Theorem fvpr2g 5627

Description: The value of a function with a domain of (at most) two elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fvpr2g	⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐵) = 𝐷)

Proof of Theorem fvpr2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prcom 3599	. . . . . 6 ⊢ {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = {⟨𝐵, 𝐷⟩, ⟨𝐴, 𝐶⟩}
2		df-pr 3534	. . . . . 6 ⊢ {⟨𝐵, 𝐷⟩, ⟨𝐴, 𝐶⟩} = ({⟨𝐵, 𝐷⟩} ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩})
3	1, 2	eqtri 2160	. . . . 5 ⊢ {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = ({⟨𝐵, 𝐷⟩} ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩})
4	3	fveq1i 5422	. . . 4 ⊢ ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐵) = (({⟨𝐵, 𝐷⟩} ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩})‘𝐵)
5		fvunsng 5614	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (({⟨𝐵, 𝐷⟩} ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩})‘𝐵) = ({⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐵))
6	4, 5	syl5eq 2184	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐵) = ({⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐵))
7	6	3adant2 1000	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐵) = ({⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐵))
8		fvsng 5616	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑊) → ({⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐵) = 𝐷)
9	8	3adant3 1001	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ({⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐵) = 𝐷)
10	7, 9	eqtrd 2172	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐵) = 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 962   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   ≠ wne 2308   ∪ cun 3069  {csn 3527  {cpr 3528  ⟨cop 3530  ‘cfv 5123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-res 4551  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131

This theorem is referenced by: (None)