Theorem funopab 5233

Description: A class of ordered pairs is a function when there is at most one second member for each pair. (Contributed by NM, 16-May-1995.)

Assertion

Ref	Expression
funopab	|- ( Fun { <. x , y >. | ph } <-> A. x E* y ph )

Distinct variable group:   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem funopab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relopab 4738	. . 3 |- Rel { <. x , y >. | ph }
2		nfopab1 4058	. . . 4 |- F/_ x { <. x , y >. | ph }
3		nfopab2 4059	. . . 4 |- F/_ y { <. x , y >. | ph }
4	2, 3	dffun6f 5211	. . 3 |- ( Fun { <. x , y >. | ph } <-> ( Rel { <. x , y >. | ph } /\ A. x E* y x { <. x , y >. | ph } y ) )
5	1, 4	mpbiran 935	. 2 |- ( Fun { <. x , y >. | ph } <-> A. x E* y x { <. x , y >. | ph } y )
6		df-br 3990	. . . . 5 |- ( x { <. x , y >. | ph } y <-> <. x , y >. e. { <. x , y >. | ph } )
7		opabid 4242	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | ph } <-> ph )
8	6, 7	bitri 183	. . . 4 |- ( x { <. x , y >. | ph } y <-> ph )
9	8	mobii 2056	. . 3 |- ( E* y x { <. x , y >. | ph } y <-> E* y ph )
10	9	albii 1463	. 2 |- ( A. x E* y x { <. x , y >. | ph } y <-> A. x E* y ph )
11	5, 10	bitri 183	1 |- ( Fun { <. x , y >. | ph } <-> A. x E* y ph )

Syntax hints:   <-> wb 104   A.wal 1346   E*wmo 2020   e. wcel 2141   <.cop 3586   class class class wbr 3989   {copab 4049   Rel wrel 4616   Fun wfun 5192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-fun 5200

This theorem is referenced by:  funopabeq  5234  isarep2  5285  fnopabg  5321  fvopab3ig  5570  opabex  5720  funoprabg  5952