ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fvtp2g GIF version

Theorem fvtp2g 5506
Description: The value of a function with a domain of (at most) three elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
fvtp2g (((𝐵𝑉𝐸𝑊) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶)) → ({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩}‘𝐵) = 𝐸)

Proof of Theorem fvtp2g
StepHypRef Expression
1 tprot 3535 . . 3 {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩} = {⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩, ⟨𝐴, 𝐷⟩}
21fveq1i 5306 . 2 ({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩}‘𝐵) = ({⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩, ⟨𝐴, 𝐷⟩}‘𝐵)
3 necom 2339 . . . 4 (𝐴𝐵𝐵𝐴)
4 fvtp1g 5505 . . . . . 6 (((𝐵𝑉𝐸𝑊) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐴)) → ({⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩, ⟨𝐴, 𝐷⟩}‘𝐵) = 𝐸)
54expcom 114 . . . . 5 ((𝐵𝐶𝐵𝐴) → ((𝐵𝑉𝐸𝑊) → ({⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩, ⟨𝐴, 𝐷⟩}‘𝐵) = 𝐸))
65ancoms 264 . . . 4 ((𝐵𝐴𝐵𝐶) → ((𝐵𝑉𝐸𝑊) → ({⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩, ⟨𝐴, 𝐷⟩}‘𝐵) = 𝐸))
73, 6sylanb 278 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → ((𝐵𝑉𝐸𝑊) → ({⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩, ⟨𝐴, 𝐷⟩}‘𝐵) = 𝐸))
87impcom 123 . 2 (((𝐵𝑉𝐸𝑊) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶)) → ({⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩, ⟨𝐴, 𝐷⟩}‘𝐵) = 𝐸)
92, 8syl5eq 2132 1 (((𝐵𝑉𝐸𝑊) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶)) → ({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩}‘𝐵) = 𝐸)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1289  wcel 1438  wne 2255  {ctp 3448  cop 3449  cfv 5015
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-tp 3454  df-op 3455  df-uni 3654  df-br 3846  df-opab 3900  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-res 4450  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fv 5023
This theorem is referenced by:  fvtp3g  5507
  Copyright terms: Public domain W3C validator