Theorem fvtp2g 5705

Description: The value of a function with a domain of (at most) three elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fvtp2g	⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩}‘𝐵) = 𝐸)

Proof of Theorem fvtp2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tprot 3676	. . 3 ⊢ {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩} = {⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩, ⟨𝐴, 𝐷⟩}
2	1	fveq1i 5497	. 2 ⊢ ({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩}‘𝐵) = ({⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩, ⟨𝐴, 𝐷⟩}‘𝐵)
3		necom 2424	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝐴)
4		fvtp1g 5704	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐴)) → ({⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩, ⟨𝐴, 𝐷⟩}‘𝐵) = 𝐸)
5	4	expcom 115	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) → ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → ({⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩, ⟨𝐴, 𝐷⟩}‘𝐵) = 𝐸))
6	5	ancoms 266	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → ({⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩, ⟨𝐴, 𝐷⟩}‘𝐵) = 𝐸))
7	3, 6	sylanb 282	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → ({⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩, ⟨𝐴, 𝐷⟩}‘𝐵) = 𝐸))
8	7	impcom 124	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ({⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩, ⟨𝐴, 𝐷⟩}‘𝐵) = 𝐸)
9	2, 8	eqtrid 2215	1 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩}‘𝐵) = 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2340  {ctp 3585  ⟨cop 3586  ‘cfv 5198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-tp 3591  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-res 4623  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206

This theorem is referenced by:  fvtp3g  5706