Theorem fnoprabg 5954

Description: Functionality and domain of an operation class abstraction. (Contributed by NM, 28-Aug-2007.)

Assertion

Ref	Expression
fnoprabg	|- ( A. x A. y ( ph -> E! z ps ) -> { <. <. x , y >. , z >. | ( ph /\ ps ) } Fn { <. x , y >. | ph } )

Distinct variable groups:   x, y, z   ph, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   ps( x, y, z)

Proof of Theorem fnoprabg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eumo 2051	. . . . . 6 |- ( E! z ps -> E* z ps )
2	1	imim2i 12	. . . . 5 |- ( ( ph -> E! z ps ) -> ( ph -> E* z ps ) )
3		moanimv 2094	. . . . 5 |- ( E* z ( ph /\ ps ) <-> ( ph -> E* z ps ) )
4	2, 3	sylibr 133	. . . 4 |- ( ( ph -> E! z ps ) -> E* z ( ph /\ ps ) )
5	4	2alimi 1449	. . 3 |- ( A. x A. y ( ph -> E! z ps ) -> A. x A. y E* z ( ph /\ ps ) )
6		funoprabg 5952	. . 3 |- ( A. x A. y E* z ( ph /\ ps ) -> Fun { <. <. x , y >. , z >. | ( ph /\ ps ) } )
7	5, 6	syl 14	. 2 |- ( A. x A. y ( ph -> E! z ps ) -> Fun { <. <. x , y >. , z >. | ( ph /\ ps ) } )
8		dmoprab 5934	. . 3 |- dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ph /\ ps ) } = { <. x , y >. | E. z ( ph /\ ps ) }
9		nfa1 1534	. . . 4 |- F/ x A. x A. y ( ph -> E! z ps )
10		nfa2 1572	. . . 4 |- F/ y A. x A. y ( ph -> E! z ps )
11		simpl 108	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ps ) -> ph )
12	11	exlimiv 1591	. . . . . . 7 |- ( E. z ( ph /\ ps ) -> ph )
13		euex 2049	. . . . . . . . . 10 |- ( E! z ps -> E. z ps )
14	13	imim2i 12	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph -> E! z ps ) -> ( ph -> E. z ps ) )
15	14	ancld 323	. . . . . . . 8 |- ( ( ph -> E! z ps ) -> ( ph -> ( ph /\ E. z ps ) ) )
16		19.42v 1899	. . . . . . . 8 |- ( E. z ( ph /\ ps ) <-> ( ph /\ E. z ps ) )
17	15, 16	syl6ibr 161	. . . . . . 7 |- ( ( ph -> E! z ps ) -> ( ph -> E. z ( ph /\ ps ) ) )
18	12, 17	impbid2 142	. . . . . 6 |- ( ( ph -> E! z ps ) -> ( E. z ( ph /\ ps ) <-> ph ) )
19	18	sps 1530	. . . . 5 |- ( A. y ( ph -> E! z ps ) -> ( E. z ( ph /\ ps ) <-> ph ) )
20	19	sps 1530	. . . 4 |- ( A. x A. y ( ph -> E! z ps ) -> ( E. z ( ph /\ ps ) <-> ph ) )
21	9, 10, 20	opabbid 4054	. . 3 |- ( A. x A. y ( ph -> E! z ps ) -> { <. x , y >. | E. z ( ph /\ ps ) } = { <. x , y >. | ph } )
22	8, 21	eqtrid 2215	. 2 |- ( A. x A. y ( ph -> E! z ps ) -> dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ph /\ ps ) } = { <. x , y >. | ph } )
23		df-fn 5201	. 2 |- ( { <. <. x , y >. , z >. | ( ph /\ ps ) } Fn { <. x , y >. | ph } <-> ( Fun { <. <. x , y >. , z >. | ( ph /\ ps ) } /\ dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ph /\ ps ) } = { <. x , y >. | ph } ) )
24	7, 22, 23	sylanbrc 415	1 |- ( A. x A. y ( ph -> E! z ps ) -> { <. <. x , y >. , z >. | ( ph /\ ps ) } Fn { <. x , y >. | ph } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1346   = wceq 1348   E.wex 1485   E!weu 2019   E*wmo 2020   {copab 4049   dom cdm 4611   Fun wfun 5192   Fn wfn 5193   {coprab 5854

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-fun 5200  df-fn 5201  df-oprab 5857

This theorem is referenced by:  fnoprab  5956  ovg  5991