Theorem relcnvfi 7069

Description: If a relation is finite, its converse is as well. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
relcnvfi	|- ( ( Rel A /\ A e. Fin ) -> `' A e. Fin )

Proof of Theorem relcnvfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfrel2 5152	. . . . 5 |- ( Rel A <-> `' `' A = A )
2	1	biimpi 120	. . . 4 |- ( Rel A -> `' `' A = A )
3	2	adantr 276	. . 3 |- ( ( Rel A /\ A e. Fin ) -> `' `' A = A )
4		simpr 110	. . 3 |- ( ( Rel A /\ A e. Fin ) -> A e. Fin )
5	3, 4	eqeltrd 2284	. 2 |- ( ( Rel A /\ A e. Fin ) -> `' `' A e. Fin )
6		relcnv 5079	. . . 4 |- Rel `' A
7		cnvexg 5239	. . . 4 |- ( A e. Fin -> `' A e. _V )
8		cnven 6924	. . . 4 |- ( ( Rel `' A /\ `' A e. _V ) -> `' A ~~ `' `' A )
9	6, 7, 8	sylancr 414	. . 3 |- ( A e. Fin -> `' A ~~ `' `' A )
10	9	adantl 277	. 2 |- ( ( Rel A /\ A e. Fin ) -> `' A ~~ `' `' A )
11		enfii 6997	. 2 |- ( ( `' `' A e. Fin /\ `' A ~~ `' `' A ) -> `' A e. Fin )
12	5, 10, 11	syl2anc 411	1 |- ( ( Rel A /\ A e. Fin ) -> `' A e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2178   _Vcvv 2776   class class class wbr 4059   `'ccnv 4692   Rel wrel 4698   ~~ cen 6848   Fincfn 6850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-sbc 3006  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-er 6643  df-en 6851  df-fin 6853

This theorem is referenced by:  funrnfi  7070  fsumcnv  11863  fprodcnv  12051