Theorem indv 9295

Description: Value of the indicator function generator with domain O. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
indv	|- ( O e. V -> (𝟭 ` O ) = ( a e. ~P O |-> ( x e. O |-> if ( x e. a , 1 , 0 ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, a, O   V, a

Allowed substitution hint:   V( x)

Proof of Theorem indv

Dummy variable o is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ind 9294	. 2 |- 𝟭 = ( o e. _V |-> ( a e. ~P o |-> ( x e. o |-> if ( x e. a , 1 , 0 ) ) ) )
2		pweq 3691	. . 3 |- ( o = O -> ~P o = ~P O )
3		mpteq1 4215	. . 3 |- ( o = O -> ( x e. o |-> if ( x e. a , 1 , 0 ) ) = ( x e. O |-> if ( x e. a , 1 , 0 ) ) )
4	2, 3	mpteq12dv 4213	. 2 |- ( o = O -> ( a e. ~P o |-> ( x e. o |-> if ( x e. a , 1 , 0 ) ) ) = ( a e. ~P O |-> ( x e. O |-> if ( x e. a , 1 , 0 ) ) ) )
5		elex 2833	. 2 |- ( O e. V -> O e. _V )
6		pwexg 4317	. . 3 |- ( O e. _V -> ~P O e. _V )
7		mptexg 5942	. . 3 |- ( ~P O e. _V -> ( a e. ~P O |-> ( x e. O |-> if ( x e. a , 1 , 0 ) ) ) e. _V )
8	5, 6, 7	3syl 17	. 2 |- ( O e. V -> ( a e. ~P O |-> ( x e. O |-> if ( x e. a , 1 , 0 ) ) ) e. _V )
9	1, 4, 5, 8	fvmptd3 5799	1 |- ( O e. V -> (𝟭 ` O ) = ( a e. ~P O |-> ( x e. O |-> if ( x e. a , 1 , 0 ) ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   ifcif 3638   ~Pcpw 3688   |-> cmpt 4192   ` cfv 5377   0cc0 8179   1c1 8180  𝟭cind 9293

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-ind 9294

This theorem is used by:  indval  9296  indval0  9297