Theorem fvtp2g 5637

Description: The value of a function with a domain of (at most) three elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fvtp2g	|- ( ( ( B e. V /\ E e. W ) /\ ( A =/= B /\ B =/= C ) ) -> ( { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } ` B ) = E )

Proof of Theorem fvtp2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tprot 3624	. . 3 |- { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } = { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. }
2	1	fveq1i 5430	. 2 |- ( { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } ` B ) = ( { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. } ` B )
3		necom 2393	. . . 4 |- ( A =/= B <-> B =/= A )
4		fvtp1g 5636	. . . . . 6 |- ( ( ( B e. V /\ E e. W ) /\ ( B =/= C /\ B =/= A ) ) -> ( { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. } ` B ) = E )
5	4	expcom 115	. . . . 5 |- ( ( B =/= C /\ B =/= A ) -> ( ( B e. V /\ E e. W ) -> ( { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. } ` B ) = E ) )
6	5	ancoms 266	. . . 4 |- ( ( B =/= A /\ B =/= C ) -> ( ( B e. V /\ E e. W ) -> ( { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. } ` B ) = E ) )
7	3, 6	sylanb 282	. . 3 |- ( ( A =/= B /\ B =/= C ) -> ( ( B e. V /\ E e. W ) -> ( { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. } ` B ) = E ) )
8	7	impcom 124	. 2 |- ( ( ( B e. V /\ E e. W ) /\ ( A =/= B /\ B =/= C ) ) -> ( { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. } ` B ) = E )
9	2, 8	syl5eq 2185	1 |- ( ( ( B e. V /\ E e. W ) /\ ( A =/= B /\ B =/= C ) ) -> ( { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } ` B ) = E )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1332   e. wcel 1481   =/= wne 2309   {ctp 3534   <.cop 3535   ` cfv 5131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-tp 3540  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-res 4559  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139

This theorem is referenced by:  fvtp3g  5638