ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fvpr2g Unicode version

Theorem fvpr2g 5718
Description: The value of a function with a domain of (at most) two elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
fvpr2g  |-  ( ( B  e.  V  /\  D  e.  W  /\  A  =/=  B )  -> 
( { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. } `  B
)  =  D )

Proof of Theorem fvpr2g
StepHypRef Expression
1 prcom 3667 . . . . . 6  |-  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. }  =  { <. B ,  D >. ,  <. A ,  C >. }
2 df-pr 3598 . . . . . 6  |-  { <. B ,  D >. ,  <. A ,  C >. }  =  ( { <. B ,  D >. }  u.  { <. A ,  C >. } )
31, 2eqtri 2198 . . . . 5  |-  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. }  =  ( { <. B ,  D >. }  u.  { <. A ,  C >. } )
43fveq1i 5511 . . . 4  |-  ( {
<. A ,  C >. , 
<. B ,  D >. } `
 B )  =  ( ( { <. B ,  D >. }  u.  {
<. A ,  C >. } ) `  B )
5 fvunsng 5705 . . . 4  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  =/=  B )  -> 
( ( { <. B ,  D >. }  u.  {
<. A ,  C >. } ) `  B )  =  ( { <. B ,  D >. } `  B ) )
64, 5eqtrid 2222 . . 3  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  =/=  B )  -> 
( { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. } `  B
)  =  ( {
<. B ,  D >. } `
 B ) )
763adant2 1016 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  D  e.  W  /\  A  =/=  B )  -> 
( { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. } `  B
)  =  ( {
<. B ,  D >. } `
 B ) )
8 fvsng 5707 . . 3  |-  ( ( B  e.  V  /\  D  e.  W )  ->  ( { <. B ,  D >. } `  B
)  =  D )
983adant3 1017 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  D  e.  W  /\  A  =/=  B )  -> 
( { <. B ,  D >. } `  B
)  =  D )
107, 9eqtrd 2210 1  |-  ( ( B  e.  V  /\  D  e.  W  /\  A  =/=  B )  -> 
( { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. } `  B
)  =  D )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148    =/= wne 2347    u. cun 3127   {csn 3591   {cpr 3592   <.cop 3594   ` cfv 5211
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-id 4289  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-res 4634  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fv 5219
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator