Theorem fnoprabg 6069

Description: Functionality and domain of an operation class abstraction. (Contributed by NM, 28-Aug-2007.)

Assertion

Ref	Expression
fnoprabg	|- ( A. x A. y ( ph -> E! z ps ) -> { <. <. x , y >. , z >. | ( ph /\ ps ) } Fn { <. x , y >. | ph } )

Distinct variable groups:   x, y, z   ph, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   ps( x, y, z)

Proof of Theorem fnoprabg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eumo 2087	. . . . . 6 |- ( E! z ps -> E* z ps )
2	1	imim2i 12	. . . . 5 |- ( ( ph -> E! z ps ) -> ( ph -> E* z ps ) )
3		moanimv 2131	. . . . 5 |- ( E* z ( ph /\ ps ) <-> ( ph -> E* z ps ) )
4	2, 3	sylibr 134	. . . 4 |- ( ( ph -> E! z ps ) -> E* z ( ph /\ ps ) )
5	4	2alimi 1480	. . 3 |- ( A. x A. y ( ph -> E! z ps ) -> A. x A. y E* z ( ph /\ ps ) )
6		funoprabg 6067	. . 3 |- ( A. x A. y E* z ( ph /\ ps ) -> Fun { <. <. x , y >. , z >. | ( ph /\ ps ) } )
7	5, 6	syl 14	. 2 |- ( A. x A. y ( ph -> E! z ps ) -> Fun { <. <. x , y >. , z >. | ( ph /\ ps ) } )
8		dmoprab 6049	. . 3 |- dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ph /\ ps ) } = { <. x , y >. | E. z ( ph /\ ps ) }
9		nfa1 1565	. . . 4 |- F/ x A. x A. y ( ph -> E! z ps )
10		nfa2 1603	. . . 4 |- F/ y A. x A. y ( ph -> E! z ps )
11		simpl 109	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ps ) -> ph )
12	11	exlimiv 1622	. . . . . . 7 |- ( E. z ( ph /\ ps ) -> ph )
13		euex 2085	. . . . . . . . . 10 |- ( E! z ps -> E. z ps )
14	13	imim2i 12	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph -> E! z ps ) -> ( ph -> E. z ps ) )
15	14	ancld 325	. . . . . . . 8 |- ( ( ph -> E! z ps ) -> ( ph -> ( ph /\ E. z ps ) ) )
16		19.42v 1931	. . . . . . . 8 |- ( E. z ( ph /\ ps ) <-> ( ph /\ E. z ps ) )
17	15, 16	imbitrrdi 162	. . . . . . 7 |- ( ( ph -> E! z ps ) -> ( ph -> E. z ( ph /\ ps ) ) )
18	12, 17	impbid2 143	. . . . . 6 |- ( ( ph -> E! z ps ) -> ( E. z ( ph /\ ps ) <-> ph ) )
19	18	sps 1561	. . . . 5 |- ( A. y ( ph -> E! z ps ) -> ( E. z ( ph /\ ps ) <-> ph ) )
20	19	sps 1561	. . . 4 |- ( A. x A. y ( ph -> E! z ps ) -> ( E. z ( ph /\ ps ) <-> ph ) )
21	9, 10, 20	opabbid 4125	. . 3 |- ( A. x A. y ( ph -> E! z ps ) -> { <. x , y >. | E. z ( ph /\ ps ) } = { <. x , y >. | ph } )
22	8, 21	eqtrid 2252	. 2 |- ( A. x A. y ( ph -> E! z ps ) -> dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ph /\ ps ) } = { <. x , y >. | ph } )
23		df-fn 5293	. 2 |- ( { <. <. x , y >. , z >. | ( ph /\ ps ) } Fn { <. x , y >. | ph } <-> ( Fun { <. <. x , y >. , z >. | ( ph /\ ps ) } /\ dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ph /\ ps ) } = { <. x , y >. | ph } ) )
24	7, 22, 23	sylanbrc 417	1 |- ( A. x A. y ( ph -> E! z ps ) -> { <. <. x , y >. , z >. | ( ph /\ ps ) } Fn { <. x , y >. | ph } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1371   = wceq 1373   E.wex 1516   E!weu 2055   E*wmo 2056   {copab 4120   dom cdm 4693   Fun wfun 5284   Fn wfn 5285   {coprab 5968

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-fun 5292  df-fn 5293  df-oprab 5971

This theorem is referenced by:  fnoprab  6071  ovg  6108