Theorem fvsng 5803

Description: The value of a singleton of an ordered pair is the second member. (Contributed by NM, 26-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
fvsng	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( { <. A , B >. } ` A ) = B )

Proof of Theorem fvsng

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq1 3833	. . . . 5 |- ( a = A -> <. a , b >. = <. A , b >. )
2	1	sneqd 3656	. . . 4 |- ( a = A -> { <. a , b >. } = { <. A , b >. } )
3		id 19	. . . 4 |- ( a = A -> a = A )
4	2, 3	fveq12d 5606	. . 3 |- ( a = A -> ( { <. a , b >. } ` a ) = ( { <. A , b >. } ` A ) )
5	4	eqeq1d 2216	. 2 |- ( a = A -> ( ( { <. a , b >. } ` a ) = b <-> ( { <. A , b >. } ` A ) = b ) )
6		opeq2 3834	. . . . 5 |- ( b = B -> <. A , b >. = <. A , B >. )
7	6	sneqd 3656	. . . 4 |- ( b = B -> { <. A , b >. } = { <. A , B >. } )
8	7	fveq1d 5601	. . 3 |- ( b = B -> ( { <. A , b >. } ` A ) = ( { <. A , B >. } ` A ) )
9		id 19	. . 3 |- ( b = B -> b = B )
10	8, 9	eqeq12d 2222	. 2 |- ( b = B -> ( ( { <. A , b >. } ` A ) = b <-> ( { <. A , B >. } ` A ) = B ) )
11		vex 2779	. . 3 |- a e. _V
12		vex 2779	. . 3 |- b e. _V
13	11, 12	fvsn 5802	. 2 |- ( { <. a , b >. } ` a ) = b
14	5, 10, 13	vtocl2g 2842	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( { <. A , B >. } ` A ) = B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2178   {csn 3643   <.cop 3646   ` cfv 5290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-sbc 3006  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298

This theorem is referenced by:  fsnunfv  5808  fvpr1g  5813  fvpr2g  5814  tfr0dm  6431  fseq1p1m1  10251  1fv  10296  s1fv  11118  sumsnf  11835  prodsnf  12018  setsslid  12998  mgm1  13317  sgrp1  13358  mnd1  13402  mnd1id  13403  grp1  13553  ring1  13936  ixpsnbasval  14343