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Theorem mplsubgfilemcl 14671

Description: Lemma for mplsubgfi 14673. The sum of two polynomials is a polynomial. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Nov-2025.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
mplsubg.s	mPwSer
mplsubg.p	mPoly
mplsubg.u
mplsubg.i
mplsubg.r
mplsubgfilemcl.x
mplsubgfilemcl.y
mplsubgfilemcl.p

**Assertion**
Ref	Expression
mplsubgfilemcl

Proof of Theorem mplsubgfilemcl Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplsubg.s	. . 3 mPwSer
2		eqid 2229	. . 3
3		mplsubgfilemcl.p	. . 3
4		mplsubg.r	. . . 4
5	4	grpmgmd 13567	. . 3 Mgm
6		mplsubg.p	. . . . 5 mPoly
7		mplsubg.u	. . . . 5
8	6, 1, 7, 2	mplbasss 14668	. . . 4
9		mplsubgfilemcl.x	. . . 4
10	8, 9	sselid 3222	. . 3
11		mplsubgfilemcl.y	. . . 4
12	8, 11	sselid 3222	. . 3
13	1, 2, 3, 5, 10, 12	psraddcl 14652	. 2
14		mplsubg.i	. . . . . 6
15		eqid 2229	. . . . . . 7
16	6, 1, 2, 15, 7	mplelbascoe 14664	. . . . . 6 $/\$ $/\$
17	14, 4, 16	syl2anc 411	. . . . 5 $/\$
18	9, 17	mpbid 147	. . . 4 $/\$
19	18	simprd 114	. . 3
20	6, 1, 2, 15, 7	mplelbascoe 14664	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
21	14, 4, 20	syl2anc 411	. . . . . . 7 $/\$
22	11, 21	mpbid 147	. . . . . 6 $/\$
23	22	simprd 114	. . . . 5
24	23	adantr 276	. . . 4 $/\$ $/\$
25		nn0addcl 9412	. . . . . . . 8 $/\$
26	25	adantl 277	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
27		simplrl 535	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
28		nn0ex 9383	. . . . . . . . . . 11
29	28	a1i 9	. . . . . . . . . 10
30	29, 14	elmapd 6817	. . . . . . . . 9
31	30	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
32	27, 31	mpbid 147	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
33		simprl 529	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
34	29, 14	elmapd 6817	. . . . . . . . 9
35	34	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
36	33, 35	mpbid 147	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
37	14	ad2antrr 488	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
38		inidm 3413	. . . . . . 7
39	26, 32, 36, 37, 37, 38	off 6237	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
40	29, 14	elmapd 6817	. . . . . . 7
41	40	ad2antrr 488	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
42	39, 41	mpbird 167	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
43		simp-4l 541	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
44		simplr 528	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
45		eqid 2229	. . . . . . . . . . . . . 14
46	1, 2, 45, 3, 10, 12	psradd 14651	. . . . . . . . . . . . 13
47	46	fveq1d 5631	. . . . . . . . . . . 12
48	47	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$
49		eqid 2229	. . . . . . . . . . . . . 14
50	1, 49, 14, 2, 10	psrelbasfi 14648	. . . . . . . . . . . . 13
51	50	ffnd 5474	. . . . . . . . . . . 12
52	1, 49, 14, 2, 12	psrelbasfi 14648	. . . . . . . . . . . . 13
53	52	ffnd 5474	. . . . . . . . . . . 12
54		fnmap 6810	. . . . . . . . . . . . 13
55	14	elexd 2813	. . . . . . . . . . . . 13
56		fnovex 6040	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
57	54, 28, 55, 56	mp3an12i 1375	. . . . . . . . . . . 12
58		inidm 3413	. . . . . . . . . . . 12
59		eqidd 2230	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
60		eqidd 2230	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
61	4	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
62	50	ffvelcdmda 5772	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
63	52	ffvelcdmda 5772	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
64	49, 45, 61, 62, 63	grpcld 13555	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
65	51, 53, 57, 57, 58, 59, 60, 64	ofvalg 6234	. . . . . . . . . . 11 $/\$
66	48, 65	eqtrd 2262	. . . . . . . . . 10 $/\$
67	43, 44, 66	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
68	32	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
69		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
70	68, 69	ffvelcdmd 5773	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
71	70	nn0red 9431	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
72	27	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
73	30	biimpa 296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
74	73	ffnd 5474	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
75	43, 72, 74	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
76	33	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
77	34	biimpa 296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
78	77	ffnd 5474	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
79	43, 76, 78	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
80	37	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
81		eqidd 2230	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
82		eqidd 2230	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
83	36	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
84	83, 69	ffvelcdmd 5773	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
85	70, 84	nn0addcld 9434	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
86	75, 79, 80, 80, 38, 81, 82, 85	ofvalg 6234	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
87	86, 85	eqeltrd 2306	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
88	87	nn0red 9431	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
89		elmapi 6825	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
90	89	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
91	90	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
92	91, 69	ffvelcdmd 5773	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
93	92	nn0red 9431	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
94		nn0addge1 9423	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
95	71, 84, 94	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
96	95, 86	breqtrrd 4111	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
97		fveq2 5629	. . . . . . . . . . . . . . . 16
98		fveq2 5629	. . . . . . . . . . . . . . . 16
99	97, 98	breq12d 4096	. . . . . . . . . . . . . . 15
100		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
101	99, 100, 69	rspcdva 2912	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102	71, 88, 93, 96, 101	lelttrd 8279	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103	102	ralrimiva 2603	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
104		fveq2 5629	. . . . . . . . . . . . . 14
105		fveq2 5629	. . . . . . . . . . . . . 14
106	104, 105	breq12d 4096	. . . . . . . . . . . . 13
107	106	cbvralv 2765	. . . . . . . . . . . 12
108	103, 107	sylibr 134	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109		fveq1 5628	. . . . . . . . . . . . . . 15
110	109	breq2d 4095	. . . . . . . . . . . . . 14
111	110	ralbidv 2530	. . . . . . . . . . . . 13
112		fveqeq2 5638	. . . . . . . . . . . . 13
113	111, 112	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . 12
114		simprr 531	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
115	114	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
116	113, 115, 44	rspcdva 2912	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
117	108, 116	mpd 13	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
118	117	oveq1d 6022	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
119	67, 118	eqtrd 2262	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
120	43, 4	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
121	43, 44, 63	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
122	49, 45, 15, 120, 121	grplidd 13574	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
123	84	nn0red 9431	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
124		nn0addge2 9424	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
125	123, 70, 124	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
126	125, 86	breqtrrd 4111	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
127	123, 88, 93, 126, 101	lelttrd 8279	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
128	127	ralrimiva 2603	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
129		fveq2 5629	. . . . . . . . . . . 12
130		fveq2 5629	. . . . . . . . . . . 12
131	129, 130	breq12d 4096	. . . . . . . . . . 11
132	131	cbvralv 2765	. . . . . . . . . 10
133	128, 132	sylibr 134	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
134		fveq1 5628	. . . . . . . . . . . . 13
135	134	breq2d 4095	. . . . . . . . . . . 12
136	135	ralbidv 2530	. . . . . . . . . . 11
137		fveqeq2 5638	. . . . . . . . . . 11
138	136, 137	imbi12d 234	. . . . . . . . . 10
139		simprr 531	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
140	139	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
141	138, 140, 44	rspcdva 2912	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
142	133, 141	mpd 13	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
143	119, 122, 142	3eqtrd 2266	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
144	143	ex 115	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
145	144	ralrimiva 2603	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
146		fveq1 5628	. . . . . . . 8
147	146	breq1d 4093	. . . . . . 7
148	147	ralbidv 2530	. . . . . 6
149	148	rspceaimv 2915	. . . . 5 $/\$
150	42, 145, 149	syl2anc 411	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
151	24, 150	rexlimddv 2653	. . 3 $/\$ $/\$
152	19, 151	rexlimddv 2653	. 2
153	6, 1, 2, 15, 7	mplelbascoe 14664	. . 3 $/\$ $/\$
154	14, 4, 153	syl2anc 411	. 2 $/\$
155	13, 152, 154	mpbir2and 950	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105

wceq 1395

wcel 2200

wral 2508

wrex 2509

cvv 2799 class class class wbr 4083

cxp 4717

wfn 5313

wf 5314

cfv 5318 (class class class)co 6007

cof 6222

cmap 6803

cfn 6895

cr 8006

caddc 8010

clt 8189

cle 8190

cn0 9377

cbs 13040

cplusg 13118

c0g 13297

cgrp 13541 mPwSer cmps 14633 mPoly cmpl 14634

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 617 ax-in2 618 ax-io 714 ax-5 1493 ax-7 1494 ax-gen 1495 ax-ie1 1539 ax-ie2 1540 ax-8 1550 ax-10 1551 ax-11 1552 ax-i12 1553 ax-bndl 1555 ax-4 1556 ax-17 1572 ax-i9 1576 ax-ial 1580 ax-i5r 1581 ax-13 2202 ax-14 2203 ax-ext 2211 ax-coll 4199 ax-sep 4202 ax-nul 4210 ax-pow 4258 ax-pr 4293 ax-un 4524 ax-setind 4629 ax-iinf 4680 ax-cnex 8098 ax-resscn 8099 ax-1cn 8100 ax-1re 8101 ax-icn 8102 ax-addcl 8103 ax-addrcl 8104 ax-mulcl 8105 ax-addcom 8107 ax-addass 8109 ax-distr 8111 ax-i2m1 8112 ax-0lt1 8113 ax-0id 8115 ax-rnegex 8116 ax-cnre 8118 ax-pre-ltirr 8119 ax-pre-ltwlin 8120 ax-pre-lttrn 8121 ax-pre-apti 8122 ax-pre-ltadd 8123

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 840 df-3or 1003 df-3an 1004 df-tru 1398 df-fal 1401 df-nf 1507 df-sb 1809 df-eu 2080 df-mo 2081 df-clab 2216 df-cleq 2222 df-clel 2225 df-nfc 2361 df-ne 2401 df-nel 2496 df-ral 2513 df-rex 2514 df-reu 2515 df-rmo 2516 df-rab 2517 df-v 2801 df-sbc 3029 df-csb 3125 df-dif 3199 df-un 3201 df-in 3203 df-ss 3210 df-nul 3492 df-if 3603 df-pw 3651 df-sn 3672 df-pr 3673 df-tp 3674 df-op 3675 df-uni 3889 df-int 3924 df-iun 3967 df-br 4084 df-opab 4146 df-mpt 4147 df-tr 4183 df-id 4384 df-iord 4457 df-on 4459 df-suc 4462 df-iom 4683 df-xp 4725 df-rel 4726 df-cnv 4727 df-co 4728 df-dm 4729 df-rn 4730 df-res 4731 df-ima 4732 df-iota 5278 df-fun 5320 df-fn 5321 df-f 5322 df-f1 5323 df-fo 5324 df-f1o 5325 df-fv 5326 df-riota 5960 df-ov 6010 df-oprab 6011 df-mpo 6012 df-of 6224 df-1st 6292 df-2nd 6293 df-1o 6568 df-er 6688 df-map 6805 df-ixp 6854 df-en 6896 df-fin 6898 df-pnf 8191 df-mnf 8192 df-xr 8193 df-ltxr 8194 df-le 8195 df-sub 8327 df-neg 8328 df-inn 9119 df-2 9177 df-3 9178 df-4 9179 df-5 9180 df-6 9181 df-7 9182 df-8 9183 df-9 9184 df-n0 9378 df-z 9455 df-uz 9731 df-fz 10213 df-struct 13042 df-ndx 13043 df-slot 13044 df-base 13046 df-sets 13047 df-iress 13048 df-plusg 13131 df-mulr 13132 df-sca 13134 df-vsca 13135 df-tset 13137 df-rest 13282 df-topn 13283 df-0g 13299 df-topgen 13301 df-pt 13302 df-mgm 13397 df-sgrp 13443 df-mnd 13458 df-grp 13544 df-psr 14635 df-mplcoe 14636

This theorem is referenced by: mplsubgfi 14673

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