Theorem relcnvfi 6575

Description: If a relation is finite, its converse is as well. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
relcnvfi	|- ( ( Rel A /\ A e. Fin ) -> `' A e. Fin )

Proof of Theorem relcnvfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfrel2 4835	. . . . 5 |- ( Rel A <-> `' `' A = A )
2	1	biimpi 118	. . . 4 |- ( Rel A -> `' `' A = A )
3	2	adantr 270	. . 3 |- ( ( Rel A /\ A e. Fin ) -> `' `' A = A )
4		simpr 108	. . 3 |- ( ( Rel A /\ A e. Fin ) -> A e. Fin )
5	3, 4	eqeltrd 2159	. 2 |- ( ( Rel A /\ A e. Fin ) -> `' `' A e. Fin )
6		relcnv 4765	. . . 4 |- Rel `' A
7		cnvexg 4922	. . . 4 |- ( A e. Fin -> `' A e. _V )
8		cnven 6455	. . . 4 |- ( ( Rel `' A /\ `' A e. _V ) -> `' A ~~ `' `' A )
9	6, 7, 8	sylancr 405	. . 3 |- ( A e. Fin -> `' A ~~ `' `' A )
10	9	adantl 271	. 2 |- ( ( Rel A /\ A e. Fin ) -> `' A ~~ `' `' A )
11		enfii 6520	. 2 |- ( ( `' `' A e. Fin /\ `' A ~~ `' `' A ) -> `' A e. Fin )
12	5, 10, 11	syl2anc 403	1 |- ( ( Rel A /\ A e. Fin ) -> `' A e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1285   e. wcel 1434   _Vcvv 2612   class class class wbr 3811   `'ccnv 4400   Rel wrel 4406   ~~ cen 6385   Fincfn 6387

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2614  df-sbc 2827  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-id 4084  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-f1 4974  df-fo 4975  df-f1o 4976  df-fv 4977  df-1st 5846  df-2nd 5847  df-er 6222  df-en 6388  df-fin 6390

This theorem is referenced by:  funrnfi  6576