Syntax hints:   = wceq 1364   ⊆ wss 3157   I cid 4324  ^◡ccnv 4663   ∘ ccom 4668  Rel wrel 4669  Fun wfun 5253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-fun 5261

This theorem is referenced by:  cnvresid  5333  fnresi  5378  fvi  5621  ssdomg  6846  residfi  7015  climshft2  11488