Theorem griedg0ssusgr 16375

Description: The class of all simple graphs is a superclass of the class of empty graphs represented as ordered pairs. (Contributed by AV, 27-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
griedg0prc.u	|- U = { <. v , e >. | e : (/) --> (/) }

Assertion

Ref	Expression
griedg0ssusgr	|- U C_ USGraph

Distinct variable group:   v, e

Allowed substitution hints:   U( v, e)

Proof of Theorem griedg0ssusgr

Dummy variable g is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		griedg0prc.u	. . . . 5 |- U = { <. v , e >. | e : (/) --> (/) }
2	1	eleq2i 2301	. . . 4 |- ( g e. U <-> g e. { <. v , e >. | e : (/) --> (/) } )
3		elopab 4381	. . . 4 |- ( g e. { <. v , e >. | e : (/) --> (/) } <-> E. v E. e ( g = <. v , e >. /\ e : (/) --> (/) ) )
4	2, 3	bitri 184	. . 3 |- ( g e. U <-> E. v E. e ( g = <. v , e >. /\ e : (/) --> (/) ) )
5		vex 2818	. . . . . . . . 9 |- v e. _V
6		vex 2818	. . . . . . . . 9 |- e e. _V
7	5, 6	opex 4350	. . . . . . . 8 |- <. v , e >. e. _V
8	7	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( e : (/) --> (/) -> <. v , e >. e. _V )
9	5, 6	opiedgfvi 16152	. . . . . . . 8 |- (iEdg ` <. v , e >. ) = e
10		f0bi 5565	. . . . . . . . 9 |- ( e : (/) --> (/) <-> e = (/) )
11	10	biimpi 120	. . . . . . . 8 |- ( e : (/) --> (/) -> e = (/) )
12	9, 11	eqtrid 2279	. . . . . . 7 |- ( e : (/) --> (/) -> (iEdg ` <. v , e >. ) = (/) )
13	8, 12	usgr0e 16356	. . . . . 6 |- ( e : (/) --> (/) -> <. v , e >. e. USGraph )
14	13	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( g = <. v , e >. /\ e : (/) --> (/) ) -> <. v , e >. e. USGraph )
15		eleq1 2297	. . . . . 6 |- ( g = <. v , e >. -> ( g e. USGraph <-> <. v , e >. e. USGraph ) )
16	15	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( g = <. v , e >. /\ e : (/) --> (/) ) -> ( g e. USGraph <-> <. v , e >. e. USGraph ) )
17	14, 16	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( g = <. v , e >. /\ e : (/) --> (/) ) -> g e. USGraph )
18	17	exlimivv 1948	. . 3 |- ( E. v E. e ( g = <. v , e >. /\ e : (/) --> (/) ) -> g e. USGraph )
19	4, 18	sylbi 121	. 2 |- ( g e. U -> g e. USGraph )
20	19	ssriv 3246	1 |- U C_ USGraph

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   C_ wss 3214   (/)c0 3512   <.cop 3697   {copab 4175   -->wf 5353   ` cfv 5357  iEdgciedg 16137  USGraphcusgr 16278

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-sub 8463  df-inn 9258  df-2 9316  df-3 9317  df-4 9318  df-5 9319  df-6 9320  df-7 9321  df-8 9322  df-9 9323  df-n0 9517  df-dec 9731  df-ndx 13302  df-slot 13303  df-base 13305  df-edgf 16129  df-vtx 16138  df-iedg 16139  df-usgren 16280

This theorem is referenced by:  usgrprc  16376