Theorem dfgrp2 12971

Description: Alternate definition of a group as semigroup with a left identity and a left inverse for each element. This "definition" is weaker than df-grp 12948, based on the definition of a monoid which provides a left and a right identity. (Contributed by AV, 28-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dfgrp2.b	|- B = ( Base ` G )
dfgrp2.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
dfgrp2	|- ( G e. Grp <-> ( G e. Smgrp /\ E. n e. B A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) ) )

Distinct variable groups:   B, i, n, x   i, G, n, x   .+ , i, n, x

Proof of Theorem dfgrp2

Dummy variables a b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsgrp 12970	. . 3 |- ( G e. Grp -> G e. Smgrp )
2		grpmnd 12952	. . . . 5 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
3		dfgrp2.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` G )
4		eqid 2189	. . . . . 6 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
5	3, 4	mndidcl 12891	. . . . 5 |- ( G e. Mnd -> ( 0g ` G ) e. B )
6	2, 5	syl 14	. . . 4 |- ( G e. Grp -> ( 0g ` G ) e. B )
7		oveq1 5903	. . . . . . . 8 |- ( n = ( 0g ` G ) -> ( n .+ x ) = ( ( 0g ` G ) .+ x ) )
8	7	eqeq1d 2198	. . . . . . 7 |- ( n = ( 0g ` G ) -> ( ( n .+ x ) = x <-> ( ( 0g ` G ) .+ x ) = x ) )
9		eqeq2 2199	. . . . . . . 8 |- ( n = ( 0g ` G ) -> ( ( i .+ x ) = n <-> ( i .+ x ) = ( 0g ` G ) ) )
10	9	rexbidv 2491	. . . . . . 7 |- ( n = ( 0g ` G ) -> ( E. i e. B ( i .+ x ) = n <-> E. i e. B ( i .+ x ) = ( 0g ` G ) ) )
11	8, 10	anbi12d 473	. . . . . 6 |- ( n = ( 0g ` G ) -> ( ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) <-> ( ( ( 0g ` G ) .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = ( 0g ` G ) ) ) )
12	11	ralbidv 2490	. . . . 5 |- ( n = ( 0g ` G ) -> ( A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) <-> A. x e. B ( ( ( 0g ` G ) .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = ( 0g ` G ) ) ) )
13	12	adantl 277	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ n = ( 0g ` G ) ) -> ( A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) <-> A. x e. B ( ( ( 0g ` G ) .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = ( 0g ` G ) ) ) )
14		dfgrp2.p	. . . . . . . 8 |- .+ = ( +g ` G )
15	3, 14, 4	mndlid 12896	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Mnd /\ x e. B ) -> ( ( 0g ` G ) .+ x ) = x )
16	2, 15	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ x e. B ) -> ( ( 0g ` G ) .+ x ) = x )
17	3, 14, 4	grpinvex 12955	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ x e. B ) -> E. i e. B ( i .+ x ) = ( 0g ` G ) )
18	16, 17	jca 306	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ x e. B ) -> ( ( ( 0g ` G ) .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = ( 0g ` G ) ) )
19	18	ralrimiva 2563	. . . 4 |- ( G e. Grp -> A. x e. B ( ( ( 0g ` G ) .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = ( 0g ` G ) ) )
20	6, 13, 19	rspcedvd 2862	. . 3 |- ( G e. Grp -> E. n e. B A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) )
21	1, 20	jca 306	. 2 |- ( G e. Grp -> ( G e. Smgrp /\ E. n e. B A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) ) )
22	3	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ( n e. B /\ A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) ) /\ G e. Smgrp ) -> B = ( Base ` G ) )
23	14	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ( n e. B /\ A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) ) /\ G e. Smgrp ) -> .+ = ( +g ` G ) )
24		sgrpmgm 12870	. . . . . . . 8 |- ( G e. Smgrp -> G e. Mgm )
25	24	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( n e. B /\ A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) ) /\ G e. Smgrp ) -> G e. Mgm )
26	3, 14	mgmcl 12835	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Mgm /\ a e. B /\ b e. B ) -> ( a .+ b ) e. B )
27	25, 26	syl3an1 1282	. . . . . 6 |- ( ( ( ( n e. B /\ A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) ) /\ G e. Smgrp ) /\ a e. B /\ b e. B ) -> ( a .+ b ) e. B )
28	3, 14	sgrpass 12871	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( a e. B /\ b e. B /\ c e. B ) ) -> ( ( a .+ b ) .+ c ) = ( a .+ ( b .+ c ) ) )
29	28	adantll 476	. . . . . 6 |- ( ( ( ( n e. B /\ A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) ) /\ G e. Smgrp ) /\ ( a e. B /\ b e. B /\ c e. B ) ) -> ( ( a .+ b ) .+ c ) = ( a .+ ( b .+ c ) ) )
30		simpll 527	. . . . . 6 |- ( ( ( n e. B /\ A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) ) /\ G e. Smgrp ) -> n e. B )
31		oveq2 5904	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = a -> ( n .+ x ) = ( n .+ a ) )
32		id 19	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = a -> x = a )
33	31, 32	eqeq12d 2204	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = a -> ( ( n .+ x ) = x <-> ( n .+ a ) = a ) )
34		oveq2 5904	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = a -> ( i .+ x ) = ( i .+ a ) )
35	34	eqeq1d 2198	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = a -> ( ( i .+ x ) = n <-> ( i .+ a ) = n ) )
36	35	rexbidv 2491	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = a -> ( E. i e. B ( i .+ x ) = n <-> E. i e. B ( i .+ a ) = n ) )
37	33, 36	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 |- ( x = a -> ( ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) <-> ( ( n .+ a ) = a /\ E. i e. B ( i .+ a ) = n ) ) )
38	37	rspcv 2852	. . . . . . . . 9 |- ( a e. B -> ( A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) -> ( ( n .+ a ) = a /\ E. i e. B ( i .+ a ) = n ) ) )
39		simpl 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( n .+ a ) = a /\ E. i e. B ( i .+ a ) = n ) -> ( n .+ a ) = a )
40	38, 39	syl6com 35	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) -> ( a e. B -> ( n .+ a ) = a ) )
41	40	ad2antlr 489	. . . . . . 7 |- ( ( ( n e. B /\ A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) ) /\ G e. Smgrp ) -> ( a e. B -> ( n .+ a ) = a ) )
42	41	imp 124	. . . . . 6 |- ( ( ( ( n e. B /\ A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) ) /\ G e. Smgrp ) /\ a e. B ) -> ( n .+ a ) = a )
43		oveq1 5903	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = b -> ( i .+ a ) = ( b .+ a ) )
44	43	eqeq1d 2198	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = b -> ( ( i .+ a ) = n <-> ( b .+ a ) = n ) )
45	44	cbvrexvw 2723	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. i e. B ( i .+ a ) = n <-> E. b e. B ( b .+ a ) = n )
46	45	biimpi 120	. . . . . . . . . 10 |- ( E. i e. B ( i .+ a ) = n -> E. b e. B ( b .+ a ) = n )
47	46	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( n .+ a ) = a /\ E. i e. B ( i .+ a ) = n ) -> E. b e. B ( b .+ a ) = n )
48	38, 47	syl6com 35	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) -> ( a e. B -> E. b e. B ( b .+ a ) = n ) )
49	48	ad2antlr 489	. . . . . . 7 |- ( ( ( n e. B /\ A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) ) /\ G e. Smgrp ) -> ( a e. B -> E. b e. B ( b .+ a ) = n ) )
50	49	imp 124	. . . . . 6 |- ( ( ( ( n e. B /\ A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) ) /\ G e. Smgrp ) /\ a e. B ) -> E. b e. B ( b .+ a ) = n )
51	22, 23, 27, 29, 30, 42, 50	isgrpde 12967	. . . . 5 |- ( ( ( n e. B /\ A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) ) /\ G e. Smgrp ) -> G e. Grp )
52	51	ex 115	. . . 4 |- ( ( n e. B /\ A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) ) -> ( G e. Smgrp -> G e. Grp ) )
53	52	rexlimiva 2602	. . 3 |- ( E. n e. B A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) -> ( G e. Smgrp -> G e. Grp ) )
54	53	impcom 125	. 2 |- ( ( G e. Smgrp /\ E. n e. B A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) ) -> G e. Grp )
55	21, 54	impbii 126	1 |- ( G e. Grp <-> ( G e. Smgrp /\ E. n e. B A. x e. B ( ( n .+ x ) = x /\ E. i e. B ( i .+ x ) = n ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2160   A.wral 2468   E.wrex 2469   ` cfv 5235  (class class class)co 5896   Basecbs 12512   +g cplusg 12589   0gc0g 12761  Mgmcmgm 12830  Smgrpcsgrp 12864   Mndcmnd 12877   Grpcgrp 12945

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1re 7935  ax-addrcl 7938

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5899  df-inn 8950  df-2 9008  df-ndx 12515  df-slot 12516  df-base 12518  df-plusg 12602  df-0g 12763  df-mgm 12832  df-sgrp 12865  df-mnd 12878  df-grp 12948

This theorem is referenced by:  dfgrp2e  12972  dfgrp3m  13043