Theorem fvpr2g 5845

Description: The value of a function with a domain of (at most) two elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fvpr2g	|- ( ( B e. V /\ D e. W /\ A =/= B ) -> ( { <. A , C >. , <. B , D >. } ` B ) = D )

Proof of Theorem fvpr2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prcom 3742	. . . . . 6 |- { <. A , C >. , <. B , D >. } = { <. B , D >. , <. A , C >. }
2		df-pr 3673	. . . . . 6 |- { <. B , D >. , <. A , C >. } = ( { <. B , D >. } u. { <. A , C >. } )
3	1, 2	eqtri 2250	. . . . 5 |- { <. A , C >. , <. B , D >. } = ( { <. B , D >. } u. { <. A , C >. } )
4	3	fveq1i 5627	. . . 4 |- ( { <. A , C >. , <. B , D >. } ` B ) = ( ( { <. B , D >. } u. { <. A , C >. } ) ` B )
5		fvunsng 5832	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ A =/= B ) -> ( ( { <. B , D >. } u. { <. A , C >. } ) ` B ) = ( { <. B , D >. } ` B ) )
6	4, 5	eqtrid 2274	. . 3 |- ( ( B e. V /\ A =/= B ) -> ( { <. A , C >. , <. B , D >. } ` B ) = ( { <. B , D >. } ` B ) )
7	6	3adant2 1040	. 2 |- ( ( B e. V /\ D e. W /\ A =/= B ) -> ( { <. A , C >. , <. B , D >. } ` B ) = ( { <. B , D >. } ` B ) )
8		fvsng 5834	. . 3 |- ( ( B e. V /\ D e. W ) -> ( { <. B , D >. } ` B ) = D )
9	8	3adant3 1041	. 2 |- ( ( B e. V /\ D e. W /\ A =/= B ) -> ( { <. B , D >. } ` B ) = D )
10	7, 9	eqtrd 2262	1 |- ( ( B e. V /\ D e. W /\ A =/= B ) -> ( { <. A , C >. , <. B , D >. } ` B ) = D )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   =/= wne 2400   u. cun 3195   {csn 3666   {cpr 3667   <.cop 3669   ` cfv 5317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-res 4730  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fv 5325

This theorem is referenced by:  fvpr1o  13370