Theorem mpteq12dv 4214

Description: An equality inference for the maps-to notation. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Dec-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
mpteq12dv.1	|- ( ph -> A = C )
mpteq12dv.2	|- ( ph -> B = D )

Assertion

Ref	Expression
mpteq12dv	|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) = ( x e. C |-> D ) )

Distinct variable group:   ph, x

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)   C( x)   D( x)

Proof of Theorem mpteq12dv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpteq12dv.1	. 2 |- ( ph -> A = C )
2		mpteq12dv.2	. . 3 |- ( ph -> B = D )
3	2	adantr 276	. 2 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B = D )
4	1, 3	mpteq12dva 4213	1 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) = ( x e. C |-> D ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   |-> cmpt 4193

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-11 1559  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-ral 2533  df-opab 4194  df-mpt 4195

This theorem is used by:  mpteq1i  4218  mpteq12i  4221  ofovex  6311  offval  6314  offval3  6371  indv  9304  ccatfvalfi  11381  swrdval  11441  odzval  13048  restval  13657  qusval  13702  grpinvfvalg  13905  grpinvpropdg  13938  cntzex  14149  cntzfval  14151  gsum2dfilem2  14271  gsum2dfi  14272  gsum2d2fi  14273  prdsex  14278  prdsval  14279  opprnegg  14497  lspfval  14833  lsppropd  14877  sraval  14882  aspval  15123  asclfval  15129  ressascl  15147  psrval  15160  psrass1filem  15186  psrmulvalfi  15197  mvrfval  15214  ntrfval  15343  clsfval  15344  neifval  15383  cnpfval  15438  cnprcl2k  15449  reldvg  15922  dvfvalap  15924  eldvap  15925  vtxdgfval  16751  vtxdgop  16755  vtxdeqd  16759