Theorem fvpr1o 13555

Description: The value of a function with a domain of (at most) two elements. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
fvpr1o	|- ( B e. V -> ( { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } ` 1o ) = B )

Proof of Theorem fvpr1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6753	. 2 |- 1o e. om
2		1n0 6665	. . 3 |- 1o =/= (/)
3	2	necomi 2497	. 2 |- (/) =/= 1o
4		fvpr2g 5891	. 2 |- ( ( 1o e. om /\ B e. V /\ (/) =/= 1o ) -> ( { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } ` 1o ) = B )
5	1, 3, 4	mp3an13 1365	1 |- ( B e. V -> ( { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } ` 1o ) = B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2203   =/= wne 2412   (/)c0 3508   {cpr 3690   <.cop 3692   omcom 4712   ` cfv 5352   1oc1o 6640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-res 4761  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360  df-1o 6647

This theorem is referenced by:  fvprif  13556  xpsfeq  13558  xpsfrnel2  13559  xpsff1o  13562