Theorem fvsng 5880

Description: The value of a singleton of an ordered pair is the second member. (Contributed by NM, 26-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
fvsng	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( { <. A , B >. } ` A ) = B )

Proof of Theorem fvsng

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq1 3883	. . . . 5 |- ( a = A -> <. a , b >. = <. A , b >. )
2	1	sneqd 3702	. . . 4 |- ( a = A -> { <. a , b >. } = { <. A , b >. } )
3		id 19	. . . 4 |- ( a = A -> a = A )
4	2, 3	fveq12d 5677	. . 3 |- ( a = A -> ( { <. a , b >. } ` a ) = ( { <. A , b >. } ` A ) )
5	4	eqeq1d 2241	. 2 |- ( a = A -> ( ( { <. a , b >. } ` a ) = b <-> ( { <. A , b >. } ` A ) = b ) )
6		opeq2 3884	. . . . 5 |- ( b = B -> <. A , b >. = <. A , B >. )
7	6	sneqd 3702	. . . 4 |- ( b = B -> { <. A , b >. } = { <. A , B >. } )
8	7	fveq1d 5672	. . 3 |- ( b = B -> ( { <. A , b >. } ` A ) = ( { <. A , B >. } ` A ) )
9		id 19	. . 3 |- ( b = B -> b = B )
10	8, 9	eqeq12d 2247	. 2 |- ( b = B -> ( ( { <. A , b >. } ` A ) = b <-> ( { <. A , B >. } ` A ) = B ) )
11		vex 2816	. . 3 |- a e. _V
12		vex 2816	. . 3 |- b e. _V
13	11, 12	fvsn 5879	. 2 |- ( { <. a , b >. } ` a ) = b
14	5, 10, 13	vtocl2g 2879	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( { <. A , B >. } ` A ) = B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203   {csn 3689   <.cop 3692   ` cfv 5352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-sbc 3043  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360

This theorem is referenced by:  fsnunfv  5885  fvpr1g  5890  fvpr2g  5891  suppsnopdc  6450  tfr0dm  6553  mapsnend  7052  fseq1p1m1  10428  1fv  10473  s1fv  11314  sumsnf  12095  prodsnf  12278  setsslid  13263  mgm1  13583  sgrp1  13624  mnd1  13668  mnd1id  13669  grp1  13819  ring1  14203  ixpsnbasval  14614  1loopgrvd0fi  16301  1hevtxdg0fi  16302  1hevtxdg1en  16303  1hegrvtxdg1fi  16304  gfsump1  16868