Theorem funopab 5293

Description: A class of ordered pairs is a function when there is at most one second member for each pair. (Contributed by NM, 16-May-1995.)

Assertion

Ref	Expression
funopab	|- ( Fun { <. x , y >. | ph } <-> A. x E* y ph )

Distinct variable group:   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem funopab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relopab 4792	. . 3 |- Rel { <. x , y >. | ph }
2		nfopab1 4102	. . . 4 |- F/_ x { <. x , y >. | ph }
3		nfopab2 4103	. . . 4 |- F/_ y { <. x , y >. | ph }
4	2, 3	dffun6f 5271	. . 3 |- ( Fun { <. x , y >. | ph } <-> ( Rel { <. x , y >. | ph } /\ A. x E* y x { <. x , y >. | ph } y ) )
5	1, 4	mpbiran 942	. 2 |- ( Fun { <. x , y >. | ph } <-> A. x E* y x { <. x , y >. | ph } y )
6		df-br 4034	. . . . 5 |- ( x { <. x , y >. | ph } y <-> <. x , y >. e. { <. x , y >. | ph } )
7		opabid 4290	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | ph } <-> ph )
8	6, 7	bitri 184	. . . 4 |- ( x { <. x , y >. | ph } y <-> ph )
9	8	mobii 2082	. . 3 |- ( E* y x { <. x , y >. | ph } y <-> E* y ph )
10	9	albii 1484	. 2 |- ( A. x E* y x { <. x , y >. | ph } y <-> A. x E* y ph )
11	5, 10	bitri 184	1 |- ( Fun { <. x , y >. | ph } <-> A. x E* y ph )

Syntax hints:   <-> wb 105   A.wal 1362   E*wmo 2046   e. wcel 2167   <.cop 3625   class class class wbr 4033   {copab 4093   Rel wrel 4668   Fun wfun 5252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-fun 5260

This theorem is referenced by:  funopabeq  5294  isarep2  5345  fnopabg  5381  fvopab3ig  5635  opabex  5786  funoprabg  6021