Theorem fnoprabg 6182

Description: Functionality and domain of an operation class abstraction. (Contributed by NM, 28-Aug-2007.)

Assertion

Ref	Expression
fnoprabg	|- ( A. x A. y ( ph -> E! z ps ) -> { <. <. x , y >. , z >. | ( ph /\ ps ) } Fn { <. x , y >. | ph } )

Distinct variable groups:   x, y, z   ph, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   ps( x, y, z)

Proof of Theorem fnoprabg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eumo 2118	. . . . . 6 |- ( E! z ps -> E* z ps )
2	1	imim2i 12	. . . . 5 |- ( ( ph -> E! z ps ) -> ( ph -> E* z ps ) )
3		moanimv 2162	. . . . 5 |- ( E* z ( ph /\ ps ) <-> ( ph -> E* z ps ) )
4	2, 3	sylibr 134	. . . 4 |- ( ( ph -> E! z ps ) -> E* z ( ph /\ ps ) )
5	4	2alimi 1509	. . 3 |- ( A. x A. y ( ph -> E! z ps ) -> A. x A. y E* z ( ph /\ ps ) )
6		funoprabg 6180	. . 3 |- ( A. x A. y E* z ( ph /\ ps ) -> Fun { <. <. x , y >. , z >. | ( ph /\ ps ) } )
7	5, 6	syl 14	. 2 |- ( A. x A. y ( ph -> E! z ps ) -> Fun { <. <. x , y >. , z >. | ( ph /\ ps ) } )
8		dmoprab 6162	. . 3 |- dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ph /\ ps ) } = { <. x , y >. | E. z ( ph /\ ps ) }
9		nfa1 1594	. . . 4 |- F/ x A. x A. y ( ph -> E! z ps )
10		nfa2 1632	. . . 4 |- F/ y A. x A. y ( ph -> E! z ps )
11		simpl 109	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ps ) -> ph )
12	11	exlimiv 1651	. . . . . . 7 |- ( E. z ( ph /\ ps ) -> ph )
13		euex 2116	. . . . . . . . . 10 |- ( E! z ps -> E. z ps )
14	13	imim2i 12	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph -> E! z ps ) -> ( ph -> E. z ps ) )
15	14	ancld 325	. . . . . . . 8 |- ( ( ph -> E! z ps ) -> ( ph -> ( ph /\ E. z ps ) ) )
16		19.42v 1962	. . . . . . . 8 |- ( E. z ( ph /\ ps ) <-> ( ph /\ E. z ps ) )
17	15, 16	imbitrrdi 162	. . . . . . 7 |- ( ( ph -> E! z ps ) -> ( ph -> E. z ( ph /\ ps ) ) )
18	12, 17	impbid2 143	. . . . . 6 |- ( ( ph -> E! z ps ) -> ( E. z ( ph /\ ps ) <-> ph ) )
19	18	sps 1590	. . . . 5 |- ( A. y ( ph -> E! z ps ) -> ( E. z ( ph /\ ps ) <-> ph ) )
20	19	sps 1590	. . . 4 |- ( A. x A. y ( ph -> E! z ps ) -> ( E. z ( ph /\ ps ) <-> ph ) )
21	9, 10, 20	opabbid 4194	. . 3 |- ( A. x A. y ( ph -> E! z ps ) -> { <. x , y >. | E. z ( ph /\ ps ) } = { <. x , y >. | ph } )
22	8, 21	eqtrid 2283	. 2 |- ( A. x A. y ( ph -> E! z ps ) -> dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ph /\ ps ) } = { <. x , y >. | ph } )
23		df-fn 5378	. 2 |- ( { <. <. x , y >. , z >. | ( ph /\ ps ) } Fn { <. x , y >. | ph } <-> ( Fun { <. <. x , y >. , z >. | ( ph /\ ps ) } /\ dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ph /\ ps ) } = { <. x , y >. | ph } ) )
24	7, 22, 23	sylanbrc 421	1 |- ( A. x A. y ( ph -> E! z ps ) -> { <. <. x , y >. , z >. | ( ph /\ ps ) } Fn { <. x , y >. | ph } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1400   = wceq 1402   E.wex 1545   E!weu 2086   E*wmo 2087   {copab 4189   dom cdm 4772   Fun wfun 5369   Fn wfn 5370   {coprab 6079

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-br 4129  df-opab 4191  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-fun 5377  df-fn 5378  df-oprab 6082

This theorem is referenced by:  fnoprab  6184  ovg  6221