Theorem funopab 5223

Description: A class of ordered pairs is a function when there is at most one second member for each pair. (Contributed by NM, 16-May-1995.)

Assertion

Ref	Expression
funopab	|- ( Fun { <. x , y >. | ph } <-> A. x E* y ph )

Distinct variable group:   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem funopab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relopab 4731	. . 3 |- Rel { <. x , y >. | ph }
2		nfopab1 4051	. . . 4 |- F/_ x { <. x , y >. | ph }
3		nfopab2 4052	. . . 4 |- F/_ y { <. x , y >. | ph }
4	2, 3	dffun6f 5201	. . 3 |- ( Fun { <. x , y >. | ph } <-> ( Rel { <. x , y >. | ph } /\ A. x E* y x { <. x , y >. | ph } y ) )
5	1, 4	mpbiran 930	. 2 |- ( Fun { <. x , y >. | ph } <-> A. x E* y x { <. x , y >. | ph } y )
6		df-br 3983	. . . . 5 |- ( x { <. x , y >. | ph } y <-> <. x , y >. e. { <. x , y >. | ph } )
7		opabid 4235	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | ph } <-> ph )
8	6, 7	bitri 183	. . . 4 |- ( x { <. x , y >. | ph } y <-> ph )
9	8	mobii 2051	. . 3 |- ( E* y x { <. x , y >. | ph } y <-> E* y ph )
10	9	albii 1458	. 2 |- ( A. x E* y x { <. x , y >. | ph } y <-> A. x E* y ph )
11	5, 10	bitri 183	1 |- ( Fun { <. x , y >. | ph } <-> A. x E* y ph )

Syntax hints:   <-> wb 104   A.wal 1341   E*wmo 2015   e. wcel 2136   <.cop 3579   class class class wbr 3982   {copab 4042   Rel wrel 4609   Fun wfun 5182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-fun 5190

This theorem is referenced by:  funopabeq  5224  isarep2  5275  fnopabg  5311  fvopab3ig  5560  opabex  5709  funoprabg  5941