Theorem griedg0ssusgr 16070

Description: The class of all simple graphs is a superclass of the class of empty graphs represented as ordered pairs. (Contributed by AV, 27-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
griedg0prc.u	|- U = { <. v , e >. | e : (/) --> (/) }

Assertion

Ref	Expression
griedg0ssusgr	|- U C_ USGraph

Distinct variable group:   v, e

Allowed substitution hints:   U( v, e)

Proof of Theorem griedg0ssusgr

Dummy variable g is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		griedg0prc.u	. . . . 5 |- U = { <. v , e >. | e : (/) --> (/) }
2	1	eleq2i 2296	. . . 4 |- ( g e. U <-> g e. { <. v , e >. | e : (/) --> (/) } )
3		elopab 4347	. . . 4 |- ( g e. { <. v , e >. | e : (/) --> (/) } <-> E. v E. e ( g = <. v , e >. /\ e : (/) --> (/) ) )
4	2, 3	bitri 184	. . 3 |- ( g e. U <-> E. v E. e ( g = <. v , e >. /\ e : (/) --> (/) ) )
5		vex 2802	. . . . . . . . 9 |- v e. _V
6		vex 2802	. . . . . . . . 9 |- e e. _V
7	5, 6	opex 4316	. . . . . . . 8 |- <. v , e >. e. _V
8	7	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( e : (/) --> (/) -> <. v , e >. e. _V )
9	5, 6	opiedgfvi 15850	. . . . . . . 8 |- (iEdg ` <. v , e >. ) = e
10		f0bi 5523	. . . . . . . . 9 |- ( e : (/) --> (/) <-> e = (/) )
11	10	biimpi 120	. . . . . . . 8 |- ( e : (/) --> (/) -> e = (/) )
12	9, 11	eqtrid 2274	. . . . . . 7 |- ( e : (/) --> (/) -> (iEdg ` <. v , e >. ) = (/) )
13	8, 12	usgr0e 16051	. . . . . 6 |- ( e : (/) --> (/) -> <. v , e >. e. USGraph )
14	13	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( g = <. v , e >. /\ e : (/) --> (/) ) -> <. v , e >. e. USGraph )
15		eleq1 2292	. . . . . 6 |- ( g = <. v , e >. -> ( g e. USGraph <-> <. v , e >. e. USGraph ) )
16	15	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( g = <. v , e >. /\ e : (/) --> (/) ) -> ( g e. USGraph <-> <. v , e >. e. USGraph ) )
17	14, 16	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( g = <. v , e >. /\ e : (/) --> (/) ) -> g e. USGraph )
18	17	exlimivv 1943	. . 3 |- ( E. v E. e ( g = <. v , e >. /\ e : (/) --> (/) ) -> g e. USGraph )
19	4, 18	sylbi 121	. 2 |- ( g e. U -> g e. USGraph )
20	19	ssriv 3228	1 |- U C_ USGraph

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   C_ wss 3197   (/)c0 3491   <.cop 3669   {copab 4144   -->wf 5317   ` cfv 5321  iEdgciedg 15835  USGraphcusgr 15973

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-cnre 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-sub 8335  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-5 9188  df-6 9189  df-7 9190  df-8 9191  df-9 9192  df-n0 9386  df-dec 9595  df-ndx 13056  df-slot 13057  df-base 13059  df-edgf 15827  df-vtx 15836  df-iedg 15837  df-usgren 15975

This theorem is referenced by:  usgrprc  16071