Theorem dfgrp2 13159

Description: Alternate definition of a group as semigroup with a left identity and a left inverse for each element. This "definition" is weaker than df-grp 13135, based on the definition of a monoid which provides a left and a right identity. (Contributed by AV, 28-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dfgrp2.b	|- B = ( Base ` G )
dfgrp2.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
dfgrp2	|- ( G e. Grp <-> ( G e. Smgrp /\ E. n e. B A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) ) )

Distinct variable groups:   B, i, n, x   i, G, n, x   .+ , i, n, x

Proof of Theorem dfgrp2

Dummy variables a b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsgrp 13157	. . 3 |- ( G e. Grp -> G e. Smgrp )
2		grpmnd 13139	. . . . 5 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
3		dfgrp2.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` G )
4		eqid 2196	. . . . . 6 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
5	3, 4	mndidcl 13071	. . . . 5 |- ( G e. Mnd -> ( 0g ` G ) e. B )
6	2, 5	syl 14	. . . 4 |- ( G e. Grp -> ( 0g ` G ) e. B )
7		oveq1 5929	. . . . . . . 8 |- ( n = ( 0g ` G ) -> ( n .+ x ) = ( ( 0g ` G ) .+ x ) )
8	7	eqeq1d 2205	. . . . . . 7 |- ( n = ( 0g ` G ) -> ( ( n .+ x ) = x <-> ( ( 0g ` G ) .+ x ) = x ) )
9		eqeq2 2206	. . . . . . . 8 |- ( n = ( 0g ` G ) -> ( ( i .+ x ) = n <-> ( i .+ x ) = ( 0g ` G ) ) )
10	9	rexbidv 2498	. . . . . . 7 |- ( n = ( 0g ` G ) -> ( E. i e. B ( i .+ x ) = n <-> E. i e. B ( i .+ x ) = ( 0g ` G ) ) )
11	8, 10	anbi12d 473	. . . . . 6 |- ( n = ( 0g ` G ) -> ( ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) <-> ( ( ( 0g ` G ) .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = ( 0g ` G ) ) ) )
12	11	ralbidv 2497	. . . . 5 |- ( n = ( 0g ` G ) -> ( A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) <-> A. x e. B ( ( ( 0g ` G ) .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = ( 0g ` G ) ) ) )
13	12	adantl 277	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ n = ( 0g ` G ) ) -> ( A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) <-> A. x e. B ( ( ( 0g ` G ) .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = ( 0g ` G ) ) ) )
14		dfgrp2.p	. . . . . . . 8 |- .+ = ( +g ` G )
15	3, 14, 4	mndlid 13076	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Mnd /\ x e. B ) -> ( ( 0g ` G ) .+ x ) = x )
16	2, 15	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ x e. B ) -> ( ( 0g ` G ) .+ x ) = x )
17	3, 14, 4	grpinvex 13142	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ x e. B ) -> E. i e. B ( i .+ x ) = ( 0g ` G ) )
18	16, 17	jca 306	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ x e. B ) -> ( ( ( 0g ` G ) .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = ( 0g ` G ) ) )
19	18	ralrimiva 2570	. . . 4 |- ( G e. Grp -> A. x e. B ( ( ( 0g ` G ) .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = ( 0g ` G ) ) )
20	6, 13, 19	rspcedvd 2874	. . 3 |- ( G e. Grp -> E. n e. B A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) )
21	1, 20	jca 306	. 2 |- ( G e. Grp -> ( G e. Smgrp /\ E. n e. B A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) ) )
22	3	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ( n e. B /\ A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) ) /\ G e. Smgrp ) -> B = ( Base ` G ) )
23	14	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ( n e. B /\ A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) ) /\ G e. Smgrp ) -> .+ = ( +g ` G ) )
24		sgrpmgm 13050	. . . . . . . 8 |- ( G e. Smgrp -> G e. Mgm )
25	24	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( n e. B /\ A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) ) /\ G e. Smgrp ) -> G e. Mgm )
26	3, 14	mgmcl 13002	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Mgm /\ a e. B /\ b e. B ) -> ( a .+ b ) e. B )
27	25, 26	syl3an1 1282	. . . . . 6 |- ( ( ( ( n e. B /\ A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) ) /\ G e. Smgrp ) /\ a e. B /\ b e. B ) -> ( a .+ b ) e. B )
28	3, 14	sgrpass 13051	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( a e. B /\ b e. B /\ c e. B ) ) -> ( ( a .+ b ) .+ c ) = ( a .+ ( b .+ c ) ) )
29	28	adantll 476	. . . . . 6 |- ( ( ( ( n e. B /\ A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) ) /\ G e. Smgrp ) /\ ( a e. B /\ b e. B /\ c e. B ) ) -> ( ( a .+ b ) .+ c ) = ( a .+ ( b .+ c ) ) )
30		simpll 527	. . . . . 6 |- ( ( ( n e. B /\ A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) ) /\ G e. Smgrp ) -> n e. B )
31		oveq2 5930	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = a -> ( n .+ x ) = ( n .+ a ) )
32		id 19	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = a -> x = a )
33	31, 32	eqeq12d 2211	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = a -> ( ( n .+ x ) = x <-> ( n .+ a ) = a ) )
34		oveq2 5930	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = a -> ( i .+ x ) = ( i .+ a ) )
35	34	eqeq1d 2205	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = a -> ( ( i .+ x ) = n <-> ( i .+ a ) = n ) )
36	35	rexbidv 2498	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = a -> ( E. i e. B ( i .+ x ) = n <-> E. i e. B ( i .+ a ) = n ) )
37	33, 36	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 |- ( x = a -> ( ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) <-> ( ( n .+ a ) = a /\ E. i e. B ( i .+ a ) = n ) ) )
38	37	rspcv 2864	. . . . . . . . 9 |- ( a e. B -> ( A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) -> ( ( n .+ a ) = a /\ E. i e. B ( i .+ a ) = n ) ) )
39		simpl 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( n .+ a ) = a /\ E. i e. B ( i .+ a ) = n ) -> ( n .+ a ) = a )
40	38, 39	syl6com 35	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) -> ( a e. B -> ( n .+ a ) = a ) )
41	40	ad2antlr 489	. . . . . . 7 |- ( ( ( n e. B /\ A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) ) /\ G e. Smgrp ) -> ( a e. B -> ( n .+ a ) = a ) )
42	41	imp 124	. . . . . 6 |- ( ( ( ( n e. B /\ A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) ) /\ G e. Smgrp ) /\ a e. B ) -> ( n .+ a ) = a )
43		oveq1 5929	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = b -> ( i .+ a ) = ( b .+ a ) )
44	43	eqeq1d 2205	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = b -> ( ( i .+ a ) = n <-> ( b .+ a ) = n ) )
45	44	cbvrexvw 2734	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. i e. B ( i .+ a ) = n <-> E. b e. B ( b .+ a ) = n )
46	45	biimpi 120	. . . . . . . . . 10 |- ( E. i e. B ( i .+ a ) = n -> E. b e. B ( b .+ a ) = n )
47	46	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( n .+ a ) = a /\ E. i e. B ( i .+ a ) = n ) -> E. b e. B ( b .+ a ) = n )
48	38, 47	syl6com 35	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) -> ( a e. B -> E. b e. B ( b .+ a ) = n ) )
49	48	ad2antlr 489	. . . . . . 7 |- ( ( ( n e. B /\ A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) ) /\ G e. Smgrp ) -> ( a e. B -> E. b e. B ( b .+ a ) = n ) )
50	49	imp 124	. . . . . 6 |- ( ( ( ( n e. B /\ A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) ) /\ G e. Smgrp ) /\ a e. B ) -> E. b e. B ( b .+ a ) = n )
51	22, 23, 27, 29, 30, 42, 50	isgrpde 13154	. . . . 5 |- ( ( ( n e. B /\ A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) ) /\ G e. Smgrp ) -> G e. Grp )
52	51	ex 115	. . . 4 |- ( ( n e. B /\ A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) ) -> ( G e. Smgrp -> G e. Grp ) )
53	52	rexlimiva 2609	. . 3 |- ( E. n e. B A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) -> ( G e. Smgrp -> G e. Grp ) )
54	53	impcom 125	. 2 |- ( ( G e. Smgrp /\ E. n e. B A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) ) -> G e. Grp )
55	21, 54	impbii 126	1 |- ( G e. Grp <-> ( G e. Smgrp /\ E. n e. B A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   Basecbs 12678   +g cplusg 12755   0gc0g 12927  Mgmcmgm 12997  Smgrpcsgrp 13044   Mndcmnd 13057   Grpcgrp 13132

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1re 7973  ax-addrcl 7976

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-inn 8991  df-2 9049  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-plusg 12768  df-0g 12929  df-mgm 12999  df-sgrp 13045  df-mnd 13058  df-grp 13135

This theorem is referenced by:  dfgrp2e  13160  dfgrp3m  13231