Theorem opabn1stprc 6358

Description: An ordered-pair class abstraction which does not depend on the first abstraction variable is a proper class. There must be, however, at least one set which satisfies the restricting wff. (Contributed by AV, 27-Dec-2020.)

Assertion

Ref	Expression
opabn1stprc	|- ( E. y ph -> { <. x , y >. | ph } e/ _V )

Distinct variable groups:   x, y   ph, x

Allowed substitution hint:   ph( y)

Proof of Theorem opabn1stprc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2805	. . . . . . . 8 |- x e. _V
2	1	biantrur 303	. . . . . . 7 |- ( ph <-> ( x e. _V /\ ph ) )
3	2	opabbii 4156	. . . . . 6 |- { <. x , y >. | ph } = { <. x , y >. | ( x e. _V /\ ph ) }
4	3	dmeqi 4932	. . . . 5 |- dom { <. x , y >. | ph } = dom { <. x , y >. | ( x e. _V /\ ph ) }
5		id 19	. . . . . . 7 |- ( E. y ph -> E. y ph )
6	5	ralrimivw 2606	. . . . . 6 |- ( E. y ph -> A. x e. _V E. y ph )
7		dmopab3 4944	. . . . . 6 |- ( A. x e. _V E. y ph <-> dom { <. x , y >. | ( x e. _V /\ ph ) } = _V )
8	6, 7	sylib 122	. . . . 5 |- ( E. y ph -> dom { <. x , y >. | ( x e. _V /\ ph ) } = _V )
9	4, 8	eqtrid 2276	. . . 4 |- ( E. y ph -> dom { <. x , y >. | ph } = _V )
10		vprc 4221	. . . . 5 |- -. _V e. _V
11	10	a1i 9	. . . 4 |- ( E. y ph -> -. _V e. _V )
12	9, 11	eqneltrd 2327	. . 3 |- ( E. y ph -> -. dom { <. x , y >. | ph } e. _V )
13		dmexg 4996	. . 3 |- ( { <. x , y >. | ph } e. _V -> dom { <. x , y >. | ph } e. _V )
14	12, 13	nsyl 633	. 2 |- ( E. y ph -> -. { <. x , y >. | ph } e. _V )
15		df-nel 2498	. 2 |- ( { <. x , y >. | ph } e/ _V <-> -. { <. x , y >. | ph } e. _V )
16	14, 15	sylibr 134	1 |- ( E. y ph -> { <. x , y >. | ph } e/ _V )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   E.wex 1540   e. wcel 2202   e/ wnel 2497   A.wral 2510   _Vcvv 2802   {copab 4149   dom cdm 4725

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-cnv 4733  df-dm 4735  df-rn 4736

This theorem is referenced by:  griedg0prc  16104