Theorem fvpr2g 5916

Description: The value of a function with a domain of (at most) two elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fvpr2g	⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐵) = 𝐷)

Proof of Theorem fvpr2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prcom 3786	. . . . . 6 ⊢ {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = {⟨𝐵, 𝐷⟩, ⟨𝐴, 𝐶⟩}
2		df-pr 3715	. . . . . 6 ⊢ {⟨𝐵, 𝐷⟩, ⟨𝐴, 𝐶⟩} = ({⟨𝐵, 𝐷⟩} ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩})
3	1, 2	eqtri 2259	. . . . 5 ⊢ {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = ({⟨𝐵, 𝐷⟩} ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩})
4	3	fveq1i 5694	. . . 4 ⊢ ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐵) = (({⟨𝐵, 𝐷⟩} ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩})‘𝐵)
5		fvunsng 5903	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (({⟨𝐵, 𝐷⟩} ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩})‘𝐵) = ({⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐵))
6	4, 5	eqtrid 2283	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐵) = ({⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐵))
7	6	3adant2 1047	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐵) = ({⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐵))
8		fvsng 5905	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑊) → ({⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐵) = 𝐷)
9	8	3adant3 1048	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ({⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐵) = 𝐷)
10	7, 9	eqtrd 2271	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐵) = 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420   ∪ cun 3218  {csn 3708  {cpr 3709  ⟨cop 3711  ‘cfv 5375

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-opab 4191  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-res 4784  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fv 5383

This theorem is referenced by:  fvpr1o  13646