Theorem relcnvfi 6837

Description: If a relation is finite, its converse is as well. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
relcnvfi	|- ( ( Rel A /\ A e. Fin ) -> `' A e. Fin )

Proof of Theorem relcnvfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfrel2 4997	. . . . 5 |- ( Rel A <-> `' `' A = A )
2	1	biimpi 119	. . . 4 |- ( Rel A -> `' `' A = A )
3	2	adantr 274	. . 3 |- ( ( Rel A /\ A e. Fin ) -> `' `' A = A )
4		simpr 109	. . 3 |- ( ( Rel A /\ A e. Fin ) -> A e. Fin )
5	3, 4	eqeltrd 2217	. 2 |- ( ( Rel A /\ A e. Fin ) -> `' `' A e. Fin )
6		relcnv 4925	. . . 4 |- Rel `' A
7		cnvexg 5084	. . . 4 |- ( A e. Fin -> `' A e. _V )
8		cnven 6710	. . . 4 |- ( ( Rel `' A /\ `' A e. _V ) -> `' A ~~ `' `' A )
9	6, 7, 8	sylancr 411	. . 3 |- ( A e. Fin -> `' A ~~ `' `' A )
10	9	adantl 275	. 2 |- ( ( Rel A /\ A e. Fin ) -> `' A ~~ `' `' A )
11		enfii 6776	. 2 |- ( ( `' `' A e. Fin /\ `' A ~~ `' `' A ) -> `' A e. Fin )
12	5, 10, 11	syl2anc 409	1 |- ( ( Rel A /\ A e. Fin ) -> `' A e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1332   e. wcel 1481   _Vcvv 2689   class class class wbr 3937   `'ccnv 4546   Rel wrel 4552   ~~ cen 6640   Fincfn 6642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-sbc 2914  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-er 6437  df-en 6643  df-fin 6645

This theorem is referenced by:  funrnfi  6838  fsumcnv  11238