Theorem fvtp2g 5871

Description: The value of a function with a domain of (at most) three elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fvtp2g	|- ( ( ( B e. V /\ E e. W ) /\ ( A =/= B /\ B =/= C ) ) -> ( { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } ` B ) = E )

Proof of Theorem fvtp2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tprot 3768	. . 3 |- { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } = { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. }
2	1	fveq1i 5649	. 2 |- ( { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } ` B ) = ( { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. } ` B )
3		necom 2487	. . . 4 |- ( A =/= B <-> B =/= A )
4		fvtp1g 5870	. . . . . 6 |- ( ( ( B e. V /\ E e. W ) /\ ( B =/= C /\ B =/= A ) ) -> ( { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. } ` B ) = E )
5	4	expcom 116	. . . . 5 |- ( ( B =/= C /\ B =/= A ) -> ( ( B e. V /\ E e. W ) -> ( { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. } ` B ) = E ) )
6	5	ancoms 268	. . . 4 |- ( ( B =/= A /\ B =/= C ) -> ( ( B e. V /\ E e. W ) -> ( { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. } ` B ) = E ) )
7	3, 6	sylanb 284	. . 3 |- ( ( A =/= B /\ B =/= C ) -> ( ( B e. V /\ E e. W ) -> ( { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. } ` B ) = E ) )
8	7	impcom 125	. 2 |- ( ( ( B e. V /\ E e. W ) /\ ( A =/= B /\ B =/= C ) ) -> ( { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. } ` B ) = E )
9	2, 8	eqtrid 2276	1 |- ( ( ( B e. V /\ E e. W ) /\ ( A =/= B /\ B =/= C ) ) -> ( { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } ` B ) = E )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2202   =/= wne 2403   {ctp 3675   <.cop 3676   ` cfv 5333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-tp 3681  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-res 4743  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341

This theorem is referenced by:  fvtp3g  5872  imasplusg  13454