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Theorem mplsubgfilemcl 14628
Description: Lemma for mplsubgfi 14630. The sum of two polynomials is a polynomial. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Nov-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
mplsubg.s |- S = ( I mPwSer R )
mplsubg.p |- P = ( I mPoly R )
mplsubg.u |- U = ( Base ` P )
mplsubg.i |- ( ph -> I e. Fin )
mplsubg.r |- ( ph -> R e. Grp )
mplsubgfilemcl.x |- ( ph -> X e. U )
mplsubgfilemcl.y |- ( ph -> Y e. U )
mplsubgfilemcl.p |- .+ = ( +g ` S )
Assertion
Ref Expression
mplsubgfilemcl |- ( ph -> ( X .+ Y ) e. U )
Proof of Theorem mplsubgfilemcl
Dummy variables a b p q k c d u v e s t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplsubg.s . . 3 |- S = ( I mPwSer R )
2 eqid 2209 . . 3 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
3 mplsubgfilemcl.p . . 3 |- .+ = ( +g ` S )
4 mplsubg.r . . . 4 |- ( ph -> R e. Grp )
54grpmgmd 13525 . . 3 |- ( ph -> R e. Mgm )
6 mplsubg.p . . . . 5 |- P = ( I mPoly R )
7 mplsubg.u . . . . 5 |- U = ( Base ` P )
86, 1, 7, 2mplbasss 14625 . . . 4 |- U C_ ( Base ` S )
9 mplsubgfilemcl.x . . . 4 |- ( ph -> X e. U )
108, 9sselid 3202 . . 3 |- ( ph -> X e. ( Base ` S ) )
11 mplsubgfilemcl.y . . . 4 |- ( ph -> Y e. U )
128, 11sselid 3202 . . 3 |- ( ph -> Y e. ( Base ` S ) )
131, 2, 3, 5, 10, 12psraddcl 14609 . 2 |- ( ph -> ( X .+ Y ) e. ( Base ` S ) )
14 mplsubg.i . . . . . 6 |- ( ph -> I e. Fin )
15 eqid 2209 . . . . . . 7 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
166, 1, 2, 15, 7mplelbascoe 14621 . . . . . 6 |- ( ( I e. Fin /\ R e. Grp ) -> ( X e. U <-> ( X e. ( Base ` S ) /\ E. p e. ( NN0 ^m I ) A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) )
1714, 4, 16syl2anc 411 . . . . 5 |- ( ph -> ( X e. U <-> ( X e. ( Base ` S ) /\ E. p e. ( NN0 ^m I ) A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) )
189, 17mpbid 147 . . . 4 |- ( ph -> ( X e. ( Base ` S ) /\ E. p e. ( NN0 ^m I ) A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) )
1918simprd 114 . . 3 |- ( ph -> E. p e. ( NN0 ^m I ) A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) )
206, 1, 2, 15, 7mplelbascoe 14621 . . . . . . . 8 |- ( ( I e. Fin /\ R e. Grp ) -> ( Y e. U <-> ( Y e. ( Base ` S ) /\ E. q e. ( NN0 ^m I ) A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) )
2114, 4, 20syl2anc 411 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( Y e. U <-> ( Y e. ( Base ` S ) /\ E. q e. ( NN0 ^m I ) A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) )
2211, 21mpbid 147 . . . . . 6 |- ( ph -> ( Y e. ( Base ` S ) /\ E. q e. ( NN0 ^m I ) A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) )
2322simprd 114 . . . . 5 |- ( ph -> E. q e. ( NN0 ^m I ) A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) )
2423adantr 276 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) -> E. q e. ( NN0 ^m I ) A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) )
25 nn0addcl 9372 . . . . . . . 8 |- ( ( c e. NN0 /\ d e. NN0 ) -> ( c + d ) e. NN0 )
2625adantl 277 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( c e. NN0 /\ d e. NN0 ) ) -> ( c + d ) e. NN0 )
27 simplrl 535 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) -> p e. ( NN0 ^m I ) )
28 nn0ex 9343 . . . . . . . . . . 11 |- NN0 e. _V
2928a1i 9 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> NN0 e. _V )
3029, 14elmapd 6779 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( p e. ( NN0 ^m I ) <-> p : I --> NN0 ) )
3130ad2antrr 488 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) -> ( p e. ( NN0 ^m I ) <-> p : I --> NN0 ) )
3227, 31mpbid 147 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) -> p : I --> NN0 )
33 simprl 529 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) -> q e. ( NN0 ^m I ) )
3429, 14elmapd 6779 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( q e. ( NN0 ^m I ) <-> q : I --> NN0 ) )
3534ad2antrr 488 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) -> ( q e. ( NN0 ^m I ) <-> q : I --> NN0 ) )
3633, 35mpbid 147 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) -> q : I --> NN0 )
3714ad2antrr 488 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) -> I e. Fin )
38 inidm 3393 . . . . . . 7 |- ( I i^i I ) = I
3926, 32, 36, 37, 37, 38off 6201 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) -> ( p oF + q ) : I --> NN0 )
4029, 14elmapd 6779 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( p oF + q ) e. ( NN0 ^m I ) <-> ( p oF + q ) : I --> NN0 ) )
4140ad2antrr 488 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) -> ( ( p oF + q ) e. ( NN0 ^m I ) <-> ( p oF + q ) : I --> NN0 ) )
4239, 41mpbird 167 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) -> ( p oF + q ) e. ( NN0 ^m I ) )
43 simp-4l 541 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) -> ph )
44 simplr 528 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) -> b e. ( NN0 ^m I ) )
45 eqid 2209 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
461, 2, 45, 3, 10, 12psradd 14608 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( X .+ Y ) = ( X oF ( +g ` R ) Y ) )
4746fveq1d 5605 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( X .+ Y ) ` b ) = ( ( X oF ( +g ` R ) Y ) ` b ) )
4847adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) -> ( ( X .+ Y ) ` b ) = ( ( X oF ( +g ` R ) Y ) ` b ) )
49 eqid 2209 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
501, 49, 14, 2, 10psrelbasfi 14605 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> X : ( NN0 ^m I ) --> ( Base ` R ) )
5150ffnd 5450 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> X Fn ( NN0 ^m I ) )
521, 49, 14, 2, 12psrelbasfi 14605 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Y : ( NN0 ^m I ) --> ( Base ` R ) )
5352ffnd 5450 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Y Fn ( NN0 ^m I ) )
54 fnmap 6772 . . . . . . . . . . . . 13 |- ^m Fn ( _V X. _V )
5514elexd 2793 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> I e. _V )
56 fnovex 6007 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ NN0 e. _V /\ I e. _V ) -> ( NN0 ^m I ) e. _V )
5754, 28, 55, 56mp3an12i 1356 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( NN0 ^m I ) e. _V )
58 inidm 3393 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( NN0 ^m I ) i^i ( NN0 ^m I ) ) = ( NN0 ^m I )
59 eqidd 2210 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) -> ( X ` b ) = ( X ` b ) )
60 eqidd 2210 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) -> ( Y ` b ) = ( Y ` b ) )
614adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) -> R e. Grp )
6250ffvelcdmda 5743 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) -> ( X ` b ) e. ( Base ` R ) )
6352ffvelcdmda 5743 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) -> ( Y ` b ) e. ( Base ` R ) )
6449, 45, 61, 62, 63grpcld 13513 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) -> ( ( X ` b ) ( +g ` R ) ( Y ` b ) ) e. ( Base ` R ) )
6551, 53, 57, 57, 58, 59, 60, 64ofvalg 6198 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) -> ( ( X oF ( +g ` R ) Y ) ` b ) = ( ( X ` b ) ( +g ` R ) ( Y ` b ) ) )
6648, 65eqtrd 2242 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) -> ( ( X .+ Y ) ` b ) = ( ( X ` b ) ( +g ` R ) ( Y ` b ) ) )
6743, 44, 66syl2anc 411 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) -> ( ( X .+ Y ) ` b ) = ( ( X ` b ) ( +g ` R ) ( Y ` b ) ) )
6832ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) /\ e e. I ) -> p : I --> NN0 )
69 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) /\ e e. I ) -> e e. I )
7068, 69ffvelcdmd 5744 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) /\ e e. I ) -> ( p ` e ) e. NN0 )
7170nn0red 9391 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) /\ e e. I ) -> ( p ` e ) e. RR )
7227ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) -> p e. ( NN0 ^m I ) )
7330biimpa 296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ p e. ( NN0 ^m I ) ) -> p : I --> NN0 )
7473ffnd 5450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ p e. ( NN0 ^m I ) ) -> p Fn I )
7543, 72, 74syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) -> p Fn I )
7633ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) -> q e. ( NN0 ^m I ) )
7734biimpa 296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ q e. ( NN0 ^m I ) ) -> q : I --> NN0 )
7877ffnd 5450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ q e. ( NN0 ^m I ) ) -> q Fn I )
7943, 76, 78syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) -> q Fn I )
8037ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) -> I e. Fin )
81 eqidd 2210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) /\ e e. I ) -> ( p ` e ) = ( p ` e ) )
82 eqidd 2210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) /\ e e. I ) -> ( q ` e ) = ( q ` e ) )
8336ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) /\ e e. I ) -> q : I --> NN0 )
8483, 69ffvelcdmd 5744 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) /\ e e. I ) -> ( q ` e ) e. NN0 )
8570, 84nn0addcld 9394 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) /\ e e. I ) -> ( ( p ` e ) + ( q ` e ) ) e. NN0 )
8675, 79, 80, 80, 38, 81, 82, 85ofvalg 6198 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) /\ e e. I ) -> ( ( p oF + q ) ` e ) = ( ( p ` e ) + ( q ` e ) ) )
8786, 85eqeltrd 2286 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) /\ e e. I ) -> ( ( p oF + q ) ` e ) e. NN0 )
8887nn0red 9391 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) /\ e e. I ) -> ( ( p oF + q ) ` e ) e. RR )
89 elmapi 6787 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( b e. ( NN0 ^m I ) -> b : I --> NN0 )
9089adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) -> b : I --> NN0 )
9190ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) /\ e e. I ) -> b : I --> NN0 )
9291, 69ffvelcdmd 5744 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) /\ e e. I ) -> ( b ` e ) e. NN0 )
9392nn0red 9391 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) /\ e e. I ) -> ( b ` e ) e. RR )
94 nn0addge1 9383 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( p ` e ) e. RR /\ ( q ` e ) e. NN0 ) -> ( p ` e ) <_ ( ( p ` e ) + ( q ` e ) ) )
9571, 84, 94syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) /\ e e. I ) -> ( p ` e ) <_ ( ( p ` e ) + ( q ` e ) ) )
9695, 86breqtrrd 4090 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) /\ e e. I ) -> ( p ` e ) <_ ( ( p oF + q ) ` e ) )
97 fveq2 5603 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = e -> ( ( p oF + q ) ` k ) = ( ( p oF + q ) ` e ) )
98 fveq2 5603 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = e -> ( b ` k ) = ( b ` e ) )
9997, 98breq12d 4075 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = e -> ( ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) <-> ( ( p oF + q ) ` e ) < ( b ` e ) ) )
100 simplr 528 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) /\ e e. I ) -> A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) )
10199, 100, 69rspcdva 2892 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) /\ e e. I ) -> ( ( p oF + q ) ` e ) < ( b ` e ) )
10271, 88, 93, 96, 101lelttrd 8239 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) /\ e e. I ) -> ( p ` e ) < ( b ` e ) )
103102ralrimiva 2583 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) -> A. e e. I ( p ` e ) < ( b ` e ) )
104 fveq2 5603 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v = e -> ( p ` v ) = ( p ` e ) )
105 fveq2 5603 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v = e -> ( b ` v ) = ( b ` e ) )
106104, 105breq12d 4075 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = e -> ( ( p ` v ) < ( b ` v ) <-> ( p ` e ) < ( b ` e ) ) )
107106cbvralv 2745 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A. v e. I ( p ` v ) < ( b ` v ) <-> A. e e. I ( p ` e ) < ( b ` e ) )
108103, 107sylibr 134 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) -> A. v e. I ( p ` v ) < ( b ` v ) )
109 fveq1 5602 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = b -> ( u ` v ) = ( b ` v ) )
110109breq2d 4074 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = b -> ( ( p ` v ) < ( u ` v ) <-> ( p ` v ) < ( b ` v ) ) )
111110ralbidv 2510 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = b -> ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) <-> A. v e. I ( p ` v ) < ( b ` v ) ) )
112 fveqeq2 5612 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = b -> ( ( X ` u ) = ( 0g ` R ) <-> ( X ` b ) = ( 0g ` R ) ) )
113111, 112imbi12d 234 . . . . . . . . . . . 12 |- ( u = b -> ( ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) <-> ( A. v e. I ( p ` v ) < ( b ` v ) -> ( X ` b ) = ( 0g ` R ) ) ) )
114 simprr 531 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) -> A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) )
115114ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) -> A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) )
116113, 115, 44rspcdva 2892 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) -> ( A. v e. I ( p ` v ) < ( b ` v ) -> ( X ` b ) = ( 0g ` R ) ) )
117108, 116mpd 13 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) -> ( X ` b ) = ( 0g ` R ) )
118117oveq1d 5989 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) -> ( ( X ` b ) ( +g ` R ) ( Y ` b ) ) = ( ( 0g ` R ) ( +g ` R ) ( Y ` b ) ) )
11967, 118eqtrd 2242 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) -> ( ( X .+ Y ) ` b ) = ( ( 0g ` R ) ( +g ` R ) ( Y ` b ) ) )
12043, 4syl 14 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) -> R e. Grp )
12143, 44, 63syl2anc 411 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) -> ( Y ` b ) e. ( Base ` R ) )
12249, 45, 15, 120, 121grplidd 13532 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) -> ( ( 0g ` R ) ( +g ` R ) ( Y ` b ) ) = ( Y ` b ) )
12384nn0red 9391 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) /\ e e. I ) -> ( q ` e ) e. RR )
124 nn0addge2 9384 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( q ` e ) e. RR /\ ( p ` e ) e. NN0 ) -> ( q ` e ) <_ ( ( p ` e ) + ( q ` e ) ) )
125123, 70, 124syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) /\ e e. I ) -> ( q ` e ) <_ ( ( p ` e ) + ( q ` e ) ) )
126125, 86breqtrrd 4090 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) /\ e e. I ) -> ( q ` e ) <_ ( ( p oF + q ) ` e ) )
127123, 88, 93, 126, 101lelttrd 8239 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) /\ e e. I ) -> ( q ` e ) < ( b ` e ) )
128127ralrimiva 2583 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) -> A. e e. I ( q ` e ) < ( b ` e ) )
129 fveq2 5603 . . . . . . . . . . . 12 |- ( t = e -> ( q ` t ) = ( q ` e ) )
130 fveq2 5603 . . . . . . . . . . . 12 |- ( t = e -> ( b ` t ) = ( b ` e ) )
131129, 130breq12d 4075 . . . . . . . . . . 11 |- ( t = e -> ( ( q ` t ) < ( b ` t ) <-> ( q ` e ) < ( b ` e ) ) )
132131cbvralv 2745 . . . . . . . . . 10 |- ( A. t e. I ( q ` t ) < ( b ` t ) <-> A. e e. I ( q ` e ) < ( b ` e ) )
133128, 132sylibr 134 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) -> A. t e. I ( q ` t ) < ( b ` t ) )
134 fveq1 5602 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = b -> ( s ` t ) = ( b ` t ) )
135134breq2d 4074 . . . . . . . . . . . 12 |- ( s = b -> ( ( q ` t ) < ( s ` t ) <-> ( q ` t ) < ( b ` t ) ) )
136135ralbidv 2510 . . . . . . . . . . 11 |- ( s = b -> ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) <-> A. t e. I ( q ` t ) < ( b ` t ) ) )
137 fveqeq2 5612 . . . . . . . . . . 11 |- ( s = b -> ( ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) <-> ( Y ` b ) = ( 0g ` R ) ) )
138136, 137imbi12d 234 . . . . . . . . . 10 |- ( s = b -> ( ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) <-> ( A. t e. I ( q ` t ) < ( b ` t ) -> ( Y ` b ) = ( 0g ` R ) ) ) )
139 simprr 531 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) -> A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) )
140139ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) -> A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) )
141138, 140, 44rspcdva 2892 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) -> ( A. t e. I ( q ` t ) < ( b ` t ) -> ( Y ` b ) = ( 0g ` R ) ) )
142133, 141mpd 13 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) -> ( Y ` b ) = ( 0g ` R ) )
143119, 122, 1423eqtrd 2246 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) /\ A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) -> ( ( X .+ Y ) ` b ) = ( 0g ` R ) )
144143ex 115 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ b e. ( NN0 ^m I ) ) -> ( A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) -> ( ( X .+ Y ) ` b ) = ( 0g ` R ) ) )
145144ralrimiva 2583 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) -> A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) -> ( ( X .+ Y ) ` b ) = ( 0g ` R ) ) )
146 fveq1 5602 . . . . . . . 8 |- ( a = ( p oF + q ) -> ( a ` k ) = ( ( p oF + q ) ` k ) )
147146breq1d 4072 . . . . . . 7 |- ( a = ( p oF + q ) -> ( ( a ` k ) < ( b ` k ) <-> ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) )
148147ralbidv 2510 . . . . . 6 |- ( a = ( p oF + q ) -> ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) <-> A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) ) )
149148rspceaimv 2895 . . . . 5 |- ( ( ( p oF + q ) e. ( NN0 ^m I ) /\ A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( ( p oF + q ) ` k ) < ( b ` k ) -> ( ( X .+ Y ) ` b ) = ( 0g ` R ) ) ) -> E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( ( X .+ Y ) ` b ) = ( 0g ` R ) ) )
15042, 145, 149syl2anc 411 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( q e. ( NN0 ^m I ) /\ A. s e. ( NN0 ^m I ) ( A. t e. I ( q ` t ) < ( s ` t ) -> ( Y ` s ) = ( 0g ` R ) ) ) ) -> E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( ( X .+ Y ) ` b ) = ( 0g ` R ) ) )
15124, 150rexlimddv 2633 . . 3 |- ( ( ph /\ ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. u e. ( NN0 ^m I ) ( A. v e. I ( p ` v ) < ( u ` v ) -> ( X ` u ) = ( 0g ` R ) ) ) ) -> E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( ( X .+ Y ) ` b ) = ( 0g ` R ) ) )
15219, 151rexlimddv 2633 . 2 |- ( ph -> E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( ( X .+ Y ) ` b ) = ( 0g ` R ) ) )
1536, 1, 2, 15, 7mplelbascoe 14621 . . 3 |- ( ( I e. Fin /\ R e. Grp ) -> ( ( X .+ Y ) e. U <-> ( ( X .+ Y ) e. ( Base ` S ) /\ E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( ( X .+ Y ) ` b ) = ( 0g ` R ) ) ) ) )
15414, 4, 153syl2anc 411 . 2 |- ( ph -> ( ( X .+ Y ) e. U <-> ( ( X .+ Y ) e. ( Base ` S ) /\ E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( ( X .+ Y ) ` b ) = ( 0g ` R ) ) ) ) )
15513, 152, 154mpbir2and 949 1 |- ( ph -> ( X .+ Y ) e. U )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1375   e. wcel 2180   A.wral 2488   E.wrex 2489   _Vcvv 2779   class class class wbr 4062   X. cxp 4694   Fn wfn 5289   -->wf 5290   ` cfv 5294  (class class class)co 5974   oFcof 6186   ^m cmap 6765   Fincfn 6857   RRcr 7966   + caddc 7970   < clt 8149   <_ cle 8150   NN0cn0 9337   Basecbs 12998   +g cplusg 13076   0gc0g 13255   Grpcgrp 13499   mPwSer cmps 14590   mPoly cmpl 14591
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-nul 4189  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-iinf 4657  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-addcom 8067  ax-addass 8069  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-apti 8082  ax-pre-ltadd 8083
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 839  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-if 3583  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-tp 3654  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-tr 4162  df-id 4361  df-iord 4434  df-on 4436  df-suc 4439  df-iom 4660  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-of 6188  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-1o 6532  df-er 6650  df-map 6767  df-ixp 6816  df-en 6858  df-fin 6860  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-4 9139  df-5 9140  df-6 9141  df-7 9142  df-8 9143  df-9 9144  df-n0 9338  df-z 9415  df-uz 9691  df-fz 10173  df-struct 13000  df-ndx 13001  df-slot 13002  df-base 13004  df-sets 13005  df-iress 13006  df-plusg 13089  df-mulr 13090  df-sca 13092  df-vsca 13093  df-tset 13095  df-rest 13240  df-topn 13241  df-0g 13257  df-topgen 13259  df-pt 13260  df-mgm 13355  df-sgrp 13401  df-mnd 13416  df-grp 13502  df-psr 14592  df-mplcoe 14593
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