Theorem griedg0ssusgr 16105

Description: The class of all simple graphs is a superclass of the class of empty graphs represented as ordered pairs. (Contributed by AV, 27-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
griedg0prc.u	|- U = { <. v , e >. | e : (/) --> (/) }

Assertion

Ref	Expression
griedg0ssusgr	|- U C_ USGraph

Distinct variable group:   v, e

Allowed substitution hints:   U( v, e)

Proof of Theorem griedg0ssusgr

Dummy variable g is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		griedg0prc.u	. . . . 5 |- U = { <. v , e >. | e : (/) --> (/) }
2	1	eleq2i 2298	. . . 4 |- ( g e. U <-> g e. { <. v , e >. | e : (/) --> (/) } )
3		elopab 4352	. . . 4 |- ( g e. { <. v , e >. | e : (/) --> (/) } <-> E. v E. e ( g = <. v , e >. /\ e : (/) --> (/) ) )
4	2, 3	bitri 184	. . 3 |- ( g e. U <-> E. v E. e ( g = <. v , e >. /\ e : (/) --> (/) ) )
5		vex 2805	. . . . . . . . 9 |- v e. _V
6		vex 2805	. . . . . . . . 9 |- e e. _V
7	5, 6	opex 4321	. . . . . . . 8 |- <. v , e >. e. _V
8	7	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( e : (/) --> (/) -> <. v , e >. e. _V )
9	5, 6	opiedgfvi 15882	. . . . . . . 8 |- (iEdg ` <. v , e >. ) = e
10		f0bi 5529	. . . . . . . . 9 |- ( e : (/) --> (/) <-> e = (/) )
11	10	biimpi 120	. . . . . . . 8 |- ( e : (/) --> (/) -> e = (/) )
12	9, 11	eqtrid 2276	. . . . . . 7 |- ( e : (/) --> (/) -> (iEdg ` <. v , e >. ) = (/) )
13	8, 12	usgr0e 16086	. . . . . 6 |- ( e : (/) --> (/) -> <. v , e >. e. USGraph )
14	13	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( g = <. v , e >. /\ e : (/) --> (/) ) -> <. v , e >. e. USGraph )
15		eleq1 2294	. . . . . 6 |- ( g = <. v , e >. -> ( g e. USGraph <-> <. v , e >. e. USGraph ) )
16	15	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( g = <. v , e >. /\ e : (/) --> (/) ) -> ( g e. USGraph <-> <. v , e >. e. USGraph ) )
17	14, 16	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( g = <. v , e >. /\ e : (/) --> (/) ) -> g e. USGraph )
18	17	exlimivv 1945	. . 3 |- ( E. v E. e ( g = <. v , e >. /\ e : (/) --> (/) ) -> g e. USGraph )
19	4, 18	sylbi 121	. 2 |- ( g e. U -> g e. USGraph )
20	19	ssriv 3231	1 |- U C_ USGraph

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   E.wex 1540   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   C_ wss 3200   (/)c0 3494   <.cop 3672   {copab 4149   -->wf 5322   ` cfv 5326  iEdgciedg 15867  USGraphcusgr 16008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-sub 8352  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-9 9209  df-n0 9403  df-dec 9612  df-ndx 13087  df-slot 13088  df-base 13090  df-edgf 15859  df-vtx 15868  df-iedg 15869  df-usgren 16010

This theorem is referenced by:  usgrprc  16106