Theorem griedg0prc 16069

Description: The class of empty graphs (represented as ordered pairs) is a proper class. (Contributed by AV, 27-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
griedg0prc.u	|- U = { <. v , e >. | e : (/) --> (/) }

Assertion

Ref	Expression
griedg0prc	|- U e/ _V

Distinct variable group:   v, e

Allowed substitution hints:   U( v, e)

Proof of Theorem griedg0prc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4211	. . . 4 |- (/) e. _V
2		feq1 5459	. . . 4 |- ( e = (/) -> ( e : (/) --> (/) <-> (/) : (/) --> (/) ) )
3		f0 5521	. . . 4 |- (/) : (/) --> (/)
4	1, 2, 3	ceqsexv2d 2840	. . 3 |- E. e e : (/) --> (/)
5		opabn1stprc 6350	. . 3 |- ( E. e e : (/) --> (/) -> { <. v , e >. | e : (/) --> (/) } e/ _V )
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 |- { <. v , e >. | e : (/) --> (/) } e/ _V
7		griedg0prc.u	. . 3 |- U = { <. v , e >. | e : (/) --> (/) }
8		neleq1 2499	. . 3 |- ( U = { <. v , e >. | e : (/) --> (/) } -> ( U e/ _V <-> { <. v , e >. | e : (/) --> (/) } e/ _V ) )
9	7, 8	ax-mp 5	. 2 |- ( U e/ _V <-> { <. v , e >. | e : (/) --> (/) } e/ _V )
10	6, 9	mpbir 146	1 |- U e/ _V

Syntax hints:   <-> wb 105   = wceq 1395   E.wex 1538   e/ wnel 2495   _Vcvv 2799   (/)c0 3491   {copab 4144   -->wf 5317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325

This theorem is referenced by:  usgrprc  16071