Theorem f1ofi 7141

Description: If a 1-1 and onto function has a finite domain, its range is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
f1ofi	|- ( ( A e. Fin /\ F : A -1-1-onto-> B ) -> B e. Fin )

Proof of Theorem f1ofi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oeng 6929	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ F : A -1-1-onto-> B ) -> A ~~ B )
2	1	ensymd 6956	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ F : A -1-1-onto-> B ) -> B ~~ A )
3		enfii 7060	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B ~~ A ) -> B e. Fin )
4	2, 3	syldan 282	1 |- ( ( A e. Fin /\ F : A -1-1-onto-> B ) -> B e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2202   class class class wbr 4088   -1-1-onto->wf1o 5325   ~~ cen 6906   Fincfn 6908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-er 6701  df-en 6909  df-fin 6911

This theorem is referenced by:  preimaf1ofi  7149  fiinfnf1o  11047  fihasheqf1oi  11048