Theorem fvsng 5914

Description: The value of a singleton of an ordered pair is the second member. (Contributed by NM, 26-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
fvsng	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( { <. A , B >. } ` A ) = B )

Proof of Theorem fvsng

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq1 3904	. . . . 5 |- ( a = A -> <. a , b >. = <. A , b >. )
2	1	sneqd 3722	. . . 4 |- ( a = A -> { <. a , b >. } = { <. A , b >. } )
3		id 19	. . . 4 |- ( a = A -> a = A )
4	2, 3	fveq12d 5705	. . 3 |- ( a = A -> ( { <. a , b >. } ` a ) = ( { <. A , b >. } ` A ) )
5	4	eqeq1d 2247	. 2 |- ( a = A -> ( ( { <. a , b >. } ` a ) = b <-> ( { <. A , b >. } ` A ) = b ) )
6		opeq2 3905	. . . . 5 |- ( b = B -> <. A , b >. = <. A , B >. )
7	6	sneqd 3722	. . . 4 |- ( b = B -> { <. A , b >. } = { <. A , B >. } )
8	7	fveq1d 5700	. . 3 |- ( b = B -> ( { <. A , b >. } ` A ) = ( { <. A , B >. } ` A ) )
9		id 19	. . 3 |- ( b = B -> b = B )
10	8, 9	eqeq12d 2253	. 2 |- ( b = B -> ( ( { <. A , b >. } ` A ) = b <-> ( { <. A , B >. } ` A ) = B ) )
11		vex 2824	. . 3 |- a e. _V
12		vex 2824	. . 3 |- b e. _V
13	11, 12	fvsn 5913	. 2 |- ( { <. a , b >. } ` a ) = b
14	5, 10, 13	vtocl2g 2887	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( { <. A , B >. } ` A ) = B )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   {csn 3709   <.cop 3712   ` cfv 5380

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388

This theorem is used by:  fsnunfv  5919  fvpr1g  5924  fvpr2g  5925  suppsnopdc  6494  tfr0dm  6597  mapsnend  7103  fseq1p1m1  10518  1fv  10563  s1fv  11416  sumsnf  12201  prodsnf  12384  setsslid  13461  mgm1  13749  sgrp1  13785  mnd1  13821  mnd1id  13822  grp1  13970  gsump1  14247  ring1  14471  ixpsnbasval  14912  1loopgrvd0fi  16752  1hevtxdg0fi  16753  1hevtxdg1en  16754  1hegrvtxdg1fi  16755