Theorem griedg0prc 16474

Description: The class of empty graphs (represented as ordered pairs) is a proper class. (Contributed by AV, 27-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
griedg0prc.u	|- U = { <. v , e >. | e : (/) --> (/) }

Assertion

Ref	Expression
griedg0prc	|- U e/ _V

Distinct variable group:   v, e

Allowed substitution hints:   U( v, e)

Proof of Theorem griedg0prc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4258	. . . 4 |- (/) e. _V
2		feq1 5514	. . . 4 |- ( e = (/) -> ( e : (/) --> (/) <-> (/) : (/) --> (/) ) )
3		f0 5581	. . . 4 |- (/) : (/) --> (/)
4	1, 2, 3	ceqsexv2d 2862	. . 3 |- E. e e : (/) --> (/)
5		opabn1stprc 6423	. . 3 |- ( E. e e : (/) --> (/) -> { <. v , e >. | e : (/) --> (/) } e/ _V )
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 |- { <. v , e >. | e : (/) --> (/) } e/ _V
7		griedg0prc.u	. . 3 |- U = { <. v , e >. | e : (/) --> (/) }
8		neleq1 2519	. . 3 |- ( U = { <. v , e >. | e : (/) --> (/) } -> ( U e/ _V <-> { <. v , e >. | e : (/) --> (/) } e/ _V ) )
9	7, 8	ax-mp 5	. 2 |- ( U e/ _V <-> { <. v , e >. | e : (/) --> (/) } e/ _V )
10	6, 9	mpbir 146	1 |- U e/ _V

Syntax hints:   <-> wb 105   = wceq 1402   E.wex 1545   e/ wnel 2515   _Vcvv 2821   (/)c0 3520   {copab 4189   -->wf 5371

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-13 2211  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-opab 4191  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379

This theorem is referenced by:  usgrprc  16476