Theorem fvpr2g 5790

Description: The value of a function with a domain of (at most) two elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fvpr2g	|- ( ( B e. V /\ D e. W /\ A =/= B ) -> ( { <. A , C >. , <. B , D >. } ` B ) = D )

Proof of Theorem fvpr2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prcom 3708	. . . . . 6 |- { <. A , C >. , <. B , D >. } = { <. B , D >. , <. A , C >. }
2		df-pr 3639	. . . . . 6 |- { <. B , D >. , <. A , C >. } = ( { <. B , D >. } u. { <. A , C >. } )
3	1, 2	eqtri 2225	. . . . 5 |- { <. A , C >. , <. B , D >. } = ( { <. B , D >. } u. { <. A , C >. } )
4	3	fveq1i 5576	. . . 4 |- ( { <. A , C >. , <. B , D >. } ` B ) = ( ( { <. B , D >. } u. { <. A , C >. } ) ` B )
5		fvunsng 5777	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ A =/= B ) -> ( ( { <. B , D >. } u. { <. A , C >. } ) ` B ) = ( { <. B , D >. } ` B ) )
6	4, 5	eqtrid 2249	. . 3 |- ( ( B e. V /\ A =/= B ) -> ( { <. A , C >. , <. B , D >. } ` B ) = ( { <. B , D >. } ` B ) )
7	6	3adant2 1018	. 2 |- ( ( B e. V /\ D e. W /\ A =/= B ) -> ( { <. A , C >. , <. B , D >. } ` B ) = ( { <. B , D >. } ` B ) )
8		fvsng 5779	. . 3 |- ( ( B e. V /\ D e. W ) -> ( { <. B , D >. } ` B ) = D )
9	8	3adant3 1019	. 2 |- ( ( B e. V /\ D e. W /\ A =/= B ) -> ( { <. B , D >. } ` B ) = D )
10	7, 9	eqtrd 2237	1 |- ( ( B e. V /\ D e. W /\ A =/= B ) -> ( { <. A , C >. , <. B , D >. } ` B ) = D )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1372   e. wcel 2175   =/= wne 2375   u. cun 3163   {csn 3632   {cpr 3633   <.cop 3635   ` cfv 5270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-res 4686  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fv 5278

This theorem is referenced by:  fvpr1o  13145