Theorem fvtp2g 5738

Description: The value of a function with a domain of (at most) three elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fvtp2g	|- ( ( ( B e. V /\ E e. W ) /\ ( A =/= B /\ B =/= C ) ) -> ( { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } ` B ) = E )

Proof of Theorem fvtp2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tprot 3697	. . 3 |- { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } = { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. }
2	1	fveq1i 5528	. 2 |- ( { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } ` B ) = ( { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. } ` B )
3		necom 2441	. . . 4 |- ( A =/= B <-> B =/= A )
4		fvtp1g 5737	. . . . . 6 |- ( ( ( B e. V /\ E e. W ) /\ ( B =/= C /\ B =/= A ) ) -> ( { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. } ` B ) = E )
5	4	expcom 116	. . . . 5 |- ( ( B =/= C /\ B =/= A ) -> ( ( B e. V /\ E e. W ) -> ( { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. } ` B ) = E ) )
6	5	ancoms 268	. . . 4 |- ( ( B =/= A /\ B =/= C ) -> ( ( B e. V /\ E e. W ) -> ( { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. } ` B ) = E ) )
7	3, 6	sylanb 284	. . 3 |- ( ( A =/= B /\ B =/= C ) -> ( ( B e. V /\ E e. W ) -> ( { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. } ` B ) = E ) )
8	7	impcom 125	. 2 |- ( ( ( B e. V /\ E e. W ) /\ ( A =/= B /\ B =/= C ) ) -> ( { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. } ` B ) = E )
9	2, 8	eqtrid 2232	1 |- ( ( ( B e. V /\ E e. W ) /\ ( A =/= B /\ B =/= C ) ) -> ( { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } ` B ) = E )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1363   e. wcel 2158   =/= wne 2357   {ctp 3606   <.cop 3607   ` cfv 5228

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-tp 3612  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-res 4650  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fv 5236

This theorem is referenced by:  fvtp3g  5739  imasplusg  12747