Theorem fvpr2g 5673

Description: The value of a function with a domain of (at most) two elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fvpr2g	|- ( ( B e. V /\ D e. W /\ A =/= B ) -> ( { <. A , C >. , <. B , D >. } ` B ) = D )

Proof of Theorem fvpr2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prcom 3635	. . . . . 6 |- { <. A , C >. , <. B , D >. } = { <. B , D >. , <. A , C >. }
2		df-pr 3567	. . . . . 6 |- { <. B , D >. , <. A , C >. } = ( { <. B , D >. } u. { <. A , C >. } )
3	1, 2	eqtri 2178	. . . . 5 |- { <. A , C >. , <. B , D >. } = ( { <. B , D >. } u. { <. A , C >. } )
4	3	fveq1i 5468	. . . 4 |- ( { <. A , C >. , <. B , D >. } ` B ) = ( ( { <. B , D >. } u. { <. A , C >. } ) ` B )
5		fvunsng 5660	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ A =/= B ) -> ( ( { <. B , D >. } u. { <. A , C >. } ) ` B ) = ( { <. B , D >. } ` B ) )
6	4, 5	syl5eq 2202	. . 3 |- ( ( B e. V /\ A =/= B ) -> ( { <. A , C >. , <. B , D >. } ` B ) = ( { <. B , D >. } ` B ) )
7	6	3adant2 1001	. 2 |- ( ( B e. V /\ D e. W /\ A =/= B ) -> ( { <. A , C >. , <. B , D >. } ` B ) = ( { <. B , D >. } ` B ) )
8		fvsng 5662	. . 3 |- ( ( B e. V /\ D e. W ) -> ( { <. B , D >. } ` B ) = D )
9	8	3adant3 1002	. 2 |- ( ( B e. V /\ D e. W /\ A =/= B ) -> ( { <. B , D >. } ` B ) = D )
10	7, 9	eqtrd 2190	1 |- ( ( B e. V /\ D e. W /\ A =/= B ) -> ( { <. A , C >. , <. B , D >. } ` B ) = D )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 963   = wceq 1335   e. wcel 2128   =/= wne 2327   u. cun 3100   {csn 3560   {cpr 3561   <.cop 3563   ` cfv 5169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-id 4253  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-res 4597  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fv 5177

This theorem is referenced by: (None)