Theorem griedg0prc 16104

Description: The class of empty graphs (represented as ordered pairs) is a proper class. (Contributed by AV, 27-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
griedg0prc.u	|- U = { <. v , e >. | e : (/) --> (/) }

Assertion

Ref	Expression
griedg0prc	|- U e/ _V

Distinct variable group:   v, e

Allowed substitution hints:   U( v, e)

Proof of Theorem griedg0prc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4216	. . . 4 |- (/) e. _V
2		feq1 5465	. . . 4 |- ( e = (/) -> ( e : (/) --> (/) <-> (/) : (/) --> (/) ) )
3		f0 5527	. . . 4 |- (/) : (/) --> (/)
4	1, 2, 3	ceqsexv2d 2843	. . 3 |- E. e e : (/) --> (/)
5		opabn1stprc 6358	. . 3 |- ( E. e e : (/) --> (/) -> { <. v , e >. | e : (/) --> (/) } e/ _V )
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 |- { <. v , e >. | e : (/) --> (/) } e/ _V
7		griedg0prc.u	. . 3 |- U = { <. v , e >. | e : (/) --> (/) }
8		neleq1 2501	. . 3 |- ( U = { <. v , e >. | e : (/) --> (/) } -> ( U e/ _V <-> { <. v , e >. | e : (/) --> (/) } e/ _V ) )
9	7, 8	ax-mp 5	. 2 |- ( U e/ _V <-> { <. v , e >. | e : (/) --> (/) } e/ _V )
10	6, 9	mpbir 146	1 |- U e/ _V

Syntax hints:   <-> wb 105   = wceq 1397   E.wex 1540   e/ wnel 2497   _Vcvv 2802   (/)c0 3494   {copab 4149   -->wf 5322

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330

This theorem is referenced by:  usgrprc  16106