Theorem fnoprabg 6023

Description: Functionality and domain of an operation class abstraction. (Contributed by NM, 28-Aug-2007.)

Assertion

Ref	Expression
fnoprabg	|- ( A. x A. y ( ph -> E! z ps ) -> { <. <. x , y >. , z >. | ( ph /\ ps ) } Fn { <. x , y >. | ph } )

Distinct variable groups:   x, y, z   ph, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   ps( x, y, z)

Proof of Theorem fnoprabg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eumo 2077	. . . . . 6 |- ( E! z ps -> E* z ps )
2	1	imim2i 12	. . . . 5 |- ( ( ph -> E! z ps ) -> ( ph -> E* z ps ) )
3		moanimv 2120	. . . . 5 |- ( E* z ( ph /\ ps ) <-> ( ph -> E* z ps ) )
4	2, 3	sylibr 134	. . . 4 |- ( ( ph -> E! z ps ) -> E* z ( ph /\ ps ) )
5	4	2alimi 1470	. . 3 |- ( A. x A. y ( ph -> E! z ps ) -> A. x A. y E* z ( ph /\ ps ) )
6		funoprabg 6021	. . 3 |- ( A. x A. y E* z ( ph /\ ps ) -> Fun { <. <. x , y >. , z >. | ( ph /\ ps ) } )
7	5, 6	syl 14	. 2 |- ( A. x A. y ( ph -> E! z ps ) -> Fun { <. <. x , y >. , z >. | ( ph /\ ps ) } )
8		dmoprab 6003	. . 3 |- dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ph /\ ps ) } = { <. x , y >. | E. z ( ph /\ ps ) }
9		nfa1 1555	. . . 4 |- F/ x A. x A. y ( ph -> E! z ps )
10		nfa2 1593	. . . 4 |- F/ y A. x A. y ( ph -> E! z ps )
11		simpl 109	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ps ) -> ph )
12	11	exlimiv 1612	. . . . . . 7 |- ( E. z ( ph /\ ps ) -> ph )
13		euex 2075	. . . . . . . . . 10 |- ( E! z ps -> E. z ps )
14	13	imim2i 12	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph -> E! z ps ) -> ( ph -> E. z ps ) )
15	14	ancld 325	. . . . . . . 8 |- ( ( ph -> E! z ps ) -> ( ph -> ( ph /\ E. z ps ) ) )
16		19.42v 1921	. . . . . . . 8 |- ( E. z ( ph /\ ps ) <-> ( ph /\ E. z ps ) )
17	15, 16	imbitrrdi 162	. . . . . . 7 |- ( ( ph -> E! z ps ) -> ( ph -> E. z ( ph /\ ps ) ) )
18	12, 17	impbid2 143	. . . . . 6 |- ( ( ph -> E! z ps ) -> ( E. z ( ph /\ ps ) <-> ph ) )
19	18	sps 1551	. . . . 5 |- ( A. y ( ph -> E! z ps ) -> ( E. z ( ph /\ ps ) <-> ph ) )
20	19	sps 1551	. . . 4 |- ( A. x A. y ( ph -> E! z ps ) -> ( E. z ( ph /\ ps ) <-> ph ) )
21	9, 10, 20	opabbid 4098	. . 3 |- ( A. x A. y ( ph -> E! z ps ) -> { <. x , y >. | E. z ( ph /\ ps ) } = { <. x , y >. | ph } )
22	8, 21	eqtrid 2241	. 2 |- ( A. x A. y ( ph -> E! z ps ) -> dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ph /\ ps ) } = { <. x , y >. | ph } )
23		df-fn 5261	. 2 |- ( { <. <. x , y >. , z >. | ( ph /\ ps ) } Fn { <. x , y >. | ph } <-> ( Fun { <. <. x , y >. , z >. | ( ph /\ ps ) } /\ dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ph /\ ps ) } = { <. x , y >. | ph } ) )
24	7, 22, 23	sylanbrc 417	1 |- ( A. x A. y ( ph -> E! z ps ) -> { <. <. x , y >. , z >. | ( ph /\ ps ) } Fn { <. x , y >. | ph } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1362   = wceq 1364   E.wex 1506   E!weu 2045   E*wmo 2046   {copab 4093   dom cdm 4663   Fun wfun 5252   Fn wfn 5253   {coprab 5923

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-fun 5260  df-fn 5261  df-oprab 5926

This theorem is referenced by:  fnoprab  6025  ovg  6062