Theorem relcnvfi 6648

Description: If a relation is finite, its converse is as well. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
relcnvfi	|- ( ( Rel A /\ A e. Fin ) -> `' A e. Fin )

Proof of Theorem relcnvfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfrel2 4881	. . . . 5 |- ( Rel A <-> `' `' A = A )
2	1	biimpi 118	. . . 4 |- ( Rel A -> `' `' A = A )
3	2	adantr 270	. . 3 |- ( ( Rel A /\ A e. Fin ) -> `' `' A = A )
4		simpr 108	. . 3 |- ( ( Rel A /\ A e. Fin ) -> A e. Fin )
5	3, 4	eqeltrd 2164	. 2 |- ( ( Rel A /\ A e. Fin ) -> `' `' A e. Fin )
6		relcnv 4810	. . . 4 |- Rel `' A
7		cnvexg 4968	. . . 4 |- ( A e. Fin -> `' A e. _V )
8		cnven 6523	. . . 4 |- ( ( Rel `' A /\ `' A e. _V ) -> `' A ~~ `' `' A )
9	6, 7, 8	sylancr 405	. . 3 |- ( A e. Fin -> `' A ~~ `' `' A )
10	9	adantl 271	. 2 |- ( ( Rel A /\ A e. Fin ) -> `' A ~~ `' `' A )
11		enfii 6588	. 2 |- ( ( `' `' A e. Fin /\ `' A ~~ `' `' A ) -> `' A e. Fin )
12	5, 10, 11	syl2anc 403	1 |- ( ( Rel A /\ A e. Fin ) -> `' A e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1289   e. wcel 1438   _Vcvv 2619   class class class wbr 3845   `'ccnv 4437   Rel wrel 4443   ~~ cen 6453   Fincfn 6455

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-sbc 2841  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-er 6290  df-en 6456  df-fin 6458

This theorem is referenced by:  funrnfi  6649  fsumcnv  10827