Theorem griedg0ssusgr 16295

Description: The class of all simple graphs is a superclass of the class of empty graphs represented as ordered pairs. (Contributed by AV, 27-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
griedg0prc.u	|- U = { <. v , e >. | e : (/) --> (/) }

Assertion

Ref	Expression
griedg0ssusgr	|- U C_ USGraph

Distinct variable group:   v, e

Allowed substitution hints:   U( v, e)

Proof of Theorem griedg0ssusgr

Dummy variable g is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		griedg0prc.u	. . . . 5 |- U = { <. v , e >. | e : (/) --> (/) }
2	1	eleq2i 2301	. . . 4 |- ( g e. U <-> g e. { <. v , e >. | e : (/) --> (/) } )
3		elopab 4378	. . . 4 |- ( g e. { <. v , e >. | e : (/) --> (/) } <-> E. v E. e ( g = <. v , e >. /\ e : (/) --> (/) ) )
4	2, 3	bitri 184	. . 3 |- ( g e. U <-> E. v E. e ( g = <. v , e >. /\ e : (/) --> (/) ) )
5		vex 2818	. . . . . . . . 9 |- v e. _V
6		vex 2818	. . . . . . . . 9 |- e e. _V
7	5, 6	opex 4347	. . . . . . . 8 |- <. v , e >. e. _V
8	7	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( e : (/) --> (/) -> <. v , e >. e. _V )
9	5, 6	opiedgfvi 16072	. . . . . . . 8 |- (iEdg ` <. v , e >. ) = e
10		f0bi 5562	. . . . . . . . 9 |- ( e : (/) --> (/) <-> e = (/) )
11	10	biimpi 120	. . . . . . . 8 |- ( e : (/) --> (/) -> e = (/) )
12	9, 11	eqtrid 2279	. . . . . . 7 |- ( e : (/) --> (/) -> (iEdg ` <. v , e >. ) = (/) )
13	8, 12	usgr0e 16276	. . . . . 6 |- ( e : (/) --> (/) -> <. v , e >. e. USGraph )
14	13	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( g = <. v , e >. /\ e : (/) --> (/) ) -> <. v , e >. e. USGraph )
15		eleq1 2297	. . . . . 6 |- ( g = <. v , e >. -> ( g e. USGraph <-> <. v , e >. e. USGraph ) )
16	15	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( g = <. v , e >. /\ e : (/) --> (/) ) -> ( g e. USGraph <-> <. v , e >. e. USGraph ) )
17	14, 16	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( g = <. v , e >. /\ e : (/) --> (/) ) -> g e. USGraph )
18	17	exlimivv 1948	. . 3 |- ( E. v E. e ( g = <. v , e >. /\ e : (/) --> (/) ) -> g e. USGraph )
19	4, 18	sylbi 121	. 2 |- ( g e. U -> g e. USGraph )
20	19	ssriv 3244	1 |- U C_ USGraph

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   C_ wss 3213   (/)c0 3510   <.cop 3694   {copab 4172   -->wf 5350   ` cfv 5354  iEdgciedg 16057  USGraphcusgr 16198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-addcom 8232  ax-mulcom 8233  ax-addass 8234  ax-mulass 8235  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-1rid 8239  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-cnre 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-sub 8451  df-inn 9243  df-2 9301  df-3 9302  df-4 9303  df-5 9304  df-6 9305  df-7 9306  df-8 9307  df-9 9308  df-n0 9502  df-dec 9716  df-ndx 13236  df-slot 13237  df-base 13239  df-edgf 16049  df-vtx 16058  df-iedg 16059  df-usgren 16200

This theorem is referenced by:  usgrprc  16296