ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fnoprabg Unicode version

Theorem fnoprabg 5728
Description: Functionality and domain of an operation class abstraction. (Contributed by NM, 28-Aug-2007.)
Assertion
Ref Expression
fnoprabg  |-  ( A. x A. y ( ph  ->  E! z ps )  ->  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ph  /\  ps ) }  Fn  { <. x ,  y >.  |  ph } )
Distinct variable groups:    x, y, z    ph, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    ps( x, y, z)

Proof of Theorem fnoprabg
StepHypRef Expression
1 eumo 1980 . . . . . 6  |-  ( E! z ps  ->  E* z ps )
21imim2i 12 . . . . 5  |-  ( (
ph  ->  E! z ps )  ->  ( ph  ->  E* z ps )
)
3 moanimv 2023 . . . . 5  |-  ( E* z ( ph  /\  ps )  <->  ( ph  ->  E* z ps ) )
42, 3sylibr 132 . . . 4  |-  ( (
ph  ->  E! z ps )  ->  E* z
( ph  /\  ps )
)
542alimi 1390 . . 3  |-  ( A. x A. y ( ph  ->  E! z ps )  ->  A. x A. y E* z ( ph  /\  ps ) )
6 funoprabg 5726 . . 3  |-  ( A. x A. y E* z
( ph  /\  ps )  ->  Fun  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( ph  /\ 
ps ) } )
75, 6syl 14 . 2  |-  ( A. x A. y ( ph  ->  E! z ps )  ->  Fun  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( ph  /\ 
ps ) } )
8 dmoprab 5711 . . 3  |-  dom  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ph  /\  ps ) }  =  { <. x ,  y >.  |  E. z ( ph  /\ 
ps ) }
9 nfa1 1479 . . . 4  |-  F/ x A. x A. y (
ph  ->  E! z ps )
10 nfa2 1516 . . . 4  |-  F/ y A. x A. y
( ph  ->  E! z ps )
11 simpl 107 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ph )
1211exlimiv 1534 . . . . . . 7  |-  ( E. z ( ph  /\  ps )  ->  ph )
13 euex 1978 . . . . . . . . . 10  |-  ( E! z ps  ->  E. z ps )
1413imim2i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  ->  E! z ps )  ->  ( ph  ->  E. z ps )
)
1514ancld 318 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  ->  E! z ps )  ->  ( ph  ->  ( ph  /\  E. z ps ) ) )
16 19.42v 1834 . . . . . . . 8  |-  ( E. z ( ph  /\  ps )  <->  ( ph  /\  E. z ps ) )
1715, 16syl6ibr 160 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  ->  E! z ps )  ->  ( ph  ->  E. z ( ph  /\ 
ps ) ) )
1812, 17impbid2 141 . . . . . 6  |-  ( (
ph  ->  E! z ps )  ->  ( E. z ( ph  /\  ps )  <->  ph ) )
1918sps 1475 . . . . 5  |-  ( A. y ( ph  ->  E! z ps )  -> 
( E. z (
ph  /\  ps )  <->  ph ) )
2019sps 1475 . . . 4  |-  ( A. x A. y ( ph  ->  E! z ps )  ->  ( E. z (
ph  /\  ps )  <->  ph ) )
219, 10, 20opabbid 3895 . . 3  |-  ( A. x A. y ( ph  ->  E! z ps )  ->  { <. x ,  y
>.  |  E. z
( ph  /\  ps ) }  =  { <. x ,  y >.  |  ph } )
228, 21syl5eq 2132 . 2  |-  ( A. x A. y ( ph  ->  E! z ps )  ->  dom  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( ph  /\ 
ps ) }  =  { <. x ,  y
>.  |  ph } )
23 df-fn 5005 . 2  |-  ( {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ph  /\  ps ) }  Fn  { <. x ,  y >.  |  ph } 
<->  ( Fun  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  (
ph  /\  ps ) }  /\  dom  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  (
ph  /\  ps ) }  =  { <. x ,  y >.  |  ph } ) )
247, 22, 23sylanbrc 408 1  |-  ( A. x A. y ( ph  ->  E! z ps )  ->  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ph  /\  ps ) }  Fn  { <. x ,  y >.  |  ph } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103   A.wal 1287    = wceq 1289   E.wex 1426   E!weu 1948   E*wmo 1949   {copab 3890   dom cdm 4428   Fun wfun 4996    Fn wfn 4997   {coprab 5635
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-br 3838  df-opab 3892  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-fun 5004  df-fn 5005  df-oprab 5638
This theorem is referenced by:  fnoprab  5730  ovg  5765
  Copyright terms: Public domain W3C validator