Theorem grpmgmd 13808

Description: A group is a magma, deduction form. (Contributed by SN, 14-Apr-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
grpmgmd.g	|- ( ph -> G e. Grp )

Assertion

Ref	Expression
grpmgmd	|- ( ph -> G e. Mgm )

Proof of Theorem grpmgmd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmgmd.g	. . 3 |- ( ph -> G e. Grp )
2	1	grpmndd 13795	. 2 |- ( ph -> G e. Mnd )
3		mndmgm 13712	. 2 |- ( G e. Mnd -> G e. Mgm )
4	2, 3	syl 14	1 |- ( ph -> G e. Mgm )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2209  Mgmcmgm 13651   Mndcmnd 13706   Grpcgrp 13782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1re 8263  ax-addrcl 8266

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-fv 5380  df-ov 6078  df-inn 9284  df-2 9342  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-plusg 13421  df-sgrp 13694  df-mnd 13707  df-grp 13785

This theorem is referenced by:  rng1zr  14234  mplsubgfilemcl  15013