ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  funrnfi GIF version

Theorem funrnfi 6574
Description: The range of a finite relation is finite if its converse is a function. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
funrnfi ((Rel 𝐴 ∧ Fun 𝐴𝐴 ∈ Fin) → ran 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem funrnfi
StepHypRef Expression
1 df-rn 4410 . 2 ran 𝐴 = dom 𝐴
2 relcnvfi 6573 . . . 4 ((Rel 𝐴𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
323adant2 958 . . 3 ((Rel 𝐴 ∧ Fun 𝐴𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
4 simp2 940 . . 3 ((Rel 𝐴 ∧ Fun 𝐴𝐴 ∈ Fin) → Fun 𝐴)
5 fundmfi 6570 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ Fun 𝐴) → dom 𝐴 ∈ Fin)
63, 4, 5syl2anc 403 . 2 ((Rel 𝐴 ∧ Fun 𝐴𝐴 ∈ Fin) → dom 𝐴 ∈ Fin)
71, 6syl5eqel 2169 1 ((Rel 𝐴 ∧ Fun 𝐴𝐴 ∈ Fin) → ran 𝐴 ∈ Fin)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  w3a 920  wcel 1434  ccnv 4398  dom cdm 4399  ran crn 4400  Rel wrel 4404  Fun wfun 4961  Fincfn 6385
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 3999  ax-un 4223
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2614  df-sbc 2827  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-id 4083  df-xp 4405  df-rel 4406  df-cnv 4407  df-co 4408  df-dm 4409  df-rn 4410  df-res 4411  df-ima 4412  df-iota 4932  df-fun 4969  df-fn 4970  df-f 4971  df-f1 4972  df-fo 4973  df-f1o 4974  df-fv 4975  df-1st 5844  df-2nd 5845  df-er 6220  df-en 6386  df-fin 6388
This theorem is referenced by:  f1dmvrnfibi  6576
  Copyright terms: Public domain W3C validator