Theorem dfgrp2 13474

Description: Alternate definition of a group as semigroup with a left identity and a left inverse for each element. This "definition" is weaker than df-grp 13450, based on the definition of a monoid which provides a left and a right identity. (Contributed by AV, 28-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dfgrp2.b	|- B = ( Base ` G )
dfgrp2.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
dfgrp2	|- ( G e. Grp <-> ( G e. Smgrp /\ E. n e. B A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) ) )

Distinct variable groups:   B, i, n, x   i, G, n, x   .+ , i, n, x

Proof of Theorem dfgrp2

Dummy variables a b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsgrp 13472	. . 3 |- ( G e. Grp -> G e. Smgrp )
2		grpmnd 13454	. . . . 5 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
3		dfgrp2.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` G )
4		eqid 2207	. . . . . 6 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
5	3, 4	mndidcl 13377	. . . . 5 |- ( G e. Mnd -> ( 0g ` G ) e. B )
6	2, 5	syl 14	. . . 4 |- ( G e. Grp -> ( 0g ` G ) e. B )
7		oveq1 5974	. . . . . . . 8 |- ( n = ( 0g ` G ) -> ( n .+ x ) = ( ( 0g ` G ) .+ x ) )
8	7	eqeq1d 2216	. . . . . . 7 |- ( n = ( 0g ` G ) -> ( ( n .+ x ) = x <-> ( ( 0g ` G ) .+ x ) = x ) )
9		eqeq2 2217	. . . . . . . 8 |- ( n = ( 0g ` G ) -> ( ( i .+ x ) = n <-> ( i .+ x ) = ( 0g ` G ) ) )
10	9	rexbidv 2509	. . . . . . 7 |- ( n = ( 0g ` G ) -> ( E. i e. B ( i .+ x ) = n <-> E. i e. B ( i .+ x ) = ( 0g ` G ) ) )
11	8, 10	anbi12d 473	. . . . . 6 |- ( n = ( 0g ` G ) -> ( ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) <-> ( ( ( 0g ` G ) .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = ( 0g ` G ) ) ) )
12	11	ralbidv 2508	. . . . 5 |- ( n = ( 0g ` G ) -> ( A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) <-> A. x e. B ( ( ( 0g ` G ) .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = ( 0g ` G ) ) ) )
13	12	adantl 277	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ n = ( 0g ` G ) ) -> ( A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) <-> A. x e. B ( ( ( 0g ` G ) .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = ( 0g ` G ) ) ) )
14		dfgrp2.p	. . . . . . . 8 |- .+ = ( +g ` G )
15	3, 14, 4	mndlid 13382	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Mnd /\ x e. B ) -> ( ( 0g ` G ) .+ x ) = x )
16	2, 15	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ x e. B ) -> ( ( 0g ` G ) .+ x ) = x )
17	3, 14, 4	grpinvex 13457	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ x e. B ) -> E. i e. B ( i .+ x ) = ( 0g ` G ) )
18	16, 17	jca 306	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ x e. B ) -> ( ( ( 0g ` G ) .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = ( 0g ` G ) ) )
19	18	ralrimiva 2581	. . . 4 |- ( G e. Grp -> A. x e. B ( ( ( 0g ` G ) .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = ( 0g ` G ) ) )
20	6, 13, 19	rspcedvd 2890	. . 3 |- ( G e. Grp -> E. n e. B A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) )
21	1, 20	jca 306	. 2 |- ( G e. Grp -> ( G e. Smgrp /\ E. n e. B A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) ) )
22	3	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ( n e. B /\ A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) ) /\ G e. Smgrp ) -> B = ( Base ` G ) )
23	14	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ( n e. B /\ A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) ) /\ G e. Smgrp ) -> .+ = ( +g ` G ) )
24		sgrpmgm 13354	. . . . . . . 8 |- ( G e. Smgrp -> G e. Mgm )
25	24	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( n e. B /\ A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) ) /\ G e. Smgrp ) -> G e. Mgm )
26	3, 14	mgmcl 13306	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Mgm /\ a e. B /\ b e. B ) -> ( a .+ b ) e. B )
27	25, 26	syl3an1 1283	. . . . . 6 |- ( ( ( ( n e. B /\ A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) ) /\ G e. Smgrp ) /\ a e. B /\ b e. B ) -> ( a .+ b ) e. B )
28	3, 14	sgrpass 13355	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( a e. B /\ b e. B /\ c e. B ) ) -> ( ( a .+ b ) .+ c ) = ( a .+ ( b .+ c ) ) )
29	28	adantll 476	. . . . . 6 |- ( ( ( ( n e. B /\ A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) ) /\ G e. Smgrp ) /\ ( a e. B /\ b e. B /\ c e. B ) ) -> ( ( a .+ b ) .+ c ) = ( a .+ ( b .+ c ) ) )
30		simpll 527	. . . . . 6 |- ( ( ( n e. B /\ A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) ) /\ G e. Smgrp ) -> n e. B )
31		oveq2 5975	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = a -> ( n .+ x ) = ( n .+ a ) )
32		id 19	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = a -> x = a )
33	31, 32	eqeq12d 2222	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = a -> ( ( n .+ x ) = x <-> ( n .+ a ) = a ) )
34		oveq2 5975	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = a -> ( i .+ x ) = ( i .+ a ) )
35	34	eqeq1d 2216	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = a -> ( ( i .+ x ) = n <-> ( i .+ a ) = n ) )
36	35	rexbidv 2509	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = a -> ( E. i e. B ( i .+ x ) = n <-> E. i e. B ( i .+ a ) = n ) )
37	33, 36	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 |- ( x = a -> ( ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) <-> ( ( n .+ a ) = a /\ E. i e. B ( i .+ a ) = n ) ) )
38	37	rspcv 2880	. . . . . . . . 9 |- ( a e. B -> ( A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) -> ( ( n .+ a ) = a /\ E. i e. B ( i .+ a ) = n ) ) )
39		simpl 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( n .+ a ) = a /\ E. i e. B ( i .+ a ) = n ) -> ( n .+ a ) = a )
40	38, 39	syl6com 35	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) -> ( a e. B -> ( n .+ a ) = a ) )
41	40	ad2antlr 489	. . . . . . 7 |- ( ( ( n e. B /\ A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) ) /\ G e. Smgrp ) -> ( a e. B -> ( n .+ a ) = a ) )
42	41	imp 124	. . . . . 6 |- ( ( ( ( n e. B /\ A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) ) /\ G e. Smgrp ) /\ a e. B ) -> ( n .+ a ) = a )
43		oveq1 5974	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = b -> ( i .+ a ) = ( b .+ a ) )
44	43	eqeq1d 2216	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = b -> ( ( i .+ a ) = n <-> ( b .+ a ) = n ) )
45	44	cbvrexvw 2747	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. i e. B ( i .+ a ) = n <-> E. b e. B ( b .+ a ) = n )
46	45	biimpi 120	. . . . . . . . . 10 |- ( E. i e. B ( i .+ a ) = n -> E. b e. B ( b .+ a ) = n )
47	46	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( n .+ a ) = a /\ E. i e. B ( i .+ a ) = n ) -> E. b e. B ( b .+ a ) = n )
48	38, 47	syl6com 35	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) -> ( a e. B -> E. b e. B ( b .+ a ) = n ) )
49	48	ad2antlr 489	. . . . . . 7 |- ( ( ( n e. B /\ A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) ) /\ G e. Smgrp ) -> ( a e. B -> E. b e. B ( b .+ a ) = n ) )
50	49	imp 124	. . . . . 6 |- ( ( ( ( n e. B /\ A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) ) /\ G e. Smgrp ) /\ a e. B ) -> E. b e. B ( b .+ a ) = n )
51	22, 23, 27, 29, 30, 42, 50	isgrpde 13469	. . . . 5 |- ( ( ( n e. B /\ A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) ) /\ G e. Smgrp ) -> G e. Grp )
52	51	ex 115	. . . 4 |- ( ( n e. B /\ A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) ) -> ( G e. Smgrp -> G e. Grp ) )
53	52	rexlimiva 2620	. . 3 |- ( E. n e. B A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) -> ( G e. Smgrp -> G e. Grp ) )
54	53	impcom 125	. 2 |- ( ( G e. Smgrp /\ E. n e. B A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) ) -> G e. Grp )
55	21, 54	impbii 126	1 |- ( G e. Grp <-> ( G e. Smgrp /\ E. n e. B A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2178   A.wral 2486   E.wrex 2487   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   Basecbs 12947   +g cplusg 13024   0gc0g 13203  Mgmcmgm 13301  Smgrpcsgrp 13348   Mndcmnd 13363   Grpcgrp 13447

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1re 8054  ax-addrcl 8057

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-inn 9072  df-2 9130  df-ndx 12950  df-slot 12951  df-base 12953  df-plusg 13037  df-0g 13205  df-mgm 13303  df-sgrp 13349  df-mnd 13364  df-grp 13450

This theorem is referenced by:  dfgrp2e  13475  dfgrp3m  13546