Theorem griedg0prc 16232

Description: The class of empty graphs (represented as ordered pairs) is a proper class. (Contributed by AV, 27-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
griedg0prc.u	⊢ 𝑈 = {⟨𝑣, 𝑒⟩ ∣ 𝑒:∅⟶∅}

Assertion

Ref	Expression
griedg0prc	⊢ 𝑈 ∉ V

Distinct variable group:   𝑣,𝑒

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑣,𝑒)

Proof of Theorem griedg0prc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4236	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
2		feq1 5490	. . . 4 ⊢ (𝑒 = ∅ → (𝑒:∅⟶∅ ↔ ∅:∅⟶∅))
3		f0 5557	. . . 4 ⊢ ∅:∅⟶∅
4	1, 2, 3	ceqsexv2d 2853	. . 3 ⊢ ∃𝑒 𝑒:∅⟶∅
5		opabn1stprc 6388	. . 3 ⊢ (∃𝑒 𝑒:∅⟶∅ → {⟨𝑣, 𝑒⟩ ∣ 𝑒:∅⟶∅} ∉ V)
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ {⟨𝑣, 𝑒⟩ ∣ 𝑒:∅⟶∅} ∉ V
7		griedg0prc.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = {⟨𝑣, 𝑒⟩ ∣ 𝑒:∅⟶∅}
8		neleq1 2511	. . 3 ⊢ (𝑈 = {⟨𝑣, 𝑒⟩ ∣ 𝑒:∅⟶∅} → (𝑈 ∉ V ↔ {⟨𝑣, 𝑒⟩ ∣ 𝑒:∅⟶∅} ∉ V))
9	7, 8	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑈 ∉ V ↔ {⟨𝑣, 𝑒⟩ ∣ 𝑒:∅⟶∅} ∉ V)
10	6, 9	mpbir 146	1 ⊢ 𝑈 ∉ V

Syntax hints:   ↔ wb 105   = wceq 1398  ∃wex 1541   ∉ wnel 2507  Vcvv 2812  ∅c0 3507  {copab 4169  ⟶wf 5347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2814  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-br 4109  df-opab 4171  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355

This theorem is referenced by:  usgrprc  16234