Theorem funi 5220

Description: The identity relation is a function. Part of Theorem 10.4 of [Quine] p. 65. (Contributed by NM, 30-Apr-1998.)

Assertion

Ref	Expression
funi	⊢ Fun I

Proof of Theorem funi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reli 4733	. 2 ⊢ Rel I
2		relcnv 4982	. . . . 5 ⊢ Rel ◡ I
3		coi2 5120	. . . . 5 ⊢ (Rel ◡ I → ( I ∘ ◡ I ) = ◡ I )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( I ∘ ◡ I ) = ◡ I
5		cnvi 5008	. . . 4 ⊢ ◡ I = I
6	4, 5	eqtri 2186	. . 3 ⊢ ( I ∘ ◡ I ) = I
7	6	eqimssi 3198	. 2 ⊢ ( I ∘ ◡ I ) ⊆ I
8		df-fun 5190	. 2 ⊢ (Fun I ↔ (Rel I ∧ ( I ∘ ◡ I ) ⊆ I ))
9	1, 7, 8	mpbir2an 932	1 ⊢ Fun I

Syntax hints:   = wceq 1343   ⊆ wss 3116   I cid 4266  ^◡ccnv 4603   ∘ ccom 4608  Rel wrel 4609  Fun wfun 5182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-fun 5190

This theorem is referenced by:  cnvresid  5262  fnresi  5305  fvi  5543  ssdomg  6744  climshft2  11247