Theorem fvtp2g 5694

Description: The value of a function with a domain of (at most) three elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fvtp2g	|- ( ( ( B e. V /\ E e. W ) /\ ( A =/= B /\ B =/= C ) ) -> ( { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } ` B ) = E )

Proof of Theorem fvtp2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tprot 3669	. . 3 |- { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } = { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. }
2	1	fveq1i 5487	. 2 |- ( { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } ` B ) = ( { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. } ` B )
3		necom 2420	. . . 4 |- ( A =/= B <-> B =/= A )
4		fvtp1g 5693	. . . . . 6 |- ( ( ( B e. V /\ E e. W ) /\ ( B =/= C /\ B =/= A ) ) -> ( { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. } ` B ) = E )
5	4	expcom 115	. . . . 5 |- ( ( B =/= C /\ B =/= A ) -> ( ( B e. V /\ E e. W ) -> ( { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. } ` B ) = E ) )
6	5	ancoms 266	. . . 4 |- ( ( B =/= A /\ B =/= C ) -> ( ( B e. V /\ E e. W ) -> ( { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. } ` B ) = E ) )
7	3, 6	sylanb 282	. . 3 |- ( ( A =/= B /\ B =/= C ) -> ( ( B e. V /\ E e. W ) -> ( { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. } ` B ) = E ) )
8	7	impcom 124	. 2 |- ( ( ( B e. V /\ E e. W ) /\ ( A =/= B /\ B =/= C ) ) -> ( { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. } ` B ) = E )
9	2, 8	syl5eq 2211	1 |- ( ( ( B e. V /\ E e. W ) /\ ( A =/= B /\ B =/= C ) ) -> ( { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } ` B ) = E )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1343   e. wcel 2136   =/= wne 2336   {ctp 3578   <.cop 3579   ` cfv 5188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-tp 3584  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-res 4616  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196

This theorem is referenced by:  fvtp3g  5695