Theorem relcnvfi 6916

Description: If a relation is finite, its converse is as well. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
relcnvfi	|- ( ( Rel A /\ A e. Fin ) -> `' A e. Fin )

Proof of Theorem relcnvfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfrel2 5059	. . . . 5 |- ( Rel A <-> `' `' A = A )
2	1	biimpi 119	. . . 4 |- ( Rel A -> `' `' A = A )
3	2	adantr 274	. . 3 |- ( ( Rel A /\ A e. Fin ) -> `' `' A = A )
4		simpr 109	. . 3 |- ( ( Rel A /\ A e. Fin ) -> A e. Fin )
5	3, 4	eqeltrd 2247	. 2 |- ( ( Rel A /\ A e. Fin ) -> `' `' A e. Fin )
6		relcnv 4987	. . . 4 |- Rel `' A
7		cnvexg 5146	. . . 4 |- ( A e. Fin -> `' A e. _V )
8		cnven 6784	. . . 4 |- ( ( Rel `' A /\ `' A e. _V ) -> `' A ~~ `' `' A )
9	6, 7, 8	sylancr 412	. . 3 |- ( A e. Fin -> `' A ~~ `' `' A )
10	9	adantl 275	. 2 |- ( ( Rel A /\ A e. Fin ) -> `' A ~~ `' `' A )
11		enfii 6850	. 2 |- ( ( `' `' A e. Fin /\ `' A ~~ `' `' A ) -> `' A e. Fin )
12	5, 10, 11	syl2anc 409	1 |- ( ( Rel A /\ A e. Fin ) -> `' A e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   _Vcvv 2730   class class class wbr 3987   `'ccnv 4608   Rel wrel 4614   ~~ cen 6714   Fincfn 6716

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-sbc 2956  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-er 6511  df-en 6717  df-fin 6719

This theorem is referenced by:  funrnfi  6917  fsumcnv  11393  fprodcnv  11581