Theorem opabn1stprc 6350

Description: An ordered-pair class abstraction which does not depend on the first abstraction variable is a proper class. There must be, however, at least one set which satisfies the restricting wff. (Contributed by AV, 27-Dec-2020.)

Assertion

Ref	Expression
opabn1stprc	|- ( E. y ph -> { <. x , y >. | ph } e/ _V )

Distinct variable groups:   x, y   ph, x

Allowed substitution hint:   ph( y)

Proof of Theorem opabn1stprc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2802	. . . . . . . 8 |- x e. _V
2	1	biantrur 303	. . . . . . 7 |- ( ph <-> ( x e. _V /\ ph ) )
3	2	opabbii 4151	. . . . . 6 |- { <. x , y >. | ph } = { <. x , y >. | ( x e. _V /\ ph ) }
4	3	dmeqi 4927	. . . . 5 |- dom { <. x , y >. | ph } = dom { <. x , y >. | ( x e. _V /\ ph ) }
5		id 19	. . . . . . 7 |- ( E. y ph -> E. y ph )
6	5	ralrimivw 2604	. . . . . 6 |- ( E. y ph -> A. x e. _V E. y ph )
7		dmopab3 4939	. . . . . 6 |- ( A. x e. _V E. y ph <-> dom { <. x , y >. | ( x e. _V /\ ph ) } = _V )
8	6, 7	sylib 122	. . . . 5 |- ( E. y ph -> dom { <. x , y >. | ( x e. _V /\ ph ) } = _V )
9	4, 8	eqtrid 2274	. . . 4 |- ( E. y ph -> dom { <. x , y >. | ph } = _V )
10		vprc 4216	. . . . 5 |- -. _V e. _V
11	10	a1i 9	. . . 4 |- ( E. y ph -> -. _V e. _V )
12	9, 11	eqneltrd 2325	. . 3 |- ( E. y ph -> -. dom { <. x , y >. | ph } e. _V )
13		dmexg 4991	. . 3 |- ( { <. x , y >. | ph } e. _V -> dom { <. x , y >. | ph } e. _V )
14	12, 13	nsyl 631	. 2 |- ( E. y ph -> -. { <. x , y >. | ph } e. _V )
15		df-nel 2496	. 2 |- ( { <. x , y >. | ph } e/ _V <-> -. { <. x , y >. | ph } e. _V )
16	14, 15	sylibr 134	1 |- ( E. y ph -> { <. x , y >. | ph } e/ _V )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   e/ wnel 2495   A.wral 2508   _Vcvv 2799   {copab 4144   dom cdm 4720

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-cnv 4728  df-dm 4730  df-rn 4731

This theorem is referenced by:  griedg0prc  16069