Theorem funrnfi 6938

Description: The range of a finite relation is finite if its converse is a function. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
funrnfi	⊢ ((Rel 𝐴 ∧ Fun ◡𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ran 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem funrnfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 4636	. 2 ⊢ ran 𝐴 = dom ◡𝐴
2		relcnvfi 6937	. . . 4 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ◡𝐴 ∈ Fin)
3	2	3adant2 1016	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ Fun ◡𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ◡𝐴 ∈ Fin)
4		simp2 998	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ Fun ◡𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → Fun ◡𝐴)
5		fundmfi 6934	. . 3 ⊢ ((◡𝐴 ∈ Fin ∧ Fun ◡𝐴) → dom ◡𝐴 ∈ Fin)
6	3, 4, 5	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ Fun ◡𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → dom ◡𝐴 ∈ Fin)
7	1, 6	eqeltrid 2264	1 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ Fun ◡𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ran 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 978   ∈ wcel 2148  ^◡ccnv 4624  dom cdm 4625  ran crn 4626  Rel wrel 4630  Fun wfun 5209  Fincfn 6737

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-sbc 2963  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-f1 5220  df-fo 5221  df-f1o 5222  df-fv 5223  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-er 6532  df-en 6738  df-fin 6740

This theorem is referenced by:  f1dmvrnfibi  6940