Theorem funrnfi 7140

Description: The range of a finite relation is finite if its converse is a function. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
funrnfi	⊢ ((Rel 𝐴 ∧ Fun ◡𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ran 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem funrnfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 4736	. 2 ⊢ ran 𝐴 = dom ◡𝐴
2		relcnvfi 7139	. . . 4 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ◡𝐴 ∈ Fin)
3	2	3adant2 1042	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ Fun ◡𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ◡𝐴 ∈ Fin)
4		simp2 1024	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ Fun ◡𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → Fun ◡𝐴)
5		fundmfi 7135	. . 3 ⊢ ((◡𝐴 ∈ Fin ∧ Fun ◡𝐴) → dom ◡𝐴 ∈ Fin)
6	3, 4, 5	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ Fun ◡𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → dom ◡𝐴 ∈ Fin)
7	1, 6	eqeltrid 2318	1 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ Fun ◡𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ran 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1004   ∈ wcel 2202  ^◡ccnv 4724  dom cdm 4725  ran crn 4726  Rel wrel 4730  Fun wfun 5320  Fincfn 6908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-sbc 3032  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-er 6701  df-en 6909  df-fin 6911

This theorem is referenced by:  f1dmvrnfibi  7142  4sqlemffi  12968