ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fnoprabg Unicode version

Theorem fnoprabg 5838
Description: Functionality and domain of an operation class abstraction. (Contributed by NM, 28-Aug-2007.)
Assertion
Ref Expression
fnoprabg  |-  ( A. x A. y ( ph  ->  E! z ps )  ->  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ph  /\  ps ) }  Fn  { <. x ,  y >.  |  ph } )
Distinct variable groups:    x, y, z    ph, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    ps( x, y, z)

Proof of Theorem fnoprabg
StepHypRef Expression
1 eumo 2007 . . . . . 6  |-  ( E! z ps  ->  E* z ps )
21imim2i 12 . . . . 5  |-  ( (
ph  ->  E! z ps )  ->  ( ph  ->  E* z ps )
)
3 moanimv 2050 . . . . 5  |-  ( E* z ( ph  /\  ps )  <->  ( ph  ->  E* z ps ) )
42, 3sylibr 133 . . . 4  |-  ( (
ph  ->  E! z ps )  ->  E* z
( ph  /\  ps )
)
542alimi 1415 . . 3  |-  ( A. x A. y ( ph  ->  E! z ps )  ->  A. x A. y E* z ( ph  /\  ps ) )
6 funoprabg 5836 . . 3  |-  ( A. x A. y E* z
( ph  /\  ps )  ->  Fun  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( ph  /\ 
ps ) } )
75, 6syl 14 . 2  |-  ( A. x A. y ( ph  ->  E! z ps )  ->  Fun  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( ph  /\ 
ps ) } )
8 dmoprab 5818 . . 3  |-  dom  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ph  /\  ps ) }  =  { <. x ,  y >.  |  E. z ( ph  /\ 
ps ) }
9 nfa1 1504 . . . 4  |-  F/ x A. x A. y (
ph  ->  E! z ps )
10 nfa2 1541 . . . 4  |-  F/ y A. x A. y
( ph  ->  E! z ps )
11 simpl 108 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ph )
1211exlimiv 1560 . . . . . . 7  |-  ( E. z ( ph  /\  ps )  ->  ph )
13 euex 2005 . . . . . . . . . 10  |-  ( E! z ps  ->  E. z ps )
1413imim2i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  ->  E! z ps )  ->  ( ph  ->  E. z ps )
)
1514ancld 321 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  ->  E! z ps )  ->  ( ph  ->  ( ph  /\  E. z ps ) ) )
16 19.42v 1860 . . . . . . . 8  |-  ( E. z ( ph  /\  ps )  <->  ( ph  /\  E. z ps ) )
1715, 16syl6ibr 161 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  ->  E! z ps )  ->  ( ph  ->  E. z ( ph  /\ 
ps ) ) )
1812, 17impbid2 142 . . . . . 6  |-  ( (
ph  ->  E! z ps )  ->  ( E. z ( ph  /\  ps )  <->  ph ) )
1918sps 1500 . . . . 5  |-  ( A. y ( ph  ->  E! z ps )  -> 
( E. z (
ph  /\  ps )  <->  ph ) )
2019sps 1500 . . . 4  |-  ( A. x A. y ( ph  ->  E! z ps )  ->  ( E. z (
ph  /\  ps )  <->  ph ) )
219, 10, 20opabbid 3961 . . 3  |-  ( A. x A. y ( ph  ->  E! z ps )  ->  { <. x ,  y
>.  |  E. z
( ph  /\  ps ) }  =  { <. x ,  y >.  |  ph } )
228, 21syl5eq 2160 . 2  |-  ( A. x A. y ( ph  ->  E! z ps )  ->  dom  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( ph  /\ 
ps ) }  =  { <. x ,  y
>.  |  ph } )
23 df-fn 5094 . 2  |-  ( {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ph  /\  ps ) }  Fn  { <. x ,  y >.  |  ph } 
<->  ( Fun  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  (
ph  /\  ps ) }  /\  dom  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  (
ph  /\  ps ) }  =  { <. x ,  y >.  |  ph } ) )
247, 22, 23sylanbrc 411 1  |-  ( A. x A. y ( ph  ->  E! z ps )  ->  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ph  /\  ps ) }  Fn  { <. x ,  y >.  |  ph } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104   A.wal 1312    = wceq 1314   E.wex 1451   E!weu 1975   E*wmo 1976   {copab 3956   dom cdm 4507   Fun wfun 5085    Fn wfn 5086   {coprab 5741
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ral 2396  df-rex 2397  df-v 2660  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-br 3898  df-opab 3958  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-fun 5093  df-fn 5094  df-oprab 5744
This theorem is referenced by:  fnoprab  5840  ovg  5875
  Copyright terms: Public domain W3C validator