Theorem funi 5365

Description: The identity relation is a function. Part of Theorem 10.4 of [Quine] p. 65. (Contributed by NM, 30-Apr-1998.)

Assertion

Ref	Expression
funi	⊢ Fun I

Proof of Theorem funi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reli 4865	. 2 ⊢ Rel I
2		relcnv 5121	. . . . 5 ⊢ Rel ◡ I
3		coi2 5260	. . . . 5 ⊢ (Rel ◡ I → ( I ∘ ◡ I ) = ◡ I )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( I ∘ ◡ I ) = ◡ I
5		cnvi 5148	. . . 4 ⊢ ◡ I = I
6	4, 5	eqtri 2252	. . 3 ⊢ ( I ∘ ◡ I ) = I
7	6	eqimssi 3284	. 2 ⊢ ( I ∘ ◡ I ) ⊆ I
8		df-fun 5335	. 2 ⊢ (Fun I ↔ (Rel I ∧ ( I ∘ ◡ I ) ⊆ I ))
9	1, 7, 8	mpbir2an 951	1 ⊢ Fun I

Syntax hints:   = wceq 1398   ⊆ wss 3201   I cid 4391  ^◡ccnv 4730   ∘ ccom 4735  Rel wrel 4736  Fun wfun 5327

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-fun 5335

This theorem is referenced by:  cnvresid  5411  fnresi  5457  fvi  5712  ssdomg  6995  residfi  7182  climshft2  11927