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Theorem mplsubgfilemcl 14684

Description: Lemma for mplsubgfi 14686. The sum of two polynomials is a polynomial. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Nov-2025.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
mplsubg.s	mPwSer
mplsubg.p	mPoly
mplsubg.u
mplsubg.i
mplsubg.r
mplsubgfilemcl.x
mplsubgfilemcl.y
mplsubgfilemcl.p

**Assertion**
Ref	Expression
mplsubgfilemcl

Proof of Theorem mplsubgfilemcl Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplsubg.s	. . 3 mPwSer
2		eqid 2229	. . 3
3		mplsubgfilemcl.p	. . 3
4		mplsubg.r	. . . 4
5	4	grpmgmd 13580	. . 3 Mgm
6		mplsubg.p	. . . . 5 mPoly
7		mplsubg.u	. . . . 5
8	6, 1, 7, 2	mplbasss 14681	. . . 4
9		mplsubgfilemcl.x	. . . 4
10	8, 9	sselid 3222	. . 3
11		mplsubgfilemcl.y	. . . 4
12	8, 11	sselid 3222	. . 3
13	1, 2, 3, 5, 10, 12	psraddcl 14665	. 2
14		mplsubg.i	. . . . . 6
15		eqid 2229	. . . . . . 7
16	6, 1, 2, 15, 7	mplelbascoe 14677	. . . . . 6 $/\$ $/\$
17	14, 4, 16	syl2anc 411	. . . . 5 $/\$
18	9, 17	mpbid 147	. . . 4 $/\$
19	18	simprd 114	. . 3
20	6, 1, 2, 15, 7	mplelbascoe 14677	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
21	14, 4, 20	syl2anc 411	. . . . . . 7 $/\$
22	11, 21	mpbid 147	. . . . . 6 $/\$
23	22	simprd 114	. . . . 5
24	23	adantr 276	. . . 4 $/\$ $/\$
25		nn0addcl 9420	. . . . . . . 8 $/\$
26	25	adantl 277	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
27		simplrl 535	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
28		nn0ex 9391	. . . . . . . . . . 11
29	28	a1i 9	. . . . . . . . . 10
30	29, 14	elmapd 6822	. . . . . . . . 9
31	30	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
32	27, 31	mpbid 147	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
33		simprl 529	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
34	29, 14	elmapd 6822	. . . . . . . . 9
35	34	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
36	33, 35	mpbid 147	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
37	14	ad2antrr 488	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
38		inidm 3413	. . . . . . 7
39	26, 32, 36, 37, 37, 38	off 6240	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
40	29, 14	elmapd 6822	. . . . . . 7
41	40	ad2antrr 488	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
42	39, 41	mpbird 167	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
43		simp-4l 541	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
44		simplr 528	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
45		eqid 2229	. . . . . . . . . . . . . 14
46	1, 2, 45, 3, 10, 12	psradd 14664	. . . . . . . . . . . . 13
47	46	fveq1d 5634	. . . . . . . . . . . 12
48	47	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$
49		eqid 2229	. . . . . . . . . . . . . 14
50	1, 49, 14, 2, 10	psrelbasfi 14661	. . . . . . . . . . . . 13
51	50	ffnd 5477	. . . . . . . . . . . 12
52	1, 49, 14, 2, 12	psrelbasfi 14661	. . . . . . . . . . . . 13
53	52	ffnd 5477	. . . . . . . . . . . 12
54		fnmap 6815	. . . . . . . . . . . . 13
55	14	elexd 2813	. . . . . . . . . . . . 13
56		fnovex 6043	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
57	54, 28, 55, 56	mp3an12i 1375	. . . . . . . . . . . 12
58		inidm 3413	. . . . . . . . . . . 12
59		eqidd 2230	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
60		eqidd 2230	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
61	4	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
62	50	ffvelcdmda 5775	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
63	52	ffvelcdmda 5775	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
64	49, 45, 61, 62, 63	grpcld 13568	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
65	51, 53, 57, 57, 58, 59, 60, 64	ofvalg 6237	. . . . . . . . . . 11 $/\$
66	48, 65	eqtrd 2262	. . . . . . . . . 10 $/\$
67	43, 44, 66	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
68	32	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
69		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
70	68, 69	ffvelcdmd 5776	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
71	70	nn0red 9439	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
72	27	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
73	30	biimpa 296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
74	73	ffnd 5477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
75	43, 72, 74	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
76	33	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
77	34	biimpa 296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
78	77	ffnd 5477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
79	43, 76, 78	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
80	37	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
81		eqidd 2230	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
82		eqidd 2230	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
83	36	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
84	83, 69	ffvelcdmd 5776	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
85	70, 84	nn0addcld 9442	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
86	75, 79, 80, 80, 38, 81, 82, 85	ofvalg 6237	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
87	86, 85	eqeltrd 2306	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
88	87	nn0red 9439	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
89		elmapi 6830	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
90	89	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
91	90	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
92	91, 69	ffvelcdmd 5776	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
93	92	nn0red 9439	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
94		nn0addge1 9431	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
95	71, 84, 94	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
96	95, 86	breqtrrd 4111	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
97		fveq2 5632	. . . . . . . . . . . . . . . 16
98		fveq2 5632	. . . . . . . . . . . . . . . 16
99	97, 98	breq12d 4096	. . . . . . . . . . . . . . 15
100		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
101	99, 100, 69	rspcdva 2912	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102	71, 88, 93, 96, 101	lelttrd 8287	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103	102	ralrimiva 2603	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
104		fveq2 5632	. . . . . . . . . . . . . 14
105		fveq2 5632	. . . . . . . . . . . . . 14
106	104, 105	breq12d 4096	. . . . . . . . . . . . 13
107	106	cbvralv 2765	. . . . . . . . . . . 12
108	103, 107	sylibr 134	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109		fveq1 5631	. . . . . . . . . . . . . . 15
110	109	breq2d 4095	. . . . . . . . . . . . . 14
111	110	ralbidv 2530	. . . . . . . . . . . . 13
112		fveqeq2 5641	. . . . . . . . . . . . 13
113	111, 112	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . 12
114		simprr 531	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
115	114	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
116	113, 115, 44	rspcdva 2912	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
117	108, 116	mpd 13	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
118	117	oveq1d 6025	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
119	67, 118	eqtrd 2262	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
120	43, 4	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
121	43, 44, 63	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
122	49, 45, 15, 120, 121	grplidd 13587	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
123	84	nn0red 9439	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
124		nn0addge2 9432	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
125	123, 70, 124	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
126	125, 86	breqtrrd 4111	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
127	123, 88, 93, 126, 101	lelttrd 8287	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
128	127	ralrimiva 2603	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
129		fveq2 5632	. . . . . . . . . . . 12
130		fveq2 5632	. . . . . . . . . . . 12
131	129, 130	breq12d 4096	. . . . . . . . . . 11
132	131	cbvralv 2765	. . . . . . . . . 10
133	128, 132	sylibr 134	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
134		fveq1 5631	. . . . . . . . . . . . 13
135	134	breq2d 4095	. . . . . . . . . . . 12
136	135	ralbidv 2530	. . . . . . . . . . 11
137		fveqeq2 5641	. . . . . . . . . . 11
138	136, 137	imbi12d 234	. . . . . . . . . 10
139		simprr 531	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
140	139	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
141	138, 140, 44	rspcdva 2912	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
142	133, 141	mpd 13	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
143	119, 122, 142	3eqtrd 2266	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
144	143	ex 115	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
145	144	ralrimiva 2603	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
146		fveq1 5631	. . . . . . . 8
147	146	breq1d 4093	. . . . . . 7
148	147	ralbidv 2530	. . . . . 6
149	148	rspceaimv 2915	. . . . 5 $/\$
150	42, 145, 149	syl2anc 411	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
151	24, 150	rexlimddv 2653	. . 3 $/\$ $/\$
152	19, 151	rexlimddv 2653	. 2
153	6, 1, 2, 15, 7	mplelbascoe 14677	. . 3 $/\$ $/\$
154	14, 4, 153	syl2anc 411	. 2 $/\$
155	13, 152, 154	mpbir2and 950	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105

wceq 1395

wcel 2200

wral 2508

wrex 2509

cvv 2799 class class class wbr 4083

cxp 4718

wfn 5316

wf 5317

cfv 5321 (class class class)co 6010

cof 6225

cmap 6808

cfn 6900

cr 8014

caddc 8018

clt 8197

cle 8198

cn0 9385

cbs 13053

cplusg 13131

c0g 13310

cgrp 13554 mPwSer cmps 14646 mPoly cmpl 14647

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 617 ax-in2 618 ax-io 714 ax-5 1493 ax-7 1494 ax-gen 1495 ax-ie1 1539 ax-ie2 1540 ax-8 1550 ax-10 1551 ax-11 1552 ax-i12 1553 ax-bndl 1555 ax-4 1556 ax-17 1572 ax-i9 1576 ax-ial 1580 ax-i5r 1581 ax-13 2202 ax-14 2203 ax-ext 2211 ax-coll 4199 ax-sep 4202 ax-nul 4210 ax-pow 4259 ax-pr 4294 ax-un 4525 ax-setind 4630 ax-iinf 4681 ax-cnex 8106 ax-resscn 8107 ax-1cn 8108 ax-1re 8109 ax-icn 8110 ax-addcl 8111 ax-addrcl 8112 ax-mulcl 8113 ax-addcom 8115 ax-addass 8117 ax-distr 8119 ax-i2m1 8120 ax-0lt1 8121 ax-0id 8123 ax-rnegex 8124 ax-cnre 8126 ax-pre-ltirr 8127 ax-pre-ltwlin 8128 ax-pre-lttrn 8129 ax-pre-apti 8130 ax-pre-ltadd 8131

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 840 df-3or 1003 df-3an 1004 df-tru 1398 df-fal 1401 df-nf 1507 df-sb 1809 df-eu 2080 df-mo 2081 df-clab 2216 df-cleq 2222 df-clel 2225 df-nfc 2361 df-ne 2401 df-nel 2496 df-ral 2513 df-rex 2514 df-reu 2515 df-rmo 2516 df-rab 2517 df-v 2801 df-sbc 3029 df-csb 3125 df-dif 3199 df-un 3201 df-in 3203 df-ss 3210 df-nul 3492 df-if 3603 df-pw 3651 df-sn 3672 df-pr 3673 df-tp 3674 df-op 3675 df-uni 3889 df-int 3924 df-iun 3967 df-br 4084 df-opab 4146 df-mpt 4147 df-tr 4183 df-id 4385 df-iord 4458 df-on 4460 df-suc 4463 df-iom 4684 df-xp 4726 df-rel 4727 df-cnv 4728 df-co 4729 df-dm 4730 df-rn 4731 df-res 4732 df-ima 4733 df-iota 5281 df-fun 5323 df-fn 5324 df-f 5325 df-f1 5326 df-fo 5327 df-f1o 5328 df-fv 5329 df-riota 5963 df-ov 6013 df-oprab 6014 df-mpo 6015 df-of 6227 df-1st 6295 df-2nd 6296 df-1o 6573 df-er 6693 df-map 6810 df-ixp 6859 df-en 6901 df-fin 6903 df-pnf 8199 df-mnf 8200 df-xr 8201 df-ltxr 8202 df-le 8203 df-sub 8335 df-neg 8336 df-inn 9127 df-2 9185 df-3 9186 df-4 9187 df-5 9188 df-6 9189 df-7 9190 df-8 9191 df-9 9192 df-n0 9386 df-z 9463 df-uz 9739 df-fz 10222 df-struct 13055 df-ndx 13056 df-slot 13057 df-base 13059 df-sets 13060 df-iress 13061 df-plusg 13144 df-mulr 13145 df-sca 13147 df-vsca 13148 df-tset 13150 df-rest 13295 df-topn 13296 df-0g 13312 df-topgen 13314 df-pt 13315 df-mgm 13410 df-sgrp 13456 df-mnd 13471 df-grp 13557 df-psr 14648 df-mplcoe 14649

This theorem is referenced by: mplsubgfi 14686

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