ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fvpr2g Unicode version

Theorem fvpr2g 5467
Description: The value of a function with a domain of (at most) two elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
fvpr2g  |-  ( ( B  e.  V  /\  D  e.  W  /\  A  =/=  B )  -> 
( { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. } `  B
)  =  D )

Proof of Theorem fvpr2g
StepHypRef Expression
1 prcom 3503 . . . . . 6  |-  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. }  =  { <. B ,  D >. ,  <. A ,  C >. }
2 df-pr 3438 . . . . . 6  |-  { <. B ,  D >. ,  <. A ,  C >. }  =  ( { <. B ,  D >. }  u.  { <. A ,  C >. } )
31, 2eqtri 2105 . . . . 5  |-  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. }  =  ( { <. B ,  D >. }  u.  { <. A ,  C >. } )
43fveq1i 5271 . . . 4  |-  ( {
<. A ,  C >. , 
<. B ,  D >. } `
 B )  =  ( ( { <. B ,  D >. }  u.  {
<. A ,  C >. } ) `  B )
5 fvunsng 5456 . . . 4  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  =/=  B )  -> 
( ( { <. B ,  D >. }  u.  {
<. A ,  C >. } ) `  B )  =  ( { <. B ,  D >. } `  B ) )
64, 5syl5eq 2129 . . 3  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  =/=  B )  -> 
( { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. } `  B
)  =  ( {
<. B ,  D >. } `
 B ) )
763adant2 960 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  D  e.  W  /\  A  =/=  B )  -> 
( { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. } `  B
)  =  ( {
<. B ,  D >. } `
 B ) )
8 fvsng 5458 . . 3  |-  ( ( B  e.  V  /\  D  e.  W )  ->  ( { <. B ,  D >. } `  B
)  =  D )
983adant3 961 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  D  e.  W  /\  A  =/=  B )  -> 
( { <. B ,  D >. } `  B
)  =  D )
107, 9eqtrd 2117 1  |-  ( ( B  e.  V  /\  D  e.  W  /\  A  =/=  B )  -> 
( { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. } `  B
)  =  D )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    /\ w3a 922    = wceq 1287    e. wcel 1436    =/= wne 2251    u. cun 2986   {csn 3431   {cpr 3432   <.cop 3434   ` cfv 4983
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3934  ax-pow 3986  ax-pr 4012
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-ral 2360  df-rex 2361  df-v 2617  df-sbc 2830  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3639  df-br 3823  df-opab 3877  df-id 4096  df-xp 4419  df-rel 4420  df-cnv 4421  df-co 4422  df-dm 4423  df-res 4425  df-iota 4948  df-fun 4985  df-fv 4991
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator