ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1ofi Unicode version

Theorem f1ofi 6580
Description: If a 1-1 and onto function has a finite domain, its range is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
f1ofi  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A -1-1-onto-> B )  ->  B  e.  Fin )

Proof of Theorem f1ofi
StepHypRef Expression
1 f1oeng 6407 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A -1-1-onto-> B )  ->  A  ~~  B )
21ensymd 6433 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A -1-1-onto-> B )  ->  B  ~~  A )
3 enfii 6523 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  ~~  A )  ->  B  e.  Fin )
42, 3syldan 276 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A -1-1-onto-> B )  ->  B  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    e. wcel 1436   class class class wbr 3814   -1-1-onto->wf1o 4971    ~~ cen 6388   Fincfn 6390
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3922  ax-sep 3925  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2616  df-sbc 2829  df-csb 2922  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-iun 3709  df-br 3815  df-opab 3869  df-mpt 3870  df-id 4087  df-xp 4410  df-rel 4411  df-cnv 4412  df-co 4413  df-dm 4414  df-rn 4415  df-res 4416  df-ima 4417  df-iota 4937  df-fun 4974  df-fn 4975  df-f 4976  df-f1 4977  df-fo 4978  df-f1o 4979  df-fv 4980  df-er 6225  df-en 6391  df-fin 6393
This theorem is referenced by:  fiinfnf1o  10043  fihasheqf1oi  10045
  Copyright terms: Public domain W3C validator