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Theorem mplsubgfilemcl 14780
Description: Lemma for mplsubgfi 14782. The sum of two polynomials is a polynomial. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Nov-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
mplsubg.s |- S = ( I mPwSer R )
mplsubg.p |- P = ( I mPoly R )
mplsubg.u |- U = ( Base ` P )
mplsubg.i |- ( ph -> I e. Fin )
mplsubg.r |- ( ph -> R e. Grp )
mplsubgfilemcl.x |- ( ph -> X e. U )
mplsubgfilemcl.y |- ( ph -> Y e. U )
mplsubgfilemcl.p |- .+ = ( +g ` S )
Assertion
Ref Expression
mplsubgfilemcl |- ( ph -> ( X .+ Y ) e. U )
Proof of Theorem mplsubgfilemcl
Dummy variables a b p q k c d u v e s t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplsubg.s . . 3 |- S = ( I mPwSer R )
2 eqid 2231 . . 3 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
3 mplsubgfilemcl.p . . 3 |- .+ = ( +g ` S )
4 mplsubg.r . . . 4 |- ( ph -> R e. Grp )
54grpmgmd 13670 . . 3 |- ( ph -> R e. Mgm )
6 mplsubg.p . . . . 5 |- P = ( I mPoly R )
7 mplsubg.u . . . . 5 |- U = ( Base ` P )
86, 1, 7, 2mplbasss 14777 . . . 4 |- U C_ ( Base ` S )
9 mplsubgfilemcl.x . . . 4 |- ( ph -> X e. U )
108, 9sselid 3226 . . 3 |- ( ph -> X e. ( Base ` S ) )
11 mplsubgfilemcl.y . . . 4 |- ( ph -> Y e. U )
128, 11sselid 3226 . . 3 |- ( ph -> Y e. ( Base ` S ) )
131, 2, 3, 5, 10, 12psraddcl 14761 . 2 |- ( ph -> ( X .+ Y ) e. ( Base ` S ) )
14 mplsubg.i . . . . . 6 |- ( ph -> I e. Fin )
15 eqid 2231 . . . . . . 7 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
166, 1, 2, 15, 7mplelbascoe 14773 . . . . . 6 |- ( ( I e. Fin /\ R e. Grp ) -> ( X e. U <-> ( X e. ( Base ` S ) /\ E. p e. ( NN0 ^m I ) A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) )
1714, 4, 16syl2anc 411 . . . . 5 |- ( ph -> ( X e. U <-> ( X e. ( Base ` S ) /\ E. p e. ( NN0 ^m I ) A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) )
189, 17mpbid 147 . . . 4 |- ( ph -> ( X e. ( Base ` S ) /\ E. p e. ( NN0 ^m I ) A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) )
1918simprd 114 . . 3 |- ( ph -> E. p e. ( NN0 ^m I ) A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) )
206, 1, 2, 15, 7mplelbascoe 14773 . . . . . . . 8 |- ( ( I e. Fin /\ R e. Grp ) -> ( Y e. U <-> ( Y e. ( Base ` S ) /\ E. q e. ( NN0 ^m I ) A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) )
2114, 4, 20syl2anc 411 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( Y e. U <-> ( Y e. ( Base ` S ) /\ E. q e. ( NN0 ^m I ) A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) )
2211, 21mpbid 147 . . . . . 6 |- ( ph -> ( Y e. ( Base ` S ) /\ E. q e. ( NN0 ^m I ) A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) )
2322simprd 114 . . . . 5 |- ( ph -> E. q e. ( NN0 ^m I ) A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) )
2423adantr 276 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) -> E. q e. ( NN0 ^m I ) A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) )
25 nn0addcl 9480 . . . . . . . 8 |- ( ( c e. NN0 /\ d e. NN0 ) -> ( c + d ) e. NN0 )
2625adantl 277 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( c e. NN0 /\ d e. NN0 ) ) -> ( c + d ) e. NN0 )
27 simplrl 537 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) -> p e. ( NN0 ^m I ) )
28 nn0ex 9451 . . . . . . . . . . 11 |- NN0 e. _V
2928a1i 9 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> NN0 e. _V )
3029, 14elmapd 6874 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( p e. ( NN0 ^m I ) <-> p : I --> NN0 ) )
3130ad2antrr 488 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) -> ( p e. ( NN0 ^m I ) <-> p : I --> NN0 ) )
3227, 31mpbid 147 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) -> p : I --> NN0 )
33 simprl 531 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) -> q e. ( NN0 ^m I ) )
3429, 14elmapd 6874 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( q e. ( NN0 ^m I ) <-> q : I --> NN0 ) )
3534ad2antrr 488 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) -> ( q e. ( NN0 ^m I ) <-> q : I --> NN0 ) )
3633, 35mpbid 147 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) -> q : I --> NN0 )
3714ad2antrr 488 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) -> I e. Fin )
38 inidm 3418 . . . . . . 7 |- ( I i^i I ) = I
3926, 32, 36, 37, 37, 38off 6257 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) -> ( p oF + q ) : I --> NN0 )
4029, 14elmapd 6874 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( p oF + q ) e. ( NN0 ^m I ) <-> ( p oF + q ) : I --> NN0 ) )
4140ad2antrr 488 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) -> ( ( p oF + q ) e. ( NN0 ^m I ) <-> ( p oF + q ) : I --> NN0 ) )
4239, 41mpbird 167 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) -> ( p oF + q ) e. ( NN0 ^m I ) )
43 simp-4l 543 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) -> ph )
44 simplr 529 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) -> b e. ( NN0 ^m I ) )
45 eqid 2231 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
461, 2, 45, 3, 10, 12psradd 14760 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( X .+ Y ) = ( X oF ( +g ` R ) Y ) )
4746fveq1d 5650 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( X .+ Y ) ` b ) = ( ( X oF ( +g ` R ) Y ) ` b ) )
4847adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) -> ( ( X .+ Y ) ` b ) = ( ( X oF ( +g ` R ) Y ) ` b ) )
49 eqid 2231 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
501, 49, 14, 2, 10psrelbasfi 14757 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> X : ( NN0 ^m I ) --> ( Base ` R ) )
5150ffnd 5490 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> X Fn ( NN0 ^m I ) )
521, 49, 14, 2, 12psrelbasfi 14757 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Y : ( NN0 ^m I ) --> ( Base ` R ) )
5352ffnd 5490 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Y Fn ( NN0 ^m I ) )
54 fnmap 6867 . . . . . . . . . . . . 13 |- ^m Fn ( _V X. _V )
5514elexd 2817 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> I e. _V )
56 fnovex 6061 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ NN0 e. _V /\ I e. _V ) -> ( NN0 ^m I ) e. _V )
5754, 28, 55, 56mp3an12i 1378 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( NN0 ^m I ) e. _V )
58 inidm 3418 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( NN0 ^m I ) i^i ( NN0 ^m I ) ) = ( NN0 ^m I )
59 eqidd 2232 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) -> ( X ` b ) = ( X ` b ) )
60 eqidd 2232 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) -> ( Y ` b ) = ( Y ` b ) )
614adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) -> R e. Grp )
6250ffvelcdmda 5790 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) -> ( X ` b ) e. ( Base ` R ) )
6352ffvelcdmda 5790 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) -> ( Y ` b ) e. ( Base ` R ) )
6449, 45, 61, 62, 63grpcld 13658 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) -> ( ( X ` b ) ( +g ` R ) ( Y ` b ) ) e. ( Base ` R ) )
6551, 53, 57, 57, 58, 59, 60, 64ofvalg 6254 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) -> ( ( X oF ( +g ` R ) Y ) ` b ) = ( ( X ` b ) ( +g ` R ) ( Y ` b ) ) )
6648, 65eqtrd 2264 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) -> ( ( X .+ Y ) ` b ) = ( ( X ` b ) ( +g ` R ) ( Y ` b ) ) )
6743, 44, 66syl2anc 411 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) -> ( ( X .+ Y ) ` b ) = ( ( X ` b ) ( +g ` R ) ( Y ` b ) ) )
6832ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) /\ e e. I ) -> p : I --> NN0 )
69 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) /\ e e. I ) -> e e. I )
7068, 69ffvelcdmd 5791 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) /\ e e. I ) -> ( p ` e ) e. NN0 )
7170nn0red 9499 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) /\ e e. I ) -> ( p ` e ) e. RR )
7227ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) -> p e. ( NN0 ^m I ) )
7330biimpa 296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ p e. ( NN0 ^m I ) ) -> p : I --> NN0 )
7473ffnd 5490 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ p e. ( NN0 ^m I ) ) -> p Fn I )
7543, 72, 74syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) -> p Fn I )
7633ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) -> q e. ( NN0 ^m I ) )
7734biimpa 296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ q e. ( NN0 ^m I ) ) -> q : I --> NN0 )
7877ffnd 5490 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ q e. ( NN0 ^m I ) ) -> q Fn I )
7943, 76, 78syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) -> q Fn I )
8037ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) -> I e. Fin )
81 eqidd 2232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) /\ e e. I ) -> ( p ` e ) = ( p ` e ) )
82 eqidd 2232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) /\ e e. I ) -> ( q ` e ) = ( q ` e ) )
8336ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) /\ e e. I ) -> q : I --> NN0 )
8483, 69ffvelcdmd 5791 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) /\ e e. I ) -> ( q ` e ) e. NN0 )
8570, 84nn0addcld 9502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) /\ e e. I ) -> ( ( p ` e ) + ( q ` e ) ) e. NN0 )
8675, 79, 80, 80, 38, 81, 82, 85ofvalg 6254 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) /\ e e. I ) -> ( ( p oF + q ) ` e ) = ( ( p ` e ) + ( q ` e ) ) )
8786, 85eqeltrd 2308 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) /\ e e. I ) -> ( ( p oF + q ) ` e ) e. NN0 )
8887nn0red 9499 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) /\ e e. I ) -> ( ( p oF + q ) ` e ) e. RR )
89 elmapi 6882 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( b e. ( NN0 ^m I ) -> b : I --> NN0 )
9089adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) -> b : I --> NN0 )
9190ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) /\ e e. I ) -> b : I --> NN0 )
9291, 69ffvelcdmd 5791 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) /\ e e. I ) -> ( b ` e ) e. NN0 )
9392nn0red 9499 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) /\ e e. I ) -> ( b ` e ) e. RR )
94 nn0addge1 9491 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( p ` e ) e. RR /\ ( q ` e ) e. NN0 ) -> ( p ` e ) <_ ( ( p ` e ) + ( q ` e ) ) )
9571, 84, 94syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) /\ e e. I ) -> ( p ` e ) <_ ( ( p ` e ) + ( q ` e ) ) )
9695, 86breqtrrd 4121 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) /\ e e. I ) -> ( p ` e ) <_ ( ( p oF + q ) ` e ) )
97 fveq2 5648 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = e -> ( ( p oF + q ) ` k ) = ( ( p oF + q ) ` e ) )
98 fveq2 5648 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = e -> ( b ` k ) = ( b ` e ) )
9997, 98breq12d 4106 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = e -> ( ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) <-> ( ( p oF + q ) ` e ) < ( b ` e ) ) )
100 simplr 529 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) /\ e e. I ) -> A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) )
10199, 100, 69rspcdva 2916 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) /\ e e. I ) -> ( ( p oF + q ) ` e ) < ( b ` e ) )
10271, 88, 93, 96, 101lelttrd 8347 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) /\ e e. I ) -> ( p ` e ) < ( b ` e ) )
103102ralrimiva 2606 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) -> A. e e. I ( p ` e ) < ( b ` e ) )
104 fveq2 5648 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v = e -> ( p ` v ) = ( p ` e ) )
105 fveq2 5648 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v = e -> ( b ` v ) = ( b ` e ) )
106104, 105breq12d 4106 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = e -> ( ( p ` v ) < ( b ` v ) <-> ( p ` e ) < ( b ` e ) ) )
107106cbvralv 2768 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A. v e. I ( p ` v ) < ( b ` v ) <-> A. e e. I ( p ` e ) < ( b ` e ) )
108103, 107sylibr 134 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) -> A. v e. I ( p ` v ) < ( b ` v ) )
109 fveq1 5647 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = b -> ( u ` v ) = ( b ` v ) )
110109breq2d 4105 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = b -> ( ( p ` v ) < ( u ` v ) <-> ( p ` v ) < ( b ` v ) ) )
111110ralbidv 2533 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = b -> ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) <-> A. v e. I ( p ` v ) < ( b ` v ) ) )
112 fveqeq2 5657 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = b -> ( ( X ` u ) = ( 0g ` R ) <-> ( X ` b ) = ( 0g ` R ) ) )
113111, 112imbi12d 234 . . . . . . . . . . . 12 |- ( u = b -> ( ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) <-> ( A. v e. I ( p ` v ) < ( b ` v ) -> ( X ` b ) = ( 0g ` R ) ) ) )
114 simprr 533 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) -> A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) )
115114ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) -> A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) )
116113, 115, 44rspcdva 2916 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) -> ( A. v e. I ( p ` v ) < ( b ` v ) -> ( X ` b ) = ( 0g ` R ) ) )
117108, 116mpd 13 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) -> ( X ` b ) = ( 0g ` R ) )
118117oveq1d 6043 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) -> ( ( X ` b ) ( +g ` R ) ( Y ` b ) ) = ( ( 0g ` R ) ( +g ` R ) ( Y ` b ) ) )
11967, 118eqtrd 2264 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) -> ( ( X .+ Y ) ` b ) = ( ( 0g ` R ) ( +g ` R ) ( Y ` b ) ) )
12043, 4syl 14 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) -> R e. Grp )
12143, 44, 63syl2anc 411 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) -> ( Y ` b ) e. ( Base ` R ) )
12249, 45, 15, 120, 121grplidd 13677 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) -> ( ( 0g ` R ) ( +g ` R ) ( Y ` b ) ) = ( Y ` b ) )
12384nn0red 9499 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) /\ e e. I ) -> ( q ` e ) e. RR )
124 nn0addge2 9492 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( q ` e ) e. RR /\ ( p ` e ) e. NN0 ) -> ( q ` e ) <_ ( ( p ` e ) + ( q ` e ) ) )
125123, 70, 124syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) /\ e e. I ) -> ( q ` e ) <_ ( ( p ` e ) + ( q ` e ) ) )
126125, 86breqtrrd 4121 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) /\ e e. I ) -> ( q ` e ) <_ ( ( p oF + q ) ` e ) )
127123, 88, 93, 126, 101lelttrd 8347 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) /\ e e. I ) -> ( q ` e ) < ( b ` e ) )
128127ralrimiva 2606 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) -> A. e e. I ( q ` e ) < ( b ` e ) )
129 fveq2 5648 . . . . . . . . . . . 12 |- ( t = e -> ( q ` t ) = ( q ` e ) )
130 fveq2 5648 . . . . . . . . . . . 12 |- ( t = e -> ( b ` t ) = ( b ` e ) )
131129, 130breq12d 4106 . . . . . . . . . . 11 |- ( t = e -> ( ( q ` t ) < ( b ` t ) <-> ( q ` e ) < ( b ` e ) ) )
132131cbvralv 2768 . . . . . . . . . 10 |- ( A. t e. I ( q ` t ) < ( b ` t ) <-> A. e e. I ( q ` e ) < ( b ` e ) )
133128, 132sylibr 134 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) -> A. t e. I ( q ` t ) < ( b ` t ) )
134 fveq1 5647 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = b -> ( s ` t ) = ( b ` t ) )
135134breq2d 4105 . . . . . . . . . . . 12 |- ( s = b -> ( ( q ` t ) < ( s ` t ) <-> ( q ` t ) < ( b ` t ) ) )
136135ralbidv 2533 . . . . . . . . . . 11 |- ( s = b -> ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) <-> A. t e. I ( q ` t ) < ( b ` t ) ) )
137 fveqeq2 5657 . . . . . . . . . . 11 |- ( s = b -> ( ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) <-> ( Y ` b ) = ( 0g ` R ) ) )
138136, 137imbi12d 234 . . . . . . . . . 10 |- ( s = b -> ( ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) <-> ( A. t e. I ( q ` t ) < ( b ` t ) -> ( Y ` b ) = ( 0g ` R ) ) ) )
139 simprr 533 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) -> A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) )
140139ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) -> A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) )
141138, 140, 44rspcdva 2916 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) -> ( A. t e. I ( q ` t ) < ( b ` t ) -> ( Y ` b ) = ( 0g ` R ) ) )
142133, 141mpd 13 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) -> ( Y ` b ) = ( 0g ` R ) )
143119, 122, 1423eqtrd 2268 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) -> ( ( X .+ Y ) ` b ) = ( 0g ` R ) )
144143ex 115 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) -> ( A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) -> ( ( X .+ Y ) ` b ) = ( 0g ` R ) ) )
145144ralrimiva 2606 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) -> A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) -> ( ( X .+ Y ) ` b ) = ( 0g ` R ) ) )
146 fveq1 5647 . . . . . . . 8 |- ( a = ( p oF + q ) -> ( a ` k ) = ( ( p oF + q ) ` k ) )
147146breq1d 4103 . . . . . . 7 |- ( a = ( p oF + q ) -> ( ( a ` k ) < ( b ` k ) <-> ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) )
148147ralbidv 2533 . . . . . 6 |- ( a = ( p oF + q ) -> ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) <-> A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) )
149148rspceaimv 2919 . . . . 5 |- ( ( ( p oF + q ) e. ( NN0 ^m I ) /\ A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) -> ( ( X .+ Y ) ` b ) = ( 0g ` R ) ) ) -> E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( ( X .+ Y ) ` b ) = ( 0g ` R ) ) )
15042, 145, 149syl2anc 411 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) -> E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( ( X .+ Y ) ` b ) = ( 0g ` R ) ) )
15124, 150rexlimddv 2656 . . 3 |- ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) -> E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( ( X .+ Y ) ` b ) = ( 0g ` R ) ) )
15219, 151rexlimddv 2656 . 2 |- ( ph -> E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( ( X .+ Y ) ` b ) = ( 0g ` R ) ) )
1536, 1, 2, 15, 7mplelbascoe 14773 . . 3 |- ( ( I e. Fin /\ R e. Grp ) -> ( ( X .+ Y ) e. U <-> ( ( X .+ Y ) e. ( Base ` S ) /\ E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( ( X .+ Y ) ` b ) = ( 0g ` R ) ) ) ) )
15414, 4, 153syl2anc 411 . 2 |- ( ph -> ( ( X .+ Y ) e. U <-> ( ( X .+ Y ) e. ( Base ` S ) /\ E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( ( X .+ Y ) ` b ) = ( 0g ` R ) ) ) ) )
15513, 152, 154mpbir2and 953 1 |- ( ph -> ( X .+ Y ) e. U )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   E.wrex 2512   _Vcvv 2803   class class class wbr 4093   X. cxp 4729   Fn wfn 5328   -->wf 5329   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   oFcof 6242   ^m cmap 6860   Fincfn 6952   RRcr 8074   + caddc 8078   < clt 8257   <_ cle 8258   NN0cn0 9445   Basecbs 13143   +g cplusg 13221   0gc0g 13400   Grpcgrp 13644   mPwSer cmps 14737   mPoly cmpl 14738
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-tp 3681  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-of 6244  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-1o 6625  df-er 6745  df-map 6862  df-ixp 6911  df-en 6953  df-fin 6955  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-inn 9187  df-2 9245  df-3 9246  df-4 9247  df-5 9248  df-6 9249  df-7 9250  df-8 9251  df-9 9252  df-n0 9446  df-z 9523  df-uz 9799  df-fz 10287  df-struct 13145  df-ndx 13146  df-slot 13147  df-base 13149  df-sets 13150  df-iress 13151  df-plusg 13234  df-mulr 13235  df-sca 13237  df-vsca 13238  df-tset 13240  df-rest 13385  df-topn 13386  df-0g 13402  df-topgen 13404  df-pt 13405  df-mgm 13500  df-sgrp 13546  df-mnd 13561  df-grp 13647  df-psr 14739  df-mplcoe 14740
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